2020-2021学年北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线课件（17张PPT）

第一章 三角形的证明
1.4.1 角平分线
北师大版8年级下册数学
学习目标
1.能类比垂直平分线的相关知识证明角平分线的
性质定理及其逆定理．
2.能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决几
何问题.
3.经历探索，猜想过程，进一步发展推理证明意
识和能力，培养将文字语言转化为符号语言、图
形语言的能力，掌握研究解决问题的方法。
重难点
重点
角平分线的性质定理、逆定理的
证明与应用.
难点
利用角平分线的性质定理、逆定理
解决几何问题..
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ

1.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 MＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的于Ｃ．
3.作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求线．
作法：
温故知新
1.用尺规作角的平分线.
A
B
温故知新
2.角平分线的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果：点P在∠AOB的平分线OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB.
那么：PD=PE
你能证明这个定理吗？
已知：点P在∠AOB的平分线OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.
求证：PD=PE
探究证明
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∵∠1=∠2，OP=OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，
那么这个点在这个角的平分线上．
探究思考
你能写出这个定理的逆命题吗吗？它是真命题吗？
假命题.
角平分线是角内部的一条射线，
而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
定理：在一个角的内部，到角的两边距离
相等的点在这个角的角平分线上.
已知：点P为∠AOB内部一点，PD⊥OA，
PE⊥OB， 垂足分别为D、E,且PD=PE.
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.
∴∠ODP=∠OEP=90°.
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EOP (HL)．
∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等)
∴OP平分∠AOB.
探究证明
例题解析，学以致用
例1.如图在△ABC中，∠BAC=60°,点D在BC上，AD=10,
DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E、F,且DE=DF. 求DE的长.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF .
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个角的角平分线上）.
∵∠BAC=60°.
∴∠BAD=30°.
在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，
∴DE=5.（直角三角形中，30°角所对的直角
边等于斜边的一半）
通过本节课学习，你有什么收获？
1.角平分线的性质定理、逆定理的证明与应用.
1、你都学会了哪些数学知识？
2、你还学到了哪些数学思想方法？
达标检测
1.如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，
它们有什么关系？
2.已知△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB, AB=8, CD=5,
求△ABD的面积？
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3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的
一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）
A、1 B、2 C、3 D、4
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4.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.
求证：点F在∠DAE的平分线上.
G
H
P
达标检测
5.已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD
交于点O，且AO平分∠BAC，
求证：OB=OC．
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6.求作点P，使P点到OA、OB的距离相等，且到M、N的
距离也相等．
P
作业：
谢谢

成功源于奋斗和坚持