2020——2021学年度 北师大版数学八年级下册：第一章三角形的证明 综合测试 (word版含解析)

第一章综合测试
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.如下图，已知false是false的角平分线，false是false的垂直平分线，false，则false的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.false
2.如下图，在false中，false平分false于false.如果false，那么false等于（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.如下图，在false中false于点false于点false为false边的中点，连接false，则下列结论：false为等边三角形；下面判断正确是（ ）
A.①正确 B.②正确 C.①②都正确 D.①②都不正确
4.如下图所示，已知false是false的角平分线，false是false的垂直平分线，false，则false的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D.false
5.在false中，false既是false的平分线，又是false边上的中线，则false的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.三边互不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形 D.不能确定
6.已知一个等腰三角形的边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
7.如下图所示，false是等边三角形，且false，则false的度数为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.如下图，在false中，false分别是false上的点，且false，若false，则false的度数为（ ）
A.false B.false C.false D.false
9.下列说法：①有一个角是false的等腰三角形是等边三角形；②如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；③三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中正确的个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如下图，在平面直角坐标系false中，false，动点false在false上.若以false三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点false的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
11.如下图，false中，false于false是false的平分线，且交false于false点.如果false，则false的长为（ ）
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
12.如下图，false平分false垂直平分false，交false于false为射线false上一动点，若false的最小值为3，则false的长为（ ）
A.3 B.6 C.false D.9
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.腰长为false，底角为false的等腰三角形的面积为________.
14.等腰三角形的一个内角是false，则这个等腰三角形的底角是________.
15.如下图，在false中，false垂直平分false，则false的长为________.
16.如下图，已知在false中，false.分别以false为圆心，大于false长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交false于点false.若false，则false的面积为________.
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
17.如下图，在false中，false.
（1）求证：false为等边三角形；
（2）若false，求false的边长.
18.如下图，在false中，false的平分线交false于点false是false的垂直平分线，垂足为false.
（1）求false度数.
（2）求false的长.
19.在false中，false平分false交false于点false垂直平分线段false.
（1）求false度数；
（2）求证：false.
20.如下图，false为false的角平分线，false于点false于点false，连接false交false于点false.
（1）求证：false垂直平分false；
（2）若false，请求出false与false之间的数量关系.
21.如下图，在false中，false，过false点沿直线false折叠这个三角形，使点false落在false边上的false点处，连接false，若false，求证：false是等边三角形.
22.如下图，已知在false中，false为高，且false三等分false.
（1）求false的度数；
（2）求证：false是false边上的中线，且false.
第一章综合测试
答案解析
1.【答案】D
【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.
根据线段垂直平分线的性质得到false，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出false，根据含false的直角三角形的性质和勾股定理解答.
解：false是false的垂直平分线，
false，
false，
false是false的角平分线，
false，
false，
false，
即false，
false，
故选：D.
2.【答案】C
【解析】解：false，
false，
false，
false，
false平分false，
false，
false；
故选：C.
根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出false，求出false，再根据角平分线到两边的距离相等得出false，即可得出false的值.
此题考查了含false角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出false.
3.【答案】C
【解析】解：false于点false于点false为false边的中点，
false，
false，正确；
false于点false于点false，
false，
在false中，false，
false点false是false的中点，false，
false，
false，
false，
false，
false是等边三角形，正确；
所以①②都正确.
故选：C.
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出false，再根据三角形的内角和定理求出false，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出false，从而得到false，又由①得false，根据有一个角是false的等腰三角形是等边三角形可判断②正确.
本题主要考查了直角三角形false角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键.
4.【答案】D
【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.
根据线段垂直平分线的性质得到false，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出false，根据含false的直角三角形的性质和勾股定理解答.
解：false是false的垂直平分线，
false，
false，
false是false的角平分线，
false，
false，
false，
即false，
false，
故选：D.
5.【答案】A
6.【答案】C
【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
false，
false不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长false，
综上所述，它的周长是10.
故选：C.
分2是腰长与底边长两种情况讨论求解.
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定.
7.【答案】D
【解析】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为false的性质，本题中求证false是解题的关键.
易证false，可得false，根据false可以求得false的度数，即可解题.
解：在false和false中，
false，
false，
false，
false，
false.
故选D.
8.【答案】D
【解析】解：false，
false，
在false和false中，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
故选：D.
解题思路首先根据等腰三角形的性质得到false，接下来证明false，得到false，然后根据三角形的外角定理求出false，最后用三角形内角和定理获得答案.
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.
9.【答案】C
【解析】本题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可.
解：①有一个角是false的等腰三角形是等边三角形，正确；
②如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确；
③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；正确；
④有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，故④错误.
故选C.
10.【答案】B
【解析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，线段垂直平分线的性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观.根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得false的垂直平分线与直线false的交点为点false，再求出false的长，以点false为圆心，以false的长为半径画弧，与直线false的交点为点false，求出点false到直线false的距离可知以点false为圆心，以false的长为半径画弧，与直线没有交点，据此求解即可.
解：如下图，false的垂直平分线与直线false相交于点false，
false，
false，
以点false为圆心，以false的长为半径画弧，与直线false的交点为false，
false，
false点false到直线false的距离为false，
false，
false以点false为圆心，以false的长为半径画弧，与直线false没有交点，
所以，点false的个数是false.
故选B.
11.【答案】A
【解析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质.利用三角形外角定理得到false是解题的关键，根据角的关系可得到false，再通过计算得false的等边三角形，则false，在直角false中，利用含30度角的直角三角形的性质来得到false与false的关系，可得所求.
解：
false中，false，
false.
又false是false的平分线，
false，
false，
false
false.
又false，
false，
则false，
false的等边三角形，则false，
在直角false中，false，则false，
false，
false.
故选A.
12.【答案】B
【解析】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
作false于false，连接false，根据角平分线的性质求出false，根据线段垂直平分线的性质得到false，根据三角形的外角的性质求出false，根据直角三角形的性质解答即可.
解：作false于false，连接false，
当false时，false的最小，
false平分false，false，
false，
false垂直平分false，
false，
false，
false，
false，
false，
故选B.
13.【答案】false
【解析】本题考查了等腰三角形的性质；解答本题的关键，是构建出含false角的直角三角形，从而通过解直角三角形求出三角形的高，进而求出其面积.要求等腰三角形的面积，已知腰长为false，只要求出腰上的高即可，所以要通过构建直角三角形来解答本题.
解：如下图：
false是等腰三角形，且false；
过false作false的延长线于false，
false中，false，
false；
false.
故答案为false.
14.【答案】false或false
【解析】解：①当这个角是顶角时，底角false；
②当这个角是底角时，另一个底角为false，顶角为false；
故答案为：false或false.
题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.
15.【答案】6
【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.由false垂直平分false，即可得false，又由直角三角形中false角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得false的长，则问题得解.
解：false垂直平分false，
false，
false，
false，
false.
故答案为6.
16.【答案】30
【解析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.根据垂直平分线的性质即可得到false，再根据勾股定理求得false的长，即可得到false的面积.
解：由作图可知，false垂直平分false，
false，
又false，
false，
又false，
false中，false，
false，
故答案为：30.
17.【答案】（1）证明：false，
false，
false为等边三角形；
（2）解：false，
false.
false，
false，
false，
false的边长为4.
【解析】本题考查等边三角形的判定，以及含false角的直角三角形的性质，掌握判定方法和性质是解题关键.
（1）根据三角形的内角和求出false的度数，即可得解；
（2）先求出false的度数，再根据直角三角形的性质求解即可.
18.【答案】解：（1）false是false的垂直平分线，
false，
false.
false平分false，
false.
false，
false，
false，
false；
（2）false平分false，
false，
false，
false.
【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟悉掌握是关键.
（1）由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得false；
（2）根据角平分线的性质即可得到结论.
19.【答案】解：（1）false垂直平分线段false，
false，
false，
false平分false交false于点false，
false，
false，
false，
false，
false，
false；
（2）false，
false，
false，
false.
【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质.此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用.
（1）据线段垂直平分线的性质得到false，根据等腰三角形的性质得到false，根据角平分线的定义得到false，求得false，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据含false角的直角三角形的性质得到false，等量代换即可得到结论.
20.【答案】（1）证明：false平分false，false，
false，
false，
false，
即false，
false，
false点false、点false在false的垂直平分线上，
false垂直平分false；
（2）解：false.
理由：false，false平分false，
false，
false，
由（1）知false，
false，
false，
false，
即false.
【解析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明false和false，证明false和false.题目比较典型，综合性强，属于中档题.
（1）由false为false的角平分线，得到false，推出false和false相等，得到false，即可推出结论；
（2）由已知推出false，得到false，在false中，由false推出false，即可推出结论.
21.【答案】证明：根据折叠的性质：false，
false，
false，
false，
false，
false，
false是等边三角形.
【解析】本题考查了图形的翻折变换以及等边三角形的判定，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.根据折叠的性质：false，根据等腰三角形三线合一得出点false恰为false的中点，从而得出false，又false，故false，所以false，根据有一个角是false的等腰三角形是等边三角形即可证得.
22.【答案】（1）解：false在false中，false三等分false，
false，则false，
又false为高，
false；
（2）证明：由（1）知，false，则false.
false，
false，
又false由（1）知，false，
false，
false是等边三角形，
false，
false，即点false是false的中点.
false是false边上的中线，且false.
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线.本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的.
（1）利用直角false的两个锐角互余的性质进行解答；
（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到false是等边三角形和false为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.