单元综合检测(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝3，b＝4，sin
B＝，则sin
A等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由正弦定理＝，解得sin
A＝.
答案：A
2．在△ABC中，∠ACB＝，BC＝，AC＝4，则AB等于( )
A.
B．3
C.
D.
解析：由余弦定理，
得AB＝＝.
答案：A
3．在△ABC中，A＝60°，b＝6，c＝10，则△ABC的面积为( )
A．15
B．15
C．15
D．30
解析：由S＝bcsin
A＝×6×10×sin
60°＝15.
答案：B
4．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B等于( )
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
解析：在△ABC中，由正弦定理＝，解得sin
B＝，故B为60°或120°，故选B.
答案：B
5．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C为钝角，则x的取值范围是( )
A．x＜5
B．5＜x＜7
C．1＜x＜5
D．1＜x＜7
解析：由已知条件可知x＜3＋4且32＋42＜x2，
∴5＜x＜7.
答案：B
6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝7，b＝8，A＝98°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
解析：A中已知两角与一边，有唯一解；B中，a＞b，且A＝150°，也有唯一解；C中b＞a，且A＝98°为钝角，故解不存在；D中由于b·sin
45°＜a＜b，故有两解．
答案：D
7．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A.
B．
C.
D.
解析：b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，
∴cos
B＝＝.
答案：B
8．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是( )
A．(8,10)
B．(2，)
C．(2，10)
D．(，8)
解析：由此三角形为锐角三角形结合余弦定理的推论，可得解得8＜a2＜10，故2＜a＜.
答案：B
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝3，B＝30°，若加一个条件，使△ABC唯一，则可加的条件是( )
A．A≠60°
B．A≠150°
C．△ABC是钝角三角形
D．△ABC是锐角三角形
解析：由正弦定理，得＝，得sin
C＝，则C＝60°或C＝120°，由此可得A＝90°或A＝30°，则当△ABC是钝角三角形时，A＝30°，确定唯一的△ABC.
答案：C
10．有一长为1
km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1
km
B．2sin
10°
km
C．2cos
10°
km
D．cos
20°
km
解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1
km，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理＝，得AD＝AB·＝＝2cos
10°(km)．
答案：C
11．在△ABC中，A＝，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：由正弦定理＝，得sin
B＝＝＝1，所以B＝，C＝，S＝AC·BC·sin
C＝×4×2×sin
＝2.
答案：B
12．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A.
B．
C.
D.
解析：由余弦定理得：
AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos
B，
即AB2－2AB－3＝0，故AB＝3，所以AD＝ABsin
B＝.故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在等腰△ABC中，已知sin
A∶sin
B＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
解析：由正弦定理得BC∶AC＝sin
A∶sin
B＝1∶2.
又∵BC＝10，∴AC＝20，∴AB＝AC＝20.
∴△ABC的周长是10＋20＋20＝50.
答案：50
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，
A＝，则b＝________.
解析：由＝，
得sin
C＝＝＝，
∴C＝或.
当C＝时，B＝，∴b＝2；
当C＝时，B＝，∴b＝1.
综上所述，b＝2或1.
答案：2或1
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝________.
解析：由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，
∵b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝.
又∵A∈(0，π)，∴A＝.
答案：
16．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝________.
解析：由S△ABC＝acsin
B得sin
B＝，∴B＝60°或120°.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
B＝(a－c)2＋2ac－2accos
B＝22＋2×48－2×48cos
B，∴b2＝52或148，即b＝2或2.
答案：2或2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)依题意，由余弦定理得
cos
C＝＝－.
∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.
(2)S△ABC＝absin
C＝×4×5×sin
120°＝×4×5×＝5.
18．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos
Asin
B＝sin
C，试判断△ABC的形状．
解析：由正弦定理得＝，由2cos
Asin
B＝sin
C，
有cos
A＝＝.
又由余弦定理得cos
A＝，
∴＝，即c2＝b2＋c2－a2，
∴a2＝b2，∴a＝b.
又a2＋b2－c2＝ab，
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－(b－c)2＝bc.
(1)求角A；
(2)若＝c＝2，求b的值．
解析：(1)由a2－(b－c)2＝bc得：a2－b2－c2＝－bc，
∴cos
A＝＝，
又0＜A＜π，
∴A＝.
(2)＝，∴sin
C＝1.∴C＝，
∴B＝.∵＝c＝2，
∴b＝2sin
B＝2sin
＝1.
20．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan
C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解析：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，
∴－cos
2B＝sin2C.
又A＝，即B＋C＝，
∴－cos
2B＝－cos＝sin
2C＝2sin
Ccos
C，
∴2sin
Ccos
C＝sin2C，解得tan
C＝2.
(2)由tan
C＝2，C∈(0，π)，得sin
C＝，cos
C＝，
又∵sin
B＝sin(A＋C)＝sin＝，∴由正弦定理得c＝b.
又∵A＝，S△ABC＝bcsin
A＝3，
∴bc＝6，∴b＝3.
21．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin
A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
解析：(1)由a＝2csin
A及正弦定理得，
＝＝.
因为sin
A≠0，所以sin
C＝.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝.
(2)因为c＝，C＝，
由面积公式可得absin
＝，
即ab＝6. ①
由余弦定理可得a2＋b2－2abcos
＝7，
即a2＋b2－ab＝7. ②
将①代入②变形得(a＋b)2＝25.
又因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝5.
22．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin
α的值．
解析：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，
AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos
120°
＝784，
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，
BC＝28，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin
α＝＝.
PAGE单元综合检测(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，a＝3，b＝4，sin
B＝，则sin
A等于( )
A.
B.
C.
D.
2．在△ABC中，∠ACB＝，BC＝，AC＝4，则AB等于( )
A.
B．3
C.
D.
3．在△ABC中，A＝60°，b＝6，c＝10，则△ABC的面积为( )
A．15
B．15
C．15
D．30
4．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B等于( )
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
5．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，C为钝角，则x的取值范围是( )
A．x＜5
B．5＜x＜7
C．1＜x＜5
D．1＜x＜7
6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．a＝30，b＝25，A＝150°
C．a＝7，b＝8，A＝98°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
7．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A.
B．
C.
D.
8．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是( )
A．(8,10)
B．(2，)
C．(2，10)
D．(，8)
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝3，B＝30°，若加一个条件，使△ABC唯一，则可加的条件是( )
A．A≠60°
B．A≠150°
C．△ABC是钝角三角形
D．△ABC是锐角三角形
10．有一长为1
km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
A．1
km
B．2sin
10°
km
C．2cos
10°
km
D．cos
20°
km
11．在△ABC中，A＝，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为( )
A．2
B．2
C．4
D．4
12．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A.
B．
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在等腰△ABC中，已知sin
A∶sin
B＝1∶2，底边BC＝10，则△ABC的周长是________．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，
A＝，则b＝________.
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝________.
16．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，则b＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，b＝5，c＝.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
18．(12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝ab，且2cos
Asin
B＝sin
C，试判断△ABC的形状．
19．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2－(b－c)2＝bc.
(1)求角A；
(2)若＝c＝2，求b的值．
20．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan
C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
21．(12分)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin
A.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值．
22．(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin
α的值．
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