福建省厦门一中2012届高三上学期期中试题数学文

福建省厦门第一中学2011—2012学年度
第一学期期中考试
高三年文科数学试卷
一、选择题：（共12题，每题5分，共60分）
1、已知集合，集合，则 （ ）
A．HYPERLINK " http://www./" B． C．HYPERLINK " http://www./" D．
2、在同一坐标系内，函数与的图象可能是 （ ）
3、已知点、，为原点，且，，则点的坐标为 （ ）
4、已知为等差数列,若,则的值为 （ ）
A． B． C． D．
5、在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，则“”是“”的 （ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、圆上的点到直线的距离的最大值是 （ ）A． B. C． D.
7、设函数，则下列结论正确的是 （ ）
A． 的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．把的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．的最小正周期为，且在上为增函数
8、在中，HYPERLINK " http://www./"、、HYPERLINK " http://www./"分别是角A、B、C所对的边，，则HYPERLINK " http://www./"
的面积 （ ）
A．1 B． C． D．2
9、已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 （ ）
A. B. C. D.
10、已知O是坐标原点，点A（-1,1），若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是 （ ）
A.[-1.0] B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]
11、等比数列的前HYPERLINK " http://www./"项和为，若HYPERLINK " http://www./"，，则HYPERLINK " http://www./"等于
A．-512 B．1024 C．-1024 D．512 （ ）
12、定义在上的函数满足且时，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（共4题，每题4分，共16分）
13、若复数（HYPERLINK " http://www./"是虚数单位）是纯虚数，则 。
14、在△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=60°，则______.
15、若一个几何体的三视图如右图所示，
则这个几何体的体积为 .
16、已知、HYPERLINK " http://www./"是三次函数的两个极值点，且HYPERLINK " http://www./"，，则HYPERLINK " http://www./"的取值范围是 。
三、解答题：（共6题，除22题14分外，其它题各12分，共74分）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，求数列的前n项和。
18．(本小题满分共12分)
已知向量，，其中，且，又函数的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为.
(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)设是第一象限角,且,求的值.
19、（本小题满分12分）
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3（I）求a的值；
（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
20．（本小题满分12分）
已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，，分别是的中点。 （Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若点P在线段BN上，且三棱锥P－AMN的体积，求的值。
21、（本小题满分12分）
设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.
（1）求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
22、（本小题满分14分）
已知函数
（1）若曲线在处的切线与直线互相垂直，求的值；
（2）若，求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（3）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？
福建省厦门第一中学2011—2012学年度
第一学期期中考试
高三年文科数学试卷答题卷
命题教师：廖献武 审核教师：肖文辉 20111108
题号 选择 填空 17 18 19 20 21 22 总分
得分
二、填空题:
13. ; 14. ;
15. ; 16. .
三、解答题：
18（本题满分12分）
19（本题满分12分）
20（本题满分12分）
21（本题满分12分）
22(本题满分14分)
福建省厦门第一中学2011—2012学年度
第一学期期中考试高三年文科数学答案
一、选择题：每小题5分共60分，每小题仅有一个正确选项.
1—5：A C B A A 6—10：B C B D C 11—12：D C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分共16分）
13． ； 14．； 15．； 16．.
三、解答题：(共74分)
17．（本小题满分12分）
解：（I） ………2分
当 ………………4分
符合 ………………6分
（II）设等比数列的公比为q，
则 ………………8分
解得 ……………………10分
所以
即 ………………12分
18．(本小题满分共12分)
解: (Ⅰ)由题意得,所以，
………………………4分
根据题意知,函数的最小正周期为,
又,所以 ………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
所以
解得………………………8分
因为是第一象限角,故………………………9分
所以,………12分
19、解：（I）因为x=5时，y=11，所以 ………………4分
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量
所以商场每日销售该商品所获得的利润
………………8分
从而，
于是，当x变化时，的变化情况如下表：
（3，4） 4 （4，6）
+ 0 -
单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；
所以，当x=4时，函数取得最大值，且最大值等于42。
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。………12分
20．（本小题满分12分）
解：（I）证明：设AC的中点为D，连结DN，A1D。
∵D，N分别是AC，BC的中点，
∴ ………………2分
∴A1D//MN ………………4分
………………6分
（II）
又M到底面ABC的距离=AA1=2
………………8分
∵N为BC中点
………………9分
………………11分
此时 ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）设，（），因为，
所以， …………2分
代入，整理得，
即，解得. ……………………5分
(2)由（1）知,可得椭圆方程为,
直线的方程为, ……………………7分
A,B两点坐标满足方程组,消y整理得,
解得或,所以A,B两点坐标为,,
所以由两点间距离公式得|AB|=, ……………………9分
于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离,
因为,所以,解得,
所以椭圆方程为. ……………………12分
22．（本小题满分14分）
解：（1）时，，
由已知得 ……………………3分
（2）因为
①当时，，解得到；解得到
．所以在上单调递减，在上单调递增，从而在处取得极大值也是最大值． 所以在上的最大值为．……………………6分
②当时，，因为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为． ……………………8分
因为，所以，若时，在上的最大值为. ……………………9分
（3）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且．………………10分
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即：（1） ………………11分
是否存在点等价于方程（1）是否有解．
若，则，代入方程（1）得：，此方程无实数解．…12分
若，则，代入方程（1）得到：，
设，则在上恒成立．所以在上单调递增，从而，
所以当时，方程有解，即方程（1）有解．
所以，对任意给定的正实数，曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． ……………………………………14分
班级 座号 姓名 准考证号
17（本题满分12分）
座位号