江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考
数学(文)试卷
2021.2
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则(
)
A.
B.
C.
D.
2.若,则(
)
A.0
B.1
C.
D.2
3.设是等差数列,且,,则(
)
A.5
B.6
C.16
D.32
4.有3位男生和2位女生在周日去参加社区志愿活动,从该5位同学中任取3人,至少有1名女生的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
5.江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛,共有100名同学参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在之间,其得分的频率分布直方图如图,则下列结论错误的是(
)
A.得分在之间的共有40人
B.从这100名参赛者中随机选取1人,其得分
在的概率为0.5
C.这100名参赛者得分的中位数为65
D.可求得
6.已知圆C:,过点P(6,4)向这个圆作两条切线,则两切线的夹角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知函数,则下列说法正确的是(
)
A.的最大值是1+
B.在上是递增的
C.
D.向右平移后为奇函数
8.设,,,则的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
9.执行右边的程序框图,则输出的n=(
)
A.87
B.89
C.91
D.93
10.《增减算法统宗》中,许多数学问题都是以歌诀的形式出现的。其中有一首“葛藤缠木”,大意是说:有根高2丈的圆木柱,该圆木的周长为3尺,有根葛藤从圆木的根部向上生长,缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周,刚好长的和圆木一样高。已知1丈等于10尺,则能推算出该葛长为(
)
A.21尺
B.25尺
C.29尺
D.33尺
已知椭圆与双曲线的焦点相同,离心率分别为,且
满足,是它们的公共焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,
若,则双曲线的离心率为(
)
A.
B.
C.2
D.
菱形ABCD中,,,将△CBD沿BD折起,C点变为E点,当四面体E-ABD
的体积最大时,四面体E-ABD的外接球的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若x,y满足约束条件则z=x+y的最小值为
.
14.单调递增的等比数列满足,,令,则
的前10项和为_______
在△ABC中,O为中线AM上的中点,若AM=2,则等于____。
已知,其中是自然对数的底数,若,
则实数的取值范围是__________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(12分)高三学生小明这段时间比较焦虑,下表记录了小明高三阶段前5次模拟考试的数学成绩:
第x次考试
1
2
3
4
5
数学成绩y
110
115
110
125
140
(1)由散点图可以推断小明的数学成绩y与第x次考试线性相关,请预测小明在第6次考试(高考)的数学成绩大约为多少分?
(2)为取得更好的成绩,他现在准备突破导数问题,现假定他在训练某道解答题时发现有两种方法可以求解;第一种方法需要3个独立步骤:每个步骤解题正确的概率为0.9,第二种方法需要2个独立步骤:每个步骤解题正确的概率为0.85,若以最终解题正确的概率高低为决策依据,小明在解该道导数题时应选择哪种方法?
18.(12分)锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2.
(1)若,,求;
(2)若B=2A,求的取值范围.
19.(12分)如图,在四棱锥P——ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD与平面PDC均与底面ABCD垂直,E为BC的中点,若,PE=3.
(1)求证:面PAE面PDB;
(2)求点C与平面PAE的距离。
(12分)已知函数。
若,求在处的切线方程;
若有2个极值点,求实数的取值范围。
(12分)在平面直角坐标系中,已知点,点B在直线上,点M满足,.点M的轨迹为曲线C。
求曲线C的方程;
点P在曲线C上,且横坐标为2,问:是否在曲线C上存在D,E两点,使得△DPE是以P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,说明△DPE的个数;若不存在,说明理由。
选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,求出的普通方程,并说明该曲线的图形形状。
(2)当时,P是曲线上一点,Q是曲线上一点,求PQ的最小值.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)记的最小值为M,为正实数且,求证:.
江西省重点中学协作体
2021届高三第一次联考数学(文)试卷参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
2.C
3.B
4.D
5.C
6.A
7.C
8.A
9.B
10.C
11.C
12.A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.
14.
15.
16.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.
解:(1),,-------------------------------------------2分
,
,则线性回归方程为-----------5分
当x=6时,,预测第6次的数学成绩约为141分。--6分
,---------------------------------8分
,---------------------------------10分
因为,所以选择第一种方法。--------------------------12分
18.(12分)
解:(1)依题意得,,可得,,由余弦定理得,得,而,解得,故△ABC为等边三角形,;----------------------------------------------------------------------6分
(2)依题意,由正弦定理得,则;由于是锐角三角形,则,得,则的取值范围为。----------------------------------------------------------12分
19.(12分)
(1)证:平面PAD底面ABCD,平面PDC底面ABCD,则交线PD底面ABCD,则PDAE,--------------------------------------------------------2分
底面ABCD为矩形,,则,,则BDAE,则AE面PBD,------------------------------------------------------------------------4分
AE面PAE,则面PAE面PDB;--------------------------------------------------6分
(2)设C点到面PAE的距离为d,由,,故,又PE=3,则,,---------------------------------8分
记AE与BD的交点为M,则PM为△PAE的高,BD=,MD=,则PM=,--------------------------------------10分
因为,求得。------------------------------12分
(12分)
解:(1)依题意得,,,,,则切线方程为---------------------------------------------------------------------4分
(2)有2个极值点,则有2个零点(且左右异号),则在上有2解,-------------------6分
令,则,-----------------8分
可知在上单调递增,,则当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,--------------------10分
故最小值为,则。--------------------------------------------------12分
(12分)
解:因为,所以则
,即M到A点的距离等于M到直线的距离,故M是以A为焦点,以直线为准线的抛物线,方程为。----------------------------------4分
可知,设,,直线PD的斜率为k,则直线PE的斜率为,则,联立抛物线方程,消可得,则有,,同理可得,,由PD=PE,可得
,
整理得,即,则有,
将后,(1)即为(2)所以分析(1)即可。-----------------------------10分
,,当时,,当时,,故极大值为,极小值为,故只有1个零点。
综上有1个△PDE,是以P为直角顶点的等腰直角三角形。------------------12分
解法2:设点,则中点,,,,因为三角形是以P为直角顶点的等腰直角三角形,所以,得--(1)----------------------------8分
由,即,整理得,代入(1)式有--------(2),----------------------------------10分
若,则DE//x轴,此时PQx轴,不成立。令,则------(3),即。
令,,,开口向上,所以恒大于0,则单调递增,又,,故只有一个零点,则方程(3)只有一解,即存在1个△DPE,是以P为直角顶点的等腰直角三角形。-------------------12分
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
解:(1)当时,消t得,-----------------------3分
是以A,为端点的线段。----------------------------------5分
(2)当时,曲线的的普通方程为椭圆:;曲线的的普通方程为直线:;----------------------------------------------------------------------7分
可知直线与椭圆相离,则PQ的最小值为P到直线的距离最小值。-------------------8分
则,当时,有最小值。-------------------------------------------------------------------------------------10分
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
解:(1)依题意得,------------------------------------------3分
由,解得;----------------------------------------------------5分
由,可知的最小值为2,--------------------------7分
因为,则有,,,相加可得,所以---------------------------------------------9分
当且仅当时取等号.--------------------------------------------------------------10分