2020-2021学年七年级数学北师大版下册《1.5平方差公式》自主学习达标测评（Word版答案）

2020-2021年度北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》自主学习达标测评（答案）
1．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（m﹣n）（﹣m+n） B．（x3﹣y3）（x3+y3）
C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（c2﹣d2）（d2+c2）
2．若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，则x2﹣y2的结果是（　　）
A．2 B．8 C．15 D．16
3．若s﹣t＝7，则s2﹣t2﹣14t的值是（　　）
A．42 B．50 C．56 D．49
4．计算（﹣2m）3?（﹣m?m2+3m3）﹣（m3﹣4）（m3+4）的结果是（　　）
A．﹣13m6﹣16 B．﹣13m6+16
C．﹣17m6+16 D．﹣12m6﹣m9+16
5．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）
A．205 B．250 C．502 D．520
6．计算（a+2）（2﹣a）的结果为（　　）
A．2a﹣4 B．a2﹣4 C．4﹣a2 D．a2﹣2a+4
7．若2m﹣n＝2，4m2﹣n2＝12，则﹣﹣的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣9
8．下列计算中，能用平方差公式的是（　　）
A．（a+2）（﹣a﹣2） B．（﹣3b﹣c）（﹣3b+c）
C．（x﹣）（y+） D．（2m+n）（m﹣2n）
9．若a＝（﹣）2019×（）2020，b＝2018×2020﹣20192，c＝（﹣）﹣1+（﹣1）2﹣20190．则a，b，c的大小关系正确的是
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
10．计算（﹣x+y）（x+y）的结果是（　　）
A．x2﹣y2 B．﹣x2+y2 C．﹣x2﹣y2 D．x2+y2
11．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为　 　．
12．计算：20202﹣2019×2021＝　 　．
13．如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是　 　．
14．如果（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，则3m+n的值为　 　．
15．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝　 　．
16．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）＝　 　．
17．已知：A＝1234567×1234569，B＝12345682，比较A、B的大小，则A　 　B．
18．两个正方形的边长和为20cm，它们的面积的差为40cm2，则这两个正方形的边长差为　 　．
19．计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
20．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②计算：．
21．利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）；
②计算：（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
22．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　（写成平方差的形式）．
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　．（写成多项式乘法形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式　 　．
（4）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　．
②计算：20202﹣2018×2022．
③计算：．
23．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
根据这一规律计算：
（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　．（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　．
（2）22020+22019+22018+…+22+2+1．
（3）32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1．
24．回答下列问题：
（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝　 　；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　．（其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①210+29+28+27+…+23+22+2；
②210﹣29+28﹣27+…﹣23+22﹣2．
参考答案
1．解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：由题意可知：x+y﹣5＝0，x﹣y﹣3＝0，
∴
∴原式＝（x+y）（x﹣y）＝3×5＝15
故选：C．
3．解：∵s﹣t＝7，
∴s2﹣t2﹣14t
＝（s+t）（s﹣t）﹣14t＝7（s+t）﹣14t＝7s+7t﹣14t
＝7s﹣7t＝7（s﹣t）＝7×7＝49．故选：D．
4．解：（﹣2m）3?（﹣m?m2+3m3）﹣（m3﹣4）（m3+4）
＝﹣8m3?（﹣m3+3m3）﹣（m6﹣16）
＝﹣8m3?2m3﹣m6+16＝﹣16m6﹣m6+16＝﹣17m6+16．
故选：C．
5．解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
6．解：原式＝（2+a）（2﹣a）＝4﹣a2，
故选：C．
7．解：∵4m2﹣n2＝12，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝12，
∵2m﹣n＝2，
∴2（2m+n）＝12，
∴2m+n＝6，
∴﹣﹣＝﹣×（2m+n）＝﹣×6＝﹣1，
故选：A．
8．解：A、原式＝﹣（a+2）2，不能运用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B、原式＝（﹣3b）2﹣c2，即能运用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
C、x和y不是同一个数，不能运用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、2m和m不是同一个数，不能运用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．解：a＝（﹣）2019×（）2020＝（﹣）2019×（）2019×＝＝＝＝；
b＝2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）×（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1；
c＝（﹣）﹣1+（﹣1）2﹣20190＝﹣3+1﹣1＝﹣3．
∴c＜a＜b．
故选：D．
10．解：（﹣x+y）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2＝﹣x2+y2．
故选：B．
11．解：因为a2﹣b2＝﹣，
所以（a+b）（a﹣b）＝﹣，
因为a+b＝﹣，
所以a﹣b＝﹣÷（﹣）＝．
故答案为：．
12．解：20202﹣2019×2021
＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+12＝1
故答案为：1．
13．解：因为a2﹣9b2＝4，
所以（a+3b）（a﹣3b）＝4，
所以（a+3b）2（a﹣3b）2＝[（a+3b）（a﹣3b）]2＝42＝16，
故答案为：16．
14．解：∵（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，
∴（3m+n）2﹣32＝40，
∴（3m+n）2＝49
∴3m+n＝±7．
故答案为±7．
15．解：∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b﹣2＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2
＝a﹣b+2b﹣2＝a+b﹣2＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．解：根据题意得：原式＝×（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）
＝×（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）
＝×（64﹣1）（64+1）（68+1）
＝×（68﹣1）（68+1）＝×（616﹣1）＝．
故答案为：
17．解：∵A＝1234567×1234569
＝（1234568﹣1）×（1234568+1）
＝12345682﹣1，
B＝12345682，
∴A＜B．
故答案为：＜．
18．解：∵两个正方形的边长的和为20cm，
∴假设其中一边长为x，另一边为20﹣x，且x＞20﹣x，
∵它们的面积的差为40cm2，
∴x2﹣（20﹣x）2＝40，
（x+20﹣x）（x﹣20+x）＝40，
∴20（2x﹣20）＝40，
∴2x﹣20＝2，
∴x＝11，
∴另一边边长为9cm．
则这两个正方形的边长的差为：11﹣9＝2（cm）．
故答案为：2cm．
19．解：原式＝[m2﹣（2n）2]﹣（m2+8mn﹣mn﹣8n2）
＝（m2﹣4n2）﹣（m2+7mn﹣8n2）
＝m2﹣4n2﹣m2﹣7mn+8n2＝4n2﹣7mn．
20．解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），
＝×××××…××××，＝×，＝．
21．解：①原式＝（2﹣1）?（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）
＝（22﹣1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）
＝（24﹣1）?（24+1）?（28+1）＝（28﹣1）?（28+1）＝216﹣1；
②原式＝（3﹣1）?（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）
＝（32﹣1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）
＝（34﹣1）?（34+1）?（38+1）
＝（38﹣1）?（38+1）＝；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）＝101×（2+2+…+2）＝101×25×2＝5050．
22．解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，
阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，
∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，
∴2m﹣n＝3，
故答案为：3；
②
＝20202﹣（20202﹣4）＝20202﹣20202+4＝4；
③
．
23．解：（1）根据规律可得，x5﹣1，xn+1﹣1；
故答案为：x5﹣1，xn+1﹣1；
（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1，
把x＝2，n＝2020代入得，
22020+22019+22018+…+22+2+1＝（2﹣1）（22020+22019+22018+…+22+2+1），＝22021﹣1；
（3）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1，
把x＝﹣3，n＝2020代入得，
（﹣3﹣1）（32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1）＝（﹣3）2021﹣1，
所以．32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1，＝，＝．
24．解：（1）①（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
②（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn；
（3）①原式＝210+29+28+…+23+22+2
＝（2﹣1）?（210+29?1+28?12+…+23?16+22?18+2?19+110）﹣110
＝211﹣111﹣1＝211﹣2＝2046；
②210﹣29+28﹣…﹣23+22﹣2
＝（210﹣29+28﹣27+…﹣23+22﹣2+1）﹣1
＝（2+1）?（210+29?（﹣1）+28?（﹣1）2+…+23?（﹣1）7+22?（﹣1）8+2?（﹣1）9+（﹣1）10）﹣1＝[211﹣（﹣1）11]﹣1＝×211﹣＝682，
故答案为：（1）a2﹣b2；a3﹣b3；a4﹣b4；
（2）an﹣bn．