2020-2021学年八年级数学北师大版下册《第1章三角形的证明》单元综合达标测评（word版，附答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合达标测评（答案）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，DE是AB的垂直平分线交AB于点E，则∠CBD的度数是（　　）
A．22° B．22.5° C．24° D．24.5°
2．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（　　）
A．40 B．28 C．20 D．10
3．如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，C点在x轴正半轴上且OC＝OB，点D位于x轴上点C的右侧，∠BAO和∠BCD的角平分线AP、CP相交于点P，连接BC、BP，则∠PBC的度数为（　　）
A．43° B．44° C．45° D．46°
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．35°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为（　　）s时，△APQ是直角三角形．
A．2.4 B．3 C．2.4或3 D．3或4.8
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（　　）
A．5 B．2 C．4 D．3
7．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（　　）
A．（ ，2） B．（ ，1） C．（ ，2） D．（，1）
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点G．若EG＝3，则BF＝（　　）
A． B．3 C．2 D．4
10．如图，线段AE⊥BD于C，AB＝DE，∠A＝30°，∠E＝50°，F是DE的中点，则∠DBF的度数等于（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝66°，D，E分别为AB，BC上一点，AF∥DE，若∠BDE＝30°，则∠FAC的度数为　 　．
13．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为　 　．
14．如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝　 　°．
16．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为　 　．
17．在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝　 　时，△ABC为等腰三角形．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线交AD于点E，EF⊥AB于点F，若EF＝3，则ED的长度为　 　．
19．如图，在正△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF+∠CEF＝　 　．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点　 　．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知等边△ABO的顶点A（2，0），经过点A的直线垂直于OB，交OB点C，交y轴于点E．
（1）求线段OC的长度；
（2）求点E的坐标；
（3）确定直线AE的解析式．
22．已知：在△ABC中，AB＝AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰△DBE，取CE的中点为G，连接AG、DG．
（1）如图1，若BE＝AE，∠BDE＝120°，∠BAC＝60°，求证AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE+∠BAC＝180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．
23．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝　 　，β＝　 　；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．
24．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求证：∠ACE＝∠ABC；
（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求证：∠CEF＝∠CFE．
25．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；
（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．
参考答案
1．解：∵BD⊥AC，DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：B．
2．解：如图：延长AB，CD交于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，
即S△BDC最大＝××10×4＝10．
故选：D．
3．解：在y＝x+4中，令x＝0，则y＝4，；令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴AO＝BO＝4，
又∵CO＝BO，BO⊥AC，
∴△ABO与△CBO是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，∠CBG＝90°，
如图，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，
∵∠BAO和∠BCD的角平分线AP、CP相交于点P，
∴GP＝PE＝PF，
∴BP平分∠CBG，
∴∠CBP＝45°，
故选：C．
4．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故选：C．
5．解：设运动的时间为t秒，则BP＝2t厘米，AQ＝t厘米，
①当∠PQA＝90°时，如图1所示，
在Rt△APQ中，∵∠PQA＝90°，∠A＝60°，AP＝（12﹣2t）cm，
∵cosA＝，
∴＝，
解得t＝3，
经检验t＝3是方程的解，
所以t＝3；
②当∠QPA＝90°时，如图2所示，
在Rt△APQ中，∵∠QPA＝90°，∠A＝60°，AP＝（12﹣2t）cm，
∵cosA＝，
∴＝，
解得t＝4.8
经检验t＝4.8是方程的解，
所以t＝4.8；
综上所述，运动的时间为3秒或4.8秒，
故选：D．
6．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵AB＝6，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝3，
∴DF＝3，
故选：D．
7．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BC＝BD，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝20°，
∴∠ABD＝140°，
∴∠CBD＝80°，
又∵BC＝BD，
∴∠BCD＝50°＝∠BDC，
故选：A．
8．解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，
∵CD∥x轴，
∴DF⊥OB，
∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，
∴FC＝CG＝CE，
∴DH＝CG＝CF，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∴tan∠OAB＝＝＝，
∴设DH＝3x，AH＝4x，
∴AD＝5x，
∵CD∥OA，
∴∠DCA＝∠CAG，
∵∠DAC＝∠GAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝HG＝AD＝5x，
∴3x+5x+4x＝8，
∴x＝，
∴DH＝2，OH＝，
∴D（，2），
故选：A．
9．解：连接AF，如图，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°．
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EG垂直平分AC，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠C＝30°，
∴∠AFG＝60°，∠G＝30°，
∴∠BAF＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝EG＝，
在Rt△AEF中，EF＝AE＝1，AF＝2EF＝2，
在Rt△ABF中，BF＝2AF＝4．
故选：D．
10．解：连接CF，
∵AE⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵F为DE中点，∠A＝30°，
∴CF＝DF＝EF＝DE，CB＝AB，
∵AB＝DE，
∴BC＝CF，
∴∠DBF＝∠CFB，
∵CF＝DF，
∴∠D＝∠DCF，
∵∠DCE＝90°，∠E＝50°，
∴∠D＝40°，
∴∠DCF＝40°，
∵∠DBF＝∠CFB，∠DBF+∠CFB＝∠DCF，
∴∠DBF＝＝20°，
故选：B．
11．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∵∠A＝90°，AN＝1，
∴MN＝2AN＝2，
∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，
∴∠AMC＝∠NMC＝60°，
∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝ACB＝30°，
∴∠ACM＝∠NMC，
∴MN＝CN＝2，
∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC＝2×3＝6，
故答案为：6．
12．解：∵AB＝AC，∠B＝66°，
∴∠C＝66°，
∴∠BAC＝48°，
∵AF∥DE，∠BDE＝30°，
∴∠BAF＝∠BDE＝30°，
∠FAC＝18°，
故答案为：18°．
13．解：当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°＝80°；
当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°＝80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；
故顶角的度数为80°或20°．
故答案为：80°或20°．
14．解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
15．解：∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∵DE、FG分别垂直平分线段AB、AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAE+∠FAC＝72°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAE+∠FAC）＝36°，
故答案为：36．
16．解：AC与DE相交于G，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE⊥AE，
∴∠AGE＝30°，
∴∠CGD＝30°，
∵∠ACB＝∠CGD+∠D，
∴∠D＝30°，
∴CG＝CD，
设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，
在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x，
∴AB＝BC＝AC＝5x，
∴BE＝4x，BF＝5x﹣6，
在Rt△BEF中，BE＝2BF，
即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2，
∴AC＝5x＝10．
故答案为10．
17．解：①当AB＝AC时，
∵∠A＝40°，
∠C＝∠B＝70°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝40°，
∴∠C＝100°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝40°，
综上所述，∠C的值为40°或70°或100°，
故答案为40°或70°或100°．
18．解：∵AC＝AB，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC，
∴ED＝EF＝3，
故答案为3．
19．解：∵△ABC为正三角形
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵折叠
∴△ADE≌△FDE
∴∠DFE＝∠A＝60°
∵∠B+∠BDF+∠BFD＝180°，∠DFE+∠BFD+∠CFE＝180°
∴∠BDF+∠BFD＝120°，∠BFD+∠CFE＝120°
∴∠BDF＝∠CFE
∵∠CFE+∠CEF+∠C＝180°
∴∠CFE+∠CEF＝120°
∴∠BDF+∠CEF＝120°
故答案为：120°．
20．解：由题意可知：
第一次滚动：点A、B经过点（2，1），
第二次滚动：点B、C经过点（3，1），
第三次滚动：点A、C经过点（4，1），
第四次滚动：点A、B经过点（5，1），
…
发现，每三次一循环，所以（2020﹣1）÷3＝673，
∴这个正三角形的顶点A、B、C中，会过点（2020，1）的是点A、C，
故答案为：A，C．
21．解：（1）∵A（2，0），
∴OA＝2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OB＝OA＝2，∠AOB＝60°，
∴∠COE＝30°，
∵AE⊥OB，
∴OC＝OB＝1；
（2）∵AE⊥OB，∠COE＝30°，
∴CE＝OC＝，OE＝2CE＝，
∴点E的坐标为（0，）；
（3）设直线AE的解析式为y＝kx+b，
由题意得：，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+．
22．（1）证明：延长DG至H，使GH＝GD，连接AD，AH，CH，如图1，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CHG和△EDG中，
，
∴△CHG≌△EDG（SAS），
∴CH＝ED，∠HCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠EBD＝30°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AE＝BE，
∴CE⊥AB，
∴∠BED+∠DEG＝90°，∠BAC+∠ACE＝90°，
∴∠HCG＝∠DEG＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠ACH＝30°，
∴∠ABD＝∠ACH，
在△ABD和△ACH中，
，
∴△ABD≌△ACH（SAS），
∴AD＝AH，
∵HG＝DG，
∴AG⊥DG；
（2）解：（1）中结论仍然成立．
理由：延长DG至M，使GM＝GD，连接AD，AM，CM，如图2，
∵G为CE的中点，
∴GC＝GE，
在△CMG和△EDG中，
，
∴△CMG≌△EDG（SAS），
∴CM＝ED，∠MCG＝∠DEG，
∵BD＝ED，
∴∠BED＝∠EBD＝180°﹣∠BDE，
∵∠BDE+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠BDE，
∴∠BAC＝2∠BED＝2∠EBD，
∵∠BEC＝∠BED+∠DEG＝∠BAC+∠ACE，
∴∠BED+∠MCG＝∠BAC+∠ACE，
∵∠MCG＝∠ACM+∠ACE，
∴∠BED+∠ACM+∠ACE＝2∠BED+∠ACE，
∴∠ACM＝∠BED＝∠ABD，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，
∵MG＝DG，
∴AG⊥DG．
23．（1）证明：如图1中，
∵∠B＝∠CAB，
∵EH⊥AB，
∴∠AHF＝∠EHB＝90°，
∴∠B+∠BEH＝90°，∠CAB+∠AFH＝90°，
∴∠BEH＝∠AFH，
∵∠AFH＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠FEC．
（2）①∵∠B＝∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝60°，
∵∠CAD＝50°，
∴β＝∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵EA平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝25°，
∴∠EAH＝∠EAC+∠CAB＝55°，
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣55°＝35°．
故答案为35°，70°．
②如图1中，设∠DAE＝∠CAE＝x，∠B＝∠CAB＝y．
∴β＝∠ADC＝180°﹣2（x+y），
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣（x+y），
∴β＝2α．
（3）图形如图所示：结论：α+＝90°．
理由：设∠CBA＝∠CAB＝x，∠EAH＝y．
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE＝x﹣y，
∴∠DAB＝x﹣y﹣y＝x﹣2y，
∵∠CBA＝∠ADC+∠BAD，
∴x＝x﹣2y+β，
∴y＝，
∵EH⊥AB，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∴α+＝90°．
24．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D．
∵∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ECD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD＝90°，
∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，
即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；
（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，
∴∠ABF+∠CFE＝90°，
∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，
∴∠CEF＝CFE．
25．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝34°，
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；
（2）∵∠A＝x°，
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90﹣）°，
由（1）可得：∠ABP＝∠ABC＝（45﹣）°，∠BDC＝90°，
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45﹣）°＝（）°，
即y与x的关系式为y＝，
（3）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，
①若EP＝EC，
则∠ECP＝∠EPC＝y°，
而∠ABC＝∠ACB＝（90﹣）°，∠ABC+∠BCD＝90°，
则有：（90﹣）°+（90﹣﹣y）°＝90°，又y＝，代入，
∴（90﹣）°+（90﹣）°﹣（）°＝90°，
解得：x＝36；
②若PC＝PE，
则∠PCE＝∠PEC＝（180﹣y）°÷2＝（90﹣）°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90﹣）°+[（90﹣）°﹣（90﹣）°]＝90°，
又y＝，代入，
解得：x＝；
③若CP＝CE，
则∠EPC＝∠PEC＝y°，∠PCE＝180°﹣2y°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90﹣）°+（90﹣）°﹣（180﹣2y）°＝90°，又y＝，代入，
解得：x＝0，不符合，
综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A的度数为36°或（）°