第一章 统计
1 从普查到抽样
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，则200个零件的长度是( )
A．总体
B．个体
C．总体的一个样本
D．样本容量
解析：由样本的概念，知这200个零件的长度是总体的一个样本．
答案：C
2．下列几项调查，适合普查的是( )
A．调查全省食品市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准
B．调查某城市某天的空气质量
C．调查你所在班级全体学生的身高
D．调查全省初中生每人每周的零花钱数
答案：C
3．下列调查中，采用了抽样调查方式的是( )
A．为了了解某次考试试卷的质量，对全班所有学生的试卷进行分析
B．调查某一品牌5万袋袋装鲜奶是否符合卫生标准
C．调查我国所有城市中哪些是第一批沿海开放城市
D．了解全班学生100米短跑的成绩
答案：B
4．下列调查中，采用了普查方式的是( )
A．调查某品牌电视机的市场占有率
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．调查七年级一班的男女同学的比例
D．调查某型号炮弹的射程
答案：C
5．某工厂要检验一批产品的质量，决定从这批产品中任意抽取10个进行检验，以判断产品的质量如何，在这个题目中，总体是________，样本是________．
解析：总体是指所要研究的对象的全体，简称总体或母体．称组成总体的每个成员(单个元素)为个体．称从总体中随机抽出来的若干个个体的集合为样本．
答案：一批产品的质量 10个产品的质量
6．(1)对某班学生视力作一个调查；
(2)某汽车生产厂要对所生产的某种品牌的轿车的抗碰撞情况进行检验；
(3)联合国教科文组织要对全世界适龄儿童的入学情况做一个调查．
对于上述3个问题应选用的调查方法分别为____、________、________．
解析：依据普查及抽样调查的适用范围进行判断即可．
答案：普查 抽样调查 抽样调查
7．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为20的样本，若每个样本被抽取的可能性为0.1，则N＝________．
解析：由题意知＝0.1，所以N＝＝200.
答案：200
8．某市有高一学生6
500名，为了了解这些学生入学考试的数学成绩，从6
500份数学答卷中随机地抽取了300份进行统计分析．在这个问题中，总体是________，样本是________．
解析：调查的对象是“学生入学考试的数学成绩”，所以总体是6
500名学生的数学成绩，样本是300名学生的数学成绩．
答案：6
500名学生的数学成绩 300名学生的数学成绩
9．为了考察某地10
000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？
解析：统计的总体是指该地10
000名高一学生的体重；个体是指这10
000名学生中每一名学生的体重；样本指这10
000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10
000；样本容量为200.若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．
10．某灯管厂要对一个批次灯管的寿命(使用时间)进行检验，你认为应当怎样进行检验？说明你的理由．
解析：从这批灯管中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对这批灯管的寿命指标作出推断．原因是检查灯管的寿命对灯管具有破坏性，所以从这批灯管中按照一定的方法抽取一部分进行检查，并以此对这批灯管的寿命作出推断．
[B组 能力提升]
1．医生要检验人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是( )
A．普查
B．抽样调查
C．既不能普查也不能抽样调查
D．普查与抽样调查都可以
解析：根据普查与抽样调查的特点知应该是抽样调查．
答案：B
2．在一次竞选中，规定一个人获胜的条件是：(1)在竞选中得票最多；(2)得票数不低于总票数的一半．如果在计票时，周鹏得票数据丢失，试根据统计数据回答问题：
侯选人
赵明
钱红
孙华
李丽
周鹏
得票数
300
100
30
60
x
请问如果周鹏获胜，那么周鹏的得票数x至少是( )
A．300
B．390
C．490
D．580
解析：根据条件，如果周鹏获胜，周鹏的得票数x不低于总票数的一半，即≥?x≥490，且x∈N，即周鹏得票数至少为490票．
答案：C
3．根据下列问题填空(“普查”“抽样调查”中选一)
(1)了解我们班级的每个学生穿几号鞋，应该用________；
(2)了解一批灯泡的寿命，应该用__________；
(3)江西省农科所要考察一块试验田水稻的穗粒饱满情况，应该用________．
解析：(1)要了解班中每个学生穿几号鞋，应该用普查．
(2)检验灯泡的寿命具有破坏性，应该用抽样调查．
(3)一块试验田中水稻株数太多，应该用抽样调查．
答案：(1)普查 (2)抽样调查 (3)抽样调查
4．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：
①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；
③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．
解析：①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．
答案：③
5．儿童的喂养及辅食添加是影响儿童生长发育、身体健康的重要因素，喂养不当及辅食添加不正确，容易导致儿童贫血及其他疾病，影响儿童生长发育．为了了解农村儿童的喂养、辅食添加情况、发现存在的问题、确定儿童的喂养及辅食添加的促进措施，欲在该地农村进行一次农村3岁以下儿童的喂养、辅食添加情况和贫血相关因素的调查研究．请给出一个合理的调查方案．(该地区共10个县)
解析：可采用如下抽样：先从该地区10个县中随机抽取4个县，再在随机抽取的各县中随机抽取5个乡(镇)，在随机抽取的乡(镇)中再随机抽取5个行政村，在被抽中的行政村中各抽取24户有3岁以下儿童的住户，在样本户的3岁以下儿童中随机抽取1名儿童．当抽样村符合要求的家庭不足24户时，将其全部调查，不够的户在邻村补齐(邻村是指距离最近的非抽样村)．(根据实际情况，也可有其他合理的抽样)．
6．为了缓解城市的交通拥堵情况，某城市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查，某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？
解析：由于要出台限制私家车的政策，抽样调查的市民又是拥有私家车的市民，因此调查结果倾向于反对出台限制私家车的政策．
如果要调查出社会公民对政策的真实意见，需要对市民的各个群体进行抽样调查，还包括对一些社会团体(比如公交公司、消防、医院等)的运营状况进行调查，这样才能比较真实地反映出社会的实际情况，获得市民的心声.
PAGE第一章 统计
2 抽样方法
2．1 简单随机抽样
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从实数集中逐个抽取10个做奇偶性分析
D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道
答案：D
2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第1次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样
答案：B
3．用随机数法从100名学生(其中男生40名)中抽取20名参加一项文体活动，某男学生被抽到的可能性是( )
A.
B.
C.
D.
解析：从容量为100的总体中抽取一个容量为20的样本，每个个体被抽到的可能性都是＝.
答案：C
4．已知总体容量为107，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是( )
A．1，2，…107
B．0，1，2，…，106
C．00，01，…，106
D．000，001，…，106
答案：D
5．要检查一个工厂产品的合格率，从1
000件产品中抽出50件进行检查，检查者在其中随意抽取了50件，这种抽样法可称为________．
解析：由简单随机抽样的特点可知，该抽样方法是简单随机抽样．
答案：简单随机抽样
6．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样的方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，用抽签法抽样的编号一般为________，用随机数表产生随机数的方法抽样的编号一般为________．
解析：用随机数表产生随机数的方法抽样的编号为00，01，…，99(或001，002，…，100)，以便于运用随机数表．
答案：0，1，…，99(或1，2，…，100) 00，01，…，99(或001，002，…，100)
7．为了解某地高三学生升学考试数学成绩的情况，从中抽取50本密封试卷，每本30份试卷，这个问题中的样本容量是________．
解析：样本容量是样本中个体的个数：50×30＝1
500.
答案：1
500
8．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若(1)班有50名学生，将每一名学生编号，从01到50止．请从下面提供的随机数表的第2行第6列开始，依次向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．
03 47 43 73 86 39 96 47 36 61 46 98
63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10
95 91 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42
53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79
解析：依据随机数表可得所抽取的样本的号码分别为23，32，04，01，11.
答案：23，32，04，01，11
9．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张，不含大小王)随机确定一张为起始牌，开始按次序起牌，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张牌，问这种抽样方法是否是简单随机抽样？
解析：简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始牌，其他各张牌虽然是逐张起牌，但各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样．
10．要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．
解析：应使用抽签法，步骤如下：
第一步，将30辆汽车编号，号码是1，2，3，…，30.
第二步，将1～30这30个编号写到大小、形状都相同的号签上．
第三步，将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀．
第四步，从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号．
第五步，所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
[B组 能力提升]
1．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为( )
A．150
B．200
C．100
D．120
解析：∵＝25%，∴N＝120.
答案：D
2．从52名学生中选取5名学生参加全国“希望杯”数学竞赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性( )
A．都相等，且为
B．都相等，且为
C．都相等，且为
D．都不相等
解析：对于简单随机抽样，在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等(随机抽样的等可能性)．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用简单随机抽样时，每一个个体被抽到的可能性都是，体现了这种抽样方法的客观性和公平性，因此每人入选的可能性都相等，且为.
答案：C
3．高一(1)班有60名学生．学号从01到60，数学老师在上统计课时，利用随机数法选5名学生提问，老师首先选定从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第6列的“1”开始，向右读依次选学号提问，则被提问的5个学生的学号为________．
8
5
7
0 2
1
5
0 8
1
4
0 4
3
5
5 5
3
2
1 2
5
4
8
0
2
0
8 7
5
4
3 91
6
9 0
4
0
8 4
3
5
3 6
1
2
2
8
9
1
3 9
9
3
0 4
1
6
9 6
0
3
2 2
1
2
7 0
1
6
2
6
1
7
6 4
9
6
9 8
1
8
5 9
3
1
2 8
7
4
8 8
5
7
5
8
0
9
0 9
8
7
2 1
9
6
8 0
2
6
3 0
0
8
1 2
6
6
2
6
8
3
1 3
1
0
6 2
9
5
9 9
0
1
1 1
4
4
8 4
3
4
6
7
0
1
9 8
1
4
8 1
5
5
7 8
4
0
0
解析：依据选号规则，选取的5名学生的学号依次为：15，08，14，04，35.
答案：15，08，14，04，35
4．为了了解参加运动会的2
000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．
①2
000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量是20；
⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样；
⑥采用随机数法抽样时，每个运动员被抽到的机会相等．
解析：①2
000名运动员不是总体，2
000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本．
答案：④⑤⑥
5．上海某中学从40名学生中选1名作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种方法：
方法一 将这40名学生从1～40进行编号，相应的制作写有1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签对应的学生幸运入选．
方法二 将39个白球与一个红球混合放在一个暗箱中搅拌均匀，让40名学生逐一从中摸取一个球，摸到红球的学生成为啦啦队的成员．
试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？这两种方法有何异同？
解析：抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，方法二不是抽签法．因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分．这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等．
6．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解析：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．
第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.
PAGE第一章 统计
2 抽样方法
2.2 分层抽样与系统抽样
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．某商场想通过检查发票存根及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额，采取如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽取一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )
A．抽签法 B．随机数法
C．系统抽样法
D．其他方式的抽样
解析：由题知总体的个体比较多，∵样本间隔相同，
∴这种抽取样本的方法是系统抽样法，故选C.
答案：C
2．高三某班有学生56人，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为( )
A．13
B．17
C．19
D．21
解析：∵该班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴分段间隔为56÷4＝14，则5＋14＝19，即样本中还有一个学生的编号为19.
答案：C
3．为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )
A．3，2
B．2，3
C．2，30
D．30，2
答案：A
4．某学校在校学生2
000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如表所示：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取( )
A．15人
B．30人
C．40人
D．45人
解析：因为学校在校学生2
000人，并且全校参加登山的人数占总人数的，所以全校参加登山的人数为500，参加跑步的人数为1
500，即a＋b＋c＝1
500.又a∶b∶c＝2∶5∶3，所以c＝450.又从中抽取一个200人的样本进行调查，所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为450×＝45.
答案：D
5．若采用系统抽样的方法从编号1～2
018中抽取30个号码入样，则分段间隔为________．
解析：因为2
018＝67×30＋8，所以从2
018个个体中随机剔除8个个体后，分段间隔k＝＝67.
答案：67
6．某学校共有师生2
400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数为________．
解析：抽取的教师为160－150＝10(人)．所以学校教师人数为2
400×＝150(人)．
答案：150
7．一工厂生产了16
800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a，b，c，且2b＝a＋c，则乙生产线生产了________件产品．
解析：设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲、T乙、T丙件产品，则a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙，即＝＝.
又2b＝a＋c，
所以
所以T乙＝＝5
600.
答案：5
600
8．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
解析：组距为5，故第八组中抽得号码为(8－3)×5＋12＝37.
答案：37
9．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出抽样过程．
解析：因为本题样本总体分成三类：行政人员、教师、后勤人员，符合分层抽样的特点，故选用分层抽样方法．因为＝，所以从行政人员中抽取16×＝2(人)，从教师中抽取112×＝14(人)，从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
因为行政人员和后勤人员较少，可将他们分别按1～16和1～32编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对教师从000，001，…，111编号，然后用随机数法抽取14人．这样就得到了符合要求的容量为20的样本．
10．某体育代表队有200名运动员，其中2名是种子选手．现从中抽取13名参加运动会，要求种子选手必须参加，请采用系统抽样的方法给出抽样过程．
解析：第一步：将除种子选手外的198名运动员随机编号为001，002，…，198；
第二步：将编号按顺序分成11段，每段18个；
第三步：在第1段001，002，…，018这18个编号中用简单随机抽样抽出一个编号(如010)作为起始号码；
第四步：将编号为010，028，046，…，190的个体抽出，与种子选手一起参加该运动会．
[B组 能力提升]
1．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现按型号用分层抽样的方法随机抽取容量为n的样本，若抽到24件乙型产品，则n等于( )
A．80
B．70
C．60
D．50
解析：因为＝，所以n＝80.故选A.
答案：A
2．将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽取的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为( )
A．14
B．15
C．16
D．17
解析：系统抽样的分段间隔为＝10，在随机抽样中，首次抽到003，故可知在001至200中有20人，在201至355中有16人．故选C.
答案：C
3．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出了5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多________人．
解析：设执“不喜欢”态度的同学为x人，则执“一般”态度的为(12＋x)人，由于每位同学被抽到的可能性相同，故＝，解得x＝6.故每位同学被抽到的可能性为，“喜欢”摄影的同学共5÷＝30(人)，全班总人数为30＋6＋(12＋6)＝54(人)，故全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多30－＝3(人)．
答案：3
4．已知某商场新进3
000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：分段间隔是＝20，由于第一组抽出号码为11，则第61组抽出号码为11＋(61－1)×20＝1
211.
答案：1
211
5．将一个总体中的1
000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9.现要用系统抽样法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．
(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；
(2)若所抽取样本的10个号码中有1个的后两位数是87，求x的取值范围．
解析：(1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.
(2)当k＝0，1，2，…，9时，33k的值依次为0，33，66，99，132，165，198，231，264，297.
又抽取样本的10个号码中有1个的后两位数是87，从而x可以为87，54，21，88，55，22，89，56，23，90.
所以x的取值范围是{21，22，23，54，55，56，87，88，89，90}．
6．年龄在60岁以上(含60岁)的人称为老龄人，某小区的老龄人有350位，他们的健康状况如下表：
健康指数
2
1
0
－1
60岁至79岁的人数
120
133
34
13
80岁及以上的人数
9
18
14
9
其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康，”，0代表“不健康，但生活能够自理”，－1代表“生活不能自理”．
(1)该小区80岁以下的老龄人生活能够自理的频率是多少？
(2)按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，被抽取的5位老龄人中，健康指数大于0的老龄人有多少？健康指数不大于0的老龄人有多少？
解析：(1)该小区80岁以下的老龄人生活能够自理的频率为＝.
(2)该小区健康指数大于0的老龄人共有120＋133＋9＋18＝280(位)，
健康指数不大于0的老龄人共有350－280＝70(位)，
所以被抽取的5位老龄人中健康指数大于0的老龄人有×280＝4(位)，
健康指数不大于0的老龄人有×70＝1(位).
PAGE第一章 统计
3 统计图表
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．如果想用统计图来反映各数据的变化趋势，比较合适的统计图是( )
A．条形图
B．折线图
C．扇形图
D．其他图形
解析：能反映各数据的变化趋势的统计图是折线图．
答案：B
2．某市居民的支出构成情况如下表所示．
食品
衣着
家庭用品设备及服务
医疗保健
交通和通讯
教育文化娱乐服务
居住
杂项商品和服务
40.4%
4.2%
8.9%
5.0%
8.9%
17.7%
11.5%
3.4%
用下列哪种统计图表示上面的数据较合适( )
A．都一样
B．茎叶统计图
C．扇形统计图
D．折线统计图
答案：C
3.用茎叶图对甲、乙两组数据进行统计后，甲组数据中丢失了一个数据．
甲：25
41
40
37
22
14
19
21
42
乙：16
44
27
44
16
40
39
18
27
40
由茎叶图(如图)可知甲组数据中丢失的数据是( )
A．39
B．27
C．41
D．19
答案：A
4.如图为2015年各级学校每10万人口中平均在校生的人数扇形统计图，则下列结论正确的是( )
A．2015年有6%的高中生升入高等学校
B．2015年全国高等学校在校生6
000人
C．2015年各级学校10万人口中平均在校生数高等学校学生占6%
D．2015年高等学校的学生比高中阶段的学生多
答案：C
5．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，温州市卫生部门对本地区9月份至11月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查，根据下列图表(如图)提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为________万只．
月份
养鸡场个数
9
20
10
50
11
100
解析：＝90万只/月．
答案：90
6．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习投篮，每人练习10组，每组发球40个．命中个数的茎叶图如图所示，则投篮命中率较高的是________．
解析：由茎叶图可知，甲得分集中在二十几分，乙得分集中在十几分，故甲投篮命中率较高．
答案：甲
7．某班学生在课外活动中参加文娱、美术、体育小组的人数之比为3∶2∶5，则在扇形统计图中表示参加文娱小组人数的扇形圆心角是________．
解析：参加文娱小组人数占总人数的＝30%，则扇形圆心角是360°×30%＝108°.
答案：108°
8．下面一组数据是某生产车间30名工人某日加工零件的个数．请设计适当的茎叶图表示这组数据，并根据此茎叶图说明这个车间此日的生产情况．
134 112 117 126 128 124 122 116 113 107
116 132 127 128 126 121 120 118 108 110
133 130 124 116 117 123 122 120 112 112
解析：以百位和十位两位数字为茎，作出茎叶图，如图所示：
百位
十位
个
位
1
0
7
8
1
1
0
2
2
2
3
6
6
6
7
7
8
1
2
0
0
1
2
2
3
4
4
6
6
7
8
8
1
3
0
2
3
4
由茎叶图可以看出，该生产车间的工人在这一天加工零件数大多都在110到130之间，其分布较集中，且基本上呈对称的形式，说明日生产情况稳定．
9．贵阳市是我国西部的一个多民族城市，总人口数为370万(2000年普查统计)．如图1和图2所示的是2000年该市各民族人口的统计图，请你根据统计图提供的信息回答下列问题．
(1)2000年贵阳市少数民族的总人口数是多少？
(2)2000年贵阳市总人口中的苗族所占的百分比是多少？
(3)若2000年贵阳市参加中考的学生有40
000人，则参加中考的少数民族的学生人数约为多少？
解析：(1)15%×370＝55.5(万人)，
即2000年贵阳市少数民族的总人口数是55.5万人．
(2)40%×15%＝6%，
所以2000年贵阳市总人口中的苗族所占的百分比是6%.
(3)40
000×15%＝6
000(人)，
即2000年贵阳市参加中考的少数民族的学生约有6
000人．
[B组 能力提升]
1.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委对参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是( )
A．1
B．2
C．4
D．6
解析：∵平均分为91，∴总分应为91×7＝637.若x≤4，∵637＝89＋89＋92＋93＋92＋91＋90＋x，∴x＝1；若x＞4，∵637≠89＋89＋92＋93＋92＋91＋94＝640，∴不合题意．
答案：A
2．如图，下列四个统计图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )
解析：在这四个统计图中，只有条形图D能明确表示出不同品种的奶牛的平均产奶量，优势较为明显．
答案：D
3．如图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，有少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有________万元．
解析：不少于1万元的占700万元的21%，为700×21%＝147(万元).1万元以上的保险单中，超过或等于2.5万元的保险单占，金额为×147＝91(万元)．故不少于2.5万元的保险单有91万元．
答案：91
4．初中生的视力状况受到全社会的广泛关注．某市有关部门对全市3万名初中生视力状况进行了一次抽样调查，如图是利用所得数据绘制的频数条形统计图(长方形的高表示该组人数)，根据图中所提供的信息回答下列问题：
如果视力在4.9～5.1(含4.9，5.1)均属正常，那么试估计全市初中生视力正常的为________人．
解析：从条形统计图中可知，本次共抽查了20＋40＋90＋60＋30＝240(名)初中生，样本是240名初中生的视力，按视力正常范围，全市约有30
000×＝7
500(名)初中生视力正常．
答案：7
500
5．某家电商场销售A，B，C三种品牌的彩电，五月份共获利48
000元．已知A种品牌彩电每台可获利100元，B种品牌彩电每台可获利144元，C种品牌彩电每台可获利360元．请你根据相关信息，补全彩电销售台数的条形统计图和所获利润的百分数的扇形统计图(如图所示)．
各品牌彩电销售台数的条形统计图
各品牌彩电所获利润的百分数的扇形统计图
解析：从条形统计图可知，销售A种品牌彩电的数量为120台，所以销售A种品牌彩电共获利：120×100＝12
000(元)，所以A种品牌彩电所获利润的百分数为×100%＝25%.
从扇形统计图可知，B种品牌彩电所获利润的百分数为30%，所以销售B种品牌彩电共获利：48
000×30%＝14
400(元)，由于B种品牌彩电每台可获利144元，
所以销售B种品牌彩电的数量为14
400÷144＝100(台)．
根据扇形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1，
所以C种品牌彩电所获利润的百分数为1－30%－25%＝45%，
所以销售C种品牌彩电共获利：48
000×45%＝21
600(元)，
由于C种品牌彩电每台可获利360元，
所以销售C种品牌彩电的数量为21
600÷360＝60(台)．
补全彩电销售台数的条形统计图和所获利润的百分数的扇形统计图如图所示．
各品牌彩电销售台数的条形统计图
各品牌彩电所获利润的百分数的扇形统计图
6．据某报报道，某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图(1)是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题：
(1)
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图(2)是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
解析：(1)由题图(1)知：4＋8＋10＋18＋10＝50(名)．
即该校对50名学生进行了抽样调查．
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.
即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%，
200÷20%＝1
000(人)，
×100%×1
000＝160(人)．
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的约有160人.
PAGE第一章 统计
4 数据的数字特征
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96.关于这组数据，下列说法错误的是( )
A．众数是83
B．中位数是83
C．极差是30
D．平均数是83
解析：由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A说法正确；把数据66，83，87，83，77，96按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B说法正确；极差是96－66＝30，故C说法正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D说法错误，故选D.
答案：D
2．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有( )
①甲队的总进球比乙队多；②乙队发挥比甲队稳定；
③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：D
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.
B.
C．3
D.
解析：∵＝＝
＝3，∴s2＝×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝＝，∴s＝，故选B.
答案：B
4．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
答案：D
5．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________．
解析：∵该组数据的平均数＝＝7，
∴该组数据的方差s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝＝3.2.
答案：3.2
6．如果数据a1，a2，a3，…，an的平均数为，方差为s2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的平均数与方差分别为________；数据2a1＋1，2a2＋1，2a3＋1，…，2an＋1的平均数与方差分别为________．
解析：记数据2a1，2a2，…，2an的平均数为1，方差为s，
则1＝＝2，
s＝＝4s2，
记数据2a1＋1，2a2＋1，…，2an＋1的平均数为2，方差为s，则
2＝＝2＋1，
s＝＝4s2.
答案：2，4s2 2＋1，4s2
7．一组数据：40，10，80，20，70，30，50，90，70，若这组数据的平均数为m，众数为n，中位数为p，则m，n，p之间的大小关系是________．
解析：计算求得m＝，n＝70，p＝50，所以n＞m＞p.
答案：n＞m＞p(或p＜m＜n)
8．已知总体的各个个体的值由小到大依次为3，7，a，b，12，20，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a＝________．
解析：由中位数为12可得＝12，所以a＋b＝24，所以总体的平均数为＝11，要使该总体的标准差最小，需要(a－11)2＋(b－11)2最小，而(a－11)2＋(b－11)2＝(a－11)2＋(24－a－11)2＝2(a－12)2＋2，所以a＝12时总体的标准差最小．
答案：12
9．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量(件)
1
800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．
解析：(1)平均数为(1
800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．
(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额．
10．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
请问甲、乙谁的平均成绩较好？谁的各门功课发展较平衡？
解析：甲＝×(60＋80＋70＋90＋70)＝74；
乙＝×(80＋60＋70＋80＋75)＝73.
＝×(142＋62＋42＋162＋42)＝104；
＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.
∵甲>乙，>，
∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．
[B组 能力提升]
1．一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员成绩如图所示，这些运动员成绩的众数和中位数分别是( )
A．1.60，1.70
B．1.75，1.70
C．1.75，1.75
D．1.65，1.75
解析：由题图可知，成绩中人数最多的是1.75米，共有5人，所以众数为1.75；共有15名运动员的成绩，把成绩从小到大顺次排列，最中间的应是第8名运动员的成绩为1.75，所以中位数是1.75.
答案：C
2．某篮球运动员在最近5场比赛中所得分数分别为12，a，8，15，23，其中a>0，若该运动员在这5场比赛中得分的中位数为12，则得分的平均数不可能为( )
A.
B.
C.
D．14
解析：若中位数为12，则a≤12，∴平均分为≤＝＝14，由选项知平均数不可能为.
答案：C
3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得80分却记成了50分，乙实际得70分却记成了100分，更正后平均数为________，方差为________．
解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得
s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，①
而更正前有
75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，②
两式相减整理得s2＝50.
答案：70 50
4.为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率和是第2小组的频率的3倍，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是________人．
解析：由题图知从左到右的后两个小组的频率和为0.25，则前3小组的频率和为0.75，第2小组的频率为0.25，所以样本容量即抽取的男生人数为＝48(人)．
答案：48
5．如下茎叶图记录了某篮球队内两大中锋甲、乙在六次训练中抢得篮板球数的记录，现有一个数据被污损，在图中以X表示，但知道乙球员抢得篮板球数的平均数为10.
(1)求X的值和乙球员抢得篮板球数的方差；
(2)如果你是该球队的教练，在正式比赛中你会派谁上场？请说明理由(用数据说明)．
解析：(1)由茎叶图，可得＝10，解得X＝9.
乙球员抢得篮板球数的方差为
s＝[(9－10)2＋(8－10)2＋(9－10)2＋(8－10)2＋(14－10)2＋(12－10)2]＝5.
(2)甲＝＝10.
s＝[(6－10)2＋(9－10)2＋(9－10)2＋(14－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝6，
由(1)，可知甲＝乙，s所以乙球员发挥得更稳定，派乙球员上场．
6．某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位：分)统计如下表：
班级
平均数
众数
中位数
标准差
高一(1)班
79
70
87
19.8
高一(2)班
79
70
79
5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．
解析：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25位以后，从位次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试的位次上来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游．
(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助．
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数．
PAGE第一章 统计
5 用样本估计总体
6 统计活动：结婚年龄的变化
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列关于频率分布直方图的说法正确的是( )
A．直方图的高表示取某数的频率
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值
D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
答案：D
2．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为( )
A．16
B．20
C．24
D．36
解析：因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16，所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.
答案：C
3.为了了解某校高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80，100)分之间的学生人数是( )
A．32人
B．27人
C．24人
D．33人
答案：D
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
答案：C
5．如图是样本容量为200的频率分布直方图．
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为________．
解析：样本数据落在[6，10)内的频数为0.08×4×200＝64.
数据落在[2，10)内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
答案：64 0.4
6．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________，________．
解析：由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差不变，仍是4.4.
答案：81.2 4.4
7．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：
时间
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
频率
0.05
0.08
0.09
0.13
0.30
0.15
0.20
已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为________万元．
解析：由＝，得x＝48，即为游客人数最多的那一天的营业额．
答案：48
8．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则三个数从小到大的关系为________．
解析：将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a＝(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，显然a＜b＜c.
答案：a＜b＜c
9.为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)，
(1)求出各组相应的频率；
(2)估计数据落在[1.15，1.30]中的概率约为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
解析：(1)由频率分布直方图和频率＝组距×(频率/组距)可得下表
分组
频率
[1.00，1.05)
0.05
[1.05，1.10)
0.20
[1.10，1.15)
0.28
[1.15，1.20)
0.30
[1.20，1.25)
0.15
[1.25，1.30]
0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30]中的概率约为0.47.
(3)由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：设水库中鱼的总条数为N，则＝，即N＝2
000，故水库中鱼的总条数约为2
000条．
10．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得整齐？
解析：(1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
∴甲<乙，
∴乙种玉米的苗长得高．
(2)
＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1
042＝104.2(cm2)，
＝×[(27－31)2×2＋(16－31)2×3＋(44－31)2×2＋(40－31)2×3]
＝×1
288＝128.8(cm2)．
∴<，∴甲种玉米的苗长得整齐．
[B组 能力提升]
1.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是( )
解析：由茎叶图知，各组频数统计如下表：
分组
[0，5)
[5，10)
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
频数
1
1
4
2
4
3
3
2
上表对应的频率分布直方图中应有8个小长方形，故排除C，D；又区间[0，5)，[5，10)内的频数分别为1，1，则它们对应的频率分别为0.05，0.05，在频率分布直方图中，它们对应的小长方形的高分别为0.01，0.01，故排除B.从而A正确．
答案：A
2．对某种电子元件进行寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，由图可知：一批电子元件中，寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量的比大约是( )
A.
B.
C.
D.
解析：寿命在100～300小时的频率为
×100＝，
寿命在300～600小时的频率为1－＝，
∴所求比值为＝.
答案：C
3．甲、乙两位同学某学科连续五次的考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．
解析：甲的平均分为＝＝70；
乙的平均分为＝＝68，
甲的方差为s＝
＝2，同理得乙的方差为s＝7.2，故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定．
答案：甲 甲
4．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________．(用“＞”连接)
解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社会“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2
200元、2
150元、2
250元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1＞s2＞s3.
答案：s1＞s2＞s3
5．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由竞赛成绩得到如下的频率分布直方图：
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
解析：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在频率分布直方图中高度最高的小矩形的横坐标的中间值即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积平分的直线所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10
＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.
∴前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为
0．03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5，
∴中位数应位于第四个小矩形内．
设频率分布直方图中，中位数与70分的差为x分，
则0.03x＝(0.5－0.3)，得x≈6.7(分)，
故中位数应为70＋6.7＝76.7(分)．
所以这50名学生成绩的众数是75分，中位数约为76.7分．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74(分)．
所以，这50名学生的平均成绩约为74分．
6．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
0～0.5，4；0.5～1，8；1～1.5，15；1.5～2，22；2～2.5，25；2.5～3，14；3～3.5，6；3.5～4，4；4～4.5，2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3
t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
解析：(1)频率分布表
分组
频数
频率
0～0.5
4
0.04
0.5～1
8
0.08
1～1.5
15
0.15
1.5～2
22
0.22
2～2.5
25
0.25
2.5～3
14
0.14
3～3.5
6
0.06
3.5～4
4
0.04
4～4.5
2
0.02
合计
100
1
(2)频率分布直方图如图：
众数：2.25，中位数：2.02平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3
t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民人均月用水量在3
t以上，88%的居民人均月用水量在3
t以下，因此政府的解释是正确的.
PAGE第一章 统计
7 相关性
8 最小二乘估计
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
A．瑞雪兆丰年
B．读书破万卷，下笔如有神
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
答案：D
2．已知变量x与y线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为＝4，＝3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是( )
A．y＝0.2x＋2.2 B．y＝0.3x＋1.8
C．y＝0.4x＋1.4
D．y＝0.5x＋1.2
解析：由最小二乘法原理可知样本点的中心(4，3)在回归直线上．
对于A，当x＝4时，y＝0.8＋2.2＝3；
对于B，当x＝4时，y＝1.2＋1.8＝3；
对于C，当x＝4时，y＝1.6＋1.4＝3；
对于D，当x＝4时，y＝2＋1.2＝3.2≠3.
故选D.
答案：D
3．实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为( )
A．y＝x＋1
B．y＝x＋2
C．y＝2x＋1
D．y＝x－1
答案：A
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝x＋1
C．y＝88＋x
D．y＝176
答案：C
5．下面各组变量之间具有相关关系的是________(填上所有正确答案的序号)．
①高原含氧量与海拔高度；
②速度一定时，汽车行驶的路程和所用的时间；
③学生的成绩和学生的学号；
④父母的身高和子女的身高．
解析：依据相关关系的定义依次判断即可．
答案：①④
6．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程y＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．
解析：设该地区人均消费为，
则＝0.7＋2.1，
当＝10.5时，＝＝12.
×100%＝87.5%.
答案：87.5%
7．若直线y＝a＋bx是四组数据(1，3)，(2，5)，(3，7)，(4，9)的回归直线方程，则a与b的关系为________．
解析：因为＝(1＋2＋3＋4)＝，
＝(3＋5＋7＋9)＝6，
因为＝a＋b，所以6＝a＋b.所以2a＋5b＝12.
答案：2a＋5b＝12
8．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：
广告费x(万元)
2
3
4
5
销售额y(万元)
26
■
49
56
根据表格已得回归方程为y＝9.4x＋9.1，表中有一数据模糊不清，推算该数据的值为________．
解析：设模糊不清的数据的值为a，
依题意知，＝3.5.
∵回归直线恒过样本点的中心(，)，
∴＝3.5×9.4＋9.1＝42.
∴42＝×(26＋a＋49＋56)，
∴a＝37.
答案：37
9．有时候，一些东西吃起来口味越好，对我们的身体越有害，下表给出了不同类型的某种食品的数据．第二行表示此种食品所含热量的百分比，第三行数据表示由一一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价：
品牌
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所含热量的百分比
25
34
20
19
26
20
19
24
19
13
口味记录
89
89
80
78
75
71
65
62
60
52
(1)作出散点图；
(2)你能从散点图中发现两者之间的近似关系吗？
(3)如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系；
(4)对于食品，为什么人们更喜欢吃位于直线上方的食品而不是下方的？
解析：(1)散点图如图所示．
(2)从图看基本近似成线性相关关系．
(3)直线如图所示．
(4)因为当直线上方的食品和下方的食品所含热量相同时，直线上方的食品口味更好．
10．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(单位：μm)与腐蚀时间x(单位：s)之间相应的一组观察值如下表：
腐蚀时间x
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
腐蚀深度y
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
(1)画出散点图；
(2)从散点图中发现腐蚀深度与腐蚀时间之间关系的一般规律；
(3)求线性回归方程；
(4)估计腐蚀时间为100
s时的腐蚀深度．
解析：(1)散点图如图所示．
(2)由图可知，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，腐蚀深度随腐蚀时间的增加而增加，即腐蚀时间越长，腐蚀深度越深．
(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系．利用计算器求得线性回归方程为y＝0.304x＋5.36.
(4)由(3)知，当腐蚀时间为100
s时，y＝0.304×100＋5.36＝35.76(μm)，即此时腐蚀深度约是35.76
μm.
[B组 能力提升]
1．以下说法正确的个数为( )
①若散点图中的绝大多数点都分布在一条直线附近，则两变量线性相关，个别特殊点不影响其线性相关关系；
②若已知回归直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
③回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：将x＝25代入y＝0.50x－0.81，解得y＝11.69，故②正确；①③明显正确．故选D.
答案：D
2．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品的销售额y的有关数据如下表：
平均气温(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额(万元)
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－2.4.则预测平均气温为－8
℃时，该商品的销售额为( )
A．34.6万元
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元
解析：由已知，得＝＝－4，
＝＝25，
所以a＝－b＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即线性回归方程为y＝－2.4x＋15.4，
当x＝－8时，y＝34.6，故选A.
答案：A
3．对某台机器购买后的运营年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知两者具有线性相关关系，回归方程为y＝10.47－1.3x，则估计该台机器使用________年最合算．
解析：令y≥0，
即10.47－1.3x≥0，得x≤≈8，
所以估计该台机器使用8年最合算．
答案：8
4．20世纪初的一项关于16艘轮船的研究显示，轮船的吨位从192～3
246吨，船员的数目从5～32人，对船员人数关于轮船的吨位数的回归分析得：船员人数＝9.5＋0.006
2×轮船吨位(不足1人的舍去)．
(1)假设两轮船吨位相差1
000吨，船员人数平均相差多少？
(2)对于最小的轮船估计的船员人数是多少？对于最大的轮船估计的船员人数是多少？
解析：(1)由y＝9.5＋0.006
2x可知，当x1与x2相差1
000吨且x1>x2时，船员平均人数相差为y1－y2＝(9.5＋0.006
2x1)－(9.5＋0.006
2x2)＝0.006
2×1
000≈6(人)．
(2)当取最小吨位192时，预计船员人数为y＝9.5＋0.006
2×192≈10(人)．
当取最大吨位3
246时，预计船员人数为y＝9.5＋0.006
2×3
246≈29(人)．
5．某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们记录了12月1日至5日的昼夜温差与每天100颗种子的发芽数，数据如下表：
日期
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从五组数据中选取两组，用剩下的三组数据求回归方程，再用被选取的两组数据进行检验．
(1)若先选取的是12月1日和5日的数据，请根据2日至4日的三组数据，求y关于x的回归方程y＝bx＋a；
(2)若由回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的回归方程是可靠的，试判断(1)中所得的线性回归方程是否可靠，说明理由．
解析：(1)由已知数据，求得＝12，＝27，
由公式b＝，
求得b＝2.5，
再由公式a＝－b得a＝－3，
所以y关于x的回归方程为y＝2.5x－3.
(2)当x＝10时，y＝2.5×10－3＝22，
|22－23|＜2，
同样，当x＝8时，y＝2.5×8－3＝17，
|17－16|＜2.
所以(1)中得到的线性回归方程是可靠的．
PAGE
