2．3.2 抛物线的简单几何性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握抛物线的简单几何性质．2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题．3.掌握直线与抛物线的位置关系.
利用直观想象提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第42页
[基础认识]
知识点一 抛物线的几何性质
类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
提示：范围、对称性、顶点、离心率等．
知识梳理 抛物线的几何性质
设图形中的P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦半径
|P1F|＝＋x1
|P1F|＝－x1
|P1F|＝＋y1
|P1F|＝－y1
焦点弦
|P1P2|＝p＋(x1＋x2)
|P1P2|＝p－(x1＋x2)
|P1P2|＝p＋(y1＋y2)
P1P2＝p－(y1＋y2)
顶点
(0,0)
离心率
e＝1
知识点二 直线与抛物线的位置关系
知识梳理 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有2个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有1个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
[自我检测]
1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
答案：C
2．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点一定在抛物线上的是( )
A．(a，－b)
B．(－a，b)
C．(－a，－b)
D．(b，a)
答案：B
3．直线y＝2x－1与抛物线x2＝y的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
答案：C
授课提示：对应学生用书第43页
探究一 抛物线几何性质的应用
[阅读教材P60例3]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2)，求它的标准方程．
题型：利用抛物线的几何性质，求其标准方程．
方法步骤：①根据条件设出抛物线的标准方程．
②将点M代入标准方程，求出p的值．
③写出抛物线的标准方程．
[例1] (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0)
B．(1,0)
C．(8,0)
D．(4,0)
[解析] 因为＝2，所以＝＝4，于是b2＝3a2，则＝，故双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
而抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
所以A，B，
则AB＝p，又三角形的高为，
则S△AOB＝··p＝，
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)．
[答案] B
(2)已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
[解析] 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
方法技巧 1.注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
2．解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
跟踪探究 1.已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．
解析：(1)当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．
将点M(1，－2)代入，得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y.
准线方程为x＝－1或y＝.
探究二 焦点弦问题
[阅读教材P61例4]斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
题型：焦点弦的计算．
方法步骤：①写出抛物线的焦点坐标，从而由点斜式求出直线l的方程．
②直线与抛物线联立方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，设而不求及根与系数的关系．
③由焦点弦公式|AB|＝p＋x1＋x2，求出弦AB的长．
[例2] 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
[解析] 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去y，整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0.
由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋.
所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2p＋＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为y＝2或y＝－2.
方法技巧 1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
跟踪探究 2.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解析：(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan
60°＝，
又F.
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
探究三 直线与抛物线的位置关系
[例3] (1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
(2)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？
[解析] (1)数形结合法．
过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，
过P可作一条与其轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点．
故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
(2)联立消去y，
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(
)
当k＝0时，(
)式只有一个解x＝，
∴y＝1，
∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点．
[答案] (1)B (2)见解析
方法技巧 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
跟踪探究 3.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：由题意Q(－2,0)，
设l：y＝k(x＋2)．
由得k2x2＋4k2x＋4k2－8x＝0，
即k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.
当k2＝0，即k＝0时，x＝0，y＝0，
∴l与抛物线只有一个公共点．
当k2≠0时，k≠0，Δ≥0，
即(4k2－8)2－16k4≥0，
解得－1≤k≤1，
∴－1≤k≤1且k≠0
综上，知k的取值范围是[－1,1]，故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第44页
[课后小结]
(1)讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
(2)直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
(3)判断直线与抛物线位置关系的两种方法
①几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．
②代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
相交：a.有两个交点：
b．有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；
相切：有一个公共点，即
相离：没有公共点，即
直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
[素养培优]
1．定点问题
已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点．
证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为－，则直线OA的方程为y＝kx，
由得A，
同理可得B(－8k2,8k)，
于是直线AB的方程为y－8k＝(x＋8k2)，整理可得y＝(x＋8)，因此直线AB经过定点(－8,0)．
方法技巧 定点问题的常见解法
(1)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
(2)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．
2．定值问题
如图所示，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明：设直线AB的斜率为k(k≠0)．
因为直线AB，AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为－k(k≠0)．
又直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y整理得，
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
因为A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
所以4·xB＝，
得xB＝，
以－k代替xB中的k，得xC＝，
所以kBC＝
＝
＝
＝＝－，
故直线BC的斜率为定值．
方法技巧 求定值问题常见的方法
解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量?函数?定值”，具体操作程序如下：
变量——选择适当的量作为变量；
函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；
定值——把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．
PAGE第二章
圆锥曲线与方程
2．1 椭 圆2.1.1 椭圆及其标准方程
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解椭圆标准方程的推导．2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.
利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第20页
[基础认识]
知识点一 椭圆的定义
在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象，那么如何设计出这些椭圆形的物品呢？
(1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？
提示：圆．
(2)如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？
提示：椭圆．
(3)在问题(2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？
提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数．
知识梳理 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
几点说明：(1)F1，F2是两个不同的定点．
(2)M是椭圆上任意一点，且|MF1|＋|MF2|＝常数．
(3)通常这个常数记为2a，焦距记为2c且2a>2c.
(4)如果2a＝2c，则M的轨迹是线段F1F2.
(5)如果2a<2c，则点M的轨迹不存在．(由三角形的性质知)
知识点二 椭圆的标准方程
观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？
提示：椭圆是对称图形，以两焦点F1，F2所在直线为一条坐标轴，F1F2的中点为原点建立直角坐标系方程简单．
知识梳理 椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[自我检测]
1．下列说法中，正确的是( )
A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
答案：C
2．若椭圆方程为＋＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为____________．
答案：x (－2,0)，(2,0)
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 求椭圆的标准方程
[阅读教材P34例1]已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程．
题型：待定系数法求椭圆的标准方程．
方法步骤：①根据条件设出所求椭圆的标准方程．
②根据已知条件建立a，b，c的方程(组)．
③解出a，b的值即可得出椭圆的标准方程．
[例1] 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
[解析] (1)法一：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10，所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆过点(5,0)，
所以＝1，即a2＝25.
又因为c＝4及b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以解得
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
方法技巧 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
跟踪探究 1.根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)经过两点A(0,2)，B；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
解析：(1)设所求椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
∵椭圆过点A(0,2)，B，
∴
解得
即所求椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，－)，(0，)，
∴可设所求椭圆方程为＋＝1(m>0)．
又椭圆经过点(2，－3)，则有＋＝1，
解得m＝10或m＝－2(舍去)，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1.
探究二 椭圆的定义及其应用
[教材P36练习3题]已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．
(1)求△AF1B的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
解析：由已知得a＝5，b＝4，所以c＝＝3.
(1)△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|，①
由椭圆的定义得|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a，②
所以△AF1B的周长为4a＝20.
(2)当AB不垂直于x轴时，△AF1B的周长不会变化．
这是因为①②两式仍然成立，△AF1B的周长为20，这是定值．
[例2] 设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解析] 由题意知a＝5，b＝，
∴c＝＝.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∵P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，
∴m＋n＝10.①
在△F1PF2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos
60°＝4c2，
即m2＋n2－mn＝25，②
由①②得mn＝25，
∴S△PF1F2＝mnsin
60°＝.
方法技巧 1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
2．椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
跟踪探究 2.椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，求∠F1PF2的大小，思考∠F1PF2可以等于90°吗？
解析：由已知得a＝2，b＝，c＝1
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
则
①2－②得mn(1＋cos
α)＝6，
④
得＝，
即＝2，
即＝，
∴tan
＝，
∴＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
∵cos
α＝＝＝－1≥－1＝，
∴0≤α≤，即α不可能等于90°.
探究三 与椭圆有关的轨迹问题
[阅读教材P34－35例2、例3](1)如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
题型：代入法求轨迹方程．
方法步骤：①设出M的坐标(x，y)．
②确定点M的几何性质(M是线段PD的中点)．
③由M的性质得出P点的坐标(x,2y)代入已知圆x2＋y2＝4即得M的轨迹方程，从而得到M的轨迹是椭圆．
(2)如图，设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
题型：直接法求动点的轨迹方程．
方法步骤：①设点M的坐标(x，y)．
②确定点的几何性质kAM·kBM＝－.
③将M的几何性质坐标化得出动点M的轨迹方程．
[例3] 如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
[解析] 由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1,0)，C(－1,0)，点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，
∴a＝，b2＝a2－c2＝－1＝，
故椭圆的方程为＋＝1.
方法技巧 1.求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所用方法为定义法．
2．对定义法求轨迹方程的认识
如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
跟踪探究 3.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
解析：设点M的坐标为(x，y)，d是点M到直线x＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P＝，由此得＝.两边平方，并化简得3x2＋4y2＝48，即＋＝1.
所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别为8,4的椭圆.
授课提示：对应学生用书第23页
[课后小结]
(1)求椭圆的标准方程常用待定系数法．首先，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，可用两种方法来解决问题．
(2)求轨迹方程的常用方法：
①直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件转换成x，y间的关系式，从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法．
②定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．
③相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
[素养培优]
1．忽视椭圆定义中的条件致误
到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是( )
A．椭圆
B．线段
C．圆
D．以上都不对
易错分析 到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆的前提条件是定值大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．考查直观想象及逻辑推理．
自我纠正 到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹是线段．
∵|F1F2|＝4，故选B.
答案：B
2．忽视椭圆标准方程的条件致误
“2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
易错分析 解答本题往往会漏掉m－2≠8－m而致误．
自我纠正 当方程表示椭圆时，应满足
所以2因此应为必要不充分条件，故选B.
答案：B
PAGE2．1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义．2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
发展直观想象提升逻辑推理提高数学运算
授课提示：对应学生用书第23页
[基础认识]
知识点 椭圆的简单几何性质
知识梳理
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为原点
离心率
e＝
[自我检测]
1．椭圆＋＝1的长轴长为( )
A．81
B．9
C．18
D．45
答案：C
2．椭圆的长轴长为10，一焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．
答案：＋＝1
3．椭圆＋＝1的离心率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第24页
探究一 根据椭圆的标准方程研究其几何性质
[阅读教材P40例4]求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
题型：根据椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
方法步骤：①先将椭圆的方程化成标准形式．
②由标准方程写出a2，b2，从而得到a，b.
③由a2＝b2＋c2得到c的值，从而研究椭圆的几何性质(如长轴长、短轴长、焦距、离心率等)．
[例1] 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解析] 由已知得＋＝1(m>0)，因为0，
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，
短半轴长b＝，半焦距c＝，
所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，，
离心率e＝＝＝.
方法技巧 1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的，先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．
2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
跟踪探究 1.曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的( )
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．焦距相等
D．离心率相等
解析：分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．
曲线＋＝1的焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8.曲线＋＝1(k<9)的焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8.则C正确．
答案：C
2．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点．
解析：椭圆方程可化为＋＝1(m>0)．
因为m>0，所以必有m>，椭圆焦点一定在x轴上，
所以a＝，b＝，c2＝.
又e＝，则＝，故m＝1，
从而a＝1，b＝，c＝.
因此椭圆的长轴长2a＝2，短轴长2b＝1，焦点坐标F1，F2.
探究二 由几何性质求椭圆的标准方程
[阅读教材P40例5]如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝2.8
cm，|F1F2|＝4.5
cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1
cm)．
题型：由椭圆的几何性质待定系数法求椭圆的标准方程．
方法步骤：①建立适当的直角坐标系，设出所求椭圆的标准方程．
②根据已知条件列出关于a，b的方程(组)，求出a，b的值．
③写出椭圆的标准方程．
[例2] 根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.
[解析] (1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，则b＝3，
∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法技巧 1.用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
3．在求解a2，b2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程(组)加以求解．
跟踪探究 3.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且经过点A(2,0)，求椭圆的标准方程．
解析：若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆过点A(2,0)，所以a＝2.
因为2a＝2×2b，所以b＝1.
所以方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆过点A(2,0)，所以b＝2.
因为2a＝2×2b＝8，所以a＝4.
所以方程为＋＝1.
综上，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
探究三 椭圆的离心率问题
[教材P41练习5题]比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？
(1)9x2＋y2＝36与＋＝1；
(2)x2＋9y2＝36与＋＝1.
解析：(1)在方程＋＝1中，a1＝6，b1＝2，
c1＝＝4，e1＝.
在方程＋＝1中，a2＝4，b2＝2，c2＝2，e2＝.
∵e1>e2，∴9x2＋y2＝36更扁，＋＝1更圆．
(2)在方程＋＝1中，a1＝6，b1＝2，c1＝4，e1＝.
在方程＋＝1中，a2＝，b2＝，c2＝2，e2＝.
∵e1>e2，∴x2＋9y2＝36更扁，＋＝1更圆．
[例3] 如图，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．
[解析] 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
∵F1(－c,0)，∴P(－c，yP)，代入椭圆方程得＋＝1，∴y＝，
∴|PF1|＝＝|F1F2|，即＝2c，
又∵b2＝a2－c2，∴＝2c，
∴c2＋2ac－a2＝0，∴e2＋2e－1＝0，
又∵0方法技巧 求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：
(1)若已知a，c，可直接代入e＝求得；
(2)若已知a，b，则使用e＝求解；
(3)若已知b，c，则求a，再利用(1)或(2)求解；
(4)若已知a，b，c的关系，可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值(范围)．
跟踪探究 4.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由PF2⊥F1F2知P点的横坐标为c，代入椭圆方程求得点P的坐标为，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，故|PF1|＝2|PF2|，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，得＝2a，即3b2＝2a2，
∴e＝，故选D.
答案：D
授课提示：对应学生用书第26页
[课后小结]
(1)椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．在解题中要特别注意第二类性质，应根据椭圆方程的形式首先判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上再进行求解．
(2)通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程．
(3)椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率从关于a，b，c的一个方程即可求得．
[素养培优]
1．对椭圆的几何性质记忆不牢致误
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率为，长轴长为8.求椭圆的标准方程．
易错分析 本题将长轴长误认为是a致误．考查直观想象及数学运算．
自我纠正 由题意知2a＝8，∴a＝4.
又∵离心率e＝＝
，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2．解决椭圆问题时忽视分类讨论致误
若椭圆＋＝1的离心率e＝，求k的值．
易错分析 只是按照椭圆的焦点在x轴上求出k值而漏解．考查直观想象和逻辑推理．
自我纠正 (1)若焦点在x轴上，即k＋8>9时，a2＝k＋8，b2＝9，e2＝＝＝＝，解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即0e2＝＝＝＝，解得k＝－.
综上所述，k＝4或k＝－.
PAGE第2课时 椭圆标准方程及性质的应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合思想．2.了解椭圆的简单应用．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.
利用直观想象发展逻辑推理提高数学运算
授课提示：对应学生用书第26页
[基础认识]
知识点一 点与椭圆的位置关系
点与圆的位置关系有几种？如何判断？
提示：三种．已知点P(x0，y0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
点P在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，
点P在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2点P在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
判断下列各点与椭圆＋＝1的位置关系：
①P1；②P2；③P3(1,2)；
④P4.
提示：直线x＝1与椭圆的交点为，
∵－<<，－<－<，2>，
∴点P1在椭圆上，P2、P4在椭圆内，P3在椭圆外，如图所示．
知识梳理 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；
点P在椭圆内部?＋<1；
点P在椭圆外部?＋>1.
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线与圆的位置关系是怎样判断的？
提示：几何方法：设圆心到直线的距离为d，
圆的半径为r.
则dd＝r?直线与圆相切．
d>r?直线与圆相离．
代数方法：直线方程与圆的方程联立方程组：
Δ>0?相交，
Δ＝0?相切，
Δ<0?相离．
我们可以比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系，能否比较椭圆中心到直线的距离与长轴长或短轴长的大小关系来判断直线与椭圆的位置关系？
提示：不能，只能用直线方程与椭圆方程联立方程组判断其解的个数来判定．
知识梳理 (1)直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
联立消y得一个关于x的一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
(2)直线与椭圆相交弦的长度：l＝|x1－x2|＝·＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根．
(3)弦的中点P0(x0，y0)与弦所在直线的斜率k的关系．
(点差法)设弦AB的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?＋＝0，
即＋＝0，
即＋＝0，
即＋＝0.
[自我检测]
1．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则
A．点(－3，－2)不在椭圆上
B．点(3，－2)不在椭圆上
C．点(－3,2)在椭圆上
D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上
答案：C
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
答案：C
3．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
授课提示：对应学生用书第28页
探究一 直线与椭圆的位置关系的判断
[例1] (1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1
B．1或2
C．2
D．0
[解析] 因为直线过定点(3，－1)且＋<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
[答案] C
(2)已知椭圆C的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6.
①求椭圆C的标准方程．
②若已知直线y＝x＋m，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？
③若∠F1PF2＝90°，求△PF1F2的面积．
[解析] ①因为椭圆的焦点是F1(－，0)和F2(，0)，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，
所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
所以依题意有c＝，a＝3，所以b2＝a2－c2＝32－()2＝7，
所以所求的椭圆方程为＋＝1.
②由得16x2＋18mx＋9m2－63＝0，
由Δ＝(18m)2－4×16(9m2－63)≥0得m2≤16，则－4≤m≤4，
所以当m∈[－4,4]时，直线与椭圆C有公共点．
③因为点P是椭圆＋＝1上一点．
所以|PF1|＋|PF2|＝6.①
又因为∠F1PF2＝90°，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝8，②
由①②得|PF1|·|PF2|＝14，
所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝7.
方法技巧 代数法判断直线与椭圆的位置关系
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0?直线与椭圆相交；Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ<0?直线与椭圆相离．
跟踪探究 1.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A.
B．±
C.
D．±
解析：由题意得直线y＝kx与椭圆的一个交点坐标为(b，kb)，
∴
解得k＝±，故选B.
答案：B
2．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
解析：由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>，
所以k的取值范围为∪.
探究二 弦长与弦的中点问题
[例2] 椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若l的倾斜角为，求弦长|AB|及AB的中点坐标．
[解析] (1)因为椭圆的方程为＋＝1，
所以a＝2，b＝，c＝1.
由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
所以△ABF2的周长为
|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8.
(2)由(1)可知，F1(－1,0)，
因为AB的倾斜角为，所以AB的斜率为1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1.
联立整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1·y2＝－.
x1＋x2＝y1＋y2－2＝－.
由弦长公式，得|AB|＝·|y1－y2|＝·＝×＝.
AB的中点为，即.
方法技巧 1.直线被椭圆截得的弦长的求解思路
(1)求两交点坐标，转化为两点间距离．
(2)用公式来求．设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.
注意：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的讨论．
2．椭圆中点弦问题的两种解法
(1)一元二次方程根与系数的关系法：利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造．
(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率，基本步骤如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，又kAB＝.
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以＋＝1，＋＝1，两式相减得
b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－，
所以kAB＝＝－·＝－·.
跟踪探究 3.已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点．
(1)求线段AB的中点坐标；
(2)求△OAB的面积．
解析：(1)设椭圆C的方程为＋＝1，
由题意a＝3，c＝2，于是b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
由得10x2＋36x＋27＝0.
因为该一元二次方程的Δ>0，
所以点A，B不同，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，
y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，
故线段AB的中点坐标为.
(2)设点O到直线y＝x＋2的距离为d，
则d＝＝.
又由(1)知x1x2＝，
所以|AB|＝
＝＝，
故S△AOB＝××＝.
探究三 与椭圆有关的最值问题
[例3] 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
[解析] (1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝＝
＝
＝.
所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.
方法技巧 椭圆中的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题．
(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定参数的取值范围；
④利用基本不等式求出函数的取值范围；
⑤利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
跟踪探究 4.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e＝，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A，B是直线l：x＝2上的不同两点，若·＝0，求|AB|的最小值．
解析：(1)由题意得
解得
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知，F1，F2的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)，
设直线l：x＝2上的不同两点A，B的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)，
则＝(－3，－y1)，＝(－，－y2)．
由·＝0，得y1y2＋6＝0，
即y2＝－.
不妨设y1>0，则|AB|＝|y1－y2|＝y1＋≥2，
当y1＝，y2＝－时取等号，
所以|AB|的最小值是2.
授课提示：对应学生用书第30页
[课后小结]
(1)直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定．
求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑，使用“点差法”．
(2)最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想．
[素养培优]
1．建立目标函数求椭圆中的最值与范围问题
如图，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解析：(1)由已知可得A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
消去y得
2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，只能x＝，
于是y＝.
故点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|.
又－6≤m≤6，解得m＝2.
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15.
由于－6≤x≤6，
因此当x＝时，d取最小值.
即椭圆上的点到点M的距离d的最小值为.
2．运用“设而不求”法研究直线和椭圆的位置关系
已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|＝|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m>0)，代入＋y2＝1，得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由＝2，得y1＝－2y2，
由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝得
2＝，∴m＝1或m＝－1(舍去)，
直线EF的方程为x＝y－1，即x－y＋1＝0.
(3)记P(x′1，y′1)，Q(x′2，y′2)．将y＝kx＋2代入＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0(
)，x′1，x′2是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则xM＝＝－，
yM＝kxM＋2＝.
由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，
∴kDM＝＝＝－，
∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.
但k＝1，k＝均使方程(
)没有两相异实根．
∴满足条件的k不存在．
PAGE2．2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握双曲线的定义．2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
应用直观想象提升逻辑推理及数学运算
授课提示：对应学生用书第31页
[基础认识]
知识点一 双曲线的定义
我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？
如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合：
P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}．
如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合：
P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}．
这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．
知识梳理 双曲线的定义：
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
思考 若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？
提示：两条射线 不存在
知识点二 双曲线的标准方程
类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？
提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，
则|－|＝2a，
整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，
令b2＝c2－a2(b>0)，
则b2x2－a2y2＝a2b2，
即－＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．
知识梳理 双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2
[自我检测]
1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
答案：C
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D．(，0)
答案：C
授课提示：对应学生用书第31页
探究一 双曲线定义的应用
[教材P54习题2.2A组1题]双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
解析：双曲线4x2－y2＋64＝0可化为－＝1，
∴a＝8.由定义知|PF1|－|PF2|＝16，
|PF2|＝±16＋|PF1|，|PF2|＝17或|PF2|＝－15(舍去)．
答案：17
[例1] (1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11
B．9
C．5
D．3
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4
B．8
C．24
D．48
[解析] (1)由题意得||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)
故选B.
(2)解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.
在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10
∴△PF1F2为直角三角形，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝24.
故选C.
[答案] (1)B (2)C
方法技巧 1.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
跟踪探究 1.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解析：由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin
∠F1PF2
＝×64×＝16.
探究二 求双曲线的标准方程
[阅读教材P47例1]已知双曲线两个焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
题型：待定系数法求双曲线的标准方程．
方法步骤：①根据条件设出所求方程－＝1(a>0，b>0)．
②根据双曲线的定义得2a＝||PF1|－|PF2||＝6，
∴a＝3.又∵c＝5，从而求出b.
③写出所求的标准方程．
[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
[解析] (1)∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法技巧 待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪探究 2.(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程．
解析：(1)由题意，
知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点A(4，－5)代入双曲线方程，
得－＝1.
又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以
解得(舍去)．
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
探究三 与双曲线有关的轨迹问题
[阅读教材P47例2]已知A，B两地相距800
m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2
s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
题型：求动点的轨迹方程．
方法步骤：①建立直角坐标系，使A，B在x轴上，坐标原点为AB的中点，设爆炸点P(x，y)．
②建立P的几何性质，|PA|－|PB|＝680.
(AB＝800>600)
故P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线一支．
从而写出所求轨迹方程．
[例3] 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[解析] 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sin
A＝，sin
B＝，
sin
C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin
A＋sin
C＝2sin
B，
∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，
从而有|AC|－|BC|＝|AB|＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
方法技巧 1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
2．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
跟踪探究 3．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解析：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.
授课提示：对应学生用书第33页
[课后小结]
(1)理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．
(2)利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量”两步．
[素养培优]
1．忽视双曲线上的点到焦点距离的范围致误
双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21
B．14或36
C．2
D．21
易错分析 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝10，
不妨设F1、F2分别为左、右焦点．若|PF2|＝11，
∴|PF1|＝1或21，故选A，忽视了|PF1|的取值范围．
考查直观想象、逻辑推理的学科素养．
自我纠正 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝10(F1、F2为左、右焦点)．
又∵|PF1|＝1或21，
当P在左支上时，|PF1|>c－a＝2，
故|PF1|＝1舍去；当P在右支上时，|PF1|>c＋a＝12，
故|PF1|＝21，故选D.
答案：D
2．混淆a，b，c的关系致误
双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值．
易错分析 由8kx2－ky2＝8，
得－＝1.
∵焦点在y轴上，∴a2＝，b2＝－，
又∵c2＝a2－b2，故3＝－，∴k＝－.
混淆了椭圆与双曲线中a、b、c的关系导致结果错误．考查直观想象、数学运算的学科素养．
自我纠正 将双曲线的方程化成kx2－y2＝1.
因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y轴上，且c＝3.
所以a2＝－，b2＝－.所以－－＝9，解得k＝－1.
3．忽视对双曲线焦点位置的讨论致误
若双曲线－＝1的焦距等于6，求实数m的值．
易错分析 解答本题时，容易将m－2看作a2，将m－7看作b2，而造成漏解．考查逻辑推理及数学运算．
自我纠正 因为双曲线的焦距等于6，即2c＝6，所以c＝3，即a2＋b2＝c2＝9.
(1)当双曲线焦点在x轴上时，方程为－＝1，a2＝m－2，b2＝m－7，所以m－2＋m－7＝9，解得m＝9，即实数m的值为9.
(2)当双曲线焦点在y轴上时，方程为－＝1，a2＝7－m，b2＝2－m，所以7－m＋2－m＝9，解得m＝0，即实数m的值为0.
综上可知，实数m的值为0或9.
PAGE2.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第34页
[基础认识]
知识点 双曲线的几何性质
椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？
提示：范围、对称性、顶点、离心率．
研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．
知识梳理 (1)双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a
y∈R
y≤－a或y≥a
x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
(2)等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率等于.
[自我检测]
1．若点M(x0，y0)是双曲线－＝1上支上的任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________．
答案：(－∞，＋∞) [2，＋∞)
2．双曲线4x2－2y2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________．
答案：1
3．双曲线－＝1的离心率为________．
答案：2
授课提示：对应学生用书第35页
探究一 根据双曲线方程研究几何性质
[阅读教材P51例3]求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
题型：根据双曲线方程研究其几何性质．
方法步骤：①将方程化成标准方程的形式．
②写出a2，b2，从而求出a，b，c的值．
③求出双曲线的几何性质．
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
[解析] 将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，
即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
方法技巧 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．
2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错．
跟踪探究 1.求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．
解析：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1，所以焦点在x轴上，所以a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．
由c＝＝，得焦点坐标为(，0)，(－，0)．
离心率e＝＝，渐近线方程y＝±x.
探究二 根据双曲线的几何性质求标准方程
[阅读教材P51例4]双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1))，它的最小半径为12
m，上口半径为13
m，下口半径为25
m，高为55
m．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1
m)．
题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程．
方法步骤：①根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系．
②设出标准方程．
③求出方程中的a2，b2，进而求出c.
[例2] 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)；
(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)；
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
[解析] (1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵双曲线过点P(，2)，
∵－＝1.
由题意得
解得
故所求双曲线方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，
∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝.
由题意得
解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3.
当λ>0时，＝9，λ＝36，双曲线方程为－＝1；
当λ<0时，＝9，λ＝－81，双曲线方程为－＝1.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
方法技巧 1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时，常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上)，后计算(确定a2，b2的值)．要特别注意c2＝a2＋b2的应用，不要与椭圆中的关系混淆．
2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y＝x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
跟踪探究 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解析：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.①
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
①②联立，无解．
当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵点A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
探究三 求双曲线的离心率
[例3] (1)点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
[解析] (1)由题意得
不妨设|PF1|，|PF2|，|F1F2|成等差数列，
分别设为m－d，m，m＋d，
则
解得m＝4d＝8a，c＝，
∴离心率e＝＝＝5.
故选D.
(2)不妨设一个焦点F(c,0)，虚轴的一个端点B(0，b)，则kFB＝.
又∵双曲线的渐近线为y＝±x，
∴－·＝－1，
即b2＝ac，c2－a2＝ac，
∴c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
∴e＝(舍负)，
∴e＝.
[答案] (1)D (2)
方法技巧 求双曲线离心率的方法
(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解；
(2)若已知a，b，可直接利用e＝得解；
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪探究 3.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解析：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
所以＝2c，所以b2＝2ac，
所以c2－2ac－a2＝0，
所以2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
所以e＝1＋或e＝1－(舍去)，
所以双曲线的离心率为1＋.
授课提示：对应学生用书第36页
[课后小结]
(1)通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．
(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小．
[素养培优]
1．考虑问题不全面致误
已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求其离心率．
易错分析 因为渐近线方程为y＝±x，
所以＝，即a＝3b，
所以a2＝9b2，a2＝9(c2－a2)，
即10a2＝9c2，＝，所以e＝.
本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故＝或＝两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正 由题意得＝或＝，
故
＝或＝，
＝或＝3，
e＝或e＝.
2．解题缺乏依据致误
点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且有2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的左、右两个焦点，求双曲线C1的离心率．
易错分析 因为圆的半径r＝＝c，
又因为∠F1PF2＝90°，2∠PF1F2＝∠PF2F1，
所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，
故|PF1|＝c，|PF2|＝c.
又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，
所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
此解法步骤不严谨，解析缺乏依据．
考查直观想象、逻辑推理．
自我纠正 因为圆的半径r＝＝c，
所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．
所以∠F1PF2＝90°.
因为2∠PF1F2＝∠PF2F1，
所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.
在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c.
故|PF1|＝c，|PF2|＝c.
又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，
所以|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
PAGE第2课时 双曲线的几何性质及应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法．2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法.
利用直观想象提高数学运算及逻辑推理
授课提示：对应学生用书第37页
[基础认识]
知识点 直线与双曲线的位置关系
直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？
提示：不能．
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线________，直线与双曲线________．
提示：平行 相交于一点
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线____________，此时称直线与双曲线________；
Δ＝0?直线与双曲线____________，此时称直线与双曲线________；
Δ<0?直线与双曲线________，此时称直线与双曲线________．
提示：有两个公共点 相交 有一个公共点 相切 没有公共点 相离
(3)弦长公式：设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________.
提示：
知识梳理 直线与双曲线的位置关系
(1)判定方法
直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1(a>0，b>0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.
位置关系
公共点个数
判定方法
相交
2个或1个
m＝0或
相切
1个
m≠0且Δ＝0
相离
0个
m≠0且Δ<0
(2)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行．
(3)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行．
[自我检测]
1．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P是其上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－y2＝1
D．x2－＝1
答案：C
2．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第37页
探究一 直线与双曲线的位置关系
[例1] 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试确定满足下列条件的实数k的取值范围：
(1)直线l与双曲线有两个不同的公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[解析] 联立消去y，
得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(
)
当1－k2≠0，即k≠±1时，
Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4×(4－3k2)．
(1)由
得－此时方程(
)有两个不同的实数解，
即直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)由得k＝±，
此时方程(
)有两个相同的实数解，
即直线与双曲线有且只有一个公共点，
当1－k2＝0，即k＝±1时，
直线l与双曲线的渐近线平行，
方程(
)化为2x＝5，
故方程(
)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点．
故当k＝±或±1时，
直线与双曲线有且只有一个公共点．
(3)由
得k<－或k>，
此时方程(
)无实数解，
即直线与双曲线无公共点．
方法技巧 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．
(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．
跟踪探究 1.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
解析：(1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y，得3x2＋2x－2＝0.
设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则|AB|＝
＝
＝·＝×＝.
(2)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，
∴
解得0∵双曲线的离心率e＝＝，
∴e>且e≠.
即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．
探究二 弦的中点问题
[例2] 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(，0)，实轴长为2，经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线l的方程．
[解析] (1)由已知，得2a＝2，c＝，
所以a＝1，b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k.把y＝kx＋1－2k代入双曲线C的方程x2－＝1，
得(2－k2)x2－2k(1－2k)x－(1－2k)2－2＝0，①
由题意可知2－k2≠0，
所以xM＝＝＝2，解得k＝4.
当k＝4时，方程①可化为14x2－56x＋51＝0.
此时Δ＝562－56×51＝280>0，方程①有两个不等的实数解．所以直线l的方程为y＝4x－7.
方法技巧 与双曲线有关的弦长、弦中点问题的解题技巧
(1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．
(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系．
(3)在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，若直线l与双曲线相交于M，N两点，点P(x0，y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN·＝.
跟踪探究 2.设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M(1,2)．求：
(1)直线AB的方程；
(2)△OAB的面积(O为坐标原点)．
解析：(1)显然直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k.
由消去y，
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，解得k＝1.
当k＝1时，满足Δ>0，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)由(1)得x1＋x2＝2，x1x2＝－3，
∴|AB|＝·＝×＝4.
又O到直线AB的距离d＝＝，
∴S△AOB＝|AB|·d＝×4×＝2.
探究三 与双曲线有关的轨迹问题
[阅读教材P52例5]点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求点M的轨迹．
题型：求轨迹问题．
方法步骤：①确定动点M的几何性质.＝(其中d是M到l的距离)
②将M的几何性质坐标化，并化简整理，得到M的轨迹方程，从而得出M的轨迹是双曲线．
[例3] 若动圆P经过定点A(3,0)，且与定圆B：(x＋3)2＋y2＝16外切，试求动圆圆心P的轨迹．
[解析] 设动圆圆心P(x，y)，半径为r.
则依题意有|PA|＝r，|PB|＝r＋4，
故|PB|－|PA|＝4.
即动圆圆心P到两个定点B(－3,0)，A(3,0)的距离之差等于常数4，且4<|AB|，因此根据双曲线定义，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝3,2a＝4，b2＝5，所以动圆圆心P的轨迹方程为－＝1(x≥2)．
∴动圆圆心P的轨迹是双曲线－＝1的右支．
方法技巧 解决轨迹问题时，如果在题目的条件中，出现了定点(m,0)，(－m,0)或(0，m)，(0，－m)(当然也可以是某定圆的圆心)时，就要重点考察动点所满足的条件，特别是考察动点到两个定点的距离之差(绝对值)是不是一个定值，如果是一个定值，并且这个定值小于两个定点之间的距离，那么动点的轨迹就是双曲线．
跟踪探究 3.动点P与点F1(0,5)与点F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则点P的轨迹方程为( )
A.－＝1
B．－＋＝1
C．－＋＝1(y≥3)
D．－＋＝1(y≤－3)
解析：由双曲线的定义知
P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的下支，故c＝5，a＝3，
∴b＝4.
∴P的轨迹方程为－＝1.
故选D.
答案：D
授课提示：对应学生用书第39页
[课后小结]
(1)直线与双曲线的位置关系的判定方法
直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况，其判定方法通常也是用Δ来解决．
设直线方程为Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，两方程联立消去y得mx2＋nx＋q＝0(
)形式的方程．
①若m≠0，方程(
)为关于x的一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，则直线与双曲线相交于两点；
当Δ＝0时，方程有一解，则直线与双曲线相切；
当Δ<0时，方程无解，则直线与双曲线相离．
②若m＝0，方程(
)为关于x的一次方程，x＝－，直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线)．
(2)双曲线的弦长公式
与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样，设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
|AB|＝|x1－x2|＝·.
或|AB|＝|y1－y2|＝·.
[素养培优]
1．对直线与双曲线位置关系理解不全面致误
求经过点，且与双曲线4x2－y2＝1仅有一个公共点的直线的方程．
易错分析 过点的直线，斜率可能存在，也可能不存在．若存在，可设所求直线方程为y－2＝k，由
得(4－k2)x2－2kx－＝0.
所以有4－k2＝0和两种情况．
解答本题，应特别注意思维要严密．考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正 若直线的斜率存在，设为k，
则所求直线方程为y－2＝k，
由
将①代入②整理，得
(4－k2)x2－2kx－＝0.③
(1)当直线与双曲线相切时，仅有一个公共点，
所以有即2－4(4－k2)·＝0，且k≠±2，解得k＝.
故所求直线的方程为y＝x＋.
(2)当k＝2时，方程③变为一次方程，且有唯一解，因而直线①和双曲线仅有一个公共点，故得到直线方程为y＝2x＋1.
(3)当k＝－2时，同理可得直线方程为y＝－2x＋3.
(4)当斜率不存在时，因为点在直线x＝上，且x＝与双曲线只有一个公共点，所以所求直线方程为x＝.
综上所述，符合题意的直线有四条，直线方程分别为y＝x＋，y＝2x＋1，y＝－2x＋3和x＝.
2．解题步骤不严谨致误
已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，则a的取值范围是________．
易错分析 直线与双曲线方程联立方程组，消去y，得到关于x的一个一元二次结构的方程，则Δ>0.得出a的取值范围，思维不严谨致误，应该先考虑二次项系数不为0，其次再考虑Δ>0.考查直观想象和逻辑推理的学科素养．
自我纠正 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
∵直线与双曲线相交于两点，
∴?－∴a的取值范围是－答案：－PAGE2．3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解并掌握抛物线的定义．2.理解并掌握抛物线的标准方程．3.掌握求抛物线标准方程的方法．4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题.
发展逻辑推理提高数学运算能力
授课提示：对应学生用书第39页
[基础认识]
知识点一 抛物线的定义
我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？
如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？
提示：可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．
知识梳理 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
知识点二 抛物线的标准方程
知识梳理 抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
[自我检测]
1．若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．抛物线
C．直线
D．双曲线
答案：B
2．抛物线x2＝y的开口向________，焦点坐标为________，准线方程是________．
答案：上 y＝－
3．若抛物线的准线方程是x＝5，则其标准方程为________，焦点坐标为________．
答案：y2＝－20x (－5,0)
授课提示：对应学生用书第40页
探究一 求抛物线的标准方程
[阅读教材P58例1](1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
题型：(1)利用标准方程，求焦点与准线．
(2)根据条件求抛物线的标准方程．
方法步骤：①先求出p的值，从而写出焦点坐标及准线方程．
②先确定焦点的位置，求出p的值，写出抛物线的标准方程．
[例1] 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
[解析] (1)设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，
又点(－3,2)在抛物线上，
∴2p＝或2p＝，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y.
(2)当焦点在y轴上时，
已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，
∴所求抛物线的焦点为(0，－2)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，
令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
由＝4，得2p＝16，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
方法技巧 1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：
(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；
(2)求参数p的值；
(3)确定抛物线的标准方程．
2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
跟踪探究 1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为(－2,0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2,3)；
(4)焦点到准线的距离为.
解析：(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2,3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
探究二 抛物线定义的应用
[教材P59练习3题](1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点距离是a，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________；
(2)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
解析：(1)由抛物线的定义知，点M到准线的距离为a，
＋xM＝a，∴xM＝a－.
(2)由y2＝12x知p＝6，准线方程为x＝－3，设点P(x，y)，由抛物线定义可知x＋3＝9，x＝6，将x＝6代入y2＝12x，得y＝±6，所以满足条件的点为(6，6)或(6，－6)．
答案：(1)a a－
(2)(6,6)或(6，－6)
[例2] 动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
[解析] 把方程5＝|3x＋4y－12|转化为＝，
设动点M(x，y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
[答案] C
方法技巧 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪探究 2.(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：＋x0＝x0，∴x0＝1.
答案：A
(2)若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )
A．y2＝－16x
B．y2＝－32x
C．y2＝16x
D．y2＝32
解析：若点P到F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点以x＋4＝0为准线的抛物线，故P点的轨迹方程为y2＝16x.故选C.
答案：C
探究三 抛物线的实际应用
[阅读教材P58例2]一种卫星接收天线的轴截面如图所示(图见教材图2.3－3)．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8
m，深度为0.5
m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
题型：抛物线在实际问题中的应用．
方法步骤：①建立适当的直角坐标系，设出所求抛物线的标准方程．
②根据题中条件得出抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程即可求出P的值，从而得到抛物线的标准方程和焦点坐标．
[例3] 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1
m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2
m，点P距抛物线的对称轴1
m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1
m)
[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意有P(－1，－1)在抛物线上，代入得p＝.故得抛物线方程为x2＝－y.
又点B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，即|AB|＝
m，
则|O′B|＝|O′A|＋|AB|＝(＋1)m，因此所求水池的直径为2(1＋)m，约为5
m，即水池的直径至少应设计为5
m.
方法技巧 解决实际问题时，首先找到合适的数学模型，把它转化为数学问题，通过我们学过的数学知识进行求解．利用抛物线模型解决问题时，关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程，一般都是将抛物线的顶点作为坐标原点，将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系，其次要注意抛物线上关键点的坐标，并善于运用抛物线的对称性进行求解．
跟踪探究 3.河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
解析：如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为
AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航．
授课提示：对应学生用书第41页
[课后小结]
(1)利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．
(2)在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解．
[素养培优]
1．忽视抛物线标准方程的形式致误
求抛物线x＝－ay2(a≠0)的准线方程和焦点坐标．
易错分析 直接将x＝－ay2(a≠0)作为标准方程来求解．考查直观想象及逻辑推理的数学素养．
自我纠正 抛物线x＝－ay2(a≠0)的标准形式是y2＝－x，所以焦点坐标为，准线方程为x＝.
2．忽略对焦点位置的讨论致误
顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．
易错分析 解题时只考虑到焦点在x轴正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上，因此漏解．考查直观想象及逻辑推理的数学素养．
自我纠正 由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，
因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．
因为|AB|＝|2a|＝8，
所以2a＝±8.
故所求抛物线的方程为y2＝±8x.
PAGE