集合的概念
[A组 学业达标]
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案：D
2．下面说法正确的是( )
A．所有在N中的元素都在N
中
B．所有不在N
中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
答案：C
3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( )
A．0∈M,2∈M
B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M
D．0?M,2?M
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
答案：B
4．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：由元素的互异性知a，b，c均不相等．
答案：D
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含( )
A．2个元素
B．3个元素
C．4个元素
D．5个元素
解析：由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
答案：A
6．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2
B．2或4
C．4
D．0
解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；
若a＝4，则6－4＝2∈A
若a＝6，则6－6＝0?A，故选B.
答案：B
7．方程x2－4x＋4＝0的解集中，有__________个元素．
解析：易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．
答案：1
8．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b__________A，ab__________A．(填“∈”或“?”)
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b?A，ab∈A.
答案：? ∈
9．设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A，且3a∈A，则a的值为__________．
解析：∵a∈A，且3a∈A，∴解得a＜2.又∵a∈N，∴a＝0或a＝1.
答案：0或1
10．集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断是不是集合
A中的元素．
解析：由分母有理化，得＝2＋.由题意可知m＝2，n＝1，均有m∈Z，n∈Z，∴2＋∈A，即∈A.
[B组 能力提升]
1．已知集合A中的元素都是自然数，满足a∈A且4－a∈A的有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：若a＝0∈N，则4－a＝4∈N，符合题意；
若a＝1∈N，则4－a＝3∈N，符合题意；
若a＝2∈N，则4－a＝2∈N，不合题意；
若a＝3∈N，则4－a＝1∈N，符合题意；
若a＝4∈N，则4－a＝0∈N，符合题意；
当a＞4且a∈N时，均不符合题意．
综上，集合A的个数是2，故选C.
答案：C
2．已知集合M中的元素x满足x＝a＋b，其中a，b∈Z，则下列实数中不属于集合M中元素的个数是( )
①0；②－1；③3－1；④；⑤；⑥.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：当a＝b＝0时，x＝0；当a＝－1，b＝0时，x＝－1；当a＝－1，b＝3时，x＝－1＋3；＝＝6＋4，即a＝6，b＝4；当a＝0，b＝2时，x＝2＝；＝＝－1－，即a＝－1，b＝－1.综上所述：0，－1,3－1，，，都是集合M中的元素．
答案：A
3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为__________．
解析：由题意，知t∈N且t＝－x2＋1≤1，故t＝0或1.
答案：0或1
4．设集合M中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件．
(2)若－2∈M，求实数x的值．
解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1，x≠0且x≠3.
(2)因为－2∈M，
所以x＝－2或x2－2x＝－2.
若x2－2x＝－2，则x2－2x＋2＝0.
因为Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0.
方程无解．所以x＝－2.
5．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
解析：根据已知条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素．
(1)其他所有元素为－1，.
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A.其他所有元素为，.
(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
由已知，若a∈A，则∈A知，＝∈A，＝a∈A.
故A中只能有a，，这3个元素．
下面证明三个元素的互异性：若a＝，则a2－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a≠.
同理可证，a≠，≠.结论得证．
第2课时
集合的表示
[A组 学业达标]
1．不等式x－3<2且x∈N
的解集用列举法可表示为( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：由x－3<2可知x<5，又x∈N
，故x可以为1,2,3,4，故选B.
答案：B
2．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：集合A中有两个元素：(1,2)，(3,4)．
答案：B
3．如果A＝{x|x>－1}，那么( )
A．－2∈A
B．{0}∈A
C．－3∈A
D．0∈A
解析：∵0>－1，故0∈A，选D.
答案：D
4．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2}
B．{x＝2}
C．{2}
D．{x|x2－4x＋4＝0}
解析：集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
答案：B
5．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．
答案：B
6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为__________．
解析：正整数中所有的偶数均能被2整除．
答案：{x|x＝2n，n∈N
}
7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是__________．
解析：∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案：{a|a≤－2}
8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为__________．
解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
解析：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){x|x是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|x>3}．
10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解析：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
[B组 能力提升]
1．设集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
解析：因为A＝{0,1,2}，又集合B中元素为x－y且x∈A，y∈A，
所以x的可能取值为0,1,2；y的可能取值为0,1,2.
当x＝0时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为0，－1，－2；
当x＝1时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为1,0，－1；
当x＝2时，y＝0或1或2，此时对应的x－y的值为2,1,0.
综上可知，集合B＝{－2，－1,0,1,2}，
所以集合B中的元素的个数为5.
答案：C
2．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P
Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P
Q中元素的个数为( )
A．4
B．5
C．19
D．20
解析：由题意知集合P
Q的元素为点，当a＝1时，集合P
Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时，集合P
Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P
Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P
Q中元素的个数为19.
答案：C
3．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝__________.
解析：∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
答案：{0,1}
4．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；
②方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与集合{x|y＝1－x}是相等的．
其中正确的是__________(填序号)．
解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；
方程＋|y＋2|＝0等价于即解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或，故②不正确；
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
5．设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系．
(2)用列举法表示集合B.
解析：(1)当x＝1时，＝2∈N；当x＝2时，＝?N，所以1∈B,2?B.
(2)令x＝0,1,4代入∈N检验，可得B＝{0,1,4}．
6．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.
(1)若1∈A，用列举法表示A；
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集合B.
解析：(1)∵1∈A，
∴1是方程ax2＋2x＋1＝0的根．
∴a·12＋2×1＋1＝0，即a＝－3.
∴方程为－3x2＋2x＋1＝0.
∴x1＝1，x2＝－，此时A＝.
(2)若a＝0，则方程化为2x＋1＝0，x＝－，
A中仅有一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素，当且仅当Δ＝4－4a＝0，
即a＝1，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1.
∴所求集合B＝{0,1}．
PAGE集合间的基本关系
[A组 学业达标]
1．下列各选项中，表示M?N的是( )
解析：由M?N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中．
答案：C
2．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④??A，则A≠?.其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①错误，∵空集是任何集合的子集，∴???；②错误，如?只有一个子集为?；③错误，?不是空集的真子集；④正确，∵空集是任何非空集合的真子集．故选B.
答案：B
3．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，B＝，则A与B的关系是( )
A．A?B
B．B?A
C．A＝B
D．A∈B
解析：A＝{0,1,2，…}，B＝，A中任意一个元素均在B中．
答案：A
4．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系正确的是( )
①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.
A．①③
B．②③
C．③④
D．③⑥
解析：元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
答案：D
5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A?C?B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
答案：D
6．集合?和{0}的关系表示正确的有__________．(把正确的序号都填上)
①{0}＝?；②{0}∈?；③{0}??；④??{0}．
解析：?没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然?≠{0}，又?是任何非空集合的真子集，故有??{0}，所以④正确，①②③不正确．
答案：④
7．集合A＝{x|1解析：∵A＝{x|1答案：{a|a≥6}
8．已知集合A?{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为__________．
解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A中有0个奇数时，集合A＝?，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．
答案：?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}
9．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a、b的值．
解析：∵A＝B且1∈A，∴1∈B.若a＝1，则a2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍)，∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即b＝0；若ab＝1，则a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)，故a＝－1，b＝0.
10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
解析：(1)若A?B，由图1可知，a>2；
图1
(2)若B?A，当B≠?时，
由图2可知，1≤a≤2；
当B＝?时，a<1.
综上，a≤2.
图2
[B组 能力提升]
1．设A＝{x|1A．a≤2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≥2
解析：∵A?B，∴a≥2.
答案：D
2．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?，B?A，则(a，b)不能是( )
A．(－1,1)
B．(－1,0)
C．(0，－1)
D．(1,1)
解析：当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
答案：B
3．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为__________．
解析：∵xy>0，∴x，y同号，又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
4．已知：A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：A
B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A
B中最大的元素是__________，集合A
B的所有子集的个数为__________．
解析：由题意知A
B＝{2,3,4,5}，
∴A
B中最大的元素是5，
集合A
B有4个元素，
∴所有子集个数为24＝16.
答案：5 16
5．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B?A.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．
解析：(1)①当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝?符合题意；
②当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠?.
由B?A，借助数轴如图所示：
得解得0≤m≤.所以0≤m≤.
综合①②可知，实数m的取值范围为
.
(2)∵当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，
∴集合A的子集的个数为27＝128.
PAGE第1课时
并集与交集
[A组 学业达标]
1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，则A∪B＝( )
A．{1,6,5,6,8}
B．{1,5,6,8}
C．{0,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
解析：求集合的并集时，要注意集合中元素的互异性．
答案：B
2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N＝( )
A．{－1,0,1,2}
B．{0,1,2}
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
解析：
N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．
答案：D
3．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )
A．{x|x≥－1}
B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2}
D．{x|－1≤x≤2}
解析：借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．
答案：A
4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
答案：D
5．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0＜x＜2}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1，或x≥2}
D．{x|0≤x≤1，或x＞2}
解析：因为A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B的部分，即为{x|0≤x≤1，或x＞2}．
答案：D
6．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝__________.
解析：因为A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}．
答案：{x|－1＜x＜3}
7．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是__________．
解析：∵A∪B＝A，∴B?A.又A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，∴m≥2.
答案：m≥2
8．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是__________．
解析：由图可知，若A∩B≠?，则a＞－1，即a的取值范围为{a|a＞－1}．
答案：{a|a＞－1}
9．设集合A＝{x|－1解析：如图所示，设想集合A所表示的范围在数轴上移动，由A∪B＝{x|－1当且仅当集合A覆盖住{x|－110．集合A＝{x|－1(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．
解析：(1)如下图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1的左侧(含点x＝－1)，
∴a≤－1，即a的取值范围为{a|a≤－1}．
(2)如下图所示，A＝{x|－1∴数轴上的点x＝a在x＝－1和x＝1之间(含点x＝1，但不含点x＝－1)，∴－1[B组 能力提升]
1．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝( )
A．{1,2}
B．{1,5}
C．{2,5}
D．{1,2,5}
解析：∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，
∴a＋1＝2，即a＝1，∴A＝{1，b}，从而b＝2.
∴A＝{1,2}，B＝{2,5}，∴A∪B＝{1,2,5}．
答案：D
2．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为( )
A．{a|a<2}
B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1}
D．{a|－1≤a≤2}
解析：如图，要使A∩B＝?，应有a<－1.
答案：C
3．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝__________.
解析：用数轴表示集合A、B如图所示．由A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.
答案：6
4．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝__________.
解析：由已知得B?A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.
答案：0,1或－2
5．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，若A?(A∩B)，求实数a的取值范围．
解析：因为A?(A∩B)，且(A∩B)?A，
所以A∩B＝A，即A?B.
显然A＝?满足条件，此时a＜6.
若A≠?，如图所示，
则
或
由解得a∈?；
由解得a＞.
综上，满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是.
PAGE第2课时
补集及综合应用
[A组 学业达标]
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM＝( )
A．U
B．{1,3,5}
C．{3,5,6}
D．{2,4,6}
解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴?UM＝{3,5,6}．
答案：C
2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
解析：∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，
∴?U(A∪B)＝{4}．
答案：D
3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x>1}
B．{x|x≥1}
C．{x|1D．{x|1≤x≤2}
解析：由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知?RB＝{x|x≥1}．∴A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
答案：D
4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N
B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN)
D．(?UM)∩(?UN)
解析：∵?UM＝{1,4,5,6}，?UN＝{2,3,5,6}，
∴(?UM)∩(?UN)＝{5,6}，故选D.
答案：D
5．已知集合A＝{x|xA．{a|a≤1}
B．{a|a<1}
C．{a|a≥2}
D．{a|a>2}
解析：?RB＝{x|x≤1或x≥2}，如图所示．
∵A∪(?RB)＝R，∴a≥2.
答案：C
6．已知全集U＝N，集合A＝{x|x>3}，则?UA＝__________.
解析：由U＝N，A＝{x|x>3}可知?UA＝{0,1,2,3}．
答案：{0,1,2,3}
7．若A＝{8,4，m}，集合B＝{8,4}，若?AB＝{5}，则实数m＝__________.
解析：由(?AB)∪B＝A可知A＝{8,4,5}，从而m＝5.
答案：5
8．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则?UA与?UB的包含关系是__________．
解析：先求出?UA＝{x|x<0}，?UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}．∴?UA??UB.
答案：?UA??UB
9．设全集U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，求实数m的值．
解析：如图所示，∵U＝{0,1,2,3}，?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，
∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，
∴0＋3＝－m，即m＝－3.
10．设全集I＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B??IA，求实数a的取值范围．
解析：∵B＝{x|x<－a}，如图，∴?IA＝{x|x≤1}．
∵要使B??IA，
∴－a≤1，即a≥－1.
[B组 能力提升]
1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为( )
A．mn
B．m＋n
C．n－m
D．m－n
解析：画出Venn图，如图：
∵U＝A∪B中有m个元素，
(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．
答案：D
2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“
”，X
Y＝?U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X
Y)
Z＝( )
A．(X∪Y)∩?UZ
B．(X∩Y)∪?UZ
C．(?UX∪?UY)∩Z
D．(?UX∩?UY)∪Z
解析：依题意得(X
Y)＝?U(X∩Y)＝(?UX)∪(?UY)，(X
Y)
Z＝?U[(X
Y)∩Z]＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝{?U[?U(X∩Y)]}∪(?UZ)＝(X∩Y)∪(?UZ)．
答案：B
3．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则?R(A∩B)＝__________.
解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，
B＝{y|－4≤y≤0}，
∴A∩B＝{0}，
∴?R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．
答案：{x|x∈R，且x≠0}
4．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程
15－x＋x＋10－x＋8＝30?x＝3，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．
答案：12
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|m－2≤x≤m＋2，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A∩(?RB)＝A，求实数m的取值范围．
解析：(1)因为A∩B＝{x|0≤x≤3}，
所以
所以所以m＝2；
(2)?RB＝{x|xx>m＋2}，
由已知可得A??RB，
所以
m－2>3或m＋2<－1，
所以m>5或m<－3.
故实数m的取值范围为{m|m>5，或m<－3}．
PAGE1.2.1
函数的概念
[A组 学业达标]
1．下列说法正确的是( )
A．函数的定义域和值域可以是空集
B．函数的定义域和值域一定是数集
C．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
解析：A不正确，因为定义域和值域均为非空数集．C不正确，如在函数f(x)＝x2中，f(－2)＝f(2)＝4.D不正确，因为函数的值域是由定义域和对应关系确定的．
答案：B
2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为( )
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
解析：x＝0时，y＝0；x＝1时，y＝－1；x＝2时，y＝0；x＝3时，y＝3.
答案：A
3．设f(x)＝，则等于( )
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：f(2)＝＝＝.f＝＝＝－.∴＝－1.
答案：B
4．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．
答案：C
5．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－1,2)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．[－1,2)∪(2，＋∞)
解析：由题意可知，解得x≥－1且x≠2.所以，函数的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
答案：D
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是__________．
解析：由题意3a－1>a，得a>.
答案：
7．函数f(x)＝的定义域是__________(用区间表示)．
解析：函数f(x)＝的定义域应满足1－2x>0，即x<，用区间表示该数集为.
答案：
8．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝__________.
解析：由题意知＝2，解得a＝1.
答案：1
9．求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝.
解析：(1)由已知得
∴∴－≤x≤，
∴函数的定义域为.
(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，
∴|x＋2|≠1，
∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
解析：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，
f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
[B组 能力提升]
1．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正实数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f[f(－1)]＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去)．
答案：A
2．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．[0,1)
D．[0,1]
解析：由于x∈R，所以x2＋1≥1,0＜≤1，即0＜y≤1.
答案：B
3．已知函数f(x)的定义域为(0,1)，则f(2x)的定义域为__________．
解析：因为f(x)的定义域为(0,1)，所以要使f(2x)有意义，须使0＜2x＜1，即0＜x＜，所以函数f(2x)的定义域为.
答案：
4．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝__________.
解析：由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
019)＋f＋f＋…＋f.
解析：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f＝＝，
f(3)＝＝，f＝＝.
(2)由(1)发现f(x)＋f＝1.
证明如下：f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)f(1)＝＝.由(2)知f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，…，f(2
019)＋f＝1，
∴原式＝＋1＋1＋1＋…＋1＝2
018＋＝.
PAGE第1课时
函数的表示法
[A组 学业达标]
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A图比较符合题意．
答案：A
2．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A．3x＋2
B．3x－2
C．2x＋3
D．2x－3
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴
∴
∴f(x)＝3x－2.
答案：B
3．观察下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f(g(3)－f(－1))＝( )
A．3
B．4
C．－3
D．5
解析：由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，
∴f(g(3)－f(－1))＝f(－3)＝4.
答案：B
4．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0)
B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0)
D．y＝(x>0)
解析：由梯形面积公式得
(x＋3x)·y＝100，
∴xy＝50，∴y＝(x>0)．
答案：C
5．若f＝，则f(x)等于( )
A.(x≠－1)
B.(x≠0)
C.(x≠0且x≠－1)
D．1＋x(x≠－1)
解析：f＝＝(x≠0)，
∴f(t)＝(t≠0且t≠－1)，
∴f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
答案：C
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为__________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
7．已知f(2x)＝x2－x－1，则f(x)＝__________.
解析：令2x＝t，则x＝，
∴f(t)＝2－－1，即f(x)＝－－1.
答案：－－1
8．函数f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是__________．
解析：画出函数的图象，如图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2,11)．
答案：[2,11)
9．(1)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
解析：(1)∵2f(x)＋f＝3x， ①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
①×2－②得3f(x)＝6x－，
∴f(x)＝2x－(x≠0)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7.
10．作出函数y＝x2－2x(x∈[0,3))的图象．
解析：∵x∈[0,3)，∴这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x在0≤x＜3之间的一段弧，如图所示．
[B组 能力提升]
1．已知x≠0时，函数f(x)满足f＝x2＋，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝x＋(x≠0)
B．f(x)＝x2＋2(x≠0)
C．f(x)＝x2(x≠0)
D．f(x)＝2(x≠0)
解析：f＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
答案：B
2．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“?”为(a，b)?(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“?”为：(a，b)?(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q∈R，若(1,2)?(p，q)＝(5,0)，则(1,2)?(p，q)＝( )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－4)
解析：由题设可知：解得
∴(1,2)?(p，q)＝(1＋p,2＋q)＝(2,0)．
答案：B
3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于__________．
解析：由图可知f(3)＝1，从而f＝f(1)．
又f(1)＝2，故应填2.
答案：2
4．已知函数f(x)对任意实数a，b都满足：f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝3，则f(3)＝__________.
解析：∵f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝3，∴f(1)＝，
∴f(3)＝3f(1)＝3×＝或f(3)＝f(2)＋f(1)＝.
答案：
5．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
PAGE第2课时
分段函数与映射
[A组 学业达标]
1．已知f(x)＝则f(x)的定义域为( )
A．R
B．(－∞，1]
C．(－∞，2)
D．(1，＋∞)
解析：f(x)的定义域为(－∞，1]∪(1,2)＝(－∞，2)．
答案：C
2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )
解析：∵f(x)＝x|x|＝∴图象D符合．
答案：D
3．设函数f(x)＝则f的值为( )
A.
B．－
C.
D．18
解析：∵f(2)＝22＋2－2＝4，∴f＝f＝1－＝.
答案：A
4．在如图所示的对应中是A到B的映射的是( )
A．(2)
B．(3)
C．(3)(4)
D．(4)
解析：结合映射的定义，对(1)，(2)，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而(3)，(4)则符合要求，能构成映射．
答案：C
5．拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费符合f(m)＝其中[m]表示不超过m的最大整数，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )
A．3.71
B．4.24
C．4.77
D．7.95
解析：f(5.2)＝1.06×(0.5×[5.2]＋2)＝1.06×(2.5＋2)＝4.77.
答案：C
6．设函数f(x)＝，则f[f(2)]＝__________.
解析：∵f(2)＝＝1，∴f[f(2)]＝f(1)＝0.
答案：0
7．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，
则∴
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1.
答案：f(x)＝
8．A＝R，B＝{x|x≥1}，映射f：A→B，且A中元素x与B中元素y＝x2＋1对应，当y＝2时，x＝__________.
解析：由题意可知，x2＋1＝2，
解得x＝1或x＝－1(舍去)．
答案：1
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数的图象．
解析：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∵－3<0，
∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
∵0<1<4，
∴f(f(f(5)))＝f(1)
＝12－2×1＝－1，
即f(f(f(5)))＝－1.
(2)图象如图所示．
10．作函数y＝|x＋3|＋|x－5|图象，并求出相应的函数值域．
解析：因为函数y＝|x＋3|＋|x－5|，
y＝
所以y＝|x＋3|＋|x－5|的图象如图所示：
由此可知，y＝|x＋3|＋|x－5|的值域为[8，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．已知f(x)＝则f(3)等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：f(3)＝f(3＋2)＝f(5)，
f(5)＝f(5＋2)＝f(7)．
∵f(7)＝7－5＝2，故f(3)＝2.
答案：A
2．映射f：A→B，在f作用下A中元素(x，y)与B中元素(x－1,3－y)对应，则与B中元素(0,1)对应的A中元素是( )
A．(－1,2)
B．(0,3)
C．(1,2)
D．(－1,3)
解析：由题意知解得所以与B中元素(0,1)对应的A中元素是(1,2)．
答案：C
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为__________．
解析：当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上f(x)＝
答案：f(x)＝
4．已知f(x)＝则f＋f的值等于__________．
解析：∵>0，
∴f＝2×＝；
∵－≤0，∴f
＝f＝f；
∵－≤0，
∴f＝f＝f；
∵>0，∴f＝2×＝，
∴f＋f＝＋＝4.
答案：4
5．在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P，从B点开始，沿折线BCDA向A点运动(如图)，设P点移动的距离为x，△ABP的面积为y，求函数y＝f(x)及其定义域．
解析：如题图，当点P在线段BC上，即0≤x≤4时，y＝×4×x＝2x；
当P点在线段CD上，即4当P点在线段DA上，即8∴y＝f(x)＝
且f(x)的定义域是[0,12]．
PAGE第1课时
函数的单调性
[A组 学业达标]
1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3
D．f(x)＝x＋
解析：>0?f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A，B错误；f(x)＝x＋在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故只有C正确．
答案：C
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
解析：－1＜0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.
答案：A
3．函数y＝－x2＋2x－2的单调递减区间是( )
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，2]
D．[2，＋∞)
解析：∵函数y＝－x2＋2x－2的开口向下，且对称轴为x＝1，
∴函数y＝－x2＋2x－2的单调递减区间是[1，＋∞)．
答案：B
4．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是( )
A．(－∞，1]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，1]，[2，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：f(x)＝x|x－2|＝
作出f(x)简图如图：
由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．
答案：C
5．函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上( )
A．递增
B．递减
C．先增再减
D．先减再增
解析：∵y＝x在(0，＋∞)上递增，y＝－在(0，＋∞)上也递增，∴f(x)＝x－在(0，＋∞)上递增．
答案：A
6．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是__________．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是__________．
解析：由题设可知m－1<2m－1，即m>0.
答案：m>0
8．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是__________．
解析：
得≤a＜.
答案：≤a＜
9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
证明如下：
设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2＞0，
又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
10．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2，2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
解析：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以当
－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)成立；反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.
因为f(1－m)＜f(m)，
所以解得＜m≤2.
所以实数m的取值范围为.
[B组 能力提升]
1．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(0,2)
D．(0,2]
解析：依题意得实数a满足
解得0＜a≤2.
答案：D
2．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
D．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
解析：因为f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，所以a≤－b，b≤－a，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
答案：A
3．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是__________．
解析：由f(x)在[1,2]上单调递减可得a≤1；由g(x)在[1,2]上单调递减可得a＞0，
∴a∈(0,1]．
答案：(0,1]
4．已知函数f(x)是(0，＋∞)上的减函数，则f(a2－a＋1)与f的大小关系是__________．
解析：∵a2－a＋1＝2＋≥＞0，
又∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.
答案：f(a2－a＋1)≤f
5．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：
(1)f(xy)＝f(x)＋f(y)；
(2)f(2)＝1；
(3)在(0，＋∞)上是增函数．
如果f(2)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．
解析：∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴令x＝y＝2，
得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)．
又f(2)＝1，∴f(4)＝2.
∵f(2)＋f(x－3)＝f(2(x－3))＝f(2x－6)，
∴f(2x－6)≤2＝f(4)，即f(2x－6)≤f(4)．
∵f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴解得3＜x≤5.
故x的取值范围为(3,5]．
PAGE第2课时
函数的最大（小）值
[A组 学业达标]
1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )
A．3,0
B．3,1
C．3，无最小值
D．3，－2
解析：观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
答案：C
2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为( )
A．42,12
B．42，－
C．12，－
D．无最大值，最小值－
解析：f(x)＝x2＋3x＋2＝2－，
∵－5<－<5，
∴f(x)min＝f＝－，无最大值．
答案：D
3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为( )
A．0或1
B．1
C．2
D．以上都不对
解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2＝(x－a)2－a2＋a＋2，对称轴为x＝a，开口方向向上，所以f(x)在[0，a]上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，
即f(x)max＝f(0)＝a＋2＝3，
f(x)min＝f(a)＝－a2＋a＋2＝2，故a＝1.
答案：B
4．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f(x)A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①不正确，如f(x)＝－x2＋1≤2，但2不是f(x)的最大值；②正确，由题设可知f(x)≤f(x0)；③正确，符合最大值定义．
答案：C
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立
，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，0]
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
答案：C
6．函数f(x)＝的最大值为__________．
解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.
故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
7．函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值是__________．
解析：设2≤x1＜x2≤5，
则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x1＜x2≤5，
∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＜0.
∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝在区间[2,5]上是单调减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2.
答案：2
8．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
解析：对称轴方程为x＝1－a.∵函数f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
答案：(－∞，－4]
9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解析：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)求实数a的范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f(x)的最小值．
解析：(1)f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
可知f(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
(2)当－a≤－5，即a≥5时，f(x)在[－5,5]上是增函数，所以f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
当－5<－a≤5，即－5≤a<5时，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
当－a>5，即a<－5时，f(x)在[－5,5]上是减函数，
所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a.
综上可得，f(x)min＝
[B组 能力提升]
1．若函数y＝x2＋2x＋2在闭区间[m,1]上有最大值5，最小值1，则m的取值范围是( )
A．[－1,1]
B．[－1，＋∞)
C．[－3,0]
D．[－3，－1]
解析：函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，所以图象开口向上，对称轴是x＝－1，最小值为1，要使函数值为5，需x＝1或x＝－3，所以m的取值范围是[－3，－1]．
答案：D
2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元
B．60万元
C．120万元
D．120.25万元
解析：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：C
3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__________．
解析：由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，
又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，
∴1＜a≤3.
答案：(1,3]
4．设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
PAGE奇偶性
[A组 学业达标]
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x|
B．y＝3－x
C．y＝
D．y＝－x2＋4
解析：对A、D，可验证为偶函数，B为非奇非偶函数．
答案：C
2．已知f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )
A．5
B．10
C．8
D．不确定
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－4)＝f(4)＝5，
∴f(4)＋f(－4)＝5＋5＝10.
答案：B
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
答案：A
4．已知偶函数y＝f(x)在[0,4]上是增函数，则一定有( )
A．f(－3)>f(π)
B．f(－3)C．f(3)>f(－π)
D．f(－3)>f(－π)
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0,4]上是增函数，∴f(3)∴f(－3)答案：B
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝( )
A．x－x2
B．－x－x2
C．－x＋x2
D．x＋x2
解析：当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，
又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.
答案：D
6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝__________.
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x＋a)(－x－4)＝(x＋a)(x－4)恒成立，
整理得，(a－4)x＝0恒成立，∴a＝4.
答案：4
7．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__________.
解析：∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(4－x)＝f(x)，
∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，
即f(1)＝3.
∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(－1)＝f(1)＝3.
答案：3
8．偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则不等式f(x)＞f(1)的解集是__________．
解析：因为f(x)是偶函数，所以f(|x|)＝f(x)，所以f(x)＞f(1)可转为f(|x|)＞f(1)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以|x|＞1，即x＜－1或x＞1.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．已知函数f(x)和g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
解析：∵f(－1)＝2g(－1)＋1＝8，
∴g(－1)＝，
又∵g(x)为奇函数，
∴g(－1)＝－g(1)．
∴g(1)＝－g(－1)＝－，
∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×＋1＝－6.
10．函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
解析：(1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)．
所以f(x)为偶函数．
[B组 能力提升]
1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
解析：遇到以偶函数为背景的此类题目，画出不含坐标轴的二次函数简图．若f(x)在(－∞，0]上递减，则开口向上，若f(x)在(－∞，0]上递增，则开口向下．如图所示：
易得f(x)<0时x的范围是(－2,2)．
答案：D
2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递增，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴－＜2x－1＜，
解得＜x＜.
答案：A
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝__________.
解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，
又∵f(x)是R上的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
∴f(7)＝f(－1)＝－2.
答案：－2
4．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
解析：(1)由题意知
即
解得
∴f(x)＝.
(2)证明：任取x1，x2且满足－1则x2－x1>0，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－1∴－10.
于是f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)为(－1,1)上的增函数．
(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1PAGE