浙江省宁波市宁海中学创新班2021届高三下学期2月测试数学试题 Word版含答案

2021年2月宁海中学创新班测试卷
1. 已知集合false，false，则（ ）
A. false B. false C. false D. false
2. 复数false（false为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A. false B. false C. false D. false
4. 函数false的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若实数false，false满足约束条件false，则false的取值范围是（ ）
A. false B. false C. false D. false
6. 小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量false，则false为（ ）
A. false B. false C. false D. 3
7. 已知数列false为等差数列，则“false为有理数”是“数列false中存在有理数” （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知平面向量false，false满足false，false，且false，则false的最小值是（ ）
A. false B. false C. false D. false
9. 如图，在false中，false，false，点false为线段false上一点，将false绕false翻折，若在翻折过程中存在某位置，使得false，记false为false的最小值.则（ ）

A. false B. false
C. false D. false
10. 记false（false为自然对数的底数），若对任意false，存在不等实数false，使得false，则满足条件的整数false的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义“一中同长也”已知false为坐标原点，false，若false，false的“长”分别为1，false，且两圆相切，则false_________.
12. 二项式false的展开式中有_____________项有理项；这些项的系数之和是__________.
13. 在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，false，false，则false_________；false的面积是__________.
14. 若定义在false上的偶函数满足false，false，则false___________﹔若实数false，false满足false，设函数false，则false在false上最少有____________个零点.
15. 已知椭圆false的左，右焦点分别为false，false，点false为直线false上的一个动点（不在坐标轴上），则当false的最大值为false时，椭圆的离心率是_________.
16. 如图，在false的点阵中，依次随机地选出false，false，false三个点，则选出的三点满足的概率是false的概率是___________；单调递增区间是__________.

18. 已知函数false.
（1）求函数false的振幅与单调区间；
（2）在false中，false为锐角，满足false，若false，求false.
19. 如图，已知四棱锥false中，false平面false，平面false平面false，且false，false，false，点false在平面false内的射影恰为false的重心false.

（1）证明：false；
（2）求直线false与平面false所成角的正弦值.
20. 已知数列false满足：false，false.
（Ⅰ）求数列false的通项公式；
（Ⅱ）若数列false满足数列false前false项和为false，求数列false的前false项和.
21. 已知椭圆false的离心率为false，过false作斜率为false的直线false交椭圆于false，false两点，false，false，false互不重合.
（Ⅰ）对于给定的false，若false，求false的取值范围（星空专用）（用false表示）；
（Ⅱ）对于给定的false满足false（false且false），当false（false为坐标原点）的面积最大时，求椭圆的标准方程（用false表示）.
22. 已知函数false，false.
（Ⅰ）若false，false是false的两个根，证明：false；
（Ⅱ）若存在false，使false，求false的取值范围.

2021年2月宁海中学创新班测试卷
1-5：DBADA 6-10：BABCD
11. 1 12. 3，225 13. 4，false 14. 所以至少2个零点
15. 设false到false轴的距离为false，
则falsefalse，解得：false.
16. 由题意可知false，false，false三个点是有序的，从反面false的角度做，讨论的是false为主元，
故对false分三种情况讨论，如图：第一类false为5号点；第二类false为1，3，7，9号点；
第三类false为2，4，6，8号点；
（1）当false为5号点时，则（i）false，三点共线有四条直线，故false，
（ii）false，则，如false在1号位，false和false即false，共有false，共有false种.
'
（2）当false为第二类点不存在这样的点；
（3）当false为第三类点，以2号点为例，有三种图示

故有false，综上false共有64中，故false.答案填：false.
18.（1）解：三角函数性质
因为false，
即false的振幅为2，∵false，∴false，
所以false的递增区间为false，递减区间为false.
（2）解：三角函数化简
∵false，∴false，
∴false或false，所以false或false，
∵false为锐角，∴false，∵false，∴false，∴false，
∴false，∴false，∴false，∴false，
∴false
false
false.
19. 解：（1）过false作false于false，因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，所以false平面false，∴false.因为false平面false，所以false，false，所以false平面false，∴false.

（2）连结false并延长交false于false，连结false.以false为原点，分别以false，false所在的直线为false，false轴，以过false且与平面false垂直的直线为false轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则false，false，false，设false，∵false平面false，∴false，同理false，∴false，∴false平面false，∴false，∵false是false的重心，∴false是false的中点，∴false，由（1）知，false，∴false，∴false，false，∴false，∴false，∴false，设false，则false，故false，∴false，false，
∴false，∴false，∴false，∴false，false，false，设平面false的法向量为false，则false，false，令false，则false，设直线false与平面false所成角为false，则falsefalse，故直线false与平面false所成角的正弦值为false.

20. 解：（Ⅰ）∵false，false，
∴当false时，false，∴false，
又false，∴false，
两式作商，有false，所以数列false隔项成以4为公比的等比数列.
∴false.
（Ⅱ）由已知数列false前false项和为false.
∴false，∴false.
两式相减得，false，∴false，
∴false.
21.（Ⅰ）解：false，可设椭圆方程为false，直线false的方程为：false，与椭圆联立方程可得：false.false①，
false，false，进一步计算可得：false.由false②.
当false时，由false，由false，所以false，
所以false；
当false时，①桓成立，由false，所以false.
（Ⅱ）解：false，结合false，false可解得：
false，false，
再将其代入false可得false.
falsefalse，
当false时，false，false有最大值；
当false，由（Ⅰ）知：由false，
（i）当false时，即false时，false无最大值；
（ii）当false时，即false，false有最大值.
综上当false时false有最大值，此时false，将false代入false，解得false，所以椭圆的方程为：false.

22. 解1：（分类讨论）
（Ⅰ）由题false，false是false的两个根，则false，同理false，则false，易知false，false，
展开化简得：false.
（Ⅱ）若存在false，使false，
因为false，false，
所以false，false，
当false时，false，false在false上单调递增，false，
所以false在false上单调递增，false，不满足题意.
当false时，则在false上false，在false上false，
所以false在false上单调递增，在false上单调递减，
又false，在false上false，从而false在false上单调递增，
又false，所以在false上false.
而当false时，false，
所以存在false，使false.
当false时，则false，false在false上单调递减，false，
所以false在false上单调递减，false，不满足题意.
综上所述：false.
解2：（参变量分离）
由题false有变号的零点，令false，false，
则false，令false，
则false.
则false在false上单调递增，false，故false.
则false在false上单调递增.
而false，
false.