1.1.1
正弦定理
[A组 学业达标]
1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin
A∶sin
C的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由正弦定理得sin
A∶sin
C＝a∶c＝7∶5.
答案：A
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )
A.
B．1
C.
D．2
解析：根据三角形内角和定理得C＝30°，
根据正弦定理＝，
得c＝＝＝2.
答案：D
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝( )
A.
B．
C．2
D．4
解析：由正弦定理得b＝＝＝＝2.
答案：C
4．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝( )
A.
B．3－
C．2
D．3＋
解析：由正弦定理得
BC＝＝
＝＝＝3－.
答案：B
5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有( )
A．两解
B．一解
C．无解
D．无穷多解
解析：由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，
所以此三角形为正三角形，有唯一解．
答案：B
6．在△ABC中，已知a＝，b＝1，A＝45°，则C的大小为________．
解析：sin
B＝＝＝.
∵a＞b，∴B＝30°，
∴C＝180°－30°－45°＝105°.
答案：105°
7．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，则C＝________.
解析：sin
B＝＝＝.
a＞b，∴B＝.
C＝.
答案：
8．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
答案：7
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin
A＝acos
C．求角C的大小．
解析：由正弦定理得sin
Csin
A＝sin
Acos
C.
因为0＜A＜π，所以sin
A＞0，
从而sin
C＝cos
C．又cos
C≠0，
所以tan
C＝1，则C＝.
10.如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
解析：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理知：＝，
求得BC＝11.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB
＝11×tan
30°＝11.
[B组 能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin
B(1＋2cos
C)＝2sin
Acos
C＋cos
Asin
C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b
B．b＝2a
C．A＝2B
D．B＝2A
解析：2sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝sin
Acos
C＋(sin
Acos
C＋cos
Asin
C)＝sin
Acos
C＋sin
B＝sin
B＋2sin
Bcos
C，即sin
Acos
C＝2sin
Bcos
C，由于△ABC为锐角三角形，所以cos
C≠0，sin
A＝2sin
B，由正弦定理可得a＝2b.
答案：A
12．在△ABC中，A＝π，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A.
B．
C.
D.
解析：由正弦定理得＝，
所以sin
C＝＝＝.
又因为A＝π，所以C∈，
所以cos
C＝＝＝，
因为A＋B＋C＝π，所以sin
B＝sin(A＋C)
＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C
＝×＋×＝，
所以＝＝.
答案：D
13．在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，若用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是________．
解析：因为＝＝＝2，所以a＝2sin
A，A＋C＝180°－45°＝135°，由A有两个值，得到这两个值互补，若A≤45°，则互补的角大于等于135°，这样A＋B≥180°.不成立，所以45°＜A＜135°，又若A＝90°，这样补角也是90°，一解，所以＜sin
A＜1，又a＝2sin
A，所以2＜a＜2.
答案：(2,2)
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos
C＋bsin
C－a－c＝0，则角B＝________.
解析：由正弦定理知，
sin
Bcos
C＋sin
Bsin
C－sin
A－sin
C＝0.
因为sin
A＝sin(B＋C)
＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C，
代入上式得sin
Bsin
C－cos
Bsin
C－sin
C＝0.
因为sin
C＞0，所以sin
B－cos
B－1＝0，
所以2sin＝1，
即sin＝.
因为B∈(0，π)，所以B＝.
答案：
15．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C.
(1)求B的范围；
(2)试求的范围．
解析：(1)在锐角三角形ABC中，0＜A＜，
0＜B＜，0＜C＜，
所以解得＜B＜.
(2)由正弦定理知＝＝＝2cos
B∈(，)，故的范围是(，)．
16．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，满足(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断△ABC的形状．
解析：因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2sin
Acos
B·b2＝2cos
Asin
B·a2，
即a2cos
Asin
B＝b2sin
AcosB．
由正弦定理知a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，
所以sin2Acos
Asin
B＝sin2Bsin
Acos
B，
又sin
A·sin
B≠0，
所以sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
所以sin
2A＝sin
2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
PAGE1.1.2
余弦定理
[A组 学业达标]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sin
C等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝1＋32－8×＝25，所以b＝5.cos
C＝＝－，
sin
C＝＝.
答案：B
2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为( )
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cos
θ＝＝，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°.
答案：B
3．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2＋b2，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
解析：因为c2＜a2＋b2，所以C为锐角，
因为a＜b＜c，所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形．
答案：B
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.
B．
C.
D.
解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos
α＝＝.
答案：D
5．在△ABC中，有下列结论：
①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；
②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；
③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；
④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①cos
A＝＜0，所以A为钝角，正确；②cos
A＝＝
－，所以A＝120°，错误；③cos
C＝＞0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．
答案：A
6．在△ABC中，已知sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________．
解析：因为sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶5∶7，
所以由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，
所以a＝，c＝，A为三角形的最小内角，
所以由余弦定理可得cos
A＝＝＝.
答案：
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________.
解析：因为C＝60°，
所以c2＝a2＋b2－2abcos
60°，
即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
比较①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝.
答案：
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos
B＝________.
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cos
B＝＝＝.
答案：
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.
a＋c＝8，ac＝15，则a，c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos
B＝9＋25－2×3×5×＝19.
∴b＝.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)·tan
B＝ac.求角B的值．
解析：因为(a2＋c2－b2)·tan
B＝ac，
所以＝，
即cos
B＝，所以sin
B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B为或.
[B组 能力提升]
11．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79
B．69
C．5
D．－5
解析：由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，因为向量与的夹角为180°－∠ABC，
所以·＝||||cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.
答案：D
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2a－b＝2ccos
B，则角C的大小为( )
A.
B．
C.
D.
解析：由余弦定理cos
B＝，代入已知条件得：2a－b＝，整理得a2＋b2－c2＝ab，所以cos
C＝＝.又C∈(0，π)，所以C＝.
答案：B
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sin
B＝3sin
C，则cos
A的值为________．
解析：由2sin
B＝3sin
C及正弦定理可得2b＝3c，由b－c＝a可得a＝c，b＝c，由余弦定理可得cos
A＝＝.
答案：
14．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
解析：在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，将A＝，a＝c代入，
可得(c)2＝b2＋c2－2bc·(－)，
整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，
得2＝＋，即2＝()2＋.
令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，
解得t＝1或t＝－2(舍去)，故＝1.
答案：1
15．在△ABC中，已知cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状．
解析：法一：在△ABC中，由cos2＝，
得＝，∴cos
A＝.
根据余弦定理，得＝.
∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形．
法二：在△ABC中，
设其外接圆半径为R，由正弦定理，
得b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C.
由cos2＝知，cos
A＝.
∴cos
A＝，即sin
B＝sin
Ccos
A.
∵B＝π－(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sin
Ccos
A，
∴sin
Acos
C＝0.
∵A，C都是△ABC的内角，∴A≠0，A≠π.
∴cos
C＝0，∴C＝.
∴△ABC是直角三角形．
16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，b＝，4a－3cos
A＝0.
(1)求a的值；
(2)若B＝λA，求λ的值．
解析：(1)因为4a－3cos
A＝0，
故4a＝3cos
A，
所以4a＝3×，
因为c＝，b＝，
所以12a2＋80a－147＝0，
解得a＝或a＝－(舍去)，
故a＝.
(2)由(1)可知cos
A＝×＝，
所以sin
A＝，
故cos
2A＝cos2A－sin2A＝.
因为a＝，c＝，b＝，所以cos
B＝＝，所以cos
2A＝cos
B，
因为在△ABC中，c＞b＞a，故B＝2A，即λ的值为2.
PAGE第1课时
距离测量问题
[A组 学业达标]
1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12米
B．8米
C．3
米
D．4
米
解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，
∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
C＝42＋42－2×4×4×＝48，
∴AB＝4米．
答案：D
2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是( )
A．a
km
B．a
km
C.a
km
D．2a
km
解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，
∵AC＝BC＝a，
∴由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2，
∴AB＝a(km)，
即灯塔A与灯塔B的距离为a
km.
答案：C
3．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1
km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为( )
A.
km
B．
km
C．1.5
km
D．2
km
解析：根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
C，
∴AB＝
＝＝(km)．故选A.
答案：A
4.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)海里每小时
B．20(－)海里每小时
C．20(＋)海里每小时
D．20(－)海里每小时
解析：由正弦定理得＝，所以MN＝10(－)海里，速度为
20(－)海里每小时．
答案：B
5．有一长为10
m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )
A．5
m
B．10
m
C．10
m
D．10
m
解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10
m.
在△BAB′中，由正弦定理，得
BB′＝＝＝10(m)．
所以坡底要延长10
m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
答案：C
6．上海世博园中的世博轴是一条1
000
m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________
m.
解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500
m，∠DCB＝60°，∴BC＝
m.
答案：
7．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的南偏东70°处，那么B，C两点的距离是________海里．
解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝×sin
30°＝10.
答案：10
8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3
km到B处，再沿正东方向行走2
km到C处，则A，C两地距离为________
km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°，
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos
150°＝49，AC＝7.
则A，C两地距离为7
km.
答案：7
9.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？
解析：由题意，在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°；
由正弦定理得
BC＝·sin∠BAC
＝·sin
30°＝
＝15(＋)．
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)＞38.
所以此船无触礁的危险．
10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进
km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
解析：依题意得，CD＝(km)，
∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，
∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.
在△BDC中，由正弦定理得
BC＝＝＝(km)．
在△ADC中，由正弦定理得
AC＝＝＝3(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB
＝(3)2＋()2－2×3×cos
45°＝25.
所以AB＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5
km.
[B组 能力提升]
11．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A．10米
B．100米
C．30米
D．20米
解析：如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为30°，连接BC，BD，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
可得BC＝AB＝30米，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
可得BD＝AB＝30米，
在△BCD中，BC＝30米，BD＝30米，∠CBD＝30°，
由余弦定理可得：
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos
30°＝900，
∴CD＝30(负值舍去)．
答案：C
12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)
m
B．180(－1)
m
C．120(－1)
m
D．30(＋1)
m
解析：如图，在△ADC中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60
m，
所以CD＝AD·tan
60°＝60(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan
15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．故选C.
答案：C
13．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．
解析：设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y
km，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos
120°＝28x2－20x＋100
＝28(x2－x)＋100＝282－＋100
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，y2有最小值．∴y最小．
答案：分钟
14．一蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x＝________.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10
cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝
＝＝(cm)．即x的值为
cm.
答案：
cm
15．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间，该考点才算合格？
解析：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1，∴×60＝5，
∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最少需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
16.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31
km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20
km后到达D处，测得C，D两处的距离为21
km，这时此车距离A城多少千米？
解析：在△BCD中，BC＝31
km，BD＝20
km，CD＝21
km，
由余弦定理得cos∠BDC＝＝＝－.∴cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝.在△ACD中，由条件知CD＝21
km，∠BAC＝20°＋40°＝60°，
∴sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝×＋×＝.由正弦定理得＝，
∴AD＝×＝15(km)．
即此车距离A城15
km.
PAGE测量高度、角度问题
[A组 学业达标]
1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的( )
A．北偏西35°
B．北偏东55°
C．南偏西35°
D．南偏西55°
答案：D
2．如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100米
B．50米
C．50米
D．50(＋1)米
解析：设AB＝x
m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°，
在Rt△ABC中，BC＝AB＝x，
在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x，
所以DB＝AB，
即100＋x＝x，解得x＝50(＋1)
m.
所以山AB的高度为50(＋1)米．
答案：D
3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40
m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为( )
A．20
m
B．20
m
C．20
m
D．40
m
解析：设高OP＝h，则OA＝htan
60°＝h，OB＝htan
45°＝h.在△AOB中，由余弦定理得402＝(h)2＋h2－2·h·h·cos
30°，解得h＝40.故选D.
答案：D
4．在静水中划船的速度是每分钟40
m，水流的速度是每分钟20
m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )
A.
B．
C.
D.π
解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．
则由题意知，
sin
α＝＝＝，
又α∈，∴α＝.
答案：C
5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20
m，则建筑物的高度为( )
A．20
m
B．30
m
C．40
m
D．60
m
解析：如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20
m，∴OD＝20
m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan
60°＝60
m，∴AB＝OA－OB＝40
m，故选C.
答案：C
6．某人向正东方向走x
km后向右转150°，然后朝新方向走3
km，结果他离出发点恰好
km，那么x的值为________．
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.由余弦定理得()2＝32＋x2－2×3·x·cos
30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，检验均符合题意．
答案：或2
7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100
m，汽车从C点到B点历时14
s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)．
解析：由题意，AB＝200
m，AC＝100
m，
由余弦定理可得
BC＝
＝100
m
这辆汽车的速度为100÷14≈22.6
m/s.
答案：22.6
8.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡走a
m到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________
m.
解析：在△PAB中，∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，∠ABP＝180°－∠BAP－∠APB＝180°－(γ－β)，AB＝a，由正弦定理可得PA＝＝.在Rt△PAQ中，PQ＝PA·sin
α＝.
答案：
9．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200
m以后测得山峰的仰角为4θ，求该山峰的高度．
解析：如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，
BD＝ED＝600，BC＝DC＝200.
在△BCD中，由余弦定理可得
cos
2θ＝＝，
所以2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，AB＝BC·sin
4θ＝200×＝300(m)．
即山峰高度为300
m.
10.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)求∠BAC的正弦值．
解析：(1)在△ABC中，
由已知，得
AB＝10×5＝50(海里)，
BC＝10×3＝30(海里)，
∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
由余弦定理得AC2＝502＋302－2×50×30cos
120°＝4
900，所以AC＝70(海里)．
故A，C两岛之间的距离为70海里．
(2)在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
所以sin∠BAC＝＝＝，
故∠BAC的正弦值是.
[B组 能力提升]
11．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，从点A沿北偏东30°方向前进100
m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos
60°，即h2＋50h－5
000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50(负值舍去)，故水柱的高度是50
m.
答案：A
12.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1
200
m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为( )
A．600
m
B．600
m
C．200
m
D．200
m
解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，
即＝，解得AC＝600.
在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，
∴CD＝ACtan∠DAC＝600×＝600，
故选A.
答案：A
13.如图所示，位于某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20
n
mile的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°＜θ＜45°)的C处，且cos
θ＝.已知A，C两处的距离为10
n
mile，则该货船的航速为______n
mile/h.
解析：因为cos
θ＝，0°＜θ＜45°，
所以sin
θ＝，
所以cos(45°－θ)＝×＋×＝.
在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20×10×＝340，
所以BC＝2.
故该货船的航速为4
n
mile/h.
答案：4
14．我舰在岛A南偏西50°相距12
n
mile的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西
10°的方向以10
n
mile/h的速度航行，若我舰要用2
h追上敌舰，则速度为
_____
n
mile/h.
解析：如图所示，设我舰在C处追上敌舰，速度为v
n
mile/h，则在△ABC中，AC＝10×2＝20(n
mile)，AB＝12
n
mile，∠BAC＝120°，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
120°＝784，所以BC＝28
n
mile，则速度v＝＝14(n
mile/h)．
答案：14
15.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60
m，求建筑物的高度．
解析：设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，
得cos∠PBA＝，①
cos∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30
m.
16.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解析：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos
A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos
120°＝6.
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又0°＜∠ABC＜60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵0°＜∠BCD＜60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
PAGE第3课时
三角形中的几何计算
[A组 学业达标]
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( )
A．12
B.
C．28
D．6
解析：cos
A＝＝＝，
A＝60°，S△ABC＝bcsin
A＝6.
答案：D
2．在△ABC中，已知a＝3，cos
C＝，S△ABC＝4，则b＝( )
A.
B．2
C．4
D．3
解析：因为cos
C＝＞0，且0＜C＜π，
所以sin
C＝＝.
因为S△ABC＝absin
C＝×3×b×＝4，所以b＝2.
答案：B
3．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若S△ABC＝，则角A的大小为( )
A.
B．
C.
D.
解析：因为S△ABC＝bcsin
A＝(b2＋c2－a2)，
所以sin
A＝＝cos
A，所以A＝.
答案：B
4．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40
B．20
C．40
D．20
解析：设另两边长为8x,5x，则cos
60°＝，解得x＝2，
所以另两边长分别为16和10，
所以S＝×16×10×sin
60°＝40.
答案：A
5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )
A.
B．
C．2
D.
解析：由·＝1得2||cos(π－B)＝1，所以cos
B＝－.
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
B，
即9＝4＋BC2－4BCcos
B，
5＝BC2＋4BC·，BC2＝3，所以BC＝.
答案：A
6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则边a的值为________．
解析：由S△ABC＝bcsin
A＝csin
60°＝，得c＝4.于是a2＝b2＋c2－2bccos
A＝1＋16－8cos
60°＝13，所以a＝.
答案：
7．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC的外接圆半径为，则a＝________.
解析：因为S△ABC＝bcsin
A＝5，bc＝20，所以sin
A＝，因为△ABC的外接圆半径为，所以由正弦定理知＝2，
所以a＝2sin
A＝2×＝3.
答案：3
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos
A＝，则△ABC的面积S等于________．
解析：由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0，所以b＝2c.在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos
A，即6＝4c2＋c2－4c2·.
所以c＝2，从而b＝4.
所以S△ABC＝bcsin
A＝×2×4×＝.
答案：
9.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解析：在△BAD中，设BD＝x.
则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2×10xcos
60°，
解得x＝16，即BD＝16，
又在△BCD中，＝，
所以BC＝·sin
30°＝8.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin
A＝asin
2B.
(1)求角B；
(2)若b＝，a＋c＝ac，求△ABC的面积．
解析：(1)由bsin
A＝asin
2B，得sin
Bsin
A＝sin
Asin
2B，所以sin
B·sin
A＝2sin
A·sin
Bcos
B，所以cos
B＝.又B是三角形的内角，所以B＝.
(2)∵B＝，∴b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.
又b＝，a＋c＝ac，
∴(ac)2－3ac＝10，
∴(ac－5)(ac＋2)＝0，
∴ac＝5或ac＝－2(舍去)．
∴S△ABC＝acsin
B＝.
[B组 能力提升]
11．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )
A.
B．
C.
D.
解析：如图：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，
不妨令AB＝2，则BC＝CD＝1，作DE⊥AB于点E，可得AD＝，
AC＝＝.
在△ACD中，由余弦定理可得：
cos∠DAC＝＝
＝.
答案：B
12．在△ABC中，内角B＝60°，边长a＝8，b＝7，则此三角形的面积为( )
A．6
B．9
C．6或10
D．9或10
解析：由正弦定理得sin
A＝＝＝，
又因为a＞b，所以cos
A＝±
＝±.
因为sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以当cos
A＝时，
sin
C＝×＋×＝，
S△ABC＝absin
C＝×8×7×＝10.
当cos
A＝－时，
sin
C＝×＋×＝，
所以S△ABC＝absin
C＝×8×7×＝6.
答案：C
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，asin
B＝sin
C，cos
C＝，△ABC的面积为4，则c＝________.
解析：由asin
B＝sin
C，得ab＝c，
由cos
C＝，得sin
C＝，则S＝absin
C＝c＝4，解得c＝6.
答案：6
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btan
B＋btan
A＝－2ctan
B，且a＝8，△ABC的面积为4，则b＋c的值为________．
解析：由正弦定理，原等式可化为sin
B·＋sin
B·＝－2sin
C·，进一步化为cos
Asin
B＋sin
Acos
B＝－2sin
Ccos
A，则sin(A＋B)＝－2sin
Ccos
A，即cos
A＝－.在△ABC中，A＝，由面积公式S△ABC＝bcsin
A＝4，可知bc＝16，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(b＋c)2－bc，得b＋c＝4.
答案：4
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解析：(1)2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c，
由正弦定理得：2cos
C(sin
A·cos
B＋sin
B·cos
A)＝sin
C，
即2cos
C·sin(A＋B)＝sin
C.
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sin
C＞0，
所以2cos
C＝1，cos
C＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab·cos
C，
7＝a2＋b2－2ab·，(a＋b)2－3ab＝7，
S＝ab·sin
C＝ab＝，所以ab＝6，
所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin
A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解析：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin
A＝asin
B，又由bsin
A＝acos，得asin
B＝acos，即sin
B＝cos(B－)，可得tan
B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos
B＝7，故b＝.
由bsin
A＝acos，可得sin
A＝.因为a＜c，故cos
A＝.
因此sin
2A＝2sin
Acos
A＝，cos
2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin
2Acos
B－cos
2Asin
B＝×－×＝.
PAGE
