2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性 同步测试（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性 同步测试（word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 338.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-02 06:56:37 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（ ）
A．AB＝AC
B．AC＝2AB
C．AC＜2AB
D．AC＞2AB
3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（
）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
6．如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°
B．80°
C．85°
D．90°
7.如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧
上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15
B．20
C．15＋5
D．15＋5
8.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
9．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个
B．2个
C．1个
D．4个
10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
11．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（ ）
A．cm
B．2cm
C．cm
D．3cm
二．填空题
13．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝
．
14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将
旋转n°得到，则的度数
是
度．
15.已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____
16．点A、C为直径是6的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为
．
17．如图，⊙O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为
．
18．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为 ．
三．解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．
求证：AB＝CD．
20．如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 ．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
21．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．
22.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
23．如图，AB为?⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：OE＝OF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．
24.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝____
度，∠BPC＝____度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
25．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性
同步测试(解析版)
一．选择题
1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
解：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x＋4x＋6x＋5x＝360°
∴x＝20°
∴∠D＝100°
故选：C．
2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（ ）
A．AB＝AC
B．AC＝2AB
C．AC＜2AB
D．AC＞2AB
解：如图．连接BC．
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BC，
∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故选：C．
3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（ ）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD＝120°．
故选：B．
4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
解：设正多边形的边数为n．
由题意＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
6．如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°
B．80°
C．85°
D．90°
解：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝45°+45°＝90°，
故选：D．
7.如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧
上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15
B．20
C．15＋5
D．15＋5
解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3＋5＝15＋5．故选：C．
8.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180－∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴与的度数都是40度，
∴∠COE＝80°．
故选：C．
9．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个
B．2个
C．1个
D．4个
解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴．
故选：D．
10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
解：连接OC，交AB于F，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝60°，OC⊥AB，
Rt△BOF中，OB＝OA＝6，
∴OF＝OB＝3，
∴CF＝6﹣3＝3，
∵CD⊥OA，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∵∠CFD＝90°，
∴DF＝，CD＝2DF＝2，
故选：D．
11．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），
∴＝，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），
在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（ ）
A．cm
B．2cm
C．cm
D．3cm
解：过点O作OE⊥AB，与圆交于点E，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，连接CE、DE、BC．
∴GH＝DE＝2
∵OC⊥OD，OE⊥AB，
∴∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD，
∴AC＝DE＝2，CE＝BD＝，
∵∠COD＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠CBD＝∠COD＝45°，∠BCE＝BOE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°，
∴∠CED+∠BCE＝180°，
∴DE∥BC，四边形EDBC为等腰梯形，
∵BD＝，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°，
∴HB＝HD＝BD＝1，
同理EG＝1，
∵EG⊥BC，DH⊥BC，
∴EG∥DH，
∴四边形EDHG是平行四边形，
∴GH＝DE＝2，
∴BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20，
∴AB＝，
OA＝OB＝
故选：C．
二．填空题
13．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝ 3 ．
解：∵在⊙O中，，
∴AC＝AB＝3，
故答案为：3
14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将
旋转n°得到，则的度数
是
度．
解：∵将旋转n°得到，
∴＝，
∴∠DOC＝∠AOB＝20°，
∴的度数为20度．
故答案为20．
15.已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____
解：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°．
故答案为：90°．
16．点A、C为直径是6的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 6或3 ．
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×6＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝；
如图②，BD＝×6＝4，
同理可得，OD＝，OE＝，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝，
故答案为6或3．
17．如图，⊙O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为 50﹣50 ．
解：连接OE，CD交于点G，过D作DF⊥OB于F，
∵∠AOB＝45°，
∴△ODF是等腰直角三角形，
设OF＝x，则DF＝x，OD＝x，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OG＝EG＝OE＝5，
∵OC＝OD，
∴∠ODG＝∠DCF，
∵∠DFC＝∠OGD＝90°，
∴△DFC∽△OGD，
∴，
∴，DC＝，
在Rt△OCG中，，
解得x2＝50+25（舍）或50﹣25，
∴菱形OCED的面积＝CD?OE＝?10＝＝50﹣50，
故答案为：50﹣50．
18．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为 ．
解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，
∵∠DOC＝90°，
∴∠DOR＝90°，
∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠DAM＝45°，
∵DM⊥AM，DA＝2，
∴DM＝AM＝，
∴MR＝2，DR＝，
∵2OD2＝DR2，
∴OD＝
故答案为
三．解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．
求证：AB＝CD．
证明：∵BD＝AC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD
20．如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 50° ．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
解：（1）连接OC．
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BCO＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°．
（2）如图，作OH⊥BC于H．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝?OB?OA＝?AB?OH，
∴OH＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝．
21．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．
证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴AB＝CD．
22.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×2＝1．
（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD＝ED，
∵∠BAC＝60°，DE∥AB，
∴∠AED＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBD＝120°，
∴∠PBD＝∠AED，要使△PBD≌△AED；
只需PB＝AE＝1．
23．如图，AB为?⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：OE＝OF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝4，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴OM＝3．
24.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝____
度，∠BPC＝____度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
解：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM＋∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－（∠APC＋∠BPC）＝180°－120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC＋∠PBC＝180°，
∵∠MAC＋∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP
AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA＋AM＝PA＋PB＝1＋2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S梯形PBCM＝（PB＋CM）×PH＝(2＋3)×＝
．
25．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
解：（1）连接DF、DG．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DGB＝90°，
∵＝，
∴∠EDF＝∠HDG，
∵∠DFB＝∠EDF+∠A，
∠DGB＝∠HDG+∠C，
∴∠A＝∠C．
（2）结论：α+β+θ＝180°．
理由：如图②中，连接DF，BH．
∵＝，
∴∠ADF＝∠HBG＝θ，
∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，
∴∠AFD＝∠DHB，
∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，
∴∠A+θ+∠C+θ＝180°，
∴α+β+θ＝180°．
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（ ）
A．AB＝AC
B．AC＝2AB
C．AC＜2AB
D．AC＞2AB
3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（
）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
6．如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°
B．80°
C．85°
D．90°
7.如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧
上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15
B．20
C．15＋5
D．15＋5
8.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
9．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个
B．2个
C．1个
D．4个
10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
11．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（ ）
A．cm
B．2cm
C．cm
D．3cm
二．填空题
13．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝
．
14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将
旋转n°得到，则的度数
是
度．
15.已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____
16．点A、C为直径是6的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为
．
17．如图，⊙O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为
．
18．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为 ．
三．解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．
求证：AB＝CD．
20．如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 ．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
21．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．
22.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
23．如图，AB为?⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：OE＝OF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．
24.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝____
度，∠BPC＝____度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
25．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
北师大版九年级数学下册第三章3．2圆的对称性
同步测试(解析版)
一．选择题
1.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）
A．60
B．80
C．100
D．120
解：∵内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5
设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x
∴3x＋4x＋6x＋5x＝360°
∴x＝20°
∴∠D＝100°
故选：C．
2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（ ）
A．AB＝AC
B．AC＝2AB
C．AC＜2AB
D．AC＞2AB
解：如图．连接BC．
∵＝2，
∴＝，
∴AB＝BC，
∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故选：C．
3.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（ ）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，
∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，
∴∠BCD＝120°．
故选：B．
4.如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
5．一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
解：设正多边形的边数为n．
由题意＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
6．如图在⊙O中，若点C是的中点，∠AOC＝45°，则∠AOB＝（ ）
A．45°
B．80°
C．85°
D．90°
解：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝45°+45°＝90°，
故选：D．
7.如图，弧是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧
上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ）
A．15
B．20
C．15＋5
D．15＋5
解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3＋5＝15＋5．故选：C．
8.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180－∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴与的度数都是40度，
∴∠COE＝80°．
故选：C．
9．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个
B．2个
C．1个
D．4个
解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴．
故选：D．
10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
解：连接OC，交AB于F，
∵C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝60°，OC⊥AB，
Rt△BOF中，OB＝OA＝6，
∴OF＝OB＝3，
∴CF＝6﹣3＝3，
∵CD⊥OA，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∵∠CFD＝90°，
∴DF＝，CD＝2DF＝2，
故选：D．
11．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．cm
B．cm
C．cm
D．4cm
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），
∴＝，
∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，
∴△AOF≌△ODE，
∴OE＝AF＝AC＝3（cm），
在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），
在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．
故选：A．
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D分别是⊙O上的两点，OC⊥OD，AC＝2cm，BD＝cm，则⊙O的半径是（ ）
A．cm
B．2cm
C．cm
D．3cm
解：过点O作OE⊥AB，与圆交于点E，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EG⊥BC于点G，连接CE、DE、BC．
∴GH＝DE＝2
∵OC⊥OD，OE⊥AB，
∴∠COD＝∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠EOD，∠COE＝∠BOD，
∴AC＝DE＝2，CE＝BD＝，
∵∠COD＝90°，∠BOE＝90°，
∴∠CBD＝∠COD＝45°，∠BCE＝BOE＝45°，
∴∠CED＝180°﹣∠CBD＝135°，∠BDE＝180°﹣∠BCE＝135°，
∴∠CED+∠BCE＝180°，
∴DE∥BC，四边形EDBC为等腰梯形，
∵BD＝，∠CBD＝45°，∠DBH＝45°，
∴HB＝HD＝BD＝1，
同理EG＝1，
∵EG⊥BC，DH⊥BC，
∴EG∥DH，
∴四边形EDHG是平行四边形，
∴GH＝DE＝2，
∴BC＝CG+GH+BH＝1+2+1＝4
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2＝AC2+BC2＝22+42＝20，
∴AB＝，
OA＝OB＝
故选：C．
二．填空题
13．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝ 3 ．
解：∵在⊙O中，，
∴AC＝AB＝3，
故答案为：3
14.如图，圆心角∠AOB＝20°，将
旋转n°得到，则的度数
是
度．
解：∵将旋转n°得到，
∴＝，
∴∠DOC＝∠AOB＝20°，
∴的度数为20度．
故答案为20．
15.已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____
解：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°．
故答案为：90°．
16．点A、C为直径是6的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为 6或3 ．
解：过B作直径，连接AC交AO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径的三等分点上，
∴BD＝×6＝2，
∴OD＝OB﹣BD＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝，
∴OE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝；
如图②，BD＝×6＝4，
同理可得，OD＝，OE＝，DE＝2，
连接OC，
∵CE＝，
∴边CD＝，
故答案为6或3．
17．如图，⊙O的半径为10，点A、E、B在圆周上，∠AOB＝45°，点C、D分别在OB、OA上，菱形OCED的面积为 50﹣50 ．
解：连接OE，CD交于点G，过D作DF⊥OB于F，
∵∠AOB＝45°，
∴△ODF是等腰直角三角形，
设OF＝x，则DF＝x，OD＝x，
∵四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD，OG＝EG＝OE＝5，
∵OC＝OD，
∴∠ODG＝∠DCF，
∵∠DFC＝∠OGD＝90°，
∴△DFC∽△OGD，
∴，
∴，DC＝，
在Rt△OCG中，，
解得x2＝50+25（舍）或50﹣25，
∴菱形OCED的面积＝CD?OE＝?10＝＝50﹣50，
故答案为：50﹣50．
18．如图，AB是⊙O的直径，点D、C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝2，BC＝，则⊙O的半径长为 ．
解：延长CO交⊙O于R，连AR，DR，过D作DM⊥AR于M，
∵∠DOC＝90°，
∴∠DOR＝90°，
∴∠DAR＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠DAM＝45°，
∵DM⊥AM，DA＝2，
∴DM＝AM＝，
∴MR＝2，DR＝，
∵2OD2＝DR2，
∴OD＝
故答案为
三．解答题
19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．
求证：AB＝CD．
证明：∵BD＝AC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD
20．如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D．
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 50° ．
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长．
解：（1）连接OC．
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BCO＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°．
（2）如图，作OH⊥BC于H．
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵S△AOB＝?OB?OA＝?AB?OH，
∴OH＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝．
21．如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．
证明：∵AC＝BD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝，
∴AB＝CD．
22.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∵AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×2＝1．
（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD＝ED，
∵∠BAC＝60°，DE∥AB，
∴∠AED＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBD＝120°，
∴∠PBD＝∠AED，要使△PBD≌△AED；
只需PB＝AE＝1．
23．如图，AB为?⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．
（1）求证：OE＝OF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．
（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵＝，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AM＝AB＝4，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，
解得：x＝3，
∴OM＝3．
24.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．
（1）填空：∠APC＝____
度，∠BPC＝____度；
（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．
解：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM＋∠M＝180°，
∠PCM＝∠BPC，
∵∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠PCM＝∠BPC＝60°，
∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－（∠APC＋∠BPC）＝180°－120°＝60°，
∴∠M＝∠BPC＝60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC＋∠PBC＝180°，
∵∠MAC＋∠PAC＝180°
∴∠MAC＝∠PBC
∵AC＝BC，
∴△ACM≌△BCP；
（3）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM＝CP
AM＝BP，
又∠M＝60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM＝CP＝PM＝PA＋AM＝PA＋PB＝1＋2＝3，
在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，
∴PH＝，
∴S梯形PBCM＝（PB＋CM）×PH＝(2＋3)×＝
．
25．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
解：（1）连接DF、DG．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DGB＝90°，
∵＝，
∴∠EDF＝∠HDG，
∵∠DFB＝∠EDF+∠A，
∠DGB＝∠HDG+∠C，
∴∠A＝∠C．
（2）结论：α+β+θ＝180°．
理由：如图②中，连接DF，BH．
∵＝，
∴∠ADF＝∠HBG＝θ，
∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，
∴∠AFD＝∠DHB，
∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，
∴∠A+θ+∠C+θ＝180°，
∴α+β+θ＝180°．