2020-2021学年八年级数学北师大版下册《1.4角平分线》自主学习达标测评（word版，附答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》自主学习达标测评（附答案）
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AC＝6，则AB长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，角平分线AD、BE相交于点O，则四边形OECD的面积为（　　）
A．5 B． C． D．8
3．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，则DE＝（　　）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，AB⊥AC，AG⊥BG，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的角平分线，AG∥BC，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°、其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
5．到三角形三条边的距离相等的点是三角形的（　　）交点．
A．三条中线 B．三个内角平分线
C．三条高线 D．三边垂直平分线
6．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△BCP的面积为（　　）
A．3.5 B．3.9 C．4 D．4.2
8．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，AE：ED＝2：1，则△BDE与△ADC的面积比为（　　）
A．16：45 B．1：9 C．2：9 D．1：3
9．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD
10．如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△CDE的周长为8cm，则斜边BC的长为（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．16cm
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
12．如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则D到AB的距离为　 　．
13．如图，已知∠BAC＝60°，在∠BAC的平分线上截取AD＝6cm，在AC上有一点E，若cm2，则AE的长为　 　．
14．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝5，则△ABD的面积为　 　．
15．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝　 　．
16．如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于B，若AB＝10，则点P到DC的距离是　 　．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠BDC＝90°，AD＝2，∠ADB＝∠C，则点D到BC边的距离等于　 　．
19．如图l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　 　处．
20．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．
（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．
22．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
23．在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．
（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．
（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．
（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．
24．如图，P为∠AOB的角平分线上的一点，PH⊥OA，垂足为H．M为PH上一点，MN⊥OB，与OP，OB的交点分别为Q，N．求证：MP＝MQ．
25．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
26．如图，△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．
（1）线段AD与CE是否垂直？说明理由．
（2）求△BDE的周长；
（3）求四边形AEDC的面积．
参考答案
1．解：如图：
过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ABC＝10，
∴AB×DE+AC×DF＝10，
∴×AB×2+6×2＝10，
∴AB＝4，
故选：B．
2．解：如图，作OM⊥AB于M，OJ⊥BC于J，OK⊥AC于K，DH⊥BC于H，连接OC．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵点O是△ABC的内心，
∴OM＝OJ＝OK＝＝2，
∵∠DCA＝∠DHA＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△DAC≌△DAH（AAS），
∴CD＝DH，AC＝AH＝8，
∴BH＝10﹣8＝2，设CD＝DH＝x，
在Rt△BDH中，∵BD2＝BH2+DH2，
∴（6﹣x）2＝x2+22，
∴x＝，
同法可求：EC＝3，
∴S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝?CD?OJ+?EC?OK＝××2+×3×2＝，
故选：C．
3．解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是15cm2，AB＝9cm，BC＝6cm，
∴＝15cm2，
∴9DE+6DE＝30，
解得：DE＝2，
故选：B．
4．解：∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABF，
∴∠BAG＝2∠ABF，①正确；
BA不一定平分∠CBG，②错误；
∵AB⊥AC，AG⊥BG，
∴∠BAG+∠ABG＝90°，∠ABC+∠ACB＝90°，
∵AG∥BC，
∴∠BAG＝∠ABC，
∴∠ABG＝∠ACB，③正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD、BE分别是∠ACD，∠ABC的角平分线，
∴∠FBC+∠FCB＝45°，
∴∠CFB＝135°，④正确，
故选：C．
5．解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：B．
6．解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，
∴∠PCO＝30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，
∴∠CPD＝75°，
∴OC＝PC＝6，故选：D．
7．解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△ABP与△BEP中，
，
∴△ABP≌△BEP（ASA），
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝8+m
∴S△PBC＝S△ABE﹣S△ACE＝﹣＝4，
故选：C．
8．解：∵AD：ED＝3：1，
∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD＝4：9，
∴S△ACD＝S△ABE，
∵AE：ED＝2：1，
∴S△ABE：S△BED＝2：1，
∴S△ABE＝2S△BED，
∴S△ACD＝△ABE＝S△BED，
∴△BDE与△ADC的面积比为2：9，
故选：C．
9．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，
∴∠ACD＝∠B，故正确；
B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD
∴∠AEF＝∠CHE，
∴∠CEH＝∠CHE
∴CH＝CE＝EF，故正确；
C、∵角平分线AE交CD于H，
∴∠CAE＝∠BAE，
又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，
∴△ACE≌△AEF，
∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；
D、点H不是CD的中点，故错误．
故选：D．
10．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A＝90°，
∴DE＝AD，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝AE，
∴△DEC的周长＝DE+CD+CE
＝AD+CD+CE，＝AC+CE，＝AB+CE，＝BE+CE，＝BC，
∵△DEC的周长是8cm，
∴BC＝8cm．
故选：B．
11．解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∴×AB×DE+×AC×DF＝10，
∴×6×2+×AC×2＝10，
解得，AC＝4，
故选：A．
12．解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
∵BC＝5cm，BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝2cm，
∴DE＝2cm，
即D到AB的距离为2cm，
故答案为：2cm．
13．解：过D作DM⊥AC于M，则∠AMD＝90°，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝BAC＝30°，
∵AD＝6cm，
∴DM＝＝3（cm），
∵cm2，
∴＝（cm2），
∴AE＝5（cm），
故答案为：5cm．
14．解：过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，
∵∠ABD＝∠DBC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝5，
∴△ABD的面积＝，
故答案为：10．
15．解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
16．解：如图，过点P作PE⊥DC于E，
∵AD∥BC，PA⊥AD，
∴PB⊥CB，
∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，
∴PA＝PE，PB＝PE，
∴PE＝PA＝PB，
∵PA+PB＝AB＝10，
∴PA＝PB＝5，
∴PE＝5．
故答案为：5．
17．解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△FDE和Rt△HDG中，
，
∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），
同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），
设△EDF的面积为x，由题意得，
48﹣x＝26+x，
解得x＝11，
即△EDF的面积为11，
故答案为：11．
18．解：过D作DE⊥BC于E，则点D到BC边的距离是DE的长度，
∵∠A＝90°，∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠A＝90°，DE⊥BC，AD＝2，
∴AD＝DE＝2，
故答案为：2．
19．解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故答案为：4
20．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，
∴∠ACB＝50°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝25°，
∵∠B＝75°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，
即∠DCE的度数是10°；
（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），
理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），
即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．
21．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．
22．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
23．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；
（2）连接OC，
∴AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OC是∠ACB的角平分线，
∴∠OCF＝∠OCE，
过O作OM⊥BC，ON⊥AC，
则OM＝ON，
在Rt△OEM与Rt△OFN中，，
∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），
∴∠EOM＝∠FON，
∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠AOB＝90°+∠ACB，
即90°+∠ACB＝180°﹣∠ACB，
∴∠ACB＝60°；
（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AE、BF是角平分线，交于O点，
∴OD＝OG＝OE，
∴S△ABC＝×8×6＝×10OD+6×OG+8×OH，
∴OD＝2，
∴S△AOB＝10×2＝10．
24．证明：∵P为∠AOB的角平分线上的一点，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PH⊥OA，MN⊥OB，
∴∠PHO＝∠MNO＝90°，
∴∠AOP+∠HPO＝∠BOP+∠NQO．
∴∠HPO＝∠NQO，
又∵∠MQP＝∠NQO，
∴∠HPO＝∠MQP，
∴MP＝MQ．
25．证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．
26．解：（1）在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC＝6，DE＝DC，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴线段AD与CE垂直；
（2）∵∠ACD＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
BE＝AB﹣AE＝4，
△BDE的周长＝BD+BE+DE＝BC+BE＝12cm；
（3）△ABC的面积＝×BC×AC＝24cm2，
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA，又＝，
∴△BDE的面积＝6cm2，
∴四边形AEDC的面积为＝18cm2．