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3.8
圆内接正多边形
数学北师大版
九年级下
复习导入
1．什么叫正多边形?
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
2．从你身边举出两三个正多边形的实例.
新知讲解
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．
这个圆叫做该正多边形的外接圆．
图
3-34
新知讲解
把一个圆n等分（n
≥?3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
新知讲解
如图3-35，五边形ABCDE是圆O
的内接正五边形，
圆心O叫做这个正五边形的中心；
OA是这个正五边形的半径；
图3-35
新知讲解
∠AOB是这个正五边形的中心角；
OM⊥BC，
垂足为M，OM
是这个正五边形的边心距.
图3-35
新知讲解
例
如图
3-36，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径
OC=4，OG⊥BC，垂足为点
G，求正六边形的中心角、边长和边心距．
图
3-36
新知讲解
解：连接
OC，OD．
∵
六边形
ABCDEF
为正六边形，
∴
∠COD
=
=
60°．
∴
△COD
为等边三角形，
∴
CD=OC=4．
在
Rt△COG
中，OC=4，CG=2，
∴
OG=
．
∴
正六边形
ABCDEF
的中心角为
60°，边长为
4，边心距为
．
图
3-36
新知讲解
你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？
做一做
新知讲解
利用尺规依据上面例题的结论，作法如下：
（1）以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，与圆周交于一点；
（2）以得到的交点为圆心，以圆的半径为半径作弧与圆周交于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
（3）依次连接这六个点，就得到了这个圆的一个内接正六边形．
图
3-37
新知讲解
想一想
你能借助尺规作出圆内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
新知讲解
（1）作出已知圆O的互相垂直的直径；
（2）分别连接直径和圆的交点即得圆内接正方形.
O
课堂练习
1、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=(
)
A.
30°
B.
35°
C.
45°
D.
60°
A
课堂练习
解：连接OA，OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB
∴△OAB是等边三角形
∴∠OAB=60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，∴∠PAB=90°-60°=30°
故选：A．
课堂练习
2、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为______．
3
课堂练习
解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
⊙O的半径为3，
而正六边形可以分成六个相等的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为3，
∴正六边形ABCDEF的边长为3，
故答案为：3
课堂练习
3、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是______°.
54
解：连接AD，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
课堂练习
∵BC=CD，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=54°
课堂练习
拓展提高
4、如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
(1)求证：△ABC是等边三角形．
(2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
(3)若PB=1，PC=3，那么PA为多少？
拓展提高
解：(1)证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是弧BC对的圆周角，
∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
拓展提高
(2)如图
过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD=30°，∠ODB=90°，
∵OB=2，
∴OD=1，
∴等边△ABC的边心距为1．
拓展提高
(3)如图
在PC上截取PD=AP，连接AD，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，
即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
拓展提高
在△APB和△ADC中，
∠ABP=∠ACD
∠APB=∠ADC
AP=AD
，
∴△APB≌△ADC(AAS)，
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP，
∵PB=1，PC=3，
∴PA=PC-PB=3-1=2．
课堂总结
正多边形的性质:
1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
4.正n边形的中心角和它的每个外角都等于
，每个内角都等于
.
板书设计
课题：3.8
圆内接正多边形
?
教师板演区
?
学生展示区
一、圆内接正多边形
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P99练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P99练习第3、4题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级下册3.8
圆内接正多边形导学案
课题
3.8
圆内接正多边形
单元
第3章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形.
重点
难点
掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
正六边形的周长为6，则它的外接圆半径为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
6
2、
下列说法中，错误的是
A.
正多边形的各边都相等
B.
各边都相等的多边形是正多边形
C.
正三角形的三条边都相等
D.
正六边形的六个内角都相等
合
作
探
究
探究一：
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．
把一个圆n等分（n
≥?3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
如图3-35，五边形ABCDE是圆O
的内接正五边形，
圆心O叫做这个正五边形的中心；
OA是这个正五边形的半径；
∠?AOB是这个正五边形的中心角；
OM⊥BC，
垂足为M，OM
是这个正五边形的边心距.
图3-35
探究二：
例
如图
3-36，在圆内接正六边形
ABCDEF
中，半径
OC
=
4，OG⊥BC，垂足为点
G，求正六边形的中心角、边长和边心距．
图
3-36
探究三：
你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗？
你能借助尺规作出圆内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
当
堂
检
测
1、如图，正六边形ABCDEF内接于，若直线PA与相切于点A，则?
??
A.
B.
C.
D.
如图，正六边形ABCDEF内接于，的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为______．
3、
如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，AF是的直径，则的度数是______
4、如图，A，P，B，C是上的四个点，．
求证：是等边三角形．
若的半径为2，求等边的边心距．
若，，那么PA为多少？
课
堂
小
结
正多边形的性质
1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
4.正n边形的中心角和它的每个外角都等于，每个内角都等于.
参考答案
自主学习：
1、解：正六边形的周长是6，
其边长．
正六边形的边长与其外接圆半径恰好组成等边三角形，
它的外接圆半径是1．
故选：A．
2、解：正多边形的各边都相等，正确；
各边都相等且各内角都相等的多边形是正多边形，错误；
C.
正三角形的三条边都相等，正确；
正六边形的六个内角都相等，正确
故选：B．
合作探究：
探究一：
探究二：
解：连接
OC，OD．
∵
六边形
ABCDEF
为正六边形，
∴
∠?COD
==
60°．
∴
△COD
为等边三角形，
∴
CD
=
OC
=
4．
在
Rt△COG
中，OC
=
4，CG
=
2，
∴
OG
=．
∴
正六边形
ABCDEF
的中心角为
60°，边长为
4，边心距为．
探究三：
利用尺规依据上面例题的结论，作法如下：
（1）以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，与圆周交于一点；
（2）以得到的交点为圆心，以圆的半径为半径作弧与圆周交于另一点，依次下去，在圆周上得到六个点；
（3）依次连接这六个点，就得到了这个圆的一个内接正六边形．
（1）作出已知圆O的互相垂直的直径；
（2）分别连接直径和圆的交点即得圆内接正方形.
当堂检测：
解：连接OA，OB，
多边形ABCDEF是正六边形，
，
是等边三角形，
，
是的切线，
，
故选：A．
2、解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，
而正六边形可以分成六个相等的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为3，
∴正六边形ABCDEF的边长为3，
故答案为：3
3、解：连接AD，
是的直径，
，
五边形ABCDE是的内接正五边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：54．
4、解：证明：在中，
与是弧BC对的圆周角，与是弧AC所对的圆周角，
，，
又，
，
为等边三角形；
如图
过O作于D，连接OB，
则，，
，
，
等边的边心距为1．
如图
在PC上截取，连接AD，
又，
是等边三角形，
，，即．
又，
，
在和中，
∠ABP=∠ACD
∠APB=∠ADC
AP=AD
，
≌，
，
又，
，
，，
．
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精品试卷·第
2
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