选修1-1（16题）参考答案
1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：∵﹁p 是﹁q必要不充分条件， ∴ ，即.……（3分）
解得，即：. ……（6分）
解变形为，解得，
即. ……（9分）
由，则，解得. 所以实数的取值范围。 ……（12分）
2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.（◎P41 例6）
解：设是点到直线的距离，根据题意得，点的轨迹就是集合，……（4分）由此得。将上式两边平方，并化简，得。即。……（9分）
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。. ……（12分）
3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. （P68 4）
解：椭圆焦点为，根据题意得双曲线的焦点为…（3分）
设双曲线的标准方程为，且有。……（6分）
又由，得，得，……（10分）
所求双曲线的方程为。……（2分）
4. 倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长. （P61 例4）
解：设，到准线的距离分别为，
由抛物线的定义可知，于是。……（3分）
由已知得抛物线的焦点为，斜率，所以直线方程为（6分）
将代入方程，得，化简得。由求根公式得
，……（9分）
于是。所以，线段AB的长是8。……（12分）
5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？
解：当时，，方程化为，表示圆心在原点的单位圆。……（3分）
当时，，方程化为，
由于，从而表示焦点在y轴的椭圆。……（5分）
当时，，方程化为，即，表示与轴平行的两条直线（7分）
当时，，方程化为，表示焦点在轴上的双曲线（9分）
当时，，方程化为，表示焦点在轴上的等轴双曲线。（12分）
6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
解：（1）设抛物线方程.……（2分）
由题意可知，抛物线过点，代入抛物线方程，得
， 解得，
所以抛物线方程为. ……（6分）
（2）把代入，求得. ……（9分）
而，所以木排能安全通过此桥. ……（12分）
7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.
解：（1）设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b==1. ……（3分）
∴ 椭圆C的方程为＋y2＝1．……（5分）
联立方程组，消y得10x2＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，故线段AB的中点坐标为（）（12分）
（2）弦AB的长为.
8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.
解：设与直线平行，且与抛物线相切的直线为…（3分）
由， 消x得.……（5分）
∴ ，解得，即切线为.……（7分）
由，解得点. ……（9分）∴ 最短距离.……（12分）
9. 点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60 ，求△F1MF2的面积.
解：由，得a=8，b=6，（3分）
根据椭圆定义，有.……（5分）
在△F1MF2中，由余弦定理，得到
.
即 ，（7分）
解得.……（10分）
△F1MF2的面积为：.……（12分）
10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （☆P21 例4）
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（1）设所求椭圆方程为(a>b>0)，其半焦距c=6，……（2分）……（4分）
∴,b2=a2-c2=9. 所以所求椭圆的标准方程为． ……（6分）
（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6). ……（8分）
设所求双曲线的标准方程为，由题意知，半焦距c1=6，
，,b12=c12-a12=36-20=16.
所以，所求双曲线的标准方程为．……（12分）
11. 已知函数（为自然对数的底）.
（1）求函数的单调递增区间；（2）求曲线在点处的切线方程.
解：求导. ……（3分）
（1）令，即，解得，
所以，函数的单调递增区间是. ……（6分）
（2）由，得切点.由，得切线斜率. ……（9分）
所以曲线在点处的切线方程为
，即.……（12分）
12. 设函数.
（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极大值和极小值.
解： f′(x)=－x2+4x－3=－(x－3)(x－1).……（2分）
（1）由f′(x)>0，解得：1
3.
则函数f(x)的单调递增区间为（1, 3），单调递减区间为（－∞，1）和（3，+∞）（6分）
（2）由f′(x)=0，解得：x=1或x=3. 列表如下：……（9分）
x (－∞，1) 1 (1, 3) 3 (3,+ ∞)
f′(x) — 0 + 0 —
f(x) 单调递减↘ － 单调递增↗ 0 单调递减↘
∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－.……（12分）
13.（06年福建卷）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间.
解：（1），.……（2分）
又函数的图象在点处的切线方程为x+2y+5=0， ……（4分）
所求函数解析式为.……（6分）
（2）解得 ……（8分）
当或时， 当时，
在和内是减函数，在内是增函数. ……（12分）
14. 已知a为实数，，（1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是增函数，求a的取值范围.
解：（1）因为=，所以（3分）
（2）由，得 ， 此时有 所（5分）
由，得或,又因为，
所以在上的最大值为，最小值为.……（8分）
（3）的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.
由条件得，解得. 所以的取值范围为.……（12分）
15. （ 2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大 最大容积是多少 （☆P47 例1）
解：设容器的高为x，容器的体积为V，……（1分）
则V=，
其中.求导得.
令，解得x1=10，x2=36. ……（8分）
∵令V′>0得x>36或x<10 ；令V′<0得10∴ 函数在上递增，在上递减. ∴ 当x=10时，V有最大值=19600.
答：容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm.……（12分）
16.（2006年江西卷）已知函数在与时都取得极值
（1）求a、b的值与函数的单调区间.
（2）若对时，不等式恒成立，求c的取值范围.
解：（1），.……（3分）
由，得a＝，b＝－2
，
令，解得或；令，解得.
所以，函数的递增区间是，；递减区间是. ……（6分）
（2）＝x3－x2－2x＋c ，
∴ 当x变化时，、的变化情况如下表：
x 1 2
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值 c+2
由表可知，＝c+2为最大值.
要使在恒成立，只需＝c+2，解得c－1或c2（12分）
F1
M
O
F2
PAGE
5(共19张PPT)
选修1-1（复习课）
练习巩固
求曲线轨迹方程的五步：
1.建系设点；
2.写条件；
3.列方程；
4.化简； 5. 说明。
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
练习巩固
H
B
A
B
B- 8 -
- 7 -
选修1-1（16题）
1. 已知 , , 若的必要不充分条件，求实数的取值范围.
2. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M的轨迹.（P41 例6）
3. 双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程. （课本P68 4）
4. 倾斜角的直线l过抛物线焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB长.
（课本P61 例4）
5. 当从到变化时，方程表示的曲线的形状怎样变换？（课本P68 5）
6. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
7. 已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.
8. 在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求最短距离.
9. 点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60 ，求△F1MF2的面积.
10. （06年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； （2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
11. 已知函数（为自然对数的底）.
（1）求函数的单调递增区间； （2）求曲线在点处的切线方程.
12. 设函数.
（1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)的极大值和极小值.
13. （06年福建卷）已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间.
14. 已知a为实数，. （1）求导数；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是增函数，求a的取值范围.
15.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大 最大容积是多少 （☆P47 例1）
16.（2006年江西卷）已知函数在与时都取得极值
（1）求a、b的值与函数的单调区间；（2）若对时，不等式恒成立，求c的范围.
F1
M
O
F2
7(共18张PPT)
A
C
D
B
45° 75°
5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75°，求山顶的海拔高度.
A
B
0数学5（16题）参考答案
1. 在△ABC中，已知，，B=45 ，求A、C及c.
解一：根据正弦定理，. ……（3分）
∵B=45<90，且b当A=60时，C=75，；……（9分）
当A=120时，C=15，. ……（12分）
解二：根据余弦定理，.
将已知条件代入，整理得，解得. ……（6分）
当时，，
从而A=60 ，C=75；当时，同理可求得：A=120 ，C=15 .……（12分）
2. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状.
解：， ，（4分）
化简得：，即. ……（9分）
①若时，，此时是等腰三角形；
②若，，此时是直角三角形，
所以是等腰三角形或直角三角形. ……（12分）
3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求C； （2）若，求A．
解：（1）∵ a2＋b2＝c2＋ab， ∴cosC＝ ， ∴ C＝45°.…（6分）
（2）由正弦定理可得， ∴
∴ sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB， ∴ sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，
∴ sin(B＋C)＝2sinAcosB， ∴ sinA＝2sinAcosB. ……（9分）
∵ sinA≠0， ∴ cosB＝， ∴ B＝60°， A＝180°－45°－60°＝75°. ……（12分）
4. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．（结果保留根式形式）
解：在中，，.
∴ . ……（5分）在中，，
. ∴ .……（12分）
5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过2分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度.
解：在中，，，. ……（3分）
根据正弦定理，， ， . ……（6分）
作PH⊥AB于H，则
. ……（10分）
所以，山顶P的海拔高度为 （千米）. ……（12分）
6. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. （课本P34 B3）
解：⑴由，得，
； ……（5分）
⑵依题意有：，，，，
. ……（12分）
7. 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（课本P44 例3）
解：⑴①当时，； ……（2分）
②当时，由得 ……（7分）
又满足，所以此数列的通项公式为. ……（9分）
⑵因为，
所以此数列是首项为，公差为2的等差数列. ……（12分）
8.（09年福建卷.文17）等比数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.
解：（1）设的公比为， 由已知得，解得. ……（3分）
所以. ……（4分）
（2）由（1）得，，则，. ……（6分）
设的公差为，则有解得. ……（9分）
从而. ……（10分）
所以数列的前项和. ……（12分）
9. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？ （课本P58 2）
解法一：根据等比数列性质，知成等比数列，……（3分）
即成等比数列， ……（5分）
∴ ，……（8分）解得. ……（12分）
解法二：设等比数列的首项为，公比为，则：
==①，
同理②，因为，所以由①得，所以，代入②，得.
解法三：设等比数列的首项为，公比为，易知，则：
，解得.∴ .
10. 已知数列的前项和为，.
（1）求 （2）求证：数列是等比数列.
解：（1），解得. ……（2分）
由，解得. ……（5分）
（2），则， ……（8分）
整理为，即，所以是等比数列. ……（12分）
11. 已知不等式的解集为A，不等式的解集是B.
（1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.
解：（1）解得，所以. ……（3分）
解得，所以. ∴ . ……（6分）
（2）由的解集是，所以，解得 ……（9分）
∴ ，解得解集为R. ……（12分）
12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格（不能低于15元）？ （课本P81 6）
解：设每盏台灯售价元，则， ……（6分）
整理为，解得，即，
所以售价范围为. ……（12分）
13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率 （课本P93 3）
解：将所给信息用下表表示.
每次播放时间(单位:min) 广告时间(单位:min) 收视观众(单位:万)
连续剧甲 80 1 60
连续剧乙 40 1 20
限制条件 播放最长时间320 最少广告时间6
设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z. 则目标函数为z=60x+20y，
约束条件为，作出可行域如右图. ……（5分）
作平行直线系，由图可知，当直线过点A时
纵截距最大. ……（6分）
解方程组，得点A的坐标为(2，4)，zmax=60x+20y=200 (万). …（11分）
所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.
14. 已知为正数.
（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.
解：（1）∵ ，
∴ ≥. ……（4分）
当且仅当时，上式取等号. 所以的最小值为. ……（6分）
（2）. ……（10分）
当且仅当即时等号成立.所以，的最大值为. ……（12分）
15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？（课本P99 例2）
解：设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为m，又设水池总造价为y元. 根据题意，得
y＝150×＋120（2×3x＋2×3×）＝240000＋720（x＋）……（6分）
≥240000＋720×2＝240000＋720×2×40＝297600. ……（9分）
当x＝，即x＝40时，y有最小值297600. ……（11分）
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
16. （2005年北京春招）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（1）依题意得． ……（4分）
当且仅当即时取等号．故千辆 / 小时． ……（6分）
（2）由条件得 ．……（8分）
整理得． ……（10分）
解得．
所以，汽车的平均速度应在范围内. ……（12分）
A
C
D
B
PAGE
1- 8 -
- 7 -
必修5（16题）
1. 在△ABC中，已知，，B=45 ，求A、C及c.
2. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状.
3. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a2＋b2＝c2＋ab.
（1）求C； （2）若，求A．
4. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，试求炮击目标的距离AB．
5. 如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为，经过2分钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度.
6. 已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项； （2）利用上面的数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. （课本P34 B3）
7. 已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？（课本P44 例3）
8.（09年福建卷.文17）等比数列中，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.
9. 若一等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？（课本P58 2）
10. 已知数列的前项和为，.
（1）求 （2）求证：数列是等比数列.
11. 已知不等式的解集为A，不等式的解集是B.
（1）求；（2）若不等式的解集是 求的解集.
12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ （课本P81 6）
13. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率 （课本P93 3）
14. 已知为正数. （1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.
15. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价多少元？（课本P99 例2）
16. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
A
C
D
B
7