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北师大版数学九年级下册3.9弧长及扇形的面积导学案
课题 3.9 弧长及扇形的面积 单元 第3章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.经历探索弧长计算公式和扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力. 2.了解弧长计算公式和扇形面积计算公式，并运用公式解决问题.
重点 难点 弧长计算公式和扇形面积计算公式.
导学 环节 导学过程
自 主 学 习 预习课本，完成下列各题： 1、 已知半径为9的扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 2、 圆心角为的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是 A. B. C. D.
合 作 探 究 探究一： 如图 3-39，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． （1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长（arc length）的计算公式为l = ____________________. 例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长度”再下料．试计算图 3-40 所示的管道的展直长度，即 的长（结果精确到 0.1 mm）． 图 3-40 探究二： 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长 3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为 ________________． 比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？ S扇形 = __________l. 探究三： 例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠ AOB = 120°，求的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到0.1cm2）．
当 堂 检 测 1、如图，内接于，若，的半径，则阴影部分的面积为 A. B. C. D. 如图，AB为的直径，C为上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
求证：AC平分；
若，，求图中阴影部分的面积． 3、如图，AB是的直径，AC是的切线，切点为A，BC交于点D，点E是AC的中点．
试判断直线DE与的位置关系，并说明理由；
若的半径为2，，，求图中阴影部分的面积．
课 堂 小 结 弧长、扇形面积的计算公式
参考答案
自主学习：
1、解：，
故选：B．
2、解：扇形的面积公式，
故选：B．
合作探究：
探究一：
解：R = 40 mm，n = 110，
所以的长 = = 110
180 × 40π ≈ 76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8 mm
探究二：
解：（1）S=πR2
（2）
探究三：
解：
= ≈ 25.1（cm）．
S扇形 = ≈ 150.7（cm2）．
因此，的长约为 25.1cm，
扇形 AOB 的面积约为 150.7cm2．
当堂检测：
1、解：，
，
阴影部分的面积，
故选：A．
2、解：连接OC，如图，
与相切于点E，
，
，
，
，
，
，
，
即AC平分；
设半径为r，
在中，∵OE2-EC2=OC2，
，解得，
，，
，
，
3、解：直线DE与相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，
是的切线，
，
，
点E是AC的中点，O点为AB的中点，
，
，，
，
，
，
在和中
OA=OD ∠1=∠2 OE=OE ，
≌，
，
，
为的切线；
点E是AC的中点，
，
，
图中阴影部分的面积
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3.9 弧长及扇形的面积
数学北师大版 九年级下册
新知导入
在田径比赛中，每位运动员弯路的展直长度相同吗？
新知讲解
如图 3-39，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．
（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
图 3-39
解：（1）C=2πR=2π×10=20π
（2）
（3）
在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长（arc length）的计算公式为l = ____________________.
新知讲解
新知讲解
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长度”再下料．试计算图 3-40 所示的管道的展直长度，即
的长（结果精确到 0.1 mm）．
图 3-40
⌒
AB
新知讲解
解：R=40 mm，n=110，
所以 的长 = = × 40π ≈ 76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
图 3-40
⌒
AB
变式、如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则弧AB的长为( )
A. B. π C. 2π D. 4π
新知讲解
A
解：连接OA、OB，如图，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°，
又OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=1，
则弧AB的长 ．
故选：A．
新知讲解
新知讲解
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 3 m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？
解：（1）S=πR2
（2）
如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为 ________________．
新知讲解
新知讲解
比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？
S扇形 = __________l.
新知讲解
例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠AOB = 120°，求
的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到0.1cm2）．
解： = ≈ 25.1（cm）．
S扇形 = ≈ 150.7（cm2）．
因此， 的长约为 25.1cm，
扇形 AOB 的面积约为 150.7cm2．
⌒
AB
⌒l
AB
⌒
AB
课堂练习
1、如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为( )
A. 4π-8 B. 2π C. 4π D. 8π-8
A
课堂练习
解：∵∠A=45°，
∴∠BOC=2∠A=90°，
∴阴影部分的面积
=S扇形BOC-S△BOC
=4π-8，
故选：A．
课堂练习
2、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若BE=3，CE= ，求图中阴影部分的面积．
课堂练习
解：(1)连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD//CO，∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB.
课堂练习
(2)设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，∵OE2-EC2=OC2，
∴r2+27=(r+3)2，解得r=3，
∴OC=3，OE=6，
∴cos∠COE ，
∴∠COE=60°，
∴S阴影=S△COE-S扇形COB
拓展提高
3、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
拓展提高
解：(1)直线DE与⊙O相切．理由如下：
连接OE、OD，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，
∴OE//BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
拓展提高
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△DOE中
OA=OD ∠1=∠2 OE=OE ，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
拓展提高
(2)∵点E是AC的中点，
∴AE= AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积
课堂总结
弧长、扇形面积的计算公式
板书设计
课题：3.9 弧长及扇形的面积
教师板演区
学生展示区
一、弧长及扇形的面积
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P102练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P102练习第3、4题
