放缩法与同构法案例分析讲解

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放缩法与同构法案例分析讲解
放缩法：
以为例子
第一类：直接放缩
①分母先拆开两因数相乘，然后把其中一个因数适当减少
如（用于裂项相消）
也可以，还有很多种.....
然后每一项都把它进行放缩转变
②把一些式子凑成较简单的平方差公式
如，
减的数的大小越与原式接近
③也可以放缩成
第二类：间接放缩
此方法在一类基础上，把每一项都放缩改为保留前几项不变，再放缩
如利用把的每一项放缩后
得到
但保留了前面的再进行放缩就会变成
以此类推
第三类：函数放缩
一般函数放缩都是利用已经积累到的一些函数恒不等关系进行转变
（3）通过以上关系还可以作一些小变化
如求证：.
解析:先构造函数有,从而
因为
所以
第四类：其他放缩
还有部分与根式，分式相关的放缩方法：
同构法：
【放缩法技巧训练】
一．先求和后放缩
正数数列的前项的和，满足，试求：
（1）数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，求证：
解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以
（2），所以
二．先放缩再求和
已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1) 求证：；
(2) 求证：
解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得
∴
所以， ，
所以
（2）因为，所以，所以
；
放缩后成等比数列，再求和
（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；
（2）等比数列{an}中，，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．
解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，．
当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是
．
（2）∵，，，∴公比．
∴． ．
∴．
放缩后为差比数列，再求和
已知数列满足：，．求证：
证明：因为，所以与同号，又因为，所以，
即，即．所以数列为递增数列，所以，
即，累加得：．
令，所以，两式相减得：
，所以，所以，
故得．
放缩后为裂项相消，再求和
在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式；
（2）令，证明，n=1,2,….
解（1）由已知得，.
（2）因为，
所以.
又因为，
所以
　　　　　　　　　　　　　 =.
综上，.
（1）
（2）．
六，放缩法题型积累
1.已知正项数列{}满足
判断数列{}的单调性；
求证：
分析：（1），即
故数列{}为递增数列.
(2) 不妨先证
再证：原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法
.
当时，
.
易验证当n=1时,上式也成立.
综上,故有成立.
2.求证：
证明：
3.已知求证：
证明：
4.已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1．
（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有.
解；数列{}的通项公式为：.
⑶由已知得：
.
故( m>4).
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