第三章 概率
1 随机事件的概率
1．1 频率与概率
1．2 生活中的概率
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
解析：投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点，故选B.
答案：B
2．有下列说法：
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和等于试验的样本总数；
③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率．
其中正确的是( )
A．①③ B．①②④
C．①②
D．③④
解析：由频率、频数、概率的定义，易知①②正确，故选C.
答案：C
3．在某场足球比赛前，教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有80%的机会获胜．”那么下面四句话中与“有80%的机会获胜”意思最接近的是( )
A．他这个队肯定会赢得这场比赛
B．他这个队肯定会输掉这场比赛
C．假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队会赢8场左右
D．假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队恰好会赢8场
答案：C
4．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A．0.45 0.45
B．0.5 0.5
C．0.5 0.45
D．0.45 0.5
解析：出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5，故选D.
答案：D
5．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么可能共进行了________次试验．
解析：＝0.02，∴n＝＝500.
答案：500
6．在一篇英文短文中，共使用了6
000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使用了900次，则字母“e”在这篇短文中的使用频率为________．
解析：频率为＝0.15.
答案：0.15
7．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”下面两个解释中能代表教练的观点的为________．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
解析：射中的概率是90%说明中靶的可能性，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确．
答案：②
8．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
解析：设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.
答案：120
9．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．
解析：甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是.由此看到，这一白球从甲箱中抽出概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球可能是从甲箱中抽出的．
10．某书业公司对本公司某教辅材料的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n
1
001
1
000
1
004
1
003
1
000
满意人数m
999
998
1
002
1
002
1
000
满意频率
(1)计算表中的各个频率；
(2)读者对该教辅材料满意的概率P(A)约是多少？
解析：(1)表中各个频率依次是0.998，0.998，0.998，0.999，1；
(2)由第(1)问的结果，可知在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅材料满意”的概率约是0.998.
[B组 能力提升]
1．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3
000辆帕萨特出租车，乙公司有3
000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲与乙公司
D．以上都对
解析：由于甲公司桑塔纳的比例为＝，
乙公司桑塔纳的比例为＝，所以应选B.
答案：B
2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕n粒，若这批米合格，则n不超过( )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：由题意得，≤3%，解得n≤7.05，所以若这批米合格，则n不超过7.
答案：B
3．将一骰子抛掷1
200次，估计点数是6的次数大约是______次；估计点数大于3的次数大约是__________次．
解析：一粒骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是，而掷出点数大于3包括点数4，5，6三种．故掷出点数大于3的可能性为＝，故N1＝×1
200＝200，N2＝×1
200＝600.
答案：200 600
4．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下表所示.
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查________件产品．
解析：由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0.94，0.92，0.96，0.95，0.956，可见频率在0.95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品，则≈0.95，所以n≈1
000.
答案：1
000
5．天气的概率预报是件新事物，以降水预报为例，一般的预报不是报有雨就是报无雨；而在降水概率预报中，则主要用降水发生的可能程度来表示．例如，今天电视台的天气预报说今晚阴有小雨，明天白天降水概率为60%，请回答下列问题：
(1)明天运输部门抢运粮食，能否在白天进行？为什么？
(2)如果抢运的是化肥、白糖，能否在白天进行？为什么？
解析：(1)在降水概率是60%时，仍可进行抢运粮食，毕竟还有40%的无雨概率，不过要采取防雨措施．
(2)因为化肥、白糖属于易溶物质，所以最好暂时不运，否则，必须采取严密的防雨措施．
6.有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图)，其中2，4，6，8，10，12这6个区域中放的是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域中放的是随身听，游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域上奖品就是你的，依此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？
解析：根据题意知转盘停止后，根据指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.
PAGE第三章 概率
2 古典概型
2．1 古典概型的特征和概率计算公式
2．2 建立概率模型
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设两款优惠套餐分别为A，B，列举基本事件如下：
可得甲、乙、丙三名学生选同一款套餐的概率为＝.
答案：C
2．有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A．一定不会淋雨
B．淋雨的可能性为
C．淋雨的可能性为
D．淋雨的可能性为
答案：D
4．某天放学以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：2位男同学和2位女同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，所以第2位走出的是男同学的概率是P＝＝，故选A.
答案：A
5．甲、乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
解析：设房间的编号分别为A、B、C，事件“甲、乙两人各住一间房”包含的基本事件有：甲A乙B，甲B乙A，甲B乙C，甲C乙B，甲A乙C，甲C乙A共6个，基本事件总数为3×3＝9，所以所求的概率为＝.
答案：
6．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
解析：设从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，组成实数对(a，b)，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)共15种，其中b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)3种，
所以b>a的概率为＝.
答案：
7．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
解析：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数为6个，由1，3，4组成的三位自然数为6个，由2，3，4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.
答案：
8．高三(1)班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是________．(结果用最简分数表示)
解析：设4名男生用1，2，3，4表示，3名女生用a，b，c表示，从中任选3人有35种选法，其中只有男生有4种选法，所以至少有一名女生的概率为.
答案：
9．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解析：法一：(列举法)
从三件产品中不放回地取出两件，基本事件的个数不是很大，我们可以一一列举出来．
每次取一个，取后不放回地连续取两次，基本事件如下：(a1，a2)、(a1，b1)、(a2，a1)，(a2，b1)、(b1，a1)、(b1，a2)．
共有6个，由于是随机的抽取，我们认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件产品中，恰有一件次品”这一事件，A共包含以下4个基本事件：(a1，b1)、(a2，b1)、(b1，a1)、(b1，a2)，所以P(A)＝＝.
法二：(列表法)
第二次所选产品选取结果第一次所选产品
a1
a2
b1
a1
(a1，a1)
(a1，a2)
(a1，b1)
a2
(a2，a1)
(a2，a2)
(a2，b1)
b1
(b1，a1)
(b1，a2)
(b1，b1)
因为每次取出后不放回，所以两次所取产品不可能为同一产品，因此应去掉表中左上到右下对角线上的三种结果，故共有9－3＝6(种)不同情况，即n＝6.设事件A为“取出的两件产品中，恰好有一件次品”，即含有b1的情况，由表易知共有4种，即m＝4，所以P(A)＝＝.
法三：(坐标法)
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，可能出现的情况如图所示．
因每次取出后不放回，所以应去掉角平分线上的情况，因此共有9－3＝6(种)情况，其中，含有b1产品的基本事件共有4种，所以P＝＝.
法四：(树状图法)
从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次的所有可能结果可用树状图列举如下：
易得P＝＝.
10．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，连续取两次．
(1)若每次取出后不放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取出后放回，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
解析：(1)不放回地连续取两次，其基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共6个．
记“取出的两件产品中恰有一件次品”为事件A，
则事件A由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)这4个基本事件组成，因而P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取两次，其基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，共9个．
记“取出的两件产品中恰有一件次品”为事件B，
则事件B由(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)这4个基本事件组成，因而P(B)＝.
[B组 能力提升]
1．甲、乙两人一起去游览公园，他们约定各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们在同一个景点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：甲、乙最后一小时所在的景点共有36种情况，甲、乙最后一小时在同一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式，知后一小时他们在同一个景点的概率是＝.
答案：D
2．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损(图中阴影表示)，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由88＋89＋90＋91＋92＝83＋83＋87＋99＋x，得x＝98，要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，则污损部分的数字应比8小，即可取0，1，2，3，4，5，6，7，因此所求概率为＝.
答案：C
3．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
解析：从盒中随机取出2个球的所有可能结果为(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(黄1，黄2)，共10种等可能发生的结果，所取出的2个球颜色不同包括：(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，共6种可能结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为＝.
答案：
4．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2
578)，在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是________．
解析：十位是1的“渐升数”有8个，十位是2的“渐升数”有7个，…，十位是8的“渐升数”有1个；所以二位的“渐升数”有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4、5、6、7、8为十位的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的“渐升数”共有2＋15＝17个，故在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是.
答案：
5．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3.这三张卡片除标记的数字外，其他完全相同．现随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
解析：(1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，所以P(B)＝1－P()＝1－＝，
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
6．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄球、3个白球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板，上面写道：
摸球方法：一次从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)一次摸出的3个球均为白球的概率是多少？
(2)一次摸出的3个球为2个黄球和1个白球的概率是多少？
(3)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)的收入．
解析：(1)把3个黄球分别记为A，B，C，3个白球分别记为1，2，3.
从6个球中随机摸出3个球的所有基本事件为ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12，A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23，C12，C13，C23，123，共20个．
记“一次摸出的3个球均为白球”为事件E，则事件E包含的基本事件只有1个，故P(E)＝＝0.05.
(2)记“一次摸出的3个球为2个黄球和1个白球”为事件F，则事件F包含的基本事件有9个，故P(F)＝＝0.45.
(3)记“一次摸出的3个球为同一颜色”为事件G，则P(G)＝＝0.1.
假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生10次，不发生90次．
故该摊主一天的收入为90×1－10×5＝40(元)，一个月的收入为40×30＝1
200(元)．
PAGE第三章 概率
2 古典概型
2.3 互斥事件
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( )
A．对立事件
B．必然事件
C．互斥事件，但不是对立事件
D．以上答案均不对
答案：C
2．从1，2，3，…，9中任取两数，给出下列各组事件：
①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”；
②“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”；
③“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”；
④“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”．
其中是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
解析：本题考查对立事件的概念．
从1，2，3，…，9中任取两数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；
(2)两个偶数；
(3)一个奇数和一个偶数．
所以仅有③中的两个事件不能同时发生且必有一个发生．
答案：C
3．据某医疗机构调查，某地区居民血型分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现有一血型为A的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )
A．65%
B．45%
C．20%
D．15%
答案：A
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
答案：C
5．设事件A的对立事件为事件B，已知事件B的概率是事件A的概率的2倍，则事件A的概率是________．
解析：由P(A)＋P(B)＝1，且P(B)＝2P(A)，知P(A)＝.
答案：
6．在一个口袋中装有3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出2个球，至少摸到1个黑球的概率是________．
解析：3个白球编号为1，2，3，2个黑球编号为4，5.
则基本事件是：
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共有10个基本事件．
设至少摸到1个黑球为事件A，
其对立事件为B，则B包含的基本事件是(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个．
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：
7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额/元
0
1
000
2
000
3
000
4
000
车辆数
500
130
100
160
110
若每辆车的投保金额均为2
700元，则赔付金额大于投保金额的概率约为________(用频率估计概率)．
解析：设A表示事件“赔付金额为3
000元”，B表示事件“赔付金额为4
000元”，以频率估计概率，得P(A)＝＝0.16，P(B)＝＝0.11，由于投保金额为2
700元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3
000元和4
000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.16＋0.11＝0.27.
答案：0.27
8．袋中12个小球，分别有红球，黑球，黄球各若干个(这些小球除颜色外其他都相同)，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球的概率比得到黄球的概率多，则得到黑球、黄球的概率分别是__________．
解析：因为得红球的概率为，所以得到黑球或黄球的概率为.
记“得到黄球”为事件A，“得到黑球”为事件B，则
所以P(A)＝，P(B)＝.
答案：、
9．某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件．如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
解析：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
10．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机的概率；
(2)求他不乘轮船的概率．
解析：(1)记“乘火车”为事件A1，“乘轮船”为事件A2，“乘汽车”为事件A3，“乘飞机”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．
故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
所以他乘火车或乘飞机的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船的概率为0.8.
[B组 能力提升]
1．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可知，
即，即，解得
答案：D
2．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论：
①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C.
其中正确结论的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②③
解析：事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以①正确；
事件A∩B＝?，③不正确；
事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；
事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以④不正确．
答案：A
3．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球各若干个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别为______，______，________．
解析：从袋中任取一球，记事件摸到红球，摸到黑球，摸到黄球，摸到绿球分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D两两互斥．
则有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
把P(B)，P(C)，P(D)看成未知数，解方程组
得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.
答案：
4．甲射击一次，中靶的概率是p1，乙射击一次，中靶的概率是p2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程
x2－x＋＝0，则甲射击一次，不中靶的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________．
解析：由p1满足方程x2－x＋＝0知，p－p1＋＝0，解得p1＝.因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以
·＝6，解得p2＝.因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝，乙射击一次，不中靶的概率为1－＝.
答案：
5．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解析：记A表示事件：该车主购买甲种保险；
B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A＋B，
所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
6．某医院派出医生下乡免费坐诊，派出医生人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若派出医生不超过4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，
得0.1＋0.16＋x＝0.56，
所以x＝0.3.
(2)由派出医生不超过4人的概率为0.96，
得0.96＋z＝1，所以z＝0.04.
由派出医生至少3人的概率为0.44，
得y＋0.2＋z＝0.44，
所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.
PAGE第三章 概率
3 模拟方法——概率的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知地铁列车每10
min一班，在车站停1
min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
答案：A
3．在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意，知点(a，b)在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满足4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x)有零点的概率为＝.
答案：B
4．在长为12
cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20
cm2的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设AC＝x
cm，则BC＝(12－x)cm，若矩形的面积大于20
cm2，则x(12－x)>20，解得2答案：C
5．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这个人看不到广告的概率约为，则看到广告的概率约为，故60×＝6.
答案：6
6．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．
解析：平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为.
答案：
7．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为________．
解析：以O为起点的射线OA等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA落在阴影内的概率是＝.
答案：
8．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是________．
解析：设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，等腰三角形的面积为×2R×R＝R2，
∴所求概率为P＝＝.
答案：
9．正方形ABCD的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：
(1)△AMB的面积大于或等于的概率；
(2)求AM的长度不小于1的概率．
解析：(1)如图1，取BC，AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，△AMB面积大于，由几何概率定义，P＝＝.
图1 图2
(2)如图2，以AB为半径作弧，M在阴影部分时，AM长度大于等于1，由几何概型的概率公式得P＝＝1－×π×12＝1－.
10．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)
解析：由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．
因为赢的概率为，
所以红色所占角度为周角的，
即α1＝＝72°.
同理，蓝色占周角的，
即α2＝＝120°，
所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.
将α3分成四等份，
得α3÷4＝168°÷4＝42°.
即每个绿色扇形的圆心角为42°.
[B组 能力提升]
1．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，由题意，知当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB于点F，则BF＝x，在Rt△BFE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，所以＝.
答案：D
2．若k∈R且k∈[－1，2]，则k的值使得过点A(1，1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于( )
A.
B.
C.
D．不确定
解析：这是长度型几何概型问题，套用几何概型的计算公式计算，依题意，点A应该在圆的外部，
所以应有
即
又因为k∈[－1，2]，所以－1因为k的取值区间的长度为3，而使得过A可以作两条直线与圆相切的k的取值区间的长度为1，由几何概型的计算公式得所求概率P＝.
答案：B
3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝，则构成事件“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝.
答案：
4．已知|p|≤3，|q|≤3，点(p，q)均匀分布．
(1)点M(x，y)的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M(x，y)落在上述区域的概率；
(2)求方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率．
解析：(1)点M(x，y)的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个．
所以点M(x，y)落在已知区域的概率P1＝＝.
(2)因为方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根，
所以Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，解得p2＋q2≥1，
又|p|≤3，|q|≤3，故由图易知满足条件的点(p，q)所在区域的面积为36－π，
所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率P2＝.
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