中小学教育资源及组卷应用平台
5.1.2
垂线
同步练习
一、选择题
1．（2020?河北1/26）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
2．如图所示，用量角器度量一些角的度数，下列结论中错误的是
A．
B．
C．
D．与互补
3．下列各组线中一定互相垂直的是
A．对顶角的平分线
B．同位角的平分线
C．内错角的平分线
D．邻补角的平分线
4．下列说法：①太阳光线给我们以射线的形象；②将一根细木条固定在墙上至少需要2个钉子；③工人师傅常用角尺来画工件边缘的垂线；④给你一张直角三角形纸片，可以把它折成一个长方形，其中说法正确的序号是
A．②③④
B．①②④
C．①②③
D．①②③④
5．如图，
直线，及木条在同一平面内，
将木条绕点旋转到与直线垂直时，
其最小旋转角为
A
．
B
．
C
．
D
．
6．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
7．如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是
A．
B．
C．
D．
8．下列说法中，正确的是
A．垂线最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同角的补角（余角）相等
D．两点之间直线最短
9．（2020春?揭阳期中）若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为
A．
B．
C．或
D．至少
10．如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指
A．线段的长度
B．线段的长度
C．线段的长度
D．线段的长度
11．已知点在直线外，点、、均在直线上，，，，则点到直线的距离
A．等于
B．等于
C．等于
D．不大于
12．如图所示，，于，则下列结论中，正确的个数为
①；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点到的距离；⑥线段是点到的距离；⑦．
A．3个
B．4个
C．7个
D．0个
二、填空题
13．（2020春?赣州期中）已知线段与直线互相垂直，垂足为点，且，，则线段的长为
．
14．（2020春?郁南县期末）如图，，，点、、在同一直线上，则
．
15．与的两边互相垂直，且，则的度数为
．
16．（2020?吉林11/26）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是
．
17．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是
．
18．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是
，理由是
．
19．如图，，点、在上，且，，，则点到的距离是
．
20．已知：直线与直线交于点，，
（1）如图，若，则
．
（2）如图，若平分，则
．
三、解答题
21．如图，点，点分别代表两个村庄，直线代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄居住的老年人较多，计划建一个离村庄最近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是
；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄和村庄的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是
．
22．（2020春?赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
23．如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，．
（1）若，垂足为点，则的度数为
，的度数为 ；在图中，与相等的角有 ；
（2）若，求的度数．
24．已知直线和相交于点，，平分，，求的度数．
25．如图，直线，，相交于点，．
（1）已知，求的度数；
（2）如果是的平分线，那么是的平分线吗？说明理由．
26．（1）如图①，是内的一条射线，是的平分线，是的平分线，，求的度数；
（2）如图②，点、、在一条直线上，是的平分线，是的平分线，请说明．
5.1.2
垂线
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020?河北1/26）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（
）
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
【解析】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，
所以作已知直线的垂线，可作无数条．
故选：D．
2．如图所示，用量角器度量一些角的度数，下列结论中错误的是
A．
B．
C．
D．与互补
【解析】解：观察图象可知，，，与互补，
故A，C，D正确，
故选：B．
3．下列各组线中一定互相垂直的是
A．对顶角的平分线
B．同位角的平分线
C．内错角的平分线
D．邻补角的平分线
【解析】解：A、对顶角的平分线在同一直线上，故本选项错误；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，故本选项错误；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，故本选项错误；
D、邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确．
故选：D．
4．下列说法：①太阳光线给我们以射线的形象；②将一根细木条固定在墙上至少需要2个钉子；③工人师傅常用角尺来画工件边缘的垂线；④给你一张直角三角形纸片，可以把它折成一个长方形，其中说法正确的序号是
A．②③④
B．①②④
C．①②③
D．①②③④
【解析】解：太阳相当于端点，太阳光都是从太阳发出来的，可以看做很多射线，故①符合题意，
根据“两点确定一条直线”可得，②是正确的，符合题意，
角尺的两条边是互相垂直的，用它可以画互相垂直的直线，因此③符合题意，
根据直角三角形的性质和中位线定理，可得④符合题意，
故正确的有①②③④，
故选：D．
5．如图，
直线，及木条在同一平面内，
将木条绕点旋转到与直线垂直时，
其最小旋转角为
A
．
B
．
C
．
D
．
【解析】解：
如图所示：
当木条绕点旋转到与直线垂直时，
，
则，
故选：B．
6．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【解析】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
7．如图，河道的一侧有、两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向、两村，下列四种方案中最节省材料的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
8．下列说法中，正确的是
A．垂线最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同角的补角（余角）相等
D．两点之间直线最短
【解析】解：A、垂线段最短，故错误；
B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
C、正确；
D、两点之间线段最短，故错误．
故选：C．
9．（2020春?揭阳期中）若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为
A．
B．
C．或
D．至少
【解析】解：从点作直线的垂线，垂足为点，当、、三点共线时，线段的长为，其它情况下大于，
当、在直线的两侧时，，
故选：D．
10．如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指
A．线段的长度
B．线段的长度
C．线段的长度
D．线段的长度
【解析】解：于，
点到直线的距离是指线段的长度．
故选：D．
11．已知点在直线外，点、、均在直线上，，，，则点到直线的距离
A．等于
B．等于
C．等于
D．不大于
【解析】解：当时，是点到直线的距离，即点到直线的距离，
当不垂直于时，点到直线的距离小于的长，即点到直线的距离小于，
综上所述：点到直线的距离不大于，
故选：D．
12．如图所示，，于，则下列结论中，正确的个数为
①；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点到的距离；⑥线段是点到的距离；⑦．
A．3个
B．4个
C．7个
D．0个
【解析】解：①正确；
，与不互相垂直，所以②错误；
点到的垂线段应是线段，所以③错误；
点到的距离是线段的长度，所以④正确；
根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．”可知⑤正确；
线段的长度是点到的距离，所以⑥错误；
不一定，所以⑦错误．
故选：A．
二、填空题
13．（2020春?赣州期中）已知线段与直线互相垂直，垂足为点，且，，则线段的长为 或 ．
【解析】解：当点在线段内时，，
当点在线段外时，．
故答案为：
或．
14．（2020春?郁南县期末）如图，，，点、、在同一直线上，则 105 ．
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：105．
15．
与的两边互相垂直，且，则的度数为 或 ．
【解析】解：与的两边互相垂直，
或，
又，
或，
故答案是：或．
16．（2020?吉林11/26）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处．他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．
【解析】解：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
17．如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是 垂线段最短 ．
【解析】解：如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短
18．如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是 ，理由是 ．
【解析】解：
，
由垂线段最短可知是最短的，
故答案为：，垂线段最短．
19．如图，，点、在上，且，，，则点到的距离是 ．
【解析】解：，点、在上，，
点到的距离是，
故答案为：．
20．已知：直线与直线交于点，，
（1）如图，若，则 ．
（2）如图，若平分，则 ．
【解析】解：（1）直线与直线相交，
．
，
，
；
（2）直线与直线相交，
，，
平分，
，
．
故答案为：；．
三、解答题
21．如图，点，点分别代表两个村庄，直线代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄居住的老年人较多，计划建一个离村庄最近的车站，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是
；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄和村庄的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置（用点表示），依据是
．
【解析】解：（1）如图，点即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短
（2）如图，点即为所示．依据是两点之间线段最短；
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．
22．（2020春?赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于，两点，直线和分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【解析】解：如图所示
（1）沿走，两点之间线段最短；
（2）沿走，垂线段最短；
（3）沿走，垂线段最短．
23．如图，是直线上一点，是一条射线，平分，在内，．
（1）若，垂足为点，则的度数为 30 ，的度数为 ；在图中，与相等的角有 ；
（2）若，求的度数．
【解析】解：（1），
，
，
；
，
平分，
；
，
；
故答案为：30，30，；
（2）平分，
．
，
．
．
，
．
24．已知直线和相交于点，，平分，，求的度数．
【解析】解：，
，
又平分
则．
25．如图，直线，，相交于点，．
（1）已知，求的度数；
（2）如果是的平分线，那么是的平分线吗？说明理由．
【解析】解：（1）．
，
，
，
（2）是的平分线，
理由：
是的平分线，
，
，
，
即：平分．
26．（1）如图①，是内的一条射线，是的平分线，是的平分线，，求的度数；
（2）如图②，点、、在一条直线上，是的平分线，是的平分线，请说明．
【解析】解：（1）是的平分线
同理，
，
（2）由（1）可知
．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
人教版
七年级数学下册
5.1.2
垂线
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点）
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用
解决问题.
（重点、难点）
学习目标
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
活动：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
垂线的概念
一
当角α为90度时，我们就称a与b互相垂直
问题
如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC
等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.垂直用符号
“⊥”来表示，读作“垂直于”.
如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
O
A
B
C
D
3.交点O叫做垂足.
4.垂直是相交的特殊情况.
一、垂线的概念
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
二、垂线的符号语言
符号语言：
②性质：∵
AB⊥CD
,（已知）
∴
∠AOD=90°
.（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90°.
例1：(1)如图1，若直线m、n相交于点
O
,∠1＝90°,
；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么
∠BOD
=______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比
为1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为
.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
问题:
(1)画已知直线
l
的垂线能画几条?
(2)过直线
l
上的一点
A
画
l
的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线
l
外的一点
B
画
l
的垂线,这样的垂线能
画几条?
垂线的画法及基本事实
二
A
.B
l
.
问题：像这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线
l
,作
l
的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线
l
和
l
上的一点A
,作
l
的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线
l
和l外的一点A
,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
注意：
总结归纳
C
D
E
l
垂线段及点到直线的距离
三
1.线段AB,
AC,
AD
,
AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从A点向已知直线
l
画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
B
A
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短
线段
AD
的长度叫做点
A
到直线
l
的距离.
特别规定：
D
l
A
总结归纳
例2
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是(
)
A.
有两个角相等
B.有两对角相等
C.
有三个角相等
D.有四对邻补角
C
2.如图,
AB⊥CD,
∠ACB=90°
,线段AC、BC、CD中最短的是
(
)
A.
AC
B.
BC
C.
CD
D.
不能确定
D
A
B
C
C
当堂练习
3.过点P
向线段AB
所在直线引垂线，正确的是（
）
A
B
C
D
C
5.如图，已知直线AB、CD都经过O
点，OE为射线，若∠1＝35°,
∠2＝
55°，则OE与AB的位置关系是
.
垂直
D
C
A
B
O
E
1
2
4.下列说法正确的是（
）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离
B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
A
B
C
D
D
6.已知：如图,
AB⊥CD
,垂足为
O
,
EF
为过点
O
的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是（
）
A.相等
B.互余
C.互补
D.互为对顶角
A
B
C
D
E
F
O
1
2
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
1.垂线的定义
2.垂线的画法
3.垂线的性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移
；四、画.
4.点到直线的距离
(2)垂线段最短
课堂小结
作
业
A层作业：数学书第5页练习，第8页3、4题。
B层作业：数学书第8页第5、6
题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
