章末检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．某人在一立交桥上看桥下双向车道的车流量，求某时段右侧车道通过桥下的汽车数量的概率
D．抛掷一枚质地不均匀硬币至首次出现正面为止
4．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
5．某产品的设计长度为20
cm，规定误差不超过0.5
cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( )
A.
B.
C.
D.
6．某单位电话总机室内有2部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9
B．0.7
C．0.6
D．0.5
7．2015年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对．”这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9．从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( )
A.
B.
C.
D.
10．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
91
86
88
92
93
乙
87
85
86
99
9x
则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是( )
A.
B.
C.
D.
11．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A.
B.
C.
D.
12．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三个数，每人则可喊0，5，10，15，20五个数，当两人所出数之和等于某人所喊数时，喊该数者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )
A．甲胜的概率大
B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大
D．不能确定谁获胜的概率大
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．有以下说法：①投一枚质地均匀的硬币，其中正面朝上的概率为；②买某种彩票中奖的概率是0.001，那么买
1
000
张彩票一定能中奖；③某次乒乓球比赛前，通过抽签决定谁先发球，抽签方法是双方同时在1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的．根据我们所学的概率知识，其中说法正确的是________．
14．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3，0.4，0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．
15．有两张卡片，一张的正、反面分别写着数字0、1，另一张的正、反面分别写着数字2、3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数是奇数的概率为________．
16．在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lg
m有意义的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
18．(本小题满分12分)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A，B，C，田忌的三匹马分别为a，b，c，三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马的优劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
19．(本小题满分12分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两次向上的点数之和为7或是4的倍数的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y，点(x，y)在圆x2＋y2＝20的内部(不包括边界)的概率．
20．(本小题满分12分)抛掷一个质地均匀的正方体玩具，它的六个面中有两个面上标有数字0，两个面上标有数字2，两个面上标有数字4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)在(1)的条件下，若以落在区域C上的所有点P为顶点作多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M内的概率．
21．(本小题满分13分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：
PM2.5日均值k/(μg·m－3)
空气质量等级
k≤35
一级
35二级
k>75
污染
某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．
(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；
(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．
22．(本小题满分13分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部在155
cm和195
cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180
cm及以上的人数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E＋F)．
PAGE章末检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
3．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．某人在一立交桥上看桥下双向车道的车流量，求某时段右侧车道通过桥下的汽车数量的概率
D．抛掷一枚质地不均匀硬币至首次出现正面为止
答案：C
4．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
答案：A
5．某产品的设计长度为20
cm，规定误差不超过0.5
cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：
长度(cm)
19.5以下
19.5～20.5
20.5以上
件数
5
68
7
则这批产品的不合格率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
6．某单位电话总机室内有2部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9
B．0.7
C．0.6
D．0.5
答案：B
7．2015年山东省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对．”这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
答案：B
8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
9．从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
10．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
91
86
88
92
93
乙
87
85
86
99
9x
则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题可知甲的平均成绩为＝90，被污损前乙的第5次成绩可能是90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，共10种可能．又当乙的第5次成绩为90，91，92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是.
答案：D
11．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
12．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三个数，每人则可喊0，5，10，15，20五个数，当两人所出数之和等于某人所喊数时，喊该数者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则( )
A．甲胜的概率大
B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大
D．不能确定谁获胜的概率大
解析：甲、乙两人喊拳，每人用手出0，5，10三个数，有(0，0)，(0，5)，(0，10)，(5，0)，(5，5)，(5，10)，(10，0)，(10，5)，(10，10)，共9种情况．若甲喊10，则有(0，10)，(5，5)，(10，0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为；乙喊15，有(5，10)，(10，5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为，所以甲胜的概率大．
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13．有以下说法：①投一枚质地均匀的硬币，其中正面朝上的概率为；②买某种彩票中奖的概率是0.001，那么买
1
000
张彩票一定能中奖；③某次乒乓球比赛前，通过抽签决定谁先发球，抽签方法是双方同时在1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的．根据我们所学的概率知识，其中说法正确的是________．
解析：买彩票中奖的概率虽是0.001，但买1
000张彩票却不一定中奖．
答案：①③
14．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3，0.4，0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．
解析：设“击中10环”、“击中9环”、“击中8环”分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7，
P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，
∴P＝1－0.8＝0.2.
答案：0.7 0.2
15．有两张卡片，一张的正、反面分别写着数字0、1，另一张的正、反面分别写着数字2、3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数是奇数的概率为________．
解析：能组成的两位数有12，13，20，30，21，31，共6个，其中奇数有13，21，31，共3个，因此所组成的两位数为奇数的概率是＝.
答案：
16．在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋m＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lg
m有意义的概率为________．
解析：由Δ＝m2－4<0，得－1即A＝{m|－1由lg
m有意义知m>0，即使lg
m有意义的m的取值范围是(0，4)，
故所求概率为P＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AM＜AC的概率．
解析：这是几何概型问题且射线CM在∠ACB内部
在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝＝67.5°.设A＝{在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC}．则所有可能结果的区域角度为90°，事件A的区域角度为67.5°，
∴P(A)＝＝.
18．(本小题满分12分)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A，B，C，田忌的三匹马分别为a，b，c，三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马的优劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
解析：(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．
经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c比赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，获胜的概率为.
19．(本小题满分12分)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：
(1)两次向上的点数之和为7或是4的倍数的概率；
(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y，点(x，y)在圆x2＋y2＝20的内部(不包括边界)的概率．
解析：(1)将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件．
记“两数之和为7”为事件A，则事件A中含有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，6个基本事件．
∴P(A)＝＝.
记“两数之和是4的倍数”为事件B，则事件B中含有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，9个基本事件，
∴P(B)＝＝.
∵事件A与事件B是互斥事件，
∴所求概率为P(A)＋P(B)＝.
(2)记“点(x，y)在圆x2＋y2＝20的内部”为事件C，则事件C中共含有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，11个基本事件，
∴P(C)＝.
20．(本小题满分12分)抛掷一个质地均匀的正方体玩具，它的六个面中有两个面上标有数字0，两个面上标有数字2，两个面上标有数字4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)在(1)的条件下，若以落在区域C上的所有点P为顶点作多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M内的概率．
解析：(1)以0，2，4为横、纵坐标的点P有(0，0)，(0，2)，(0，4)，(2，0)，(2，2)，(2，4)，(4，0)，(4，2)，(4，4)，共9个，
其中落在区域C内的点P有(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)，共4个，所以所求概率为.
(2)根据题意，作出区域C和区域M，如图所示．
易求得区域M的面积为4，区域C的面积为10π，
所以所求概率为＝.
21．(本小题满分13分)近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．雾霾天气的形成与PM2.5有关，PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》，见下表：
PM2.5日均值k/(μg·m－3)
空气质量等级
k≤35
一级
35二级
k>75
污染
某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎，个位为叶)．
(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个城市的空气质量较好；
(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据，求恰有1天的空气质量等级为一级的概率．
解析：(1)甲城市抽取的样本数据分别是32，34，45，56，63，70；
乙城市抽取的样本数据为33，46，47，51，64，71.
甲＝＝50，
乙＝＝52.
∵甲<乙，∴甲城市的空气质量较好．
(2)由茎叶图，知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级，有4天的空气质量等级为二级，记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a，b，c，d，空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m，n，则从这6天中抽取2天的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，m}，{a，n}，{b，c}，{b，d}，{b，m}，{b，n}，{c，d}，{c，m}，{c，n}，{d，m}，{d，n}，{m，n}，共有15个基本事件．
记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事件A，则事件A包含的基本事件为{a，m}，{b，m}，{c，m}，{d，m}，{a，n}，{b，n}，{c，n}，{d，n}，共8个．
所以P(A)＝，即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为.
22．(本小题满分13分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部在155
cm和195
cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180
cm及以上的人数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E＋F)．
解析：(1)因为第六组的频率为＝0.08.
所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.040×2＋0.060)＝0.06.
(2)身高在第一组的频率为0.008×5＝0.04，身高在第二组的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组的频率为0.040×5＝0.2，身高在第四组的频率为0.040×5＝0.2，
0．04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5，0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170≤m<175.
由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5.
所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.
由频率分布直方图，得后三组的频率之和为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，
所以身高在180
cm及以上的人数为0.18×800＝144.
(3)第六组的人数为4，分别记为a，b，c，d，第八组的人数为2，分别记为A，B，
则从中选2名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况．
因为事件E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组，
所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，故P(E)＝.
因为|x－y|max＝195－180＝15，
所以事件F＝{|x－y|>15}是不可能事件，P(F)＝0.
因为事件E和事件F是互斥事件，
所以P(E＋F)＝P(E)＋P(F)＝.
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