(共44张PPT)
10.2.2 复数的乘法与除法
基础预习初探
1.回顾多项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=____________.?
(2)z1
=____________.?
(3)
=____________.?
提示:(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=
(ac-bd)+(ad+bc)i.
(2)z1
=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2.
(3)
=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi.
答案:(1)(ac-bd)+(ad+bc)i (2)a2+b2 (3)a2-b2+2abi
2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?
提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算得到除法运算法则,即
=z?z1=zz2.
设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,
即x+yi=
等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,
通过相等复数解方程可得,(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,
所以
消去y,解得x=
,
同理消去x,解得y=
所以
(c+di≠0).
【概念生成】
1.复数的乘法运算
(a+bi)(c+di)=
_________________.
2.复数乘法的运算律
运算律
恒等式
交换律
z1z2=____
结合律
(z1z2)z3=
________
分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
3.复数的乘方
n个相同的复数z相乘时,仍称为z的n次方(或n次幂),并记作zn,即zn=z×z×…×z(n个z相乘).
当m,n都为正整数时,zmzn=____,(zm)n=___,(z1z2)n=____.
zm+n
zmn
4.复数的除法运算(分母实数化)
(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作z=
(或
z=z1÷z2).
(2)一般地,给定复数z≠0,称
为z的倒数.
z1除以z2的商
也可以看成z1与z2的倒数之积.
(3)复数的除法法则:通过z2
=(c+di)(c-di)=c2+d2,可以实现复数除法的
“分母实数化”:
i(c+di≠0).
5.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在复数范围内总有解
(1)Δ=b2-4ac≥0时,有两个实根.
(2)Δ<0时,有两个互为共轭的虚数根x1,2=
,根与系数的关系仍成
立
.
核心互动探究
探究点一 复数的乘法运算
【典例1】1.复平面内,若复数z满足z=(i-1)(2-i),则
对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).
【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.
2.利用复数的乘法运算法则进行计算.
【解析】1.选C.由于z=(i-1)(2-i)=2i-i2-2+i=-1+3i,则
=-1-3i,
对应的
点(-1,-3)在第三象限.
2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2
=5(3-4i)=15-20i.
【类题通法】
复数乘法运算的注意事项
1.复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
2.多个复数的乘法运算,可以利用乘法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”进行复数乘法计算.
【定向训练】
1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b=
( )
A.-2
B.-
C.
D.2
【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.
2.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4=
( )
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
【解析】选A.(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.
探究点二 复数的除法运算
【典例2】1.(2019·全国Ⅰ卷)设z=
,则|z|=
( )
A.2
B.
C.
D.1
2.定义运算
=ad-bc.
若复数x=
,y=
,则y=________.?
3.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].
【思维导引】1.通过复数的除法运算化简,再计算复数的模.
2.利用复数的除法运算化简x,根据新定义计算y.
3.先对括号内的复数进行计算,再进行复数除法运算.
【解析】1.选C.由z=
得|z|=
.
2.因为x=
=-i.
所以y=
=8i.
答案:8i
3.方法一:因为
,
所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)
÷
=2-i.
方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)×
=2-i.
【类题通法】
复数除法运算的注意事项
1.将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.
2.多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·天津高考)i是虚数单位,复数
=________.?
【解析】
答案:3-2i
2.定义实部与虚部互为相反数的复数为“反复数”,若z=a-i+
为“反复
数”,则实数a=________.?
【解析】因为z=a-i+
=a-i+
=
依题意,
得
即(a-1)
=0,解得a=1.
答案:1
探究点三 复数的乘方运算以及周期性
【典例3】1.计算i+i2+i3+…+i2
020=________.?
2.已知w=-
+
i,求证:w3=1.
【思维导引】1.计算in,n∈N
的值,明确周期性再计算.
2.直接将复数的乘方运算转化为乘法运算证明,也可以利用分析法证明.
【解析】1.计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2
020=505×0=0.
答案:0
2.方法一:由w=-
+
i,
得w2=
所以w3=w2w=
方法二:由于w=-
+
i,
要证w3=1,只需证w3-1=0,
即证(w-1)(w2+w+1)=0,
即证w2+w+1=0,
即证w2+w=w(w+1)=-1,
因为w(w+1)=
=-1,
所以等式得证.
【类题通法】
虚数单位乘方的周期性
in(n∈N
)的周期性
计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,
i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N
,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,
同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,
这就是说,如果n∈N
,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N
)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N
)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N
).
因为in(n∈N
)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为
i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,
=i,
=-i.
【定向训练】
1.设f(n)=
(n∈N+),则集合{f(n)}中元素的个数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.无数个
【解析】选B.因为
所以f(n)=
=in+(-i)n,
f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,
f(5)=0,f(6)=-2,f(7)=0,…
集合{f(n)}={0,2,-2},共有3个元素.
2.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则
的值为________.?
【解析】复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,可得a=1,
=1-i.
答案:1-i
3.已知复数z=
,则复数z=________.?
【解析】因为i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2
022=5×404+2,
所以z=
=i.
答案:i
探究点四 实系数一元二次方程的求根公式
【典例4】在复数范围内解下列一元二次方程:
(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.
【思维导引】(1)利用复数的乘方运算解方程.
(2)利用配方法解方程,也可以运用一元二次方程的求根公式解方程.
【解析】(1)由x2+9=0得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.
(2)方法一:由x2-x+1=0
配方得x2-x+
=-
,
即
所以
解得
方法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,
由实系数一元二次方程的求根公式,
得x1,2=
【类题通法】
对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,
根与系数的关系仍然成立:x1+x2=-
,x1x2=
.
【定向训练】
1.解方程x2+2x+3=0.
【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为
x1,2=
2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,求a的值以及另一个
根.
【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,
则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.
方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2=
=1±2i,
所以方程另一个根为1-2i.
方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根
为1-2i,由根与系数的关系,得x1+x2=-
,即a=2.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.因为z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以复平面内表示复数z的点位于第三象限.
2.在复平面内与复数z=
所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复
数为
( )
A.1+2i
B.1-2i
C.-2+i
D.2+i
【解析】选C.复数z=
=i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是(2,1),
该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,则
=________,z的倒数为______.?
【解析】因为z=
=2-i,所以
=2+i.
z的倒数为
答案:2+i
4.已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.
(1)求复数z的共轭复数.
(2)若ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.
【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.
(2)ω=-2+(4+a)i,复数ω对应向量为(-2,4+a),其模为
又复数z所对应向量为
(-2,4),其模为2
.由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,
20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,
所以,实数a的取值范围是-8≤a≤0.(共35张PPT)
第十章
复 数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
新课程标准
素养风向标
1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
1.通过数系的扩充引入复数的有关概念.(数学抽象)
2.通过数系的扩充构建数系表,形成知识网络.(数学建模)
3.利用复数的实部虚部的关系建立复数相等的意义.(逻辑推理)
基础预习初探
1.回顾一元二次方程的解,明确实数的概念与分类
(1)方程x2-2x-3=0的正整数解是________,有理数解是________,实数解是________.?
(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是________,实数解是________.?
提示:(1)方程x2-2x-3=0即(x-3)(x+1)=0的正整数解是3,有理数解是3,-1,
实数解是3,-1.
(2)方程x2-2x-1=0的无理数解是
,实数解是
.
答案:(1)3 3,-1 3,-1
(2)
2.(1)方程x2=-1在实数集中是否有解?
(2)如何解决方程无实数解的问题?
提示:(1)因为实数的平方都是非负数,所以方程x2=-1在实数集中无解.
(2)引入新数i,定义i·i=i2=-1,那么方程x2=-1有一个解为i.
3.(1)复数a+bi(a,b∈R)何时表示零?
提示:当且仅当a=b=0时表示零.
(2)实数集R与复数集C有什么关系?
提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,
即R
C.
用图形语言描述:
【概念生成】
1.复数的概念:
(1)复数的定义
一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数,其中i叫做_________,满足i2=___,
全体复数组成的集合C叫做_______.
虚数单位
-1
复数集
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示,即z=_____________,这一表示形式叫做复数的_______
___,a与b分别叫做复数z的_____与_____.
分别记作Re(z)=__,Im(z)=__.
2.复数相等
如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?_________.
特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.
a+bi(a,b∈R)
代数形
式
实部
虚部
a=c且b=d
a
b
3.复数的分类与数系表
复数z=a+bi(a,b∈R)
核心互动探究
探究点一 复数的有关概念与表示
【典例1】1.下列复数中虚数的个数为
( )
1+2i,1+2i2,2i+
,πi.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,则实数a,b满足的条件
是________.?
【思维导引】1.利用复数的概念进行判断.
2.根据复数的概念与表示?复数的实部+虚部=0.
【解析】1.选C.1+2i,πi,2i+
是虚数,1+2i2=-1是实数.
2.虚数z=(a+b)+(a-b)i,且实部与虚部互为相反数,得(a+b)+(a-b)=0,
得a=0,b∈R,且b≠0.
所以实数a,b满足的条件是a=0,b∈R,且b≠0.
答案:a=0,b∈R,且b≠0
【类题通法】判断与复数有关的命题是否正确的策略
(1)复数的代数形式:
若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.
【定向训练】
1.复数z=2-3i的虚部为
( )
A.3i
B.-3i
C.3
D.-3
【解析】选D.因为z=2-3i,所以z的虚部为-3.
2.已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是________.?
【解析】由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3.
答案:3,3
探究点二 复数的分类与参数问题
【典例2】1.已知复数z=(x2-1)+(x+1)i(x∈R)为纯虚数,则z=________;?
2.已知m∈R,复数z=
,
当m为何值时,z分别满足下列条件:
(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.
【思维导引】当a,b都是实数时,
【解析】1.由于复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数,
则实数x满足
,解得x=1,所以z=2i.
答案:2i
2.复数z=
,m∈R.
(1)由z∈R,得
解得m=-3.
(2)由z是虚数,得m2+2m-3≠0且m-1≠0,
解得m≠1且m≠-3.
(3)由z是纯虚数,得
解得m=0或m=-2.
【类题通法】
1.解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),①z为实数?b=0;②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.
2.复数分类的应用
(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.
(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.
【定向训练】
已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i:
(1)若复数z是实数,求实数m的值;
(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围;
(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值;
(4)若复数z是0,求实数m的值.
【解析】(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,
所以m=5或-3.
(2)当m2-2m-15≠0时复数z为虚数,
所以m≠5且m≠-3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠-3}.
(3)当
时,复数z是纯虚数,所以m=-2.
(4)当
时,复数z是0,所以m=-3.
【补偿训练】
下列复数中,实数为________,虚数为________,纯虚数为________.(将序号填在相应的横线上)?
①1-2i2;②-3i;③2i-3;
④1+0i;⑤cos
π+isin
π.
【解析】-3i,2i-3是虚数;-3i是纯虚数;1-2i2=3,1+0i=1,cos
π+isin
π=-1,都是实数.
答案:①④⑤ ②③ ②
探究点三 复数相等及其应用
【典例3】1.已知复数z1=a+2i,z2=2+2bi,若z1=z2,则实数a,b的值分别为
( )
A.a=1,b=1
B.a=1,b=2
C.a=2,b=1
D.a=2,b=2
2.已知关于x的方程(x2+x+3m)-(2x+1)i=0有实数根,求实数m的值及方程的实数根.
【思维导引】1.根据复数相等的充要条件:实部与虚部分别相等求a,b的值.
2.设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,b∈R)的形式解决.
【解析】1.选C.因为复数z1=a+2i,z2=2+2bi,且z1=z2,则实数a=2,2b=2,
即a=2,b=1.
2.设a是原方程的实数根,
即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,
所以a2+a+3m=0且2a+1=0,
所以a=
且
+3m=0,
所以m=
.
所以m=
,方程的实数根为x=
.
【类题通法】
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.
(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.
【定向训练】
已知θ为三角形的内角,复数z1=sin
2θ-icos
θ,z2=cos
θ+i
sin
θ,若z1=z2,则θ=________.?
【解析】依题意,得
,
即
,显然cos
θ≠0,
所以
,
又因为θ为三角形的内角,所以θ=
.
答案:
【补偿训练】
求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值,其中x∈R,y∈R.
【解析】由复数相等的充要条件可知
解得
【课堂小结】
课堂素养达标
1.若集合A={-1,0,1,i},i是虚数单位,则
( )
A.i?A
B.i2∈A
C.1+i∈A
D.2i∈A
【解析】选B.由于集合A={-1,0,1,i},i是虚数单位,
则i∈A,i2=-1∈A,1+i?A,2i?A.
2.复数z=2-i的实部与虚部分别为
( )
A.2 1
B.2 -1
C.2 i
D.2 -i
【解析】选B.复数z=2-i=2+(-i)的实部为2,虚部为-1.
3.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,则
( )
A.C=R∪I
B.R∪I={0}
C.R=C∩I
D.R∩I=
?
【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.
所以R∩I=?.
4.如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x=________,y=________.?
【解析】由复数相等可知
所以
答案:
1(共35张PPT)
10.1.2 复数的几何意义
新课程标准
素养风向标
了解复数的代数表示及其几何意义,会用复平面内的点和平面向量来表示复数.
1.通过复数的几何意义领会数形结合的思想.(直观想象、数学抽象)
2.通过构造平面向量将复数转化为图形解决问题.(数学建模)
3.利用复数的几何意义计算复数的模,明确轨迹的形状.(逻辑推理)
基础预习初探
1.回顾平面直角坐标系与点的坐标
(1)在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点Z(a,b)对应的向量
=________,对应的复数z=________.?
(2)在复平面内,复数z=a+bi,a,b∈R,对应的点Z的坐标为________,对应的向量
=________.?
提示:(1)(a,b) a+bi
(2)(a,b) (a,b)
2.若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点位于复平面内的第三象限,则复数的实部与
虚部满足什么条件?
提示:当a<0,b<0时,复数对应的点位于复平面内的第三象限.
3.(1)设Z(a,b),则向量
的模如何用a,b表示?
提示:|
|=
.
(2)复数可以用向量表示,那么向量的模是复数的什么?
提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.
用符号语言描述:|z|=|
|=
.
4.复数z=a+bi与复数
=a-bi对应的点有什么关系?
提示:复数z=a+bi对应的点为(a,b),复数
=a-bi对应的点为(a,-b),两点关于
x轴对称.特别地,当b=0时,两点重合.
【概念生成】
1.复平面
如图,把建立了___________来表示复数的平面叫做复平面,x轴称为___轴,y轴
称为___轴.实轴上的点对应的都表示实数,除_____外,虚轴上的点对应的都表
示纯虚数.
直角坐标系
实
虚
原点
2.复数的几何意义
复数z=a+bi,既与点Z(a,b)可以建立一一对应关系,又可以与平面向量
建立一一对应关系,三者的关系如下:
3.复数的模(或绝对值)
一般地,向量
=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或
|a+bi|.
如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).
|z|=|a+bi|=________.
4.共轭复数
一般地,如果两个复数的实部_____,虚部互为_____数,则称这两个复数互为共
轭复数.复数z的共轭复数用
表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有
=a-bi.
相等
相反
核心互动探究
探究点一 复数与点的一一对应
【典例1】1.在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是
( )
A.1+2i
B.1+3i
C.3+3i
D.3+4i
2.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点:
(1)位于第四象限;(2)位于直线y=x上.
【思维导引】1.利用相等向量计算,也可以利用线段的中点坐标公式计算;
2.根据点的位置列方程或不等式组求解.
【解析】1.选B.方法一:在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),
B(-2,1),设线段AB的中点C为(x,y),则
,即(x-4,y-5)=(-2-x,1-y),
得x-4=-2-x,y-5=1-y,
解得x=1,y=3.
所以C(1,3)对应的复数为1+3i.
方法二:复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),则线段AB的中点
C(1,3),所以C(1,3)对应的复数为1+3i.
2.(1)由
?
所以-2(2)要使z对应的点在直线y=x上,需m2-8m+15=m2-5m-14,解得m=
.
【类题通法】
复数与点的对应关系及应用
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.
【定向训练】
1.当
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.复数z在复平面内对应的点为Z(5m-2,m-2).由
得5m-2>0,m-2<0.所以点Z位于第四象限.
2.实数m取什么值时,复数z=2m+(4-m2)i在复平面内对应的点在:
(1)虚轴上;
(2)第一、三象限;
(3)以原点为圆心,4为半径的圆上.
【解析】(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上,
则2m=0,即m=0.
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第一、三象限,
则2m(4-m2)>0,解得m<-2或0(3)若复数z对应的点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,
则
=4,即m4-4m2=0,解得m=0或m=±2.
探究点二 复数与向量的一一对应
【典例2】1.已知A(1,2),B(-3,5),则向量
对应的复数为
( )
A.1+2i
B.-3+5i
C.-2+7i
D.-4+3i
2.已知O为坐标原点,向量
对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对称点为A1,
将向量
平移,使其起点移动到A点,这时终点为A2.
(1)求向量
对应的复数;
(2)求点A2对应的复数.
【思维导引】1.求出向量
的坐标,再确定对应的复数.
2.根据复数与点以及复数与向量的对应关系求解.
【解析】1.选D.由于A(1,2),B(-3,5),
则向量
=(-4,3),所以
对应的复数为-4+3i.
2.(1)因为向量
对应的复数是4+3i,
所以点A对应的复数也是4+3i,
因此点A坐标为(4,3),
所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),
故向量
对应的复数是4-3i.
(2)依题意知
=
,而
=(4,-3),
设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),
所以x=8,y=0,即A2(8,0).
所以点A2对应的复数是8.
【类题通法】
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量
一一对
应的.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可
能改变.
提醒:向量是自由向量,其长度与方向与起点的位置无关,
=(xB-xA,yB-yA),
对应的复数的实部和虚部分别是向量的横坐标和纵坐标.
【定向训练】
在复平面内,O为原点,向量
对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对
称点为点B,则向量
对应的复数为
( )
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
【解析】选B.因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点
为B(-2,1),
所以
对应的复数为-2+i.
【补偿训练】
已知平面直角坐标系中O是原点,向量
,
对应的复数分别为2-3i,-3+2i,
那么向量
对应的复数是________.?
【解析】向量
,
对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数与复平面内的
点一一对应,可得向量
=(2,-3),
=(-3,2).
由向量减法的坐标运算可得向量
=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数
与复平面内的点一一对应,可得向量
对应的复数是5-5i.
答案:5-5i
探究点三 共轭复数与复数的模
【典例3】1.已知复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i互为共轭复数,则z=
( )
A.3+4i
B.3-5i
C.5i
D.-5i
2.已知z∈C,|z|=5,求z表示的点的轨迹.
【思维导引】1.两个共轭复数实部相等,虚部互为相反数,且二者的模相等.
2.设复数z对应向量
,其中O为原点,根据圆的定义判断轨迹形状.
【解析】1.选D.因为复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i互为共轭
复数,则|z|=|z1|=|z2|,得
=
=5,所以a=0,z2=5i,z=
=-5i.
2.设复数z对应向量
,其中O为原点,根据|z|=5,得|
|=5,由圆的定义,动
点Z的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,即复数z表示的点的轨迹是圆.
【类题通法】
关于复数的模的两个关注点
1.复数的模表示对应向量的长度,也就是对应的两点之间的距离.
2.注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用:
设z1=a+bi,z2=c+di,
=(a,b),
=(c,d),
则
.
【定向训练】
1.已知复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A,B,则向量|
|=________.?
【解析】复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3),
则向量
=(3,-4),所以|
|=5.
答案:5
2.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为____________.?
【解析】由3-4i=x+yi(x,y∈R),
得x=3,y=-4.
而|1-5i|=
|x-yi|=|3+4i|=
=5,
|y+2i|=|-4+2i|=
因为
<5<
,
所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.
答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|
【课堂小结】
课堂素养达标
1.在复平面内,复数z=4-5i对应的点的坐标为
( )
A.(4,5)
B.(4,-5)
C.(5,4)
D.(-5,4)
【解析】选B.复数z=4-5i对应的点的坐标为(4,-5).
2.在复平面内,复数z=sin
2+icos
2对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.因为
<2<π,所以sin
2>0,cos
2<0.
故z=sin
2+icos
2对应的点在第四象限.
3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为
( )
A.一个圆
B.线段
C.两点
D.两个圆
【解析】选A.因为|z|2-2|z|-3=0,所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3.故所求的轨迹为一个圆.
4.复平面内,点(0,-3)对应的复数为________.?
【解析】点(0,-3)对应的复数为-3i.
答案:-3i(共35张PPT)
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
新课程标准
素养风向标
1.能进行复数代数形式的加、减运算.
2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1.通过类比多项式加减运算得到复数的加减运算.(数学运算)
2.由向量的加减运算得到复数加减运算的几何意义.(直观想象)
3.利用复数的加减运算完成一些复数等式的证明.(逻辑推理)
基础预习初探
1.回顾向量的加法运算,联想复数的加法运算:
设向量
=(a,b),
=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则
+
=________,z1+z2=________.?
提示:(a+c,b+d) (a+c)+(b+d)i.
2.向量加法的几何意义是什么?由向量加法的几何意义能否得出复数加法的几
何意义?
提示:平行四边形法则,由复数与平面向量之间的对应关系,可以得到复数的加
法的几何意义.
3.回顾向量的减法运算,联想复数的减法运算
设向量
=(a,b),
=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,
则
-
=________,z1-z2=________.?
提示:(a-c,b-d) (a-c)+(b-d)i.
4.复数的减法运算与加法运算有什么联系?
提示:复数的减法运算与加法运算互为逆运算,可以由复数的加法运算得到减法运算法则,即z1-z2=z?z1=z+z2.
设复数a+bi减去复数c+di的差为x+yi,即x+yi=(a+bi)-(c+di),等价于(c+di)+(x+yi)=a+bi,通过相等复数解方程得x=a-c,y=b-d,于是直接可得复数的减法运算法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
5.如何推导计算复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)之间的距离公式?
提示:根据复数的几何意义,复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)分别对应复数
z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
所以|Z1Z2|=|
|=|
-
|=|z2-z1|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|
=
.
【概念生成】
1.复数的加法与减法运算
已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
(1)复数加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=
_____________.
(2)复数减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=
_____________.
复数的加(减)法运算就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),结
果仍然是一个复数.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
2.复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律.
(1)加法交换律:z1+z2=
_____
(2)加法结合律:(z1+z2)+z3=
__________
z2+z1
z1+(z2+z3)
3.复数加法与减法运算的几何意义
设z1=a+bi,z2=c+di对应向量
=(a,b),
=(c,d),(a,b,c,d∈R),其中,
与
不共线
加法
减法
运算法则
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1-z2=(a-c)+(b-d)i
几何意义
平行四边形法则
三角形法则
核心互动探究
探究点一 复数的加法与减法运算
【典例1】1.复数z1=-3+i,z2=1-i,则复数z=z1-z2在复平面内所对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.计算:(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3).
【思维导引】1.利用复数的加减法运算判断.
2.利用复数的加法、减法运算法则进行计算.
【解析】1.选B.因为z1=-3+i,z2=1-i,所以复数z=z1-z2=-3+i-(1-i)=-4+2i,故在复平面内对应的点的坐标为(-4,2),位于第二象限.
2.(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3)
=[(1+2i)-(2-3i)]+[(4-3i)-(i-3)]
=(-1+5i)+(7-4i)=6+i.
【类题通法】
复数加减运算的注意事项
1.复数的加法与减法运算法则是分别对复数的实部和虚部相加减.
2.分清两个复数的实部和虚部是进行加减运算的关键,多个复数的加减混合运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算.
提醒:复数的减法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.已知复数z1=1+5i,z2=2-i,则z1+z2的共轭复数为______.?
【解析】由复数z1=1+5i,z2=2-i,得z1+z2=3+4i,
则z1+z2的共轭复数为3-4i.
答案:3-4i
2.计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2
018-2
019i)+(2
019-2
020i).
【解题指南】将复数的实部与虚部分别相加减,呈现规律,计算结果.
【解析】方法一:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2
018-2
019i)+
(2
019-2
020i)
=(1-2+3-4+…-2
018+2
019)+(-2+3-4+5-…+2
019-2
020)i=(-1
009+
2
019)+(1
009-2
020)i
=1
010-1
011i.
方法二:因为(1-2i)-(2-3i)=-1+i,
(3-4i)-(4-5i)=-1+i,…
(2
017-2
018i)-(2
018-2
019i)=-1+i,
所以将以上1
009个等式累加得(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2
018-
2
019i)=-1
009+1
009i.
所以原式=-1
009+1
009i+(2
019-2
020i)=1
010-1
011i.
探究点二 复数加减运算的几何意义
【典例2】如图,平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示复数0,3+2i,-2+4i,分
别求:
(1)向量
表示的复数以及向量
表示的复数.
(2)向量
表示的复数以及
表示的复数.
(3)求点B的坐标以及向量
的长度.
【思维导引】利用复数与平面向量的一一对应关系,结合线性运算,转化为复
数进行加减运算.
【解析】(1)因为
,向量
表示的复数为3+2i,所以
表示的复数
为-3-2i.
因为
,所以
表示的复数为-3-2i.
(2)因为
,
所以
表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i,
所以
表示的复数为-5+2i.
又
=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
所以
表示的复数为1+6i.
(3)由上述可得,
表示的复数为1+6i.
所以点B的坐标为(1,6),向量
的长度为|
|=
.
【类题通法】
复数的加减法运算的几何意义
(1)运算技巧
①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理;
②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.
(2)常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:
①为平行四边形;
②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;
③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;
④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
【定向训练】
在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求
,
,
对应的复数.
(2)判断△ABC的形状.
(3)求△ABC的面积.
【解题指南】(1)根据复数减法的几何意义求解.(2)求出三角形的边长,根据
勾股定理判断.(3)用三角形的面积公式求解.
【解析】(1)
对应的复数为(2+i)-1=1+i.
对应的复数为(-1+2i)-(2+i)=-3+i.
对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i.
(2)由(1)可得:|
|=
,|
|=
,|
|=2
,
所以|
|2+|
|2=|
|2,所以△ABC为直角三角形.
(3)由(2)可知,三角形ABC为直角三角形,∠A为直角,
所以S=
|
||
|=
×
×2
=2.
探究点三 两点间的距离与轨迹问题
【典例3】1.若复数z满足|z-i|=1,则复数z对应的点的轨迹为
( )
A.点
B.射线
C.直线
D.圆
2.若复数z满足|z-i|=1,求|z-2-i|的取值范围.
【思维导引】1.利用复平面内两点之间的距离及其几何意义判断.
2.利用复数减法以及复数的模的几何意义转化为两点间的距离问题求取值范围.
【解析】1.选D.由|z-i|=1,得复数z对应的动点Z与复数z1=i对应的定点Z1(0,1)之间的距离为1,由圆的定义知,复数z对应的点的轨迹为圆,其中圆心为Z1(0,1),半径为1.
2.由|z-i|=1,得复数z对应的动点Z的
轨迹是圆心为Z1(0,1),半径为1的圆,如图.
|z-2-i|的几何意义是复数z对应的动点Z到
复数z2=2+i对应的定点Z2(2,1)之间的距离,
由于|Z1Z2|=2,r=1,所以2-r≤|z-2-i|≤2+r,
即|z-2-i|的取值范围是[1,3].
【类题通法】
1.复数及其模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=
,实际上就是指复平面上的点Z到原
点O的距离;
|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.
(2)复数z、复平面上的点Z及向量
相互联系,即
z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?
.
2.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹
(1)|z-z0|=r(r是正的常数)?轨迹是一个圆.
(2)|z-z1|=|z-z2|(z1,z2是确定的复数)?轨迹是一条直线.
【定向训练】
1.如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6,那么|z+1+i|的最小值是
( )
A.1
B.
C.2
D.
【解题指南】先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所对应的轨迹,再依据|z+1+i|
的几何意义求最小值.
【解析】选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6表示为点Z到点A(0,-3)与到点B(0,3)的距离之和为6,所以点Z的轨迹为线段AB,而|z+i+1|表示为点Z到点(-1,-1)的距离.数形结合,得最小距离为1.
2.若复数z满足|z+
+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【解题指南】明确满足条件|z+
+i|≤1的复数z的几何意义为:圆心为
(-
,-1),半径为1的圆内区域,包括边界,|z|则表示圆面上一点到原点的距
离.
【解析】如图所示:|
|=
=2,所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.已知复数z1=2-i,z2=1+2i,则z1+z2=
( )
A.3+i
B.3-i
C.1+3i
D.1-3i
【解析】选A.由z1=2-i,z2=1+2i,得z1+z2=2-i+1+2i=3+i.
2.已知z1=3-i,z2=2+3i,则z1-z2对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.由z1=3-i,z2=2+3i,得z1-z2=(3-i)-(2+3i)=(3-2)+(-1-3)i=1-4i,对应的点在第四象限.
3.复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.复平面内复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为
|z2-z1|=
=5.
4.已知z+(3-2i)=2,则复数z的实部和虚部的差为________.?
【解析】已知z+(3-2i)=2,则复数z=2-(3-2i)=-1+2i,
则z的实部和虚部的差为-3.
答案:-3
