2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章3．6直线和圆的位置关系 同步测试（word解析版）

北师大版九年级数学下册第三章
3．6直线和圆的位置关系
同步测试(原卷版)
一．选择题
1.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　）
A．d=3
B．d≤3
C．d＜3
D．d＞3
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，则以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．外离
3．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为（　　）
A．4
B．3
C．7
D．8
4.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相离
5．下列说法正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1
B．1或5
C．3
D．5
7．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　）
A．35°或70°
B．40°或100°
C．40°或90°
D．50°或110°
8.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
9．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（　　）
A．
B．
C．
D．7
10.同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
11.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（　　）
A．2周
B．3周
C．4周
D．5周
12．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（　　）
A．∠PBA＝40°
B．PC＝PB
C．PM＝MB
D．⊙P与△ABC有4个公共点
二．填空题
13.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移
cm时与⊙O相切．
14．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝　　．
15．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，点P在直线y＝x+6上运动，过点P作⊙O的一条切线，切点为B，则PB的最小值为　　
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为　　．
17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为　　．
18．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　　．
解答题
19.已知⊙O的周长为6π，若某直线l上有一点到圆心O的距离为3，试判断直线l与⊙O的位置关系.
20．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
21.圆心O到直线L的距离为d，⊙O半径为r，若d、r是方程-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，求m的值．
22．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，求CD的长．
23．如图，在直角坐标系中，以点C（2，0）为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点D（﹣，0）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求证：直线BD是⊙C的切线．
24．已知点O是菱形ABCD对角线BD上的点，以点O为圆心，OB为半径的圆与CD相切于点C．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若圆O的半径为6，求菱形的边长．
北师大版九年级数学下册第三章
3．6直线和圆的位置关系
同步测试(解析版)
一．选择题
1.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（　　）
A．d=3
B．d≤3
C．d＜3
D．d＞3
解：因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3，故选B．
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，则以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．外离
解：根据题意得：点A到直线BC的距离=AC，
∵AC=6cm，圆的半径=6cm，
∴以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC相切．
故选B．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最小值为（　　）
A．4
B．3
C．7
D．8
解：连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OC﹣3＝2，
∵∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB＝2，
∴AB长度的最小值为4，
故选：A．
4.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相离
解：根据圆心到直线的距离10等于圆的半径10，则直线和圆相切．
故选B．
5．下列说法正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
解；A、等弦所对的弧不一定相等，故选项A不符合题意；
B、弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故选项B符合题意；
C、经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故选项C不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故选项D不符合题意；
故选：B．
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1
B．1或5
C．3
D．5
解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
故选：B．
7．如图，∠ABC＝70°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径做⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　）
A．35°或70°
B．40°或100°
C．40°或90°
D．50°或110°
解：如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，
∵OD＝OB，∴∠OBD＝30°，
∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝70°﹣30°＝40°，
当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝70°+30°＝100°，
故选：B．
8.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切
B．相离
C．相离或相切
D．相切或相交
解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
9．如图，PAB为⊙O的割线，且PA＝AB＝3，PO交⊙O于点C，若PC＝2，则⊙O的半径的长为（　　）
A．
B．
C．
D．7
解法一：延长PO交圆于点D
利用割线定理可知PA?PB＝PC?PD，求得PD＝9，
所以CD＝7，半径＝3.5．
解法二：作OD⊥AB于D，根据垂径定理和勾股定理求解．
故选：A．
10.同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（　　）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
解：根据题意画出图形，如图所示：
由已知得：BC=30cm，AC=40cm，AB=50cm，
∵
，
，
∴
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴AC为圆B的切线，
则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．
故选C．
11.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（　　）
A．2周
B．3周
C．4周
D．5周
解：圆在三边运动自转周数：6π÷2π
=3，
圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；
可见，⊙O自转了3+1=4周．
故选：C．
12．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（　　）
A．∠PBA＝40°
B．PC＝PB
C．PM＝MB
D．⊙P与△ABC有4个公共点
解：∵∠C＝40°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝80°，
由题意得，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝ABC＝40°，故选项A正确；
∵∠PBC＝∠PBA＝ABC＝40°，
∴∠C＝∠PBC，
∴PC＝PB，故选项B正确；
∵PM⊥AB，
∴∠BMP＝90°，
∴∠BPM＝50°，
∴∠BPM≠∠MBP，
∴PM≠BM，故C选项错误；
∵点P在∠ABC的角平分线上，
∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径，
∴AB，BC与⊙P相切，
∵PA＞PM，PC＞PM，
∴⊙P与AC相交，
∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确，
故选：C．
二．填空题
13.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移
cm时与⊙O相切．
解：
∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2
=4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
故答案为：2．
14．如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝　2　．
解：∵OB⊥AB，OB＝2，OA＝4，
∴在直角△ABO中，sin∠OAB＝，则∠OAB＝60°；
又∵∠CAB＝30°，
∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝30°；
∵直线l2刚好与⊙O相切于点C，
∴∠ACO＝90°，
∴在直角△AOC中，OC＝OA＝2（30°角所对的直角边是斜边的一半）．
故答案是：2．
15．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，点P在直线y＝x+6上运动，过点P作⊙O的一条切线，切点为B，则PB的最小值为　　
解：作OP⊥AC于点P，
∵PB是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP＝90°，
∴PB＝，
∵OB＝2，
∴当OP取得最小值时，PB最小，
在y＝x+6中当y＝0时，x＝﹣6；当x＝0时，y＝6，
∴OA＝OC＝6，∠OAC＝∠OCA＝45°，
则OP＝OA＝3，
∴PB＝＝，
故答案为：．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线BD上的动点，以BP为直径作圆，当圆与矩形ABCD的边相切时，BP的长为　或　．
解：BP为直径的圆的圆心为O，作OE⊥AD于E，OF⊥CD于F，如图，
设⊙O的半径为r，
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝5，
当OE＝OB时，⊙O与AD相切，
∵OE∥AB，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
当OF＝OB时，⊙O与DC相切，
∵OF∥BC，
∴＝，即＝，解得r＝，
此时BP＝2r＝；
综上所述，BP的长为或．
故答案为或．
17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为　4　．
解：连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′CD′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，
∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，
∴B′H＝OM＝3，
∴CH＝B′C﹣B′H＝1，
∴CG＝B′M＝OH＝＝2，
∵四边形MB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CN＝2CG＝4，
故答案为：4．
18．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝　20　．
解：∵AD?BD＝CD?DT，
∴TD＝，
∵CD＝2，AD＝3，BD＝4，
∴TD＝6，
∵PT是⊙O的切线，PA是割线，
∴PT2＝PA?PB，
∵CT为直径，
∴PT2＝PD2﹣TD2，
∴PA?PB＝PD2﹣TD2，
即（PB+7）PB＝（PB+4）2﹣62，
解得PB＝20．
故答案为：20．
三．解答题
19.已知⊙O的周长为6π，若某直线l上有一点到圆心O的距离为3，试判断直线l与⊙O的位置关系.
解：∵⊙O的周长为6π，
∴⊙O的半径为3，
∵直线l上有一点到圆心O的距离为3，
∴圆心到直线的距离小于或等于3，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切.
20．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于点D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
解：（1）连接OC，如图1所示．
∵FD是CE的垂直平分线，
∴DC＝DE，
∴∠E＝∠DCE，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵Rt△ABE中，∠B＝90°，
∴∠A+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切．
（2）连接BC，如图2所示．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB∽ABE，
∴＝，
∵AC?AE＝84，
∴AB2＝84，
∴AB＝2，
∴OA＝．
21.圆心O到直线L的距离为d，⊙O半径为r，若d、r是方程-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，求m的值．
解：∵d、r是方程x2-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，
∴d=r，
∴方程有两个相等的实根，
∴△=36-4m=0，
解得，m=9．
22．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，求CD的长．
解：∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵AD＝OD，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∴BC＝AB＝6，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴CD＝BC＝×6＝2．
23．如图，在直角坐标系中，以点C（2，0）为圆心，以3为半径的圆分别交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点D（﹣，0）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求证：直线BD是⊙C的切线．
解：（1）∵点C（2，0），圆的半径为3，
∴OC＝2，AC＝3，
∴OA＝OC+CA＝5，
∴A（5，0），
连接CB，在Rt△OCB中，∵OB＝＝＝，
∴B（0，）；
（2）∵点D（﹣，0），
∴OD＝．
在Rt△DBO中，∵DB2＝BO2+DO2＝5+＝，
又∵DC＝DO+OC＝，CB＝3，
∴在△DBC中，DB2+CB2＝+9＝＝DC2，
∴△DBC是直角三角形，
∴BC⊥DB于点B．
∵BC是⊙C半径，
∴直线BD是⊙C的切线．
24．已知点O是菱形ABCD对角线BD上的点，以点O为圆心，OB为半径的圆与CD相切于点C．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若圆O的半径为6，求菱形的边长．
（1）证明：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，
∵OD＝OD，
∴△ADO≌△CDO（SAS），
∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∴AD与⊙O相切；
（2）解：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DOC＝∠OBC+∠OCB，
∴∠DOC＝2∠OBC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴∠DOC＝2∠CDO，
∵∠CDO+∠DOC＝90°，
∴∠CDO＝30°，
∵OC＝6，
∴CD＝6，
∴菱形的边长为6．