单元综合检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0)
B．－1
C．1
D．0
解析：由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.
答案：B
2．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
解析：由二分法的定义易知选A.
答案：A
3．若一根蜡烛长20
cm，点燃后每小时燃烧5
cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
解析：由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.
答案：B
4．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间( )
A．(0.6,1.0)
B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2)
D．(2.6,3.0)
解析：构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8，2.2)上．
答案：C
5．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双
B．400双
C．600双
D．800双
解析：要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，
即10x－(5x＋4
000)≥0，解得x≥800.
答案：D
6．某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：
①前三年总产量增长的速度越来越快；
②前三年总产量增长的速度越来越慢；
③第3年后至第8年这种产品停止生产了；
④第8年后至第12年间总产量匀速增加．
其中正确的说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由图可知，前三年是由快变慢，第3～第8年总产量未发生变化，即停止生产．第8～第12年体现为匀速增长(直线模型)故②、③、④正确．
答案：C
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3
000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )
A．55台
B．120台
C．150台
D．180台
解析：设产量为x台，利润为S万元，则
S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3
000)
＝－0.1x2＋36x－3
000＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：D
8．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
解析：由f·f<0，知方程f(x)＝0在内有实数根，而f(x)在[－1,1]上是增函数，∴f<0，f>0，易知方程f(x)＝0在[－1,1]内有唯一实数根．
答案：C
9．函数f(x)＝ln
x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：在同一直角坐标系下作出函数f(x)＝ln
x与g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，如图所示．
由图知f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选C.
答案：C
10．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0
解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0∴f(x1)>0.
答案：A
11．如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记正方形ABCD位于直线x＝t(t＞0)左侧部分的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是( )
解析：由题意得，f(t)＝
故其图象为C.
答案：C
12．一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，b为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
解析：由题意知实线部分的总长度为l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l是关于b的一次函数，一次项系数2π－8<0，故l关于b的函数单调递减．因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为，代入上式得lmin＝(2π－8)×＋12＝3π.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________．
解析：因为函数f(x)在[－2,0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－.所以，实数m的取值范围是.
答案：
14．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝__________.
解析：作出函数y＝|x2－4x|与函数y＝4的图象(图略)，可发现它们恰有3个交点．
答案：4
15．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是__________(用数字作答)．
解析：(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.980
1,
而0.980
1－1＝－0.019
9，即跌了1.99%.
答案：跌了1.99%
16．函数f(x)＝3x－7＋ln
x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N
)，则n＝__________.
解析：设g(x)＝ln
x，h(x)＝－3x＋7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标是函数f(x)的零点．
在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．
由图象知函数f(x)的零点属于区间，又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln
2＝ln
＜0，f(3)＝2＋ln
3＞0，
所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．
所以n＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)设函数f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
解析：f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，
f(m)＝e0－m＝1－m.
又m>1，所以f(m)<0，所以f(0)·f(m)<0.
又函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，
故函数f(x)＝ex－m－x(m>1)在区间(0，m)内存在零点．
18．(12分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的一个实数解．(精确度为0.1)
解析：设函数f(x)＝2x＋x－8，
∵f(2)＝22＋2－8＝－2＜0，f(3)＝23＋3－8＝3＞0，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.156
85
(2,2.5)
2.25
－0.993
2
(2.25,2.5)
2.375
－0.437
6
(2.375,2.5)
2.437
5
－0.145
5
∵|2.437
5－2.5|＝0.062
5＜0.1，
∴方程2x＋x－8＝0的一个实数解近似值为2.437
5.
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解析：(1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
2log5(x－9)＝4，
log5(x－9)＝2，
所以x－9＝52，
解得x＝34.
即老江的销售利润是34万元．
20．(12分)如图，直角梯形OABC位于直线x＝t右侧的图形的面积为f(t)．
(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)画出函数y＝f(t)的图象．
解析：(1)当0≤t≤2时，
f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝－t·t＝8－t2，
当2＜t≤5时，f(t)＝S矩形DEBC＝DE·DC＝2(5－t)＝10－2t，
所以f(t)＝.
(2)图象．
21．(12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t(天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格(单位：元)为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格(单位：元)为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解析：(1)根据题意，得
S＝
＝
(2)当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6
400，当t＝20时，S的最大值为6
400；当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9
000为减函数，当t＝31时，S的最大值是6
210.
∵6
210＜6
400，∴当销售时间为20天时，日销售额S有最大值6
400元．
22．(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10
kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解析：(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为Q＝×1502－×150＋＝100(元/10
kg)．
PAGE单元综合检测(三)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0)
B．－1
C．1
D．0
2．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )
3．若一根蜡烛长20
cm，点燃后每小时燃烧5
cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为( )
4．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间( )
A．(0.6,1.0)
B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2)
D．(2.6,3.0)
5．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双
B．400双
C．600双
D．800双
6．某工厂12年来某产品总产量S与时间t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：
①前三年总产量增长的速度越来越快；
②前三年总产量增长的速度越来越慢；
③第3年后至第8年这种产品停止生产了；
④第8年后至第12年间总产量匀速增加．
其中正确的说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3
000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于( )
A．55台
B．120台
C．150台
D．180台
8．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f·f＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
9．函数f(x)＝ln
x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
10．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0
11．如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是边长为1的正方形，记正方形ABCD位于直线x＝t(t＞0)左侧部分的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是( )
12．一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，b为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是__________．
14．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝__________.
15．我国股市中对股票的股价实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅为10%，某股票连续四个交易日中前两日每天涨停、后两日每天跌停，则该股票的股价相对于四天前的涨跌情况是__________(用数字作答)．
16．函数f(x)＝3x－7＋ln
x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N
)，则n＝__________.
三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)设函数f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，当m>1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．
18．(12分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的一个实数解．(精确度为0.1)
19．(12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
20．(12分)如图，直角梯形OABC位于直线x＝t右侧的图形的面积为f(t)．
(1)试求函数f(t)的解析式；
(2)画出函数y＝f(t)的图象．
21．(12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t(天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格(单位：元)为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格(单位：元)为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
22．(12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10
kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
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