第三章 概率
3．1 随机事件的概率
3．1.1 随机事件的概率
[A组 学业达标]
1．下列事件中，不可能事件为
( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
解析：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
答案：C
2．12个同类产品中含有2个次品，现从中任意抽出3个，必然事件是( )
A．3个都是正品
B．至少有一个是次品
C．3个都是次品
D．至少有一个是正品
解析：A，B都是随机事件，因为只有2个次品，所以“抽出的三个全是次品”是不可能事件，“至少有一个是正品”是必然事件．
答案：D
3．下列事件：
①如果a>b，那么a－b>0.
②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝logax是增函数．
③某人射击一次，命中靶心．
④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．
其中是随机事件的为
( )
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
解析：①是必然事件；②中a>1时，y＝log单调递增，0
答案：D
4．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的
( )
A．概率为
B．频率为
C．频率为6
D．概率接近0.6
解析：抛掷一次即进行一次试验，抛掷10次，正面向上6次，即事件A的频数为6，∴A的频率为＝.∴选B.
答案：B
5．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是
( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
解析：取到号码为奇数的卡片共有13＋5＋6＋18＋11＝53(次)，所以取到号码为奇数的频率为＝0.53.
答案：A
6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了__________次试验．
解析：设共进行了n次试验，
则＝0.02，解得n＝500.
答案：500
7．一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20
000部汽车，时间从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为__________．
解析：在一年里汽车的挡风玻璃破碎的频率为＝0.03，所以估计其破碎的概率约为0.03.
答案：0.03
8．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次10环，3次9环，4次8环，1次脱靶，在这次练习中，这个人中靶的频率是__________，中9环的频率是__________．
解析：打靶10次，9次中靶，故中靶的概率为＝0.9，其中3次中9环，故中9环的频率是＝0.3.
答案：0.9 0.3
9．设集合M＝{1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．
(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a<3且b>1”呢？
(2)“ab＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a＝b”呢？
(3)“直线ax＋by＝0的斜率k>－1”这一事件包含哪几个基本事件？
解析：这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．
“a<3且b>1”包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．
(2)“ab＝4”这一事件包含以下3个基本事件：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．
(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－>－1，
∴a10．某企业生产的乒乓球被2008年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数m
45
92
194
470
954
1
902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球为优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，检测出为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
解析：(1)依据公式fn(A)＝，可以计算表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.
(2)由(1)知抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽球数的增多，都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，质量检测为优等品的概率约为0.950.
[B组 能力提升]
11．下列说法正确的是
( )
A．任何事件的概率总是在(0，1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0，1]之间，故A错，B、D混淆了频率与概率的概念，也错．
答案：C
12．某医院治疗一种疾病的治愈率为，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是
( )
A．1
B.
C.
D．0
解析：每一个病人治愈与否都是随机事件，故第5个人被治愈的概率仍为.
答案：B
13．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为__________．
解析：至少需摸完黑球和白球共15个．
答案：16
14．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：
落在桌面的数字
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
则落在桌面的数字不小于4的频率为__________．
解析：落在桌面的数字不小于4，即4，5的频数共13＋22＝35.所以频率＝＝0.35.
答案：0.35
15．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.881
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个，求：
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
解析：(1)事件A的频率
f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.
16．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区：
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
解析：(1)贫困地区依次填：0533，0.540，0.520，0.520，0.512，0.503.
发达地区依次填：0.567，0.580，0.560，0.555，0.552，0.550.
(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.
PAGE第三章 概率
3．1 随机事件的概率
3．1.2 概率的意义
[A组 学业达标]
1．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2，3，4，5，6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是
( )
A．一定出现“6点朝上”
B．出现“6点朝上”的概率大于
C．出现“6点朝上”的概率等于
D．无法预测“6点朝上”的概率
解析：概率反映随机事件发生的可能性的大小，与前面的实验结果无关，选C.
答案：C
2．“某彩票中奖概率为”意味着
( )
A．买1
000张彩票就一定能中奖
B．买1
000张彩票中一次奖
C．买1
000张彩票一次奖也不中
D．买彩票中奖的可能性为
解析：概率的大小只能说明事件发生的可能性大小，在一次试验中不一定发生．
答案：D
3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为85%”，这是指
( )
A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%的地区不降水
B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水
C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水
D．明天该地区降水的可能性为85%
答案：D
4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆甲品牌出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆甲品牌出租车，3
000辆乙品牌出租车，乙公司有3
000辆甲品牌出租车，100辆乙品牌出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理
( )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲与乙公司
D．以上都对
解析：根据极大似然法可知认为肇事司机来自乙公司较合理．
答案：B
5．在下列各事件中，发生的可能性最大的为
( )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10
000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
解析：概率分别是PA＝，PB＝，PC＝，PD＝，故选D.
答案：D
6．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是.
其中正确命题有__________．
解析：①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
答案：④
7．对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下：
抽查件数
50
100
200
300
450
合格件数
47
92
192
285
429
根据上表所提供的数据，若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查__________件产品．
解析：各组产品合格的频率分别为：0.94，0.92，0.96，0.95，0.95，故产品的合格率约为0.95，设大约需抽查x件产品，则0.95x＝950，∴x＝1
000.
答案：1
000
8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中，10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条，根据以上数据可以估计该池塘约有__________条鱼．
解析：设该池塘约有x条鱼．
则＝.
∴x＝750.
答案：750
9．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的球是什么颜色？
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是，估计其概率约是，那么取出黑球的概率约是，取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
10．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10
000个鱼卵能孵出8
513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)求这种鱼卵的孵化概率(孵化率)．
(2)30
000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5
000尾鱼苗，大概得准备多少个鱼卵？(精确到百位)
解析：(1)这种鱼卵的孵化频率为＝0.851
3，它近似为孵化的概率．
(2)设能孵化x尾鱼苗，
则＝，
得x＝25
539，
即30
000个鱼卵大约能孵化25
539尾鱼苗．
(3)设大概需准备y个鱼卵，
则＝，
得y≈5
900，即大概得准备5
900个鱼卵．
[B组 能力提升]
11．根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为
( )
A．50%
B．15%
C．45%
D．65%
解析：仅有O型血的人能为O型血的人输血．
答案：A
12．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是
( )
A．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
解析：从12个产品中抽到正品的概率为＝，抽到次品的概率为＝，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品．
答案：B
13.玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”．你认为这个游戏规则公平吗？答：__________．
解析：如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是.所以不公平．
答案：不公平
14．为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n条鱼，将这个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为30和0.25，则n＝__________．
解析：根据某组的频率与频数计算总体n.
据题意知n×0.25＝30，所以n＝120.
答案：120
15．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
解析：设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只．
设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝，
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，
由概率的统计定义可知P(A)＝，
∴＝，
解得n＝1
500，
∴该自然保护区中约有天鹅1
500只．
16.有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”．
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性．
解析：(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”．“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了其它任何一种方案的概率．
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏是公平的．
(3)可以设计为猜“是大于5的数”或“小于6的数”，也可以保证游戏的公平性．
PAGE第三章 概率
3．1 随机事件的概率
3．1.3 概率的基本性质
[A组 学业达标]
1．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是
( )
A．A与B
B．B与C
C．A与D
D．B与D
解析：A与B是互斥事件且为对立事件，B与C是相等事件，A与D是互斥但不对立事件，B与D可能同时发生，不是互斥事件．故选C.
答案：C
2．事件M?N，当N发生时，下列必发生的是
( )
A．M
B．M∩N
C．M∪N
D．M的对立事件
解析：由于M?N，则当N发生时，M不一定发生，M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生．故选C.
答案：C
3．某城市2018年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2014年空气质量达到良或优的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：所求概率为＋＋＝.故选A.
答案：A
4．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C(C是事件B的对立事件)发生的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可知事件C表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＋＝.
答案：C
5．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为
( )
A．A∩B
B．A∩B∩C
C．A∩B∩
D．A∩B∪
解析：∵事件A＝{2，4，7，12}，
事件B＝{2，4，6，8，10，12}，
∴A∩B＝{2，4，12}，
又C＝{9，10，11，12}，∴A∩B∩＝{2，4}．
答案：C
6．在掷骰子的游戏中，向上的数字是1或2的概率是__________．
解析：事件“向上的数字是1”与事件“向上的数字是2”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是1或2”的概率是＋＝.
答案：
7．一枚壹元硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”．写出事件A，B，C的概率P(A)，P(B)，P(C)之间的正确关系是__________．
解析：事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，则有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
答案：P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为__________．
解析：“至少有一名女生”与“都是男生”是对立事件．故3人中都是男生的概率P＝1－＝.
答案：
9．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中7环以下的概率．
解析：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，
则“射中10环或7环”的事件为A∪B，事件A和事件B是互斥事件，
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)设“射中7环以下”为事件C，“射中7环或8环或9环或10环”为事件
D，
则P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
又事件C和事件D是对立事件，所以P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.
所以射中7环以下的概率是0.03.
[B组 能力提升]
10．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是
( )
A．“至少有1个白球”和“都是红球”
B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D．“至多有1个白球”和“都是红球”
解析：该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．
答案：C
11．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于
( )
A．0.3
B．0.2
C．0.1
D．不确定
解析：由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
答案：D
12．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个的概率是__________．
解析：记既没有5点也没有6点的事件为A，则P(A)＝，5点或6点至少有一个的事件为B.
因A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1
－＝.
故5点或6点至少有一个的概率为.
答案：
13．甲射击一次，中靶概率是p1，乙射击一次，中靶概率是p2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且p1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶概率为__________；乙射击一次，不中靶概率为__________．
解析：由p1满足方程x2－x＋＝0知，p－p1＋＝0，解得p1＝；因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得p2＝.因此甲射击一次，不中靶概率为1－＝，乙射击一次，不中靶概率为1－＝.
答案：
14．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解析：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有：
P(A)＝
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，
解得P(B)＝，
P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.
15．猎人在相距100
m处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次未击中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150
m，如果又未击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200
m，已知此猎人命中的概率与距离的平方成反比，求射击不超过三次击中野兔的概率．
解析：设距离为d，命中的概率为P，则有P＝.
将d＝100，P＝代入，
得k＝Pd2＝5
000，
所以P＝.
设第一、二、三次击中野兔分别为事件A1，A2，A3，
则P(A1)＝，P(A2)＝＝，
P(A3)＝＝.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，
所以P(A1＋A2＋A3)＝
P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
故射击不超过三次击中野兔的概率为.
PAGE第三章 概率
3．2 古典概型
3．2.1 古典概型
[A组 学业达标]
1．下列试验是古典概型的是
( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀的硬币至首次出现正面为止
解析：用古典概型的定义判断．
答案：C
2．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是
( )
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
解析：抛掷2枚硬币出现的结果为正正，正反，反正，反反．故“至少一枚硬币正面向上”有3种结果．
答案：A
3．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为
( )
A.
B.
C.
D．1
解析：这是一个古典概型与互斥事件相结合的问题；设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件．从10名同学中任选2人共有10×9÷2＝45种选法(即45个基本事件)，而事件A包括3×7个基本事件，事件B包括3×2÷2＝3个基本事件，故P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案：B
4．已知集合A＝{－1，0，1}，点P坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，记点P落在第一象限为事件M，则P(M)＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：所有可能的点是(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共9个，其中在第一象限的有1个，因此P(M)＝.故选C.
答案：C
5．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为＝.
答案：B
6．甲、乙两人随意入住两间客房，则甲、乙两人各住一间房的概率是__________．
解析：甲、乙两人入住两间客房有甲、乙两人同住一间房，甲、乙两人各住一间房共4种情况，其中甲、乙两人各住一间房的概率为＝.
答案：
7．甲、乙、丙三名同学上台领奖，从左到右按甲、乙、丙的顺序排列，则三人全都站错位置的概率是__________．
解析：基本事件为甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲，共6个；三人全部错的有乙丙甲，丙甲乙，共2个，故所求事件的概率为＝.
答案：
8．从集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为__________．
解析：从集合A，B中分别取一个元素得到点P(m，n)，包含(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6个基本事件，设点P在圆x2＋y2＝9的内部为事件E，即满足m2＋n2＜9，则事件E包含(2，1)，(2，2)，共2个基本事件，则P(E)＝＝.
答案：
9．甲、乙两人做出拳游戏(锤子，剪刀，布)．
求：(1)平局的概率；
(2)甲赢的概率；
(3)乙赢的概率．
解析：设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.容易得到下图．
(1)平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝＝.
(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝＝.
(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)，P(C)＝＝.
10．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．
求：(1)甲被选中的概率；
(2)丁没被选中的概率．
解析：(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝＝.
(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为，
则P()＝1－P(B)＝1－＝.
[B组 能力提升]
11．设a是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：基本事件总数为6，若方程有两个不相等的实根则a2－8>0，满足上述条件的a为3，4，5，6，故P＝＝.
答案：A
12．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析：利用古典概型求解．
设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为：(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．
两球颜色为一白一黑的基本事件有：
(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．
∴其概率为＝.
答案：B
13．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为__________．
解析：数字a，b的所有取法有36种，满足|a－b|≤1的取法有16种，所以其概率为P＝＝.
答案：
14.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为__________．
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
答案：
15．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
解析：(1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种，因此P(X)＝.
故选中的2人都来自高校C的概率为.
16．某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．
解析：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.
(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P＝.
PAGE第三章 概率
3．2 古典概型
3．2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
[A组 学业达标]
1．抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时，产生的整数随机数中，每________个数字为一组
( )
A．1
B．2
C．10
D．12
答案：B
2．下列不能产生随机数的是
( )
A．抛掷骰子试验
B．抛硬币
C．计算器
D．正方体的六个面上分别写有1，2，2，3，4，5，抛掷该正方体
解析：D项中，出现2的概率为，出现1，3，4，5的概率均是，则D项不能产生随机数．
答案：D
3．在一袋子中有四个小球，分别写有“吉、祥、如、意”四个字，从中任取一个小球，取到“如”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“吉、祥、如、意”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：第二次摸到“如”停止，就是随机数中第二个数是3.在20组随机数中，第二个数字是3的共5组，所以直到第二次停止的概率为＝.故选B.
答案：B
4．已知某运动员每次投篮命中的概率都等于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数．
907 966 191 925 271
932 812 458 569 683
431 357 393 027 556
488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
解析：恰有两次命中的组为：
191 271 932 812 393，共5组，故所求事件的概率P＝＝0.25.
答案：B
5．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是__________．
解析：[a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
答案：
6．一个小组有6位同学，选1位小组长，用随机模拟法估计甲被选中的概率，给出下列步骤：
①统计甲的编号出现的个数m；
②将六名学生编号1、2、3、4、5、6；
③利用计算器或计算机产生1至6之间的整数随机数，统计其个数n；
④则甲被选中的概率估计是.
其正确步骤顺序是__________．(只需写出步骤的序号即可)
答案：②③①④
7．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636
9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045
6011 3661 9597 7424 6710 4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．
解析：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在这20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数．因此所求概率为＝0.75.
答案：0.75
8．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
解析：用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球．
(1)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是.
(2)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；
③任取三球，都是白球的概率估计值是.
9．某射击运动员每次击中目标的概率都是80%，若该运动员连续射击10次，用随机模拟方法估计其恰好有5次击中目标的概率．
解析：(1)用1，2，3，4，5，6，7，8表示击中目标，用9，0表示未击中目标，这样可以体现击中的概率为80%；
(2)利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数，每10个作为一组分组，统计组数n；
(3)统计这n组数中恰有5个数在1，2，3，4，5，6，7，8中的组数m；
(4)则连续射击10次恰有5次击中目标的概率的近似值是.
[B组 能力提升]
10．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：随机取出两个小球有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种情况，和为3只有1种情况(1，2)，和为6可以是(1，5)，(2，4)，共2种情况．所以P＝.
答案：A
11．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，则下列步骤中不正确的是
( )
A．用计算器的随机函数RANDI(1，7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束，出现2点的频率作为概率的近似值
解析：计算器的随机函数RANDI(1，7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，7)产生的是1到7之间的整数(包括1，7)，共7个整数．
答案：A
12．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 631 257 393 027 556 488
730 113 137 989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为__________．
解析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7组随机数，∴所求概率为.
答案：
13．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数．
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率为__________．
解析：产生30组随机数就相当于做了30次试验．如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707，共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为.
答案：
14．一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．
解析：利用计算器的随机函数RANDI(1，15)产生3个不同的1～15之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再利用计算器的随机函数RANDI(16，35)产生3个不同的16～35之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)；再用计算器的随机函数RANDI(36，47)产生2个不同的36～47之间的整数随机数(如果有一个重复，则重新产生一个)，这样就得到8道题的序号．
15．掷三枚骰子，利用电子表格软件(Excel)进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．
解析：操作步骤：
(1)打开电子表格软件，在表格中选择一格比如A1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1，6)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的1～6中的数．
(2)选定A1这个格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A1至T3，按Ctrl＋V快捷键，则在A1至T3的数均为随机产生的1～6的数．
(3)对产生随机数的各列求和，填入A4至T4中．
(4)统计和为9的个数S；最后，计算频率S/20.
PAGE第三章 概率
3．3 几何概型
3．3.1 几何概型
[A组 学业达标]
1．下列关于几何概型的说法错误的是
( )
A．几何概型也是古典概型中的一种
B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关
C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性
D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个
解析：几何概型与古典概型是两种不同的概型．
答案：A
2．在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17( )
A.
B.
C.
D.
解析：a∈(15，25]，∴P(17答案：C
3．在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：以AG为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间．∴所求概率P(A)＝＝.
答案：D
4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意可知在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝＝.
答案：C
5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，在△ABC中，在AB上取点D使BD＝AB，则＝，此时S△DBC＝S.在AB边上取点P，则所有的随机结果为AB上的点，而使面积大于的点落在AD上，∴P＝.
答案：C
6．在1
000
mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3
mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是__________．
解析：由几何概型知，P＝.
答案：
7．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是__________．
解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，
当P落在阴影部分内时符合要求．∴P＝＝.
答案：
8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为__________．
解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：
P＝＝π.
答案：π
9．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率．
解析：如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．
设事件A为“所作正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6
cm与9
cm之间”．
取AC＝6
cm，CD＝3
cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生．
所以P(A)＝＝＝.
10．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9
cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1
cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解析：(1)如图①所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1
cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.
(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1
cm时，如图②阴影部分，四块合起来面积为π
cm2，故所求概率是.
[B组 能力提升]
11．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析：由于满足条件的点P发生的概率为，且点P在边CD上运动，根据图形的对称性当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则BF＝x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，所以＝.
答案：D
12．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
13．如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是__________．
解析：设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝＝，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.
答案：
14．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为__________．
解析：设圆面半径为R，如图所示：
△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin
60°·Rcos
60°＝，
所以P＝＝＝.
答案：
15．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解析：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为
P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
所以所求的概率为P(A)＝＝.
PAGE第三章 概率
3．3 几何概型
3．3.2 均匀随机数的产生
[A组 学业达标]
1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决
( )
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
解析：很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
答案：C
2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则
( )
A．m>n
B．mC．m＝n
D．m是n的近似值
答案：D
3．设x是[0，1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是
( )
A．0
B．2
C．4
D．5
解析：当x＝时，y＝2×＋3＝4.
答案：C
4.在矩形ABCD中，长AB＝4，宽BC＝2(如图所示)，随机向矩形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
5．把[0，1]内的均匀随机数分别转化为[0，4]和[－4，1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为
( )
A．y＝－4x，y＝5－4
B．y＝4x－4，y＝4x＋3
C．y＝4x，y＝5x－4
D．y＝4x，y＝4x＋3
答案：C
6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1
000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__________．
解析：由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18，
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
答案：0.18
7．已知利用计算机产生[0，1]上的均匀随机数x＝0.2，则利用伸缩和平移变换后，得到在[2，4]内的均匀随机数为__________．
解析：利用计算机产生[0，1]上的均匀随机数后，由伸缩和平移变换公式x＝x1×(b－a)＋a，得到[a，b]上的均匀随机数0.2×(4－2)＋2＝2.4.
答案：2.4
8．任意扔一个豆子在正方形中，则落在正方形内切圆内的概率是__________．
解析：设正方形边长为2，则面积为4，其内切圆的半径为1，面积为π，则任意扔一豆子在正方形中，落入其内切圆的概率P＝.
答案：
9．某人从甲地去乙地共走了500
m，途中要过一条宽为x
m的河流，他不小心把一件物品丢在了途中，若物品掉在河里就找不到了，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，求河宽．
解析：已知河宽为x
m，由题意得1－＝，
解得x＝100，即河宽100
m.
10.利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝2－2x－x2与x轴围成的图形)的面积．
解析：(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换a＝4a1－3，b＝3b1，得到一组[－3，1]上和一组[0，3]上的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点的个数N1(满足条件b＜2－2a－a2的点(a，b)的个数)．
(4)计算频率，这就是点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为.于是≈.
故S≈即为阴影部分面积的近似值．
[B组 能力提升]
11.如图所示，在墙上挂着一块边长为16
cm的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm，4
cm，6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，
记事件A＝{投中大圆内}，
事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，
事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RNAD.
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8，8]内的均匀随机数．
(3)统计投在大圆内的次数N1(即满足a2＋b2<36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N2(即满足4则概率P(A)、P(B)、P(C)的近似值分别是
( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
解析：P(A)的近似值为，P(B)的近似值为，P(C)的近似值为.
答案：A
12．设函数y＝f(x)在区间[0，1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1，2，…N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1，2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得到S的近似值为__________．
解析：这种随机模拟的方法，是在[0，1]内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系＝，而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为.
答案：
13．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，则弦长超过半径倍的概率为__________．
解析：如图所示，在圆周上过定点A作弦AB＝AC＝r，则BC是圆的一条直径．
当取的点在BC上方时满足了弦长大于半径的倍，所以P＝.
答案：
14．在长为14
cm的线段AB上任取一点M，以A为圆心，以线段AM为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9πcm2到16πcm2之间的概率．
解析：设事件A表示“圆的面积介于9π
cm2到16π
cm2之间”．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换a＝14a1得到一组[0，14]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和[3，4]内的随机数个数N1(即满足3≤a≤4的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
15．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．
解析：记事件A＝{硬币与格线有公共点}，
设硬币中心为B(x，y)．
步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移，伸缩变换，则x＝(x1－0.5)
6，y＝(y1－0.5)
6，得到两组[－3，3]内的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≤2或|y|≤2的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．
PAGE