2020-2021学年八年级数学北师大版下册《1.2直角三角形》自主学习达标测评（Word版附答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》自主学习达标测评（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
3．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＝b，那么a2＝b2 B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．两直线平行，同位角相等 D．对顶角相等
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠A＝25°，则∠ADE的大小为（　　）
A．40° B．50° C．65° D．75°
5．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（　　）
A．45° B．45° 或135° C．45°或125° D．135°
6．如图是叠放在一起的两张长方形卡片，则图中相等的角是（　　）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等
7．将一副三角板按如图所示方式放置，则∠1与∠2的和是（　　）
A．60° B．45° C．30° D．25°
8．如图，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥CA．∠ADE的度数为（　　）
A．56° B．34° C．44° D．46°
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为　 　°．
10．“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C═90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD交AD的延长线于点E．若∠DBE＝25°，则∠CAB＝　 　．
12．已知直角三角形ABC中，∠A＝（2x﹣10）°，∠B＝（3x）°，则x＝　 　．
13．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　 　°．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAB＝∠B+28°，则∠CAE＝　 　．
15．如图，△ABC中，∠B＝70°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝　 　°．
17．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为　 　．
18．如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC上的中点．点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝　 　．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AF是角平分线，交CD于点E．求证：∠1＝∠2．
20．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠A，PD平分∠CPA交AC于点D．
（1）若∠A＝30°，则∠CDP＝　 　．
（2）若∠APC＝40°，则∠CDP＝　 　．
（3）求∠CDP的度数．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上一点，且∠BAD＝2∠C．
求证：∠ABD＝∠ADB．
22．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AP平分∠BAC交BD于点P．
（1）∠APD的度数为　 　；
（2）若∠BDC＝58°，求∠BAP的度数．
23．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．试说明：EF∥GH；
（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度数；（用α的代数式表示）
（3）在（2）的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3．在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射线BC上一动点（与B，C点不重合），连接AP．过点C作CD⊥AP于点D，交直线AB于点E，设∠APC＝α．
（1）若点P在线段BC上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB的大小；
（2）若点P在线段BC上运动，如图2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在BC的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED的大小（用含α的式子表示）．
参考答案
1．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
2．解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
故选：D．
3．解：A、如果a＝b，那么a2＝b2的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，也可能是a＝﹣b，逆命题是假命题；
B、若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等的逆命题是若这两个数的绝对值相等，则两个数相等，也可能是相反，逆命题是假命题；
C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；
D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不一定是对顶角，逆命题是假命题；
故选：C．
4．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
根据折叠可得∠CED＝65°，
∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
5．解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
在△ABD中，∵∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；
②如图2，△ABC是钝角三角形时，
∵BD、CE是△ABC的高线，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，
∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），
∴∠BHC＝∠A＝45°．
综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．
故选：B．
6．解：∵两张长方形卡片叠在一起，
∴∠C＝∠D＝∠A＝∠B＝∠AEF，
∵∠CEG+∠DEF＝90°，∠CEG+∠CGE＝90°，
∴∠CGE＝∠DEF，
∵∠3+∠CGE＝180°，∠1+∠DFE＝180°，
∴∠1与∠3的大小无法判定；
∵∠AHG＝∠BHK，∠AGH+∠AHG＝90°，∠BHK+∠BKH＝90°，
∴∠AGH＝∠BKH，
∵∠3+∠AGH＝180°，∠2+∠BKH＝180°，
∴∠2＝∠3．
故选：B．
7．解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝30°，∠F＝60°，
∴∠BCA+∠BAC＝45°+90°＝135°．
∵∠EDF＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∴∠1+∠2＝（∠BCA+∠BAC）﹣（∠DCA+∠DAC）＝135°﹣90°＝45°．
故选：B．
8．解：∵∠BAC＝90°，DE∥AC（已知）
∴∠DEA＝180°﹣∠BAC＝90°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AD⊥BC，∠B＝56°，
∴∠BAD＝34°，
在△ADE中，∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝56°．
故选：A．
9．解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．
故答案为：20．
10．解：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”．将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
11．解：∵BE⊥AE，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠DBE＝25°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，
故答案为50°．
12．解：①若∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，
∴2x﹣10+3x＝90，
解得x＝20，
此时∠A＝30°，∠B＝60°，符合题意；
②若∠A＝90°，则2x﹣10＝90，
解得x＝50，
此时∠B＝150°，不符合题意，舍去；
③若∠B＝90°，则3x＝90，
解得x＝30，
此时∠A＝50°，符合题意；
综上x＝20或30，
故答案为：20或30．
13．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中
∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．
14．解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵∠CAB＝∠B+28°，
∴∠B＝31°，∠CAB＝59°，
∵DE垂直平分斜边AB，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝31°，
∴∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE＝59°﹣31°＝28°，
故答案为：28°．
15．解：如图，有三种情形：
①当AC＝AD时，∵△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠DCA＝（180°﹣∠CAB）＝80°；
②当CD′＝AD′时，
∵∠CAB＝20°，
∴∠D′CA＝∠CAB＝20°，
∴∠AD′C＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
③当AC＝AD″时，则∠AD″C＝∠ACD″，
∵∠CAB＝20°，∠AD″C+∠ACD″＝∠CAB，
∴∠AD″C＝10°，
故答案为：80°或140°或10°．
16．解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，
∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠DCB＝45°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝84°﹣45°＝39°
故答案为：39．
17．解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
18．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D是BC中点，
∴CD＝BD＝4，
分两种情形：①当∠DPB＝90°时，△DPB∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝．
②当∠PDB＝90°，易证：DP∥AC，
∵CD＝DB，
∴AP＝PB＝5，
综上所述，满足条件的PB的值为5或．
故答案为5或
19．证明：∵AF是角平分线，
∴∠CAF＝∠BAF，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAF+∠2＝90°，∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠2＝∠AED，
∵∠1＝∠AED，
∴∠1＝∠2．
20．解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠PCB＝∠A＝30°，∠ABC＝∠PCB+∠CPB，
∴∠CPB＝30°，
∵PD平分∠CPB，
∴∠APD＝∠CPB＝15°，
∴∠CDP＝∠A+∠APD＝45°．
故答案为45°．
（2）∵∠ABC＝∠PCB+∠CPB＝∠A+40°，
又∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A+∠A+40°＝90°，
∴∠A＝25°，
∵∠APD＝∠CPA＝20°，
∴∠CDP＝∠A+∠APD＝45°，
故答案为45°
（3）如图，设BC交PD于E．
∵PD平分∠APC，
∴∠DPC＝∠DPA，
∵∠CDP＝∠A+∠APD，∠DEC＝∠PCB+∠CPD，
∵∠A＝∠PCB，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠DCE＝90°，
∴∠CDP＝45°．
21．证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∠BAD＝2∠C（已知），
∴∠BAD+∠DAC＝2∠C+∠DAC＝∠B+∠C，即∠B＝∠C+∠DAC，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC（三角形外角性质），
∴∠ABD＝∠ADB（等量代换）．
22．解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴∠BAP+∠ABP＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝45°．
∴∠APD＝∠BAP+∠ABP＝45°；
故答案为45°．
（2）∵∠BDC＝58°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝32°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝32°，
∴∠BAP＝∠APD﹣∠ABD＝45°﹣32°＝13°．
23．（1）证明：∵∠EAB＝180°﹣∠BAC﹣∠FAC，∠BAC＝90°，∠FAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，
又∵∠ABC＝60°，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴EF∥GH；
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝α．
∴∠ACB＝90°﹣α，
∵BC平分∠ABH，
∴∠ABC＝∠HBC＝α，
∵EF∥GH，
∴∠ECB＝∠HBC＝α，
∴∠ECA＝∠ECB﹣∠ACB＝α﹣（90°﹣α）＝2α﹣90°；
（3）解：不发生变化，
理由是：经过点A作AM∥GH，
又∵EF∥GH，
∴AM∥EF∥GH，
∴∠FCA+∠CAM＝180°，∠MAB+∠ABH＝180°，∠CBH＝∠ECB，
又∵∠CAM+∠MAB＝∠BAC＝90°，
∴∠FCA+∠ABH＝270°，
又∵BC平分∠ABH，CD平分∠FCA，
∴∠FCD+∠CBH＝135°，
又∵∠CBH＝∠ECB，即∠FCD+∠ECB＝135°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠FCD+∠ECB）＝45°．
24．解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，
△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）如图3，当α＞50°时，
△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如图4，当α＜50°时，
∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
综上，∠AED为α﹣50°或50°﹣α．