2020—2021学年九年级数学北师大版下册第三章圆压轴题专题复习（一）（Word版含答案）

2020—2021学年北师大版九年级下册数学第三章
《圆》
压轴题专题复习（一）
1．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．
（1）求证：∠AED＝∠CAD；
（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG?EA；
（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB＝BE；
（2）连结OC，如果PD＝2，∠ABC＝60°，求OC的长．
3．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　
　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　
　．
4．已知⊙O是△ABC的外接圆，CE为⊙O的直径，交AB于点F，连接AO并延长交BC于点D，AD⊥BC．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠BAD；
（2）如图2，连接AE、BE，过点A作AG⊥CE，垂足为G．求证：CE＝BE+2EG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG交AB于点H，若GH＝2，AG＝4，求△CDG的面积．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
6．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC为⊙O直径，延长AC至D，过D作⊙O切线，切点为E，且∠D＝90°，连接BE．DE＝12，
（1）若CD＝4，求⊙O的半径；
（2）若AD+CD＝30，求AC的长．
7．如图1，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙O的切线交边AC于点H．
（1）求证：CH＝FH；
（2）如图2，连接OH，若OH＝，HC＝1，求⊙O的半径．
8．△ABC内接于⊙O，CA＝CB，BD为⊙O的直径，∠DBC＝30°．
（1）如图1，求证：△ABC为等边三角形；
（2）如图2，弦AE交BC于点F，点G在EC上，∠BAF＝∠GAF，求证：FB＝FG；
（3）如图3，在（2）的条件下，弦BH分别交AF，AG于P，Q两点，PO＝DH＝，AC＝3，求QG的长．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD＝BF．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AB＝12，BC＝6，求⊙O的面积．
10．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD2＝CA?CB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝12，tan∠CDA＝，求BE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD，
∵＝，
∴∠AED＝∠ABD，
∴∠AED＝∠CAD；
（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，
∴＝，
∴∠EDB＝∠DAE，
∵∠DEG＝∠AED，
∴△EDG∽△EAD，
∴，
∴ED2＝EG?EA；
（3）解：连接OE，
∵点E是劣弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠EAB，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∴∠AEO＝∠DAE，
∴OE∥AD，
∴，
∵BO＝BF＝OA，DE＝，
∴，
∴EF＝3．
2．（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴ADO＝∠E，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠E，
∴AB＝BE；
（2）解：∵OD∥BE，∠ABC＝60°，
∴∠DOP＝∠ABC＝60°，
∵PD⊥OD，
∴tan∠DOP＝，
∴，
∴OD＝2，
∴OP＝4，
∴PB＝6，
∴sin∠ABC＝，
∴，
∴PC＝3，
∴DC＝，
∴DC2+OD2＝OC2，
∴（）2+22＝OC2，
∴OC＝．
3．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．
4．（1）证明：如图1，
∵AD⊥BC，AD是过圆心的线段，
∴BD＝CD．
∴AB＝AC．
∴∠BAD＝∠CAO．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵∠BFC＝∠FAC+∠ACF，
∴∠BFC＝3∠BAD；
（2）如图2，在CE上截取CP＝BE，连接AP．
∵＝．
∴∠EBA＝∠FCA．
∵AB＝AC，
∴△EBA≌△PCA（SAS）．
∴AE＝AP．
∵AG⊥EC，
∴EG＝PG．
∴CE＝BE+2EG．
（3）∵∠AGO＝∠CDO，AO＝CO，∠AOG＝∠COD，
∴△AGO≌△CDO（AAS）．
∴OG＝OD，AG＝CD．
∴∠OGD＝∠ODG＝∠OAC＝∠OCA．
∴AC∥DG．
∴四边形AGMC是平行四边形．
∵BD＝CD，
∴DH＝AC．
如图3，
过点C作CN⊥DG，CM⊥GC交GD延长线于点M，
∴四边形AGMC是平行四边形，
∴CM＝AG＝CD＝4．
设AC＝m，则DH＝m．
∴DN＝MN＝m﹣1．
∴sin∠CGM＝sin∠MCN．
∴＝，即＝．
∴m1＝20，m2＝﹣16．
过点D作DQ⊥CG于Q．
∵GC＝8，DG＝12，
∴DQ＝．
∴S△CDG＝CG?DQ＝×8×＝48．
∴△CDG的面积是48．
5．解：（1）证明：连接OA，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°，
∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）在Rt△OAP中，
∵∠P＝30°，
∴PO＝2OA＝OD+PD，
又∵OA＝OD，
∴PD＝OA，
∵PD＝，
∴2OA＝2PD＝2．
∴⊙O的直径为2．
6．（1）解：连接OE，作OH⊥AD于H，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE．
又∵∠D＝90°，
∴四边形OHDE是矩形，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCH中，
OC2＝CH2+OH2，
∴r2＝（r﹣4）2+144，
∴半径r＝20．
（2）解：∵OH⊥AD，
∴AH＝CH．
又∵AD+CD＝30，即：（AH+HD）+（HD﹣CH）＝30．
∴2HD＝30，HD＝15，即OE＝HD＝OC＝15，
∴在Rt△OCH中，CH＝＝＝9．
∴AC＝2CH＝18．
7．（1）证明：连接AE，OE和FE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∴OE∥AC，
∵EH为圆O的切线，
∴EH⊥OE，
∴EH⊥AC，
∵∠B+∠AFE＝180°，∠EFC+∠AFE＝180°，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴∠EFC＝∠C，
∴EF＝EC，
∴CH＝FH；
（2）解：过点O作OD⊥AC，得到D为AF中点，
设圆O的半径为r，则AF＝AC﹣FC＝AB﹣2CH＝2r﹣2，AD＝AF＝r﹣1，HD＝r﹣1+1＝r，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OD2＝OA2﹣AD2＝r2﹣（r﹣1）2，
在Rt△ODH中，根据勾股定理得OD2+DH2＝OH2，即r2﹣（r﹣1）2+r2＝（）2，
解得：r＝﹣4（舍去）或r＝2，
则圆O的半径为2．
8．（1）证明：如图1，连接CD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°．
∵∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝60°．
∴∠BAC＝∠BDC＝60°．
∵CA＝CB，
∴△ABC为等边三角形；
（2）证明：如图2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠E＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠E．
∵∠BAF＝∠GAF，∠BAF＝∠BCE，
∴∠GAF＝∠BCE．
∴∠ACB+∠BCE＝∠E+∠GAF．
∵∠AGC＝∠E+∠GAF，
∴∠AGC＝∠ACG．
∴AG＝AC．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴AB＝AG．
∵∠BAF＝GAF，AE＝AF，
∴△BAF≌△GAF（SAS）．
∴FB＝FG；
（3）解：如图3，过点O作OL⊥PH，点L为垂足．
∵点O为圆心，
∴BL＝LH，
∵BO＝OD，
∴OL＝DH．
∵PO＝DH，
∴OL＝PO．
在Rt△POL中，sin∠OPL＝＝．
∴∠OPL＝30°．
连接AH，延长PO交AH于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°．
∴∠AHB＝∠ACB＝60°．
∴∠PMH＝180°﹣∠AHB﹣∠OPL＝90°．
∴OM⊥AH．
∴AM＝MH．
∴PA＝PH．
∵∠AHP＝60°．
∴△AHP是等边三角形．
连接AD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝3．
∵∠ADB＝∠ACB＝60°．
∴在直角△ABD内，sin∠ADB＝，BD＝＝2．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BHD＝90°．
在直角△BDH中，BD2＝BH2+DH2，
∴BH＝9．
∵OL⊥PH，
∴BL＝LH＝．
在直角△POL中，cos∠OPL＝＝．
∵∠OPL＝30°．
∴PL＝＝．
∴PH＝6，BP＝3．
∵△AHP是等边三角形，
∴AP＝PH＝6，∠APH＝60°．
连接BE，
∵∠BEA＝∠ACB＝60°，∠BPE＝∠APH＝60°，
∴∠PBE＝60°．
∴∠PBE＝∠BPE＝∠BEA．
∴△BPE是等边三角形．
∴PE＝PB＝3．
∴AE＝9．
∵∠AEC＝∠ABC＝∠BPE＝60°，
∴PQ∥EG．
∴＝．
∵AG＝AC＝3．
∴QG＝．
9．解：（1）AC与⊙O相切．
连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED．
∵BD＝BF，
∴∠ODE＝∠F．
∴∠OED＝∠F．
∴OE∥BF．
∴∠AEO＝∠ACB＝90°．
∴OE⊥AC．
∵点E为⊙O上一点，
∴AC与⊙O相切．
（2）由（1）知∠AEO＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC．
∴＝．
设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝4，
∴⊙O的面积为π×42＝16π．
10．（1）证明：∵∠CDA＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴＝，即CD2＝CA?CB；
（2）证明：如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝90°．
又∠CDA＝∠CBD，即∠4＝∠1，
∴∠4+∠2＝90°，即∠CDO＝90°，
∴OD⊥CD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：如图，连接OE．
∵EB、CD均为⊙O的切线，
∴ED＝EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠OEB，
∴∠CDA＝∠OEB．
而tan∠CDA＝，
∴tan∠OEB＝＝，
∵∠ODC＝∠EBC＝90°，∠C＝∠C，
∴Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴＝＝＝，
∴CD＝8，
在Rt△CBE中，设BE＝x，
∴（x+8）2＝x2+122，
解得x＝5．
即BE的长为5．