2020-2021学年七年级数学北师大版下册《1.6完全平方公式》自主学习同步达标测评（Word版含答案）

2020-2021年度北师大版七年级数学下册《1.6完全平方公式》自主学习达标测评（答案）
1．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2+b2的值为（　　）
A．21 B．23 C．25 D．29
2．若a2+（m﹣3）a+4是一个完全平方式，则m的值应是（　　）
A．1或5 B．1 C．7或﹣1 D．﹣1
3．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
4．计算：（2x﹣y）2＝（　　）
A．4x2﹣4xy+y2 B．4x2﹣2xy+y2 C．4x2﹣y2 D．4x2+y2
5．若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x﹣y）2﹣B，则A、B的数量关系为（　　）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．无法确定
6．已知m+n＝﹣5，mn＝﹣2，则m2﹣mn+n2的值为（　　）
A．7 B．25 C．﹣3 D．31
7．小淇将（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则a1﹣a2的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣4039 C．4039 D．1
8．若|x+y﹣5|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2的值为（　　）
A．19 B．31 C．27 D．23
9．若x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值等于　 　．
10．若a2+b2＝10，ab＝﹣3，则（a﹣b）2＝　 　．
11．若x﹣y＝6，xy＝7，则x2+y2的值等于　 　．
12．若x2﹣4x＝1，则（x﹣2）2＝　 　．
13．已知x+＝5，那么x2+＝　 　．
14．若（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝11，则a2+b2＝　 　．
15．用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a，b，a＞b）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为121，中间空缺的小正方形的面积为13，则下列关系式：①a+b＝11；②（a﹣b）2＝13；③ab＝27；④a2+b2＝76，其中正确的是　 　（填序号）．
16．若（x+y）2＝11，（x﹣y）2＝1，则x2﹣xy+y2的值为　 　．
17．若（2020﹣a）（2019﹣a）＝2021，则（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝　 　．
18．已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝　 　．
19．已知，（3a+2b）2＝（3a﹣2b）2+A，则A＝　 　．
20．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．
21．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于　 　；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：　 　；
方法二：　 　；
（3）根据（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：
对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．
22．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．求图中阴影部分的面积．
23．已知（m﹣53）（m﹣47）＝12，求（m﹣53）2+（m﹣47）2的值．
24．同学们知道，完全平方公式是：（a+b）2＝a2+b2+2ab，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，由此公式我们可以得出下列结论：
ab＝[a+b）2﹣（a2+b2）]①
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab②
利用公式①和②解决下列问题：已知m满足（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2＝5，
（1）求（3m﹣2020）（2019﹣3m）的值；
（2）求（6m﹣4039）2的值．
25．已知a+b＝2，ab＝﹣24，
（1）求a2+b2的值；
（2）求（a+1）（b+1）的值；
（3）求（a﹣b）2的值．
26．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝　 　；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
27．计算：（2x﹣2）（x+1）﹣（x﹣1）2﹣（x+1）2
参考答案
1．解：∵a+b＝5，ab＝﹣2，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝25+4＝29．
故选：D．
2．解：根据题意得：（m﹣3）a＝±2?a?2，
则m﹣3＝±4，
解得：m＝7或﹣1．
故选：C．
3．解：如图，三角形②的一条直角边为a，另一条直角边为b，因此S△②＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，
S△①＝a2，
∴S阴影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②，
＝a2﹣ab+b2，＝[（a+b）2﹣3ab]，＝（100﹣54）＝23，
故选：C．
4．解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，
故选：A．
5．解：∵x2+y2＝（x+y）2+（﹣2xy）＝（x﹣y）2﹣（﹣2xy），
∴A＝﹣2xy，B＝﹣2xy，
∴A＝B．故选：A．
6．解：∵m+n＝﹣5，mn＝﹣2，
∴m2﹣mn+n2
＝m2+2mn+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣3mn＝（﹣5）2﹣3×（﹣2）＝25+6＝31，
故选：D．
7．解：∵（2019x+2020）2展开后得到a1x2+b1x+c1；
∴a1＝20192，
∵（2020x﹣2019）2展开后得到a2x2+b2x+c2，
∴a2＝20202，
∴a1﹣a2＝20192﹣20202＝（2019+2020）（2019﹣2020）＝﹣4039，
故选：B．
8．解：根据题意得，x+y﹣5＝0，xy﹣3＝0，
∴x+y＝5，xy＝3，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25，
∴x2+y2＝25﹣2×3＝25﹣6＝19．
故选：A．
9．解：∵x2+2（m﹣3）x+9是完全平方式，
∴m﹣3＝±3，
解得：m＝6或0．
故答案为：6或0．
10．解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a2+b2＝10，ab＝﹣3，
∴（a﹣b）2＝10﹣2×（﹣3）＝10+6＝16．
故答案为：16．
11．解：因为x﹣y＝6，xy＝7，
所以x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝62+2×7＝50，
故答案为：50．
12．解：因为x2﹣4x＝1，
所以（x﹣2）2＝x2﹣4x+4＝1+4＝5；
故答案为：5．
13．解：∵x+＝5，
∴x2+＝（x+）2﹣2＝25﹣2＝23．
故答案为：23．
14．解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17 ①，
（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝11 ②，
①+②得：2（a2+b2）＝28，
∴a2+b2＝14．
故答案为14．
15．解：∵大正方形的面积为121，
∴大正方形的边长为11，
即a+b＝11，因此①正确；
又∵中间空缺的小正方形的面积为13，中间小正方形的边长为a﹣b，
∴（a﹣b）2＝13，
因此②正确；
由拼图可知：4S矩形的面积＝S大正方形﹣S小正方形，
∴4ab＝121﹣13，
∴ab＝27，
因此③正确；
∵a+b＝11，ab＝27，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝112﹣2×27＝121﹣54＝67，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故答案为：①②③．
16．解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝11①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝12，即x2+y2＝6，
①﹣②得：4xy＝10，即xy＝2.5，
则原式＝6﹣2.5＝3.5．
故答案为：3.5．
17．解：设x＝2020﹣a，y＝2019﹣a，则xy＝2021，x﹣y＝（2020﹣a）﹣（2019﹣a）＝1
∴（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝1+2×2021＝4043
故答案为：4043．
18．解：∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10，
∴原式＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）
＝（4m+n）（﹣2m+3n）＝﹣（4m+n）（2m﹣3n）＝﹣90×10＝﹣900．
故答案为：﹣900．
19．解：∵（3a+2b）2＝（3a﹣2b）2+A，
∴9a2+12ab+4b2＝9a2﹣12ab+4b2+A，
∴A＝9a2+12ab+4b2﹣9a2+12ab﹣4b2，
∴A＝24ab．
故答案为：24ab．
20．解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，
所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，
所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．
21．解：（1）图①被分割的四个小长方形的长为m，宽为n，拼成的图②整体是边长为m+n的正方形，中间是边长为m﹣n的小正方形，
故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
答：（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
所以（x﹣y）2＝92﹣4×18＝9，
因此x﹣y＝3或x﹣y＝﹣3，
答：x﹣y的值为3或﹣3．
22．解：∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝a2+b2﹣a（）﹣b（）
＝a2+b2﹣＝（a+b）2﹣2ab﹣＝100﹣40﹣＝100﹣40﹣25＝35．
23．解：（m﹣53）2+（m﹣47）2
＝[（m﹣53）﹣（m﹣47）]2+2（m﹣53）（m﹣47）＝（﹣6）2+2×12＝60．
24．解：（1）设3m﹣2020＝x，2019﹣3m＝y，
∴x2+y2＝5且x+y＝﹣1，
∴（3m﹣2020）（2019﹣3m）＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]＝﹣2；
（2）（6m﹣4039）2＝[（3m﹣2020）﹣（2019﹣3m）]2
＝（3m﹣2020）2+（2019﹣3m）2﹣2（2019﹣3m）（3m﹣2020）＝x2+y2﹣2xy＝5+4＝9．
25．解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；
（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；
（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，
所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+4×24＝100．
26．解：（1）∵x+y＝8；
∴（x+y）2＝82；
x2+2xy+y2＝64；
又∵x2+y2＝40；
∴2xy＝64﹣（x2+y2），
∴2xy＝64﹣40＝24，
xy＝12．
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；
∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC?BC+BC2＝36；
∴2AC?BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，
AC?BC＝9；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
∵BC＝CF
∴．
27．解：原式＝2x2+2x﹣2x﹣2﹣（x2﹣2x+1）﹣（x2+2x+1）
＝2x2+2x﹣2x﹣2﹣x2+2x﹣1﹣x2﹣2x﹣1＝﹣4．