立体几何初步水平测试（3）
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立体几何初步水平测试（3）
1．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
3．给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
4．已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是 （ ）
（A）平面ABC必不垂直于
（B）平面ABC必平行于
（C）平面ABC必与相交
（D）存在的一条中位线平行于或在内
5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，
AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平
面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝ ( )
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
7．已知球的半径是，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，两点的球面距离是，则二面角的大小是( )
（A） （B） （C） （D）
8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A． B．
C． D．
9. 关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是：（D）
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
10．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
11．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
S1S2
S1S2
S1=S2
S1，S2的大小关系不能确定
12．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
13．已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______.
14．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
15．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .
16．如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证：PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角。
18．如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边 AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90°，设AC=2a,BC=a.
（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小.
（18图）
19．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明⊥；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。
20．如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为已知求：
（I）直线AB分别与平面所成角的大小；
（II）二面角的大小。
21．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
22．如图，在长方体中，
分别是的中点，分别是的中点，
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
23．如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
24．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
答案：
1.略
2.此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。
3、①②④正确，故选B. 4、D
5. 6. A 7.C 8. B
9．解选D。在①、④的条件下，的位置关系不确定。
10．底面正方形面积，底面边长，高，
二面角的余切值。
代入数据，得：
。
又必为锐角，所以。
11. 解：连OA、OB、OC、OD
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
12. 【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。
【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。
13. 14. 15. 4/5
16. （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。 17.略 18．（1）；（2）。
19. 解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。 （Ⅱ）略
20.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,).
又·=(,－,)·(,1,－1)= － － =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
21. 解法一：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别
PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=a,则在△PAC中，有
BG=PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.
故GH=.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 第（41）图２
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得
GH== ＝
因此tanEHG==
由k＞0知是锐角，故要使＞，必须
＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故
E.从而=.
·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即
2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.
tanEHG===.
由k＞0知， EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范围为k＞.
22. 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分
解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵分别为的中点
∵
∴面，面
∴面面 ∴面
（Ⅱ）设为的中点
∵为的中点 ∴ ∴面
作，交于，连结，则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角。
在中，，从而
在中，
故：二面角的大小为
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴
方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则
∵分别是的中点
∴
（Ⅰ）
取，显然面
，∴
又面 ∴面
（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵
设，则
又
由，及在直线上，可得:
解得
∴ ∴ 即
∴与所夹的角等于二面角的大小
故：二面角的大小为
（Ⅲ）设为平面的法向量，则
又
∴ 即 ∴可取
∴点到平面的距离为
∵，
∴
∴
23.略
24. 解：不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。
（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，
∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。
（III）在图3中，过F作FM于M，连结QM、QF。
∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，
又PQ=BP=1，∴PF=PQ……①
∵A1E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q，
∴△A1FP△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ……②
由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，故∠QMP=∠FMP=90o，且MF=MQ，
∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的一个平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=，
∵MQ⊥A1P，∴MQ=，∴MF=。
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=，
在△FMQ中，，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
α
β
A
B
A′
B′
A
B
C
D
E
F
O
P
第19题图
H
图1
图2
A
B
A1
B1
α
β
l
第20题解法一图
E
F
A
B
A1
B1
α
β
l
第20题解法二图
y
x
y
E
F
图3
Q
M
1．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
3．给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
4．已知平面外不共线的三点到的距离都相等，则正确的结论是 （ ）
（A）平面ABC必不垂直于
（B）平面ABC必平行于
（C）平面ABC必与相交
（D）存在的一条中位线平行于或在内
5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
6．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，
AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平
面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝ ( )
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
7．已知球的半径是，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，两点的球面距离是，则二面角的大小是( )
（A） （B） （C） （D）
8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A． B．
C． D．
9. 关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是：（D）
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
10．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
11．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
S1S2
S1S2
S1=S2
S1，S2的大小关系不能确定
12．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
13．已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为_______________，球心到平面的距离为______.
14．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
15．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .
16．如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小.
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证：PB⊥DM;
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角。
18．如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边 AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90°，设AC=2a,BC=a.
（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小.
（18图）
19．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明⊥；
（Ⅱ）求面与面所成二面角的大小。
20．如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为已知求：
（I）直线AB分别与平面所成角的大小；
（II）二面角的大小。
21．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.
（Ⅰ）试证：CD平面BEF;
（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
22．如图，在长方体中，
分别是的中点，分别是的中点，
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱锥的体积。
23．如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（1）证明//平面；
（2）设，证明平面．
24．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
答案：
1.略
2.此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。
3、①②④正确，故选B. 4、D
5. 6. A 7.C 8. B
9．解选D。在①、④的条件下，的位置关系不确定。
10．底面正方形面积，底面边长，高，
二面角的余切值。
代入数据，得：
。
又必为锐角，所以。
11. 解：连OA、OB、OC、OD
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C
12. 【解析】利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。
【点评】本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊图形举例反证的能力。
13. 14. 15. 4/5
16. （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）。 17.略 18．（1）；（2）。
19. 解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。 （Ⅱ）略
20.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,).
又·=(,－,)·(,1,－1)= － － =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
21. 解法一：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.
又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别
PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.
（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
设AB=a,则在△PAC中，有
BG=PA=ka.
以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.
因S△CBD=BD·GH=GB·OF.
故GH=.
在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=a 第（41）图２
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得
GH== ＝
因此tanEHG==
由k＞0知是锐角，故要使＞，必须
＞tan=
解之得，k的取值范围为k＞
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
F(a,2a,0).
从而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故
E.从而=.
·=0,故.
由此得CD面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).
设H(x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),
由·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
x-2y=-a ①
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故＝，即
2x+y=2a ②
由①②解得x=a,y=a,从而＝，｜｜＝a.
tanEHG===.
由k＞0知， EHC是锐角，由EHC＞得tanEHG＞tan即
＞
故k的取值范围为k＞.
22. 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12分
解法一：（Ⅰ）证明：取的中点，连结
∵分别为的中点
∵
∴面，面
∴面面 ∴面
（Ⅱ）设为的中点
∵为的中点 ∴ ∴面
作，交于，连结，则由三垂线定理得
从而为二面角的平面角。
在中，，从而
在中，
故：二面角的大小为
（Ⅲ）
作，交于，由面得
∴面
∴在中，
∴
方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则
∵分别是的中点
∴
（Ⅰ）
取，显然面
，∴
又面 ∴面
（Ⅱ）过作，交于，取的中点，则∵
设，则
又
由，及在直线上，可得:
解得
∴ ∴ 即
∴与所夹的角等于二面角的大小
故：二面角的大小为
（Ⅲ）设为平面的法向量，则
又
∴ 即 ∴可取
∴点到平面的距离为
∵，
∴
∴
23.略
24. 解：不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。
（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，
∴在Rt△A1EQ中，，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。
（III）在图3中，过F作FM于M，连结QM、QF。
∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，
又PQ=BP=1，∴PF=PQ……①
∵A1E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q，
∴△A1FP△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ……②
由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，故∠QMP=∠FMP=90o，且MF=MQ，
∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的一个平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=，
∵MQ⊥A1P，∴MQ=，∴MF=。
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=，
在△FMQ中，，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
α
β
A
B
A′
B′
A
B
C
D
E
F
O
P
第19题图
H
图1
图2
A
B
A1
B1
α
β
l
第20题解法一图
E
F
A
B
A1
B1
α
β
l
第20题解法二图
y
x
y
E
F
图3
Q
M