单元综合检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列事件是随机事件的是
( )
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
解析：②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．
答案：C
2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1、P2、P3，则
( )
A．P1＝P2＜P3
B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3
D．P3＝P2＜P1
解析：先后抛掷两颗骰子的点数共有36个基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个基本事件都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.
答案：B
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是
( )
A．A与C互斥
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
解析：三件产品至少有一件次品包含三件产品全是次品，所以B、C不互斥，而A与C对立且互斥．
答案：A
4．下列说法正确的是
( )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大
D．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是
答案：D
5．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率是0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是
( )
A．0.62
B．0.38
C．0.70
D．0.68
解析：记“取到质量小于4.8
g”为事件A，“取到质量不小于4.85
g”为事件B，“取到质量在[4.8，4.85)范围内”为事件C.易知事件A，B，C互斥，且A∪B∪C为必然事件．所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.32＋P(C)＝1，即P(C)＝1－0.3－0.32＝0.38.
答案：B
6．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：设3个元素分别为a、b、c.所有子集共8个，含有两个元素的子集共3个．
答案：D
7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.
答案：A
8．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：记2个红球分别为a1，a2，2个白球分别为b1，b2，则基本事件空间为{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}，共16个基本事件．记事件A＝“取出的两个球同色”＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，b1)，(b2，b2)}共8个基本事件．所以P(A)＝＝.
答案：A
9．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为
( )
A.
B.
C．10
D．不能估计
解析：利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为×(5×2)＝.
答案：A
10．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的是
( )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：从5件产品中任取2件，共有10种可能结果，2件都是二等品的可能结果只有1种，2件都是一等品的可能结果有3种，一件一等品、一件二等品的可能结果有6种．
答案：D
11．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：方程有两个相异实根的条件是Δ＝(2a)2－4×1×＝4a2－2>0，解得|a|>，又a∈(0，1)，所以
答案：D
12．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据题意，两人各掷骰子一次，每人都有六种可能性，则(x，y)的情况有6×6＝36(种)，即P点有36种可能，而y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，即(x－2)2＋y＝4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共3个，因此满足条件的概率为＝.
答案：C
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26或31四路电车，假定各路电车停靠的概率一样，则乘客期待26路或16路电车首先停靠的概率等于__________．
解析：由互斥、对立事件的概率公式可计算．
答案：0.5
14．向边长为a的正三角形内投一点，点落在三角形内切圆内的概率是__________．
解析：点落在三角形内的每一处是一个基本事件，即基本事件总区域的面积为MΩ＝a2.设“点落在三角形的内切圆内”为事件A，则P(A)＝＝π.
答案：π
15．在区间(0，1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是__________．
解析：设两数为x、y，则有序实数对(x，y)满足如下图所示的阴影部分．
由图知，点A，B，AC＝BC＝，
∴S阴＝1－××＝.
∴P＝＝，故填.
答案：
16．有以下说法：
①一年按365天计算，两人生日相同的概率是；②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1
000张彩票就一定能中奖；③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的．
根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是__________．
解析：根据“概率的意义”求解．
答案：①③
三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)随机地排列数字1，5，6，得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
解析：使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数．
(1)大于400的三位数的个数为4，所以P＝＝；
(2)三位数为偶数的有156，516，共2个，所以相应的概率为P＝＝.
18．(12分)爸爸和亮亮用4张扑克牌(方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．
(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4.
①请把下面这种情况的树状图绘制完整；
②求亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率．
(2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平．
解析：(1)①树状图：
②由①可知亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率是.
(2)不公平，理由如下：
爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大有5种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字，所以爸爸胜的概率只有，显然对爸爸来说是不公平的．
只需把黑桃5改成黑桃6即可使这个游戏公平(答案不唯一)．
19．(12分)在圆O：x2＋y2＝1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
解析：如图所示：
记事件过点Q且与该直径垂直的弦的长度超过1为A.
设EF＝1则在Rt△OQE中，
OE2＝OQ2＋QE2，1＝OQ2＋，∴OQ＝.
由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
而过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率为1－.
20．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解析：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3位评委分别为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委分别为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手，从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果如图：
由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
21．(12分)(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形
边长的概率是多少？
解析：(1)设事件A＝“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝.
(2)设事件B＝“弦长超过”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝.
(3)设事件C＝“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|>|AB|＝，由几何概率公式知P(C)＝.
22．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
解析：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个．
(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，
∴＝1，整理得：a2＋b2＝25.
由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是＝.
(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，
∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；
当a＝3时，b＝3，5，共2个基本事件；
当a＝4时，b＝4，5，共2个基本事件；
当a＝5时，b＝1，2，3，4，5，6，共6个基本事件；
当a＝6时，b＝5，6，共2个基本事件；
∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．
∴三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.
PAGE单元综合检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列事件是随机事件的是
( )
①同种电荷，互相排斥；
②明天是晴天；
③自由下落的物体作匀速直线运动；
④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
2．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1、P2、P3，则
( )
A．P1＝P2＜P3
B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3
D．P3＝P2＜P1
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是
( )
A．A与C互斥
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
4．下列说法正确的是
( )
A．由生物学知道生男生女的概率均约为，一对夫妇生两个孩子，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到的可能性大
D．10张票中有1张有奖，10人去摸，无论谁先摸，摸到有奖票的概率都是
5．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率是0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是
( )
A．0.62
B．0.38
C．0.70
D．0.68
6．从含有3个元素的集合的子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
7．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
8．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
9．如图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为
( )
A.
B.
C．10
D．不能估计
10．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的是
( )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
11．在区间(0，1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个相异实根的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
12．小莉与小明一起用A，B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的A立方体朝上的数字为x，小明掷的B立方体朝上的数字为y来确定点P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点P(x，y)落在已知抛物线y＝－x2＋4x上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26或31四路电车，假定各路电车停靠的概率一样，则乘客期待26路或16路电车首先停靠的概率等于__________．
14．向边长为a的正三角形内投一点，点落在三角形内切圆内的概率是__________．
15．在区间(0，1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是__________．
16．有以下说法：
①一年按365天计算，两人生日相同的概率是；②买彩票中奖的概率为0.001，那么买1
000张彩票就一定能中奖；③乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率是90%”是错误的．
根据我们所学的概率知识，其中说法正确的序号是__________．
三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)随机地排列数字1，5，6，得到一个三位数，计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于400；
(2)所得的三位数是偶数．
18．(12分)爸爸和亮亮用4张扑克牌(方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．
(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4.
①请把下面这种情况的树状图绘制完整；
②求亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率．
(2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平．
19．(12分)在圆O：x2＋y2＝1的某一直径上随机地取一点Q.试求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率．
20．(12分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
21．(12分)(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形
边长的概率是多少？
22．(12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.
(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；
(2)将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．
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