2020——2021学年北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元综合训练（word版附解析）

2021年北师大版八年级数学下册《第1章
三角形的证明》单元综合训练（附答案）
1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）
A．1
B．2
C．5
D．无法确定
2．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（　　）
A．31cm
B．41cm
C．51cm
D．61cm
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（　　）
A．100°
B．120°
C．140°
D．150°
5．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（　　）
A．9个
B．8个
C．7个
D．6个
6．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为（　　）
A．6
B．8
C．9
D．10
8．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（　　）
A．12
B．13
C．15
D．17
9．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（　　）
A．a
B．a
C．a
D．a
10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，若BD＝6，则CE的长为（　　）
A．2
B．2
C．3
D．3
12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　
　，△ABC与△APQ全等．
13．如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为　
　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么∠DBC＝　
　度．
15．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为　
　．
16．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为　
　时，△ABC是等腰三角形．
17．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且
BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC＝　
　．
18．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为　
　．
19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　
　．
20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于　
　cm．
∠α＝24°24'＝　
　°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，
则另一个锐角是　
　°．
22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
23．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：
（1）证明：ED＝FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；
（3）求EF的长．
24．如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．
26．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，
求证：△CDE是等腰三角形．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
28．如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．
29．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．
（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；
（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．
30．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．
说明：△ADE是等边三角形．
31．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC　
　BO（填“＞”“＝”“＜”）；
（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．
参考答案
1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．
2．解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．
3．解：∵DG是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
∵△AGC的周长为31cm，
∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，
故选：C．
4．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，
∵∠ABC是△BEF的外角，
∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，
∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，
故选：C．
5．解：分三种情况说明：
①以点O为圆心，OA长为半径画圆，
与x轴、y轴有4个交点，
这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；
②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．
故选：B．
6．解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝，
∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
7．解：如图所示，连接BF，
∵等边△BDE中，F是DE的中点，
∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，
∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，
∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，
又∵∠ABC＝30°，
∴∠CBF＝60°，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，
∴BC＝AC＝6，
∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝×＝9，
故选：C．
8．解：如图所示，
边长为1的正三角形共有1+3+5＝9个，
边长为2的正三角形共有3个，边长为3的正三角形共有1个，
边长为的正三角形有2个，红颜色和蓝颜色的两个三角形，
综上可知：共有9+3+1+2＝15个，
故选：C．
9．解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：
∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，
∴PE＝AH，PG＝CD．
又∵△ABC为等边三角形，
∴△FGP和△HPD也是等边三角形，
∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，
∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，
∴AC＝a；
故选：D．
10．解：①连接CF，
∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，
∴∠AFM+∠CFM＝90°．
∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，
∴∠AFM＝∠CFN．
同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，
∴∠A＝∠FCN，
在△AMF与△CNF中，
∵，
∴△AMF≌△CNF（ASA），
∴MF＝NF．
故①正确；
②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；
③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；
④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF＝S△AMF
∴S四边形CDFE＝S△AFC．
故④正确；
⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；
即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN＝BC＝2．
∴DN＝DN＝2
；
当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．
此时S△CMN＝S四边形CFMN﹣S△FMN＝S△AFC﹣S△DEF＝4﹣2＝2，
故⑤正确．
故选：C．
11．解：连接AD，如图：
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD＝6，
∵在△ABC中，∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°．
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝30°，
∴DE＝AD＝3，
∴AE＝＝3，
∵∠C＝45°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴EC＝AE＝3，
故选：D．
12．解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
13．解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确；
∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，
∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AH＝CH，
∴EA＝EC，故②正确；
∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确；
设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，
则有
，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，
∵EA＝EC，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC，
∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，
∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，
∵∠ACF＝∠BCF，
∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
14．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．
故答案为：15．
15．解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，
∴x＝3，y＝1．
当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；
当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．
故答案为：7．
16．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；
②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．
③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，
∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
17．解：∵BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，
∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，
在△ABP和△CAQ中，
∴△ABP≌△ACQ，
∴∠QAC＝∠B＝∠APQ＝30°，
同理：∠BAP＝30°，
∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．
故答案为：120°
18．解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，
∵直线l∥m，
∴l∥m∥n，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，
∴∠1＝40°．
故答案为：40°．
19．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即
a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案为等边三角形．
20．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，
∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，
∴GH＝3+3+2＝8（cm），
FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），
EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．
∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；
故答案为：17．
21．解：∠α＝24°24'＝24.4°，
90°﹣24.4°＝65.6°，
故答案为24.4°，65.6°．
22．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形
∵Rt△ABC≌Rt△DCB
∴∠ACB＝∠DCB
∴OB＝OC
∴△OBC是等腰三角形
23．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD＝∠FHD＝90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK＝DG＝DH，
在△EKD和△FHD中，
，
∵AE＝AF
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED＝FD；
（2）解：∠BDC＝90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠BDC＝90°+∠A；
（3）解：如图，
∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠1+∠5＝∠3+∠6，
∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，
∴△BED∽△CED，
∴ED：CF＝BE：DF，
∵DE＝DF，
则ED2＝CF?BE＝2×4＝8，
则ED＝，
∴EF＝2ED＝．
24．解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．
（2）∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，
∴∠BAD+∠CAE＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°．
25．解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝150°÷2＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝75°﹣30°＝45°．
∴∠BCD的度数为45°．
26．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，
∴∠ADE＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
在△ADE和△BCD中，
，
∴△ADE≌△BCD（ASA），
∴DE＝CD，
∴△CDE是等腰三角形．
27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
28．证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，
又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，
∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，
∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°
∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，
∴∠AQN＝∠ACB，
∵∠BQM＝∠AQN，
∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．
29．解：（1）∵∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，
∴∠OPN＝60°，
∴∠PON＝∠PNO＝∠OPN，
∴△PON是等边三角形；
（2）作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×12＝6，
∴OM＝OH﹣MH＝6﹣1＝5．
30．证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
31．解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠A＝∠AOC＝30°，
∴∠B＝∠BOC＝60°
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝BO
故答案为：＝；
（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，
∴∠DOE＝90°﹣α，
∵∠DOB＝∠BOE，
∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；
（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：
设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，
∵OF平分∠AOM，
∴∠FOM＝∠RON＝，
∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，
∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，
∵CR平分∠BCO，
∴∠OCR＝＝63°﹣，
∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，
∴∠R的度数不变，∠R＝27°