单元综合检测(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则?UA＝( )
A．{1,3,5,6}
B．{2,3,7}
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
解析：∵全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，
∴?UA＝{2,4,7}．
答案：C
2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有( )
A．－1∈A
B．0∈A
C.∈A
D．2∈A
解析：∵A＝{x∈N|－≤x≤}＝{0,1}，
∴0∈A.
答案：B
3．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3
B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1]
D．y＝x
解析：由函数奇偶性定义可知B、D均为奇函数，C定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A为偶函数．
答案：A
4．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足A?B，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≤2}
解析：如图：
答案：A
5．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A.
B．3
C.
D.
解析：“分段”求解．
由题意知f(3)＝，f＝2＋1＝，
∴f(f(3))＝f＝.
答案：D
6．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2]
B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
解析：根据使函数有意义的条件求解．
由得－1＜x≤2，且x≠0.
答案：B
7．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析：注意到y表示从出发到返回原地所经过的路程，而不是从开始到结束的距离．
答案：D
8．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
解析：令3x＋2＝t，则3x＝t－2，故f(t)＝3(t－2)＋8＝3t＋2.
答案：B
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：∵x≤0时，f(x)＝2x2－x
∴f(－1)＝2－(－1)＝3.
又f(x)为R上的奇函数，
故f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝－3.
答案：A
10．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2
B．a≥－2
C．－2≤a≤2
D．a≤－2或a≥2
解析：∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.
答案：D
11．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0＜a≤
B．0≤a≤
C．0＜a＜
D．a＞
解析：当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，
得0＜a≤.当a＝0时，
f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
答案：B
12．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( )
A．[－2,2]
B.
C．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)
D.∪{0}∪
解析：由题意，得f(1)＝－f(－1)＝1.
又∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
∴当x∈[－1,1]时，有f(x)≤f(1)＝1.
∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立．
得t≥2，或t≤－2，或t＝0.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为__________．
解析：由题意可知M＝{2,3}，∴M的真子集有?，{2}，{3}共3个．
答案：3
14．函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．
解析：函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上是增函数，当x＝－1时取最大值，所以b＝5，当x＝－3时，取最小值f(－3)＝－9＋5＝－4.
答案：－4
15．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，则f(x)图象开口向上，对称轴为x＝－.
(1)当－≤1时，即m≥－2时，满足f(2)＝4＋2m＋4≤0，
∴m≤－4，又m≥－2，∴此时无解．
(2)当－≥2，即m≤－4时，需满足f(1)＝1＋m＋4≤0
∴m≤－5，又m≤－4，
∴m≤－5.
(3)当1＜－＜2，即－4此时无解．
综上所述，m≤－5.
答案：m≤－5
16．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为__________．
解析：
根据题意画出f(x)大致图象，由图象可知－2＜x＜0或0＜x＜2时，x·f(x)＜0.
答案：(－2,0)∪(0,2)
三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解析：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}
＝{x|1＜x≤8}．
∵?UA
＝{x|x＜2，或x＞8}，
∴(?UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠?，作图易知，只要a在8的左边即可，
∴a＜8.
∴a的取值范围为(－∞，8)．
18．(12分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解析：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以此函数是奇函数．
19．(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x＜0时，函数的解析式．
解析：(1)证明：设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，x2－x1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－－1.
又f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝－－1，
即f(x)＝－－1(x＜0)．
20．(12分)若函数f(x)＝－x2＋2|x|.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)在直角坐标系中画出函数图象，写出函数的单调区间，求出函数值域．
解析：(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝－(－x)2＋2|－x|
＝－x2＋2|x|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)如图所示，
函数f(x)的递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)，
函数f(x)的值域为(－∞，1]．
21．(12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)求集合?RP；
(2)若P?Q，求实数m的取值范围；
(3)若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
解析：(1)?RP＝{x|x<－2，或x>10}；
(2)由P?Q，需得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞);
(3)由P∩Q＝Q得，Q?P，
①当1－m>1＋m，即m<0时，Q＝?，符合题意；
②当1－m≤1＋m，即m≥0时，需
得0≤m≤3；
综上得：m≤3，即实数m的取值范围为(－∞，3]．
22．(12分)经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受的能力，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？
(2)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？
(3)若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？
解析：(1)∵f(5)＝53.5，f(20)＝47，∴f(5)＞f(20)
即开讲后5分钟学生的接受能力强．
(2)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1(x－13)2＋59.9，
∵0＜x≤10，∴f(x)max＝f(10)＝59，
当10＜x≤16时，f(x)＝59，
所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强，能维持6分钟．
(3)当0＜x≤10时，要使f(x)≥55，则6≤x≤20，
但因为0＜x≤10，所以6≤x≤10；
当10＜x≤16时，f(x)＝59；
当16＜x≤30时，要使f(x)≥55，则16＜x≤.
所以若f(x)≥55时，6≤x≤，即学生在55接受能力下能持续11分20秒，故该老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题．
PAGE单元综合检测(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则?UA＝( )
A．{1,3,5,6}
B．{2,3,7}
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
2．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有( )
A．－1∈A
B．0∈A
C.∈A
D．2∈A
3．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3
B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1]
D．y＝x
4．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，满足A?B，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≥2}
B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≤2}
5．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A.
B．3
C.
D.
6．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2]
B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
7．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
8．若函数f(x)满足f(3x＋2)＝9x＋8，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝9x＋8
B．f(x)＝3x＋2
C．f(x)＝－3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
10．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2
B．a≥－2
C．－2≤a≤2
D．a≤－2或a≥2
11．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．0＜a≤
B．0≤a≤
C．0＜a＜
D．a＞
12．设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]都满足f(x)≤t2－2at＋1，则t的取值范围是( )
A．[－2,2]
B.
C．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)
D.∪{0}∪
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)
13．设集合M＝{x|x是小于5的质数}，则M的真子集的个数为__________．
14．函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．
15．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是__________．
16．已知函数y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为__________．
三、解答题(本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
18．(12分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
19．(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x＜0时，函数的解析式．
20．(12分)若函数f(x)＝－x2＋2|x|.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)在直角坐标系中画出函数图象，写出函数的单调区间，求出函数值域．
21．(12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)求集合?RP；
(2)若P?Q，求实数m的取值范围；
(3)若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
22．(12分)经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受的能力，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？
(2)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？
(3)若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？
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