综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc?a＞b
B．若a2＞b2?a＞b
C．若＞?a＜b
D．若＜?a3＜b3
解析：选项A，当c＜0时，ac＞bc??a＞b，故A错误；选项B，令a＝－2，b＝0，a2＞b2??a＞b，故B错误；选项C，令a＝1，b＝－1，＞??a＜b，故C错误．
答案：D
2．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝( )
A．30°或150°
B．60°或120°
C．60°
D．30°
解析：由正弦定理＝得，sin
A＝sin
B＝sin
45°＝，又因为b＞a，故A＝30°.
答案：D
3．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2
B．1
C.
D.
解析：设等比数列{an}的公比为q，a1＝，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，
∴×q6＝4(×q3－1)，
∴q6－16q3＋64＝0，
∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝.故选C.
答案：C
4．若a＞b，则下列各式正确的是( )
A．a·lg
x＞b·lg
x
B．ax2＞bx2
C．a2＞b2
D．a·2x＞b·2x
解析：已知a＞b，选项A，由已知不等式两边同乘lg
x得到，由不等式的性质可知，当lg
x＞0时，a·lg
x＞b·lg
x；当lg
x＝0时，a·lg
x＝b·lg
x；当lg
x＜0时，a·lg
x＜b·lg
x．故该选项不正确．
选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x2＞0时，ax2＞bx2；当x2＝0时，ax2＝bx2.故该选项不正确．
选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a＞b＞0时，a2＞b2；当a＞0＞b且|a|＜|b|时，a2＜b2.故该选项不正确．
选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x＞0，所以a·2x＞b·2x.故该选项正确．
答案：D
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )
A.
B．
C.
D.
解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，
∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.
答案：A
6．已知△ABC的面积为5，A＝，AB＝5，则BC＝( )
A．2
B．2
C．3
D.
解析：因为A＝，AB＝5，△ABC的面积为
5＝AB·AC·sin
A＝×5×AC×，
所以解得：AC＝4，
所以BC＝
＝＝.
答案：D
7．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是( )
A．P?Q
B．Q?P
C．P＝Q
D．P∩Q＝?
解析：当m＝0时，－4＜0对任意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x∈R恒成立可得．
解得－1＜m＜0，
综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以P?Q.
答案：A
8．已知an＝(n∈N
)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为( )
A．99
B．100
C．101
D．102
解析：由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝＞0，故选C.
答案：C
9.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )
A．20海里
B．40海里
C．20(1＋)海里
D．40海里
解析：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得＝，所以AD＝20，
在Rt△BCD中，
因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
所以BD＝CD＝40.
在△ABD中，由余弦定理得
AB＝
＝20.
答案：A
10．△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若直线bx＋(a－c)y＋1＝0与直线(a－b)x－(a＋c)y＋1＝0垂直，则角C的大小为( )
A.
B．
C.
D.
解析：由已知条件得
b(a－b)－(a－c)(a＋c)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos
C＝＝＝.
又0＜C＜π，所以C＝.
答案：B
11．设实数x，y满足约束条件则2x＋的最小值为( )
A.
B．
C．2
D．2
解析：由约束条件
可知，x，y∈(0，＋∞)，
∵y≤x，
∴2x＋≥2x＋≥2＝2.
(当且仅当x＝时等号成立)，即2x＋的最小值为2，故选C.
答案：C
12．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N
，且a5＝，若函数f(x)＝sin
2x＋2cos2
，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A．0
B．－9
C．9
D．1
解析：由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin
2x＋cos
x＋1，∴f＝1.
∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin
2x－cos
x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.
∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，
∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
答案：－5
14．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
解析：因为ln(a＋b)＝0，
所以a＋b＝1
所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b＝时取等号．
即＋的最小值为4.
答案：4
15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N
)，则S2
016＝________.
解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n ①，
∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1 ②.
∵①÷②得＝2，
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，
∴S2
016＝＋＝3×21
008－3.
答案：3×21
008－3
16．有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线的地方有一个已知条件看不清，具体如下：在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝，________.求角A.若已知正确答案为A＝60°，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．
解析：在△ABC中，若已知B＝45°，a＝，A＝60°，则C＝180°－45°－60°＝75°.
由正弦定理得AB＝＝＝＝，
所以已知条件可填AB＝，另外，
若填C＝75°则未使用所有条件，
若填AC的长度，求出A＝60°或120°，不合题意．
答案：AB＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足acos
C－csin
A＝0.
(1)求角C的大小．
(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得：
sin
Acos
C－sin
Csin
A＝0.
因为0＜A＜π，所以sin
A＞0，
从而cos
C＝sin
C，
又cos
C≠0，所以tan
C＝.
所以C＝.
(2)在△ABC中，S△ABC＝×4a×sin
＝6，得a＝6，
由余弦定理得：c2＝62＋42－2×6×4cos
＝28，所以c＝2.
18．(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解析：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，
f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得
x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
19．(12分)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解析：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，
故d＝，从而a1＝，
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2)设的前n项和为Sn，
由(1)知＝，Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－＝＋－.
所以Sn＝2－.
20．(12分)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.
当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上递减，故存在0＜x1＜x2，使f(x1)＞f(x2)成立；
而当a＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上递增，不合题意．
故a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.
(2)由(1)知，Sn＝n2－4n＋4.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5，
当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，
故an＝
21．(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2
015＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.
解析：(1)设公差为d，则由S2
015＝0?2
015a1＋d＝0?a1＋1
007d＝0，
d＝－a1，a1＋an＝a1，
所以Sn＝(a1＋an)＝·a1
＝(2
015n－n2)．
因为a1＜0，n∈N
，
所以当n＝1
007或1
008时，Sn取最小值504a1.
(2)an＝a1，
Sn≤an?(2
015n－n2)≤a1.
因为a1＜0，所以n2－2
017n＋2
016≤0，
即(n－1)(n－2
016)≤0，
解得1≤n≤2
016.
故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2
016，n∈N
}．
22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin
Asin
B＝cos2
.
(1)求角B的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，且a1cos
2B＝1，a2，a4，a8是等比数列，求数列的前n项和Sn.并证明：≤Sn＜1.
解析：(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得
a2－b2－c2＝－bc，
∴cos
A＝＝.
∵0＜A＜π，∴A＝.
由sin
Asin
B＝cos2
，得sin
B＝，
∴sin
B＝1＋cos
C，
∴cos
C＜0，则C∈.
又∵B＋C＝π－A＝π，
∴sin＝1＋cos
C，
∴cos＝－1.
解得C＝π.故B＝π－A－C＝.
(2)设数列{an}的公差为d.
由已知得a1＝＝2.∵a2，a4，a8是等比数列，
∴a＝a2·a8，
∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，整理，得d(d－2)＝0.
∵d≠0，∴d＝2，∴an＝2n，
∴＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
∵n＜n＋1 ∴＜1
又Sn＝＝＝1－是关于n的增函数n≥1
∴Smin＝S1＝
∴≤Sn＜1.
PAGE综合检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc?a＞b
B．若a2＞b2?a＞b
C．若＞?a＜b
D．若＜?a3＜b3
2．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝( )
A．30°或150°
B．60°或120°
C．60°
D．30°
3．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2
B．1
C.
D.
4．若a＞b，则下列各式正确的是( )
A．a·lg
x＞b·lg
x
B．ax2＞bx2
C．a2＞b2
D．a·2x＞b·2x
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( )
A.
B．
C.
D.
6．已知△ABC的面积为5，A＝，AB＝5，则BC＝( )
A．2
B．2
C．3
D.
7．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是( )
A．P?Q
B．Q?P
C．P＝Q
D．P∩Q＝?
8．已知an＝(n∈N
)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为( )
A．99
B．100
C．101
D．102
9.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为( )
A．20海里
B．40海里
C．20(1＋)海里
D．40海里
10．△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若直线bx＋(a－c)y＋1＝0与直线(a－b)x－(a＋c)y＋1＝0垂直，则角C的大小为( )
A.
B．
C.
D.
11．设实数x，y满足约束条件则2x＋的最小值为( )
A.
B．
C．2
D．2
12．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N
，且a5＝，若函数f(x)＝sin
2x＋2cos2
，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为( )
A．0
B．－9
C．9
D．1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
14．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N
)，则S2
016＝________.
16．有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线的地方有一个已知条件看不清，具体如下：在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝，________.求角A.若已知正确答案为A＝60°，且必须使用所有条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足acos
C－csin
A＝0.
(1)求角C的大小．
(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
18．(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
19．(12分)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
20．(12分)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求数列{an}的通项公式．
21．(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2
015＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.
22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin
Asin
B＝cos2
.
(1)求角B的大小；
(2)若等差数列{an}的公差不为零，且a1cos
2B＝1，a2，a4，a8是等比数列，求数列的前n项和Sn.并证明：≤Sn＜1.
PAGE
