2020-2021学年八年级数学北师大版下册《1.1等腰三角形》自主学习达标测评（word版附答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》自主学习达标测评（附答案）
1．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
2．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
3．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（　　）
A．30° B．26° C．23° D．20°
4．如图，等边△ABC，E为边AC右侧一点，且AE＝AB，连BE，交AC于D，AE、BC的延长线交于点F．若AD＝2EF＝3，线段CD的长为（　　）
A．1 B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AC＝AD＝DB，∠C＝70°，则∠CAB的度数为（　　）
A．75° B．70° C．40° D．35°
6．如果一个等腰三角形的两边长分别为7cm，14cm则等腰三角形的周长为（　　）
A．28cm B．28cm或35cm
C．35cm D．35cm或31.5cm
7．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，△BCD的面积为45，△ADC的面积为20，则△ABD的面积等于（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
9．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，过点A的直线DE∥CB，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D两点，则DE的长为（　　）
A．10 B．13 C．14 D．18
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（　　）
A．40° B．65° C．70° D．75°
11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE⊥AC，交AC于点D，交BC于点E，F是CE上一点，ED＝EF，连接DF，DE＝2cm，则CE的长为　 　cm．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，E是AD上一点，连接CE，以CE为边向右作等边三角形CEF，∠BCF＝10°，连接DF，则∠DFE的度数为　 　．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB边上一点，若△ACD是等腰三角形，则∠BCD的度数为　 　．
14．如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面积是9，则△AEC的面积是　 　．
15．等腰△ABC中，D为线段BC上一点，AD⊥BC，若AB＝10，AD＝8，则CD＝　 　．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝1，则BC的长为　 　．
17．已知△ABC和一点O，OA＝OB＝OC，∠OAB＝20°，∠OBC＝30°，则∠OCA＝　 　°．
18．如图，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝28°，AD∥BC，那么∠D＝　 　．
19．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝　 　．
20．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为　 　．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
22．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
23．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC＝FC．
25．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．
（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；
（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝　 　；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
参考答案
1．解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×＝65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
2．解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
3．解：∵∠A＝46°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝67°．
∵∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝23°，
故选：C．
4．解：在BC上截取BG＝CD，则CG＝AD＝3，过点F作QH∥AB，分别交AC，BE的延长线于Q，H．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵QH∥AB，
∴∠ABE＝∠H，
∵∠AEB＝∠FEH，
∴∠H＝∠FEH，
∴EF＝HF＝1.5，设AB＝BC＝AC＝m，
在△ABG和△BCD中，
，
∵△ABG≌△BCD（SAS），
∴∠BAG＝∠CBD，设∠BAG＝∠CBD＝x，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝60°﹣x，
∴∠BAE＝180°﹣2（60°﹣x）＝60°+2x，
∴∠FAG＝∠FGA＝60°+x，
∴FA＝FG＝m+1.5，
∴CF＝m﹣1.5＝CQ＝FQ，
∴QH＝QF+FH＝m，
∴QH＝AB，
在△ABD和△QHD中，
，
∴△ABD≌△QHD（AAS），
∴AD＝DQ，
∴3＝m﹣3+m﹣1.5，
∴m＝，
∴CD＝．
故选：D．
5．解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠C＝∠ADC＝70°，∠B＝∠DAB，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵∠ADC＝∠B+∠DAB，
∴∠DAB＝∠B＝35°，
∴∠CAB＝∠CAD+∠DAB＝75°，
故选：A．
6．解：分为两种情况：①当等腰三角形的三边为7cm，7cm，14cm时，7+7＝14，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②当等腰三角形的三边为7cm，14cm，14cm时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为14cm+14cm+7cm＝35cm，
故选：C．
7．解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25，
故选：C．
8．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠CAD）＝70°，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
9．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB＝AE，
同理可得：AD＝AC，
∴DE＝AD+AE＝AC+AB＝5+8＝13，
故选：B．
10．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD∥AE，
∴∠BAE＝∠ABD，∠E＝∠DBC，
∴∠BAE＝∠E＝35°，∠ABC＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝35°+40°＝75°，
故选：D．
11．解：∵AC＝AB，∠A＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝90°，
∴EC＝2DE＝4，
故答案为4．
12．解：如图1中，当CF在BC的下方时．
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD＝DA＝DB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵△CEF是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ECF＝60°，CA＝CD，CE＝CF，
∴∠ACE＝∠DCF，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠CDF＝60°＝∠ACD，
∴DF∥AC，
∴∠CFD+∠ACF＝180°，
∵∠FCB＝10°，
∴∠ACF＝80°，
∴∠CFD＝100°，
∴∠DFE＝∠CFD﹣∠CFE＝100°﹣60°＝40°．
如图2中，当CF在BC的上方时，同法可证DF∥AC，∠DFE＝∠CFD﹣∠CFE＝80°﹣60°＝20°，
故答案为40°或20°．
13．解：如图，
当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝20°．
当CD′＝AD′时，∠D′CA＝∠A＝40°，
∴∠BCD′＝90°﹣40°＝50°，
故答案为20°或50°．
14．解：延长AE交BC于F，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠FCE，
∵AE⊥CD于E，
∴∠AEC＝∠CEF＝90°，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴CF＝AC＝4，
∵BC＝6，
∴BF＝2，
∵△ABC的面积是9，
∴S△ACF＝9×＝6，
∴△AEC的面积＝S△ACF＝3，
故答案为：3．
15．解：分三种情况：
①当AB＝AC＝10时，如图1，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，BD＝DC，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：DC＝＝6，
②当AB＝BC＝10时，如图2，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
同理得：BD＝6，
∴DC＝10﹣6＝4，
③当AC＝BC时，如图3，
同理得：BD＝6，
设CD＝x，则AC＝x+6，
由勾股定理得：（x+6）2＝x2+82，
12x＝28，
x＝，
综上所述，DC的长为6或4或；
故答案为：6或4或．
16．解：∵边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠CAB＝60°，∠DAB＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，
∴AD＝2CD＝BD，
∵CD＝1，
∴BD＝2，
∴BC＝1+2＝3，
故答案为：3．
17．解：如图1中，当点O在△ABC内部时，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠AOB＝140°，∠BOC＝120°
∴∠AOC＝360°﹣140°﹣120°＝100°，
∴∠OCA＝∠OAC＝（180°﹣100°）＝40°
如图2中，当点O在△ABC外部时，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝20°，∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠AOB＝140°，∠BOC＝120°
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，
∴∠OCA＝∠OAC＝（180°﹣20°）＝80°
故答案为：40或80．
18．解：∵AB＝AC，∠BAC＝28°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣28°）＝76°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C＝76°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝28°+76°＝104°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD＝（180°﹣104°）＝38°，
故答案为38°．
19．解：∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
20．解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：
①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝BE＝，
∴CF＝+3＝，
∵ED＝EC，
∴CF＝DF，
∴CD＝×2＝9；
②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，
∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，
∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝AE＝，
∴CF＝﹣3＝，
∵ED＝EC，
∴CF＝DF，
∴CD＝×2＝3；
即C＝9或3，
故答案为：3或9．
21．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
22．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．
23．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF＝CF．
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE＝GC＝8．
∵GC＝2BG，
∴BG＝4．
∴BC＝12．
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．
24．（1）解：①∵AD＝AC，∠CAD＝α，
∴∠BCA＝（180°﹣α）＝90°﹣，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，
即∠BCF＝α；
（2）证明：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC．
25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，BE＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠BCE＝30°，
∵∠ABD＝120°，
∴∠DEB＝30°，
∴DB＝EB，
∴AE＝DB；
（2）如图1，
∵AB＝2，AE＝1，
∴点E是AB的中点，
由（1）知，BD＝AE＝1，
∴CD＝BC+BD＝3；
如图2，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
∵AB＝AC，DE＝CE，
∴BM＝BC＝3，CD＝2CN，
∵AM⊥BC，EN⊥BC，
∴AM∥EN，
∴＝，
∴＝，
∴BN＝，
∴CN＝BC﹣BN＝，
∴CD＝1，
综上所述，CD的长为1或3．
26．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．