一元二次不等式的解法
[A组 学业达标]
1．已知集合A＝{x|x＋2＞0}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}，则A∩B＝( )
A．[－3，－2)
B．[－3，－1]
C．(－2,1]
D．[－2,1]
解析：集合A＝{x|x＋2＞0}＝{x|x＞－2}，B＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1}，则A∩B＝{x|－2＜x≤1}＝(－2,1]．
答案：C
2．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析：不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0；解这个不等式，得－≤x≤1，所以该不等式的解集是.
答案：A
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
－6
0
4
6
6
4
0
－6
则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )
A．{x|x＜－2，或x＞3}
B．{x|x≤－2，或x≥3}
C．{x|－2＜x＜3}
D．{x|－2≤x≤3}
解析：根据二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值表知，a＜0，且x＝－2时，y＝0；x＝3时，y＝0；
所以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜3}．
答案：C
4．若关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的一个实根小于－1，另一个实根大于1，则实数m的取值范围是( )
A．(－，)
B．(－2,0)
C．(－2,1)
D．(0,1)
解析：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，则由题意，可得，解得0＜m＜1，故选D.
答案：D
5．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：因为关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，
所以不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，
所以a＝b＜0；
所以不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，
解得－1＜x＜3，
所以该不等式的解集是(－1,3)．
答案：C
6．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个实根，则实数m的取值范围是________．
解析：由Δ＝(m－3)2－4m≥0可得m≥9或m≤1.
答案：m≤1或m≥9
7．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－，)，则a＋b的值是________．
解析：－×＝，∴a＝－12
－＋＝－ ∴b＝－2
∴a＋b＝－14
答案：－14
8．某地每年销售木材约20万
m3，每立方米的价格为2
400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2
400×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
答案：[3,5]
9．已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩(?UB)；
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
解析：(1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
且B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，
所以?UB＝{x|x＜2或x≥5}，
所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x＜2}．
(2)由A∪C＝C，得A?C，
又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，
所以a的取值范围是a＜－1.
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－4x的解集为(1,3)，若f(x)的最大值大于－3，求a的取值范围．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)，由题意得方程f(x)＝－4x的两个根是1,3，即ax2＋(b＋4)x＋c＝0的两个根是1,3.
所以
所以b＝－4a－4，c＝3a.
又f(x)的最大值大于－3，即＞－3，消去b，c得到关于a的不等式a2＋5a＋4＞0，
解得a的取值范围是－1＜a＜0或a＜－4.
[B组 能力提升]
11．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．[2－，2＋]
B．(2－，2＋)
C．[1,3]
D．(1,3)
解析：注意到f(x)＝ex－1＞－1，所以g(b)＞－1，即转化为解一元二次不等式－b2＋4b－3＞－1，解得2－＜b＜2＋.
答案：B
12．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A.
B．
C.
D.
解析：法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)(x－4a)＜0.
∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝.
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝.
答案：A
13．若不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，则a＋b＝________.
解析：由题意得1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，则a－3＋2＝0，得a＝1.又1×b＝2，则b＝2，从而a＋b＝3.
答案：3
14．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中恰好有3个整数，则实数a的取值范围是________．
解析：关于x的不等式(2x－1)2＜ax2等价于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，其中Δ＝4a＞0且有4－a＞0，故有0＜a＜4.原不等式的解集为＜x＜.因为＜＜，所以原不等式的解集中一定含有1,2,3，可得3＜≤4，所以解得＜a≤，故实数a的取值范围是(，]．
15．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解析：(1)由条件知，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，
则
解得
故－＜m＜－.
即m的取值范围是.
(2)抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图所示，
则
即故－＜m≤1－.
即m的取值范围是.
16．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解析：由x2－x－2＞0，可得x＜－1或x＞2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k和－，
若－k＜－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
若－＜－k，则应有－2＜－k≤3，
∴－3≤k＜2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k＜2.
PAGE一元二次不等式及其解法
[A组 学业达标]
1．不等式≤0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,2]
B．(－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
D．[－1,2]
解析：≤0??
∴x∈(－1,2]．
答案：B
2．不等式≤1的解集为( )
A．(－∞，1]
B.
C.
D.∪[1，＋∞)
解析：由题意可知，－1≤0?≤0??－＜x≤1.
答案：C
3．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．[－2,5]
解析：因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：A
4．若ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－4,0)
B．(－4,0]
C．[0，＋∞)
D．[－4，＋∞)
解析：若a＝0，则不等式等价为3≥0，满足条件．若a≠0，要使ax2＋ax＋a＋3≥0对一切实数x恒成立，则满足解得a＞0，
综上可得实数a的取值范围是[0，＋∞)．
答案：C
5．不等式＜0的解集为( )
A．{x|－1＜x＜2或2＜x＜3}
B．{x|1＜x＜3}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
解析：原不等式等价于
解得－1＜x＜3，且x≠2.
答案：A
6．不等式＜1的解集是________．
解析：不等式＜1可改写为－1＜0，即＜0，即＞0，可化为(x＋4)(3x－1)＞0，所以x＜－4或x＞.
答案：
7．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
所以f(x)在x∈[0,1]上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3.
所以要使x2－4x≥m对于任意x∈[0,1]恒成立，则需m≤－3.
答案：(－∞，－3]
8．若实数a，b满足a＋b＜0，则不等式＜0的解集为________．
解析：原不等式等价于
(x＋a)(b－x)＜0?(x－b)(x＋a)＞0.
又a＋b＜0，所以b＜－a.
所以原不等式的解集为{x|x＞－a或x＜b}．
答案：{x|x＞－a或x＜b}
9．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k＜0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
(2)若不等式的解集为?，求k的取值范围．
解析：(1)不等式的解集为R，所以Δ＝4－24k2＜0，且k＜0，解得k＜－.
(2)不等式的解集为?，得Δ＝4－24k2≤0，且k＞0，解得k≥.
10．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解析：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为
∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为
∪.
[B组 能力提升]
11．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＞5a或x＜－a}
B．{x|－a＜x＜5a}
C．{x|x＜5a或x＞－a}
D．{x|5a＜x＜－a}
解析：不等式x2－4ax－5a2＞0可化为(x－5a)(x＋a)＞0；
因为方程(x－5a)(x＋a)＝0的两根为x1＝5a，x2＝－a，
且2a＋1＜0，所以a＜－，所以5a＜－a，
所以原不等式的解集为{x|x＜5a或x＞－a}．
答案：C
12．在R上定义运算□：A□B＝A(1－B)．若不等式(x－a)□(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．－＜a＜
D．－＜a＜
解析：因为(x－a)□(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，所以－x2＋x＋a2－a＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3＜0，所以(2a－3)(2a＋1)＜0，即－＜a＜.
答案：C
13．若对任意a∈[1,3]，不等式ax2＋(a－2)x－2＞0恒成立，则实数x的取值范围是________．
解析：由题意知，原不等式即为(x2＋x)a－2x－2＞0对a∈[1，3]恒成立，
所以
解得x＜－1或x＞2.
答案：{x|x＞2或x＜－1}
14．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式＜0的解集是________．
解析：由题图知，1和2是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
所以－＝3且＝2，所以b＝－3a，c＝2a且a＞0.
不等式＜0等价于(ax＋b)(cx＋a)＜0.
即(x－3)(2x＋1)＜0，所以－＜x＜3.
答案：
15．解关于x的不等式－x＞0.
解析：原不等式可化为＞0，即x(mx－1)＞0.
当m＞0时，解得x＜0或x＞；
当m＜0时，解得＜x＜0；
当m＝0时，解得x＜0.
综上，当m＞0时，不等式的解集为
；
当m＜0时，不等式的解集为；
当m＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}．
16．已知不等式mx2－2x＋m－2＜0.
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解析：(1)对所有实数x，不等式mx2－2x＋m－2＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，－2x－2＜0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有
解得m＜1－.
综上，m的取值范围是(－∞，1－)．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1＞0知，g(m)在[－2,2]上为增函数，则只需g(2)＜0即可，即2x2＋2－2x－2＜0，解得0＜x＜1.
故x的取值范围是(0,1)．
PAGE二元一次不等式（组）与平面区域
[A组 学业达标]
1．不等式组表示的区域为D，点P(0，－2)，Q(0，0)，则( )
A．P?D，且Q?D
B．P?D，且Q∈D
C．P∈D，且Q?D
D．P∈D，且Q∈D
答案：C
2．不等式2x＋3y－4＜0表示的平面区域在直线2x＋3y－4＝0的( )
A．右上方
B．右下方
C．左下方
D．左上方
答案：C
3．若点A(3，m)在两平行直线6x－8y－3＝0及3x－4y＋1＝0之间，则实数m的取值范围是( )
A.
B.∪
C.∪
D.
解析：由题意知(18－8m－3)(9－4m＋1)＜0，解得＜m＜.
答案：D
4．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )
A.
B．
C.
D.
解析：由图易知平面区域在直线2x－y＝0的右下方，在直线x＋y＝3的左下方，在直线y＝1的上方．
答案：B
5．不等式组表示的平面区域的形状是( )
A．正方形
B．三角形
C．直角梯形
D．等腰梯形
解析：画出其表示的平面区域，如图所示，可知平面区域是边长为的正方形，故选A.
答案：A
6．点P(m，n)不在不等式5x＋4y－1>0表示的平面区域内，则m，n满足的条件是________．
解析：由题意知点P(m，n)在不等式5x＋4y－1≤0表示的平面区域内，则5m＋4n－1≤0.
答案：5m＋4n－1≤0
7．已知点(3,1)和(－4,6)在直线x＋y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
解析：由(3＋1＋a)(－4＋6＋a)＜0得(a＋4)(a＋2)＜0，∴－4＜a＜－2.
答案：(－4，－2)
8．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
解析：如图所示，直线x＋y＝a扫过的区域为四边形AOBC.
∴S四边形AOBC＝S△AOD－S△CBD＝×2×2－××＝.
答案：
9．要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截成三种规格小钢板块数如下表：
规格块数种类
A
B
C
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
每块钢板面积第一种1平方单位，第二种2平方单位，第三种1平方单位．今需要A，B，C三种规格的成品各12,15,27块，问各截这两种钢板多少张，可得到所需三种规格成品，在直角坐标系中，把两种钢板的使用情况表示出来．
解析：设需第1种钢板x张，第2种钢板y张，
则
平面区域如下图．
10．设不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t,1)在平面区域Q内，求整数t的取值集合．
解析：(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．
由
解得A(4，－4)，
由
解得B(4,12)，由解得C(－4,4)．
于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.
∴S＝×16×8＝64.
(2)由已知得即
亦即得t＝－1,0,1,2,3,4.
故整数t的取值集合是{－1,0,1,2,3,4}．
[B组 能力提升]
11．已知集合M＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，集合P＝{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}，那么集合M与P的关系是( )
A．M?P
B．M?P
C．P?M
D．P?M
解析：法一：从A、B、C、D四个选项来看，就是子集和真子集两种情况，因为是集合P中的元素而不是集合M中的元素，故M?P，从而选B.
法二：集合M表示的平面区域如图(1)所示，集合P表示的平面区域如图(2)所示，从图形看，选B.
答案：B
12．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3]
B．[2,3]
C．(1,2]
D．[3，＋∞)
解析：作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
由得交点A(2,9)．
对y＝ax的图象，当0＜a＜1时，没有点在区域D上．
当a＞1，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.要满足题意，需满足a2≤9，解得1＜a≤3.
答案：A
13．若不等式组表示的平面区域的面积为24，则a的值为________．
解析：直线x＋ay＝4过定点(4,0)，若a＝－1，则不等式组表示的平面区域不是封闭区域，不合题意；
若a≠－1.则由得交点为，由解得因此平面区域的面积为[(4＋2a)＋2]×＝24，
解得a＝3±2.
答案：3±2
14．设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为________．
解析：作出平面区域如下图．
由图可知，当A、B点坐标为(－2，－2)，(2,3)时，|AB|取得最大值．
|AB|max＝＝.
答案：
15．求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．
解析：可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①或②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，其形状如一展翅的海鸥，它所围成的面积为S＝×4×2－×2×1＝3.
16．求由不等式组确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C阴影部分．
解析：由已知条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，如下图，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．过P点作y轴的垂线，垂足为C.
则AC＝|5－4|＝1，PC＝|1－0|＝0，OC＝4，OB＝3，AP＝，PB＝＝2，
得S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8，
∴S阴影部分＝S△ACP＋S梯形COBP＝，
C阴影部分＝OA＋AP＋PB＋OB＝8＋＋2.
PAGE简单的线性规划问题
[A组 学业达标]
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7
B．－4
C．1
D．2
解析：可行域如图阴影部分(含边界)．
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，
当直线l过D点时，z取得最小值．
由得D(5,3)．∴zmin＝3－2×5＝－7.
答案：A
2．已知x，y满足约束条件使z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
解析：如图，作出可行域，作直线l：x＋ay＝0，要使目标函数z＝x＋ay(a＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x＋y＝5重合，故a＝1，选D.
答案：D
3．设x，y满足约束条件则的最大值是( )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：画出可行域如图阴影部分(含边界)，z＝＝2，的几何意义是点M(－1，－1)与可行域内的点P(x，y)连线的斜率，当点P移动到点N(0,4)时，斜率最大，最大值为＝5，
∴zmax＝2×5＝10.故选D.
答案：D
4．若x，y满足约束条件则z＝x2＋y2的最小值是( )
A．2
B．
C．4
D．5
解析：作出约束条件满足的可行域(如图所示)，z＝x2＋y2表示平面区域内点M(x，y)到原点的距离的平方，由图象，得|OM|的最小值为|OA|，即z＝x2＋y2的最小值为22＋12＝5.
答案：D
5．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝
( )
A．9
B．3
C．－2
D．－
解析：作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，即2x＋y＝－6，由解得即A(－2，－2)．又点A也在直线y＝k上，所以k＝－2.
答案：C
6．若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是________．
解析：如图，作出可行域，
作直线l：x＋2y＝0，
将l向右上方平移，过点A(2,0)时，有最小值2，过点B(2,2)时，有最大值6，故z的取值范围为[2,6]．
答案：[2,6]
7．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域(图略)，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2
300元．
答案：2
300
8．若实数x，y满足条件则log2(2x＋y)的最大值为________．
解析：作出不等式组满足的可行域，如图阴影部分所示，令Z＝2x＋y，结合图形可知经过x＝1，x－y＋1＝0的交点A(1,2)时，Z有最大值4，此时z＝log2(2x＋y)的最大值为log24＝2.
答案：2
9．设x，y满足求x＋y的取值范围．
解析：如图，z＝x＋y表示直线过可行域时，在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域A点时，z有最小值．联立解得A(2,0)．
z最小值＝2，z无最大值，
∴x＋y∈[2，＋∞)．
10．已知变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由
得A；
由得C(1,1)；
由得B(5,2)．
(1)∵z＝＝，
∴z的最小值即为可行域中的点与原点O连线的斜率的最小值，
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域内的点到原点O的距离的平方，结合图形可知，zmin＝|OC|2＝2，zmax＝|OB|2＝29，∴2≤z≤29.
[B组 能力提升]
11．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[0,2]
D．[－1,2]
解析：作出可行域，如图所示，
因为·＝－x＋y.
所以设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知过点P(1,1)时，z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；
过点Q(0,2)时，z有最大值，
zmax＝0＋2＝2，
所以·的取值范围是[0,2]．
答案：C
12．已知实数x，y满足条件则z＝y－x的最大值为( )
A．－
B．0
C.
D．1
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分所示，
由z＝y－x，得y＝x＋z，由图可知y＝()x＋z的图象过点A时，z最大．
由A(1,1)．
∴zmax＝1－＝，故选C.
答案：C
13．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．将区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________.
解析：如图，不等式组表示的平面区域为△PMQ及其内部．
因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，又区域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成线段AB，所以|AB|＝|PQ|.
由解得P(－1,1)，
由解得Q(2，－2)．
∴|AB|＝|PQ|＝＝3.
答案：3
14．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
z＝|x＋2y－4|＝·，其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．
由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
答案：21
15．实系数方程x2＋ax＋2b＝0的一根在(0,1)之间，另一根在(1,2)之间，求的取值范围．
解析：令f(x)＝x2＋ax＋2b，则方程x2＋ax＋2b＝0的一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内的问题转化为f(x)与x轴的两交点分别位于(0,1)和(1,2)之间，由此可得：
即
由平面区域可知(a，b)所满足的条件是三角形区域(如图)内部，且A(－3,1)，B(－1,0)．又的几何意义是过点(a，b)与D(1,2)的直线斜率，则有＝kAD＜＜kBD＝1，即的范围是.
16．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180
t救援物资的任务．该公司有8辆载重6
t的A型卡车与4辆载重为10
t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数：A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？
解析：设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足线性约束条件
且目标函数z＝320x＋504y.
作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．可知当直线z＝320x＋504y过A(7.5，0)时，z最小，但A(7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点(8,0)是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2
560(元)，即用8辆A型车，0辆B型车，成本费最低．
所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低.
PAGE基本不等式
[A组 学业达标]
1．下列不等式正确的是( )
A．a＋≥2
B．(－a)＋≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋2≤－2
答案：C
2．下列不等式中正确的是( )
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C.≥
D．x2＋≥2
解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．
答案：D
3．已知0A.
B．
C.
D.
解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：B
4．已知m＝a＋＋1(a>0)，n＝3x(x<1)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n
B．mC．m＝n
D．m≤n
解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x<1，所以n＝3x<31＝3，所以m>n.
答案：A
5．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A.
B．4
C.
D．5
解析：由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab＝4，因为m＝b＋，n＝a＋，
所以m＋n＝b＋＋a＋，
由ab＝4，那么b＝，
所以b＋＋a＋
＝＋＋a＋＝＋≥2＝5，当且仅当＝即a＝2时取等号．
所以m＋n的最小值是5.
答案：D
6．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．
解析：因为x＞a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥.即a的最小值为.
答案：
7．已知x≥1，则函数f(x)＝的最大值是________．
解析：∵x≥1，∴f(x)＝＝≤＝.当且仅当x＝且x≥1，即x＝2时等号成立．
答案：
8．已知m，n∈(0，＋∞)，若m＝＋2，则mn的最小值为________．
解析：因为m＝＋2，化简可得mn＝m＋2n≥2，故mn≥8，当且仅当m＝2n＝4时，等号成立，即mn的最小值是8.
答案：8
9．设f(x)＝ln
x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，试比较p，q，r的大小．
解析：p＝f()＝ln
，q＝f＝ln
，r＝(f(a)＋f(b))＝ln
ab＝ln
，因为＞，函数f(x)＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，所以f＞f()，所以q＞p＝r.
10．(1)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
(2)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．
解析：(1)∵xy＝2x＋y＋6≥2＋6，设＝t(t＞0)，即t2≥2t＋6，(t－3)(t＋)≥0，∴t≥3，则xy≥18，当且仅当2x＝y且2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时等号成立，故xy的最小值为18.
(2)注意到消元有难度，而目标式为x＋y，且条件可以构造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－()2＝(x＋y)2，所以≥(x＋y)2，所以x＋y≤，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝时等号成立．
[B组 能力提升]
11．已知m＝a＋(a＞2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不确定
解析：因为a＞2，所以a－2＞0.
又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥
2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立)．
即m∈[4，＋∞)．
由b≠0得b2≠0，
所以22－b2＜4，即n＜4.
所以n∈(－∞，4)，综上易知m＞n.
答案：A
12．已知数列{an}是等比数列，若a2a5a8＝－8，则＋＋( )
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
解析：由题意，得a2a5a8＝a＝－8，即a5＝－2，所以a1a9＝a＝4，则＋＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1＝(当且仅当＝时取等号)．故选D.
答案：D
13．已知a∈R，b＞0，且(a＋b)b＝1，则a＋的最小值是________．
解析：∵b＞0，且(a＋b)b＝1，∴a＝－b，
∴a＋＝－b＋＝－b＋2b＝＋b≥2＝2.当且仅当＝b，即b＝1时等号成立，故a＋的最小值为2.
答案：2
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝csin
A，则的最大值为________．
解析：由＝，a＝csin
A，得sin
C＝1，即△ABC是直角三角形，C为直角，于是a2＋b2＝c2，从而＝＝1＋≤1＋＝2，即≤，当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以的最大值为.
答案：
15．已知不等式ax2－3x＋2＜0的解集为A＝{x|1＜x＜b}．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)＝(2a＋b)x＋(x∈A)的最小值．
解析：(1)由题意知，1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，且b＞1，
∴解得
(2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x＋＝4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝16.
当且仅当4(x＋1)＝，即x＝∈A时等号成立．
∴函数f(x)的最小值为16.
16．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ac，的大小．
解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，①
∴a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．
①式两边分别加上a2＋b2＋c2，得
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，
∴a2＋b2＋c2≥.
3(ab＋bc＋ac)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1.
∴ab＋bc＋ac≤.
综上，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
PAGE基本不等式的应用
[A组 学业达标]
1．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：＝≥＝4，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：D
2．已知a＞0，b＞0，且ab＝2，那么( )
A．a＋b≥2
B．a＋b≤2
C．a2＋b2≥4
D．a2＋b2≤4
解析：因为a＞0，b＞0，且ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4.
答案：C
3．已知函数f(x)＝2x＋，则f(x)取最小值时对应的x的值为( )
A．－1
B．－
C．0
D．1
解析：因为2x＞0，
所以2x＋≥2＝1，
当且仅当2x＝，即x＝－1时等号成立．
答案：A
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析：设每件产品的平均费用为y元，
由题意得y＝＋≥2＝20.
当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时等号成立．
答案：B
5．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．－4＜m＜2
B．－2＜m＜4
C．m≥4或m≤－2
D．m≥2或m≤－4
解析：x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，所以m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2.
答案：A
6．已知x＞0，y＞0，x＋y2＝4，则log2x＋2log2y的最大值为________．
解析：因为实数x，y＞0，x＋y2＝4，
所以4＝x＋y2≥2，化为xy2≤4，当且仅当x＝2，y＝时取等号．
则log2x＋2log2y＝log2(xy2)≤log24＝2.
因此log2x＋2log2y的最大值是2.
答案：2
7．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是________．
解析：由a∥b知2x＋3y＝3，则＋＝(2x＋3y)＝≥8，
当且仅当
即x＝，y＝时等号成立．
答案：8
8．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂与仓库之间的距离为________千米时，运费和仓储费之和最小，最小值为________万元．
解析：设工厂与仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.
因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
所以k1＝5，k2＝20，
所以运费和仓储费之和为5x＋.
因为5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费和仓储费之和最小值为20万元．
答案：2 20
9．(1)若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：＋≥4.
(2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，求2x＋y的最大值．
解析：(1)证明：因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，
所以xy≤2＝.
所以＋＝＝≥4.
(2)因为4x2＋y2＋xy＝1，
所以4x2＋y2＝1－xy＞4xy，
所以xy≤.
所以(2x＋y)2＝4x2＋y2＋4xy＝1＋3xy≤，
所以－≤2x＋y≤.
所以2x＋y的最大值是.
10．围建一个面积为360
m2的矩形场地，要求矩形场地一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2
m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解析：(1)设矩形的另一边长为a
m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360，
由已知ax＝360，
得a＝，
所以y＝225x＋－360(x＞2)．
(2)因为x＞0，所以225x＋≥2＝10
800，
所以y＝225x＋－360≥10
440，当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24
m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10
440元．
[B组 能力提升]
11．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,4)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：因为不等式x＋＜m2－3m有解，
所以min＜m2－3m，
因为x＞0，y＞0，
且＋＝1，
所以x＋＝
＝＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即x＝2，y＝8时取等号．
所以min＝4，
故m2－3m＞4，
即(m＋1)(m－4)＞0，
解得m＜－1或m＞4，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：B
12．已知实数a，b，c满足条件a＞b＞c且a＋b＋c＝0，abc＞0，则＋＋的值( )
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是0
D．正负不确定
解析：因为a＞b＞c且a＋b＋c＝0，abc＞0，
所以a＞0，b＜0，c＜0，且a＝－(b＋c)，
所以＋＋＝－＋＋.
因为b＜0，c＜0，所以b＋c≤－2，
所以－≤，又＋≤－2，
所以－＋＋≤－2＝－＜0，故选B.
答案：B
13．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
解析：∵a，b∈R，且ab＞0，
∴≥≥＝4，
又∵ab＞0时，当且仅当a＝b且ab＝时取等号，
∴原式的最小值为4.
答案：4
14．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：令t＝＋，
则t2＝(＋)2
＝a＋1＋b＋3＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝，b＝时，等号成立．
即t的最大值为3.
答案：3
15．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥1.
证明：因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
所以＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
∴＋＋≥1.
16．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润总和．
(注：f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)
(1)从第几年开始获利？
(2)若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；
②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．
问哪种方案最合算？为什么？
解析：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，则
f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
(1)获利就是要求f(n)＞0，
所以－2n2＋40n－72＞0，
解得2＜n＜18.
由n∈N知，从第三年开始获利．
(2)①年平均利润为＝40－2≤16.
当且仅当n＝6时取等号，
故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n＝6.
②f(n)＝－2(n－10)2＋128.
当n＝10时，f(n)max＝128.
故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)．
故比较两种方案，获利都是144万美元．
但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案．
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