湖北省襄阳市2012届高三上学期统一调研考试数学（理）试题

湖北省襄阳市2012届高三12月统一调研考试（数学理）WORD版
本试卷共4页，全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。非网评考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡密封线内，将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，监考人员将答题卡和机读卡一并收回，按小号在上，大号在下的顺序分别封装。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若复数z满足（i是虚数单位），则z= （ ）
A． B． C． D．
2．已知全集U=R，集合，那么集合= （ ）
A． B． C． D．
3．如果命题“”是假命题，则正确的是 （ ）
A．p、q均为真命题 B．p、q中至少有一个为真命题
C．p、q均为假命题 D．p、q中至多有一个为真命题
4．是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；③；④其中错误的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．0个
5．等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，当变化时，若是一个定值，那么下列各数中也为定值的是 （ ）
A．S13 B．S15 C．S7 D．S8
6．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：则下列说法中不正确的是 （ ）
A．由样本数据得到回归方程为必过样本点的中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数，则变量y和x之间具有线性相关关系
7．若的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，且，则a+b的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
8．图一是某校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高在内的人数）。图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件及输出的s值分别是 （ ）
A． B． C． D．
9．定义运算，则函数的图像大致为 （ ）
10．已知我们把使乘积为整数的数n叫做“成功数”，则在区间（1，2011）内的所有成功数的和为 （ ）
A．1024 B．2003 C．2026 D．2048
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卷相应位置上。）
11．的展开式中的系数是 。
12．设，若，那么
的最大值为 。
13．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数
图象下方的点构成的区域。向D中随机投一点，则该点落入E中
的概率为 。
14．函数的部分图象如右图所示，设P是图象
的最高点，A、B是图象与x轴的交点，则= 。
15．已知函数是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，,则函数在区间[0，6]上的零点个数是 。
三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16．（本大题共12分）已知函数，其中
（1）若的周期为，求当时的值域；
（2）若的图像的一条对称轴为的值；
（3）对任意，函数图像与有且仅有一个交点，求的单调递增区间。
17．（本大题满分12分）
某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表：
已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元。用表示经销一辆汽车的利润。
（1）求上表中a、b的值；
（2）若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分3期付款”的概率P（A）；
（3）求的分布列及数学期望
18．（本大题满分12分）
如图，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA、OB分别相交于点M、N，若
（1）利用，把y用x表示出来（即求的解析式；）
（2）设数列的首项，其前n项和满足：，求数列通项公式。
19．（本大题满分12分）
已知函数
（1）求x为何值时，上取得最大值；
（2）设，若是单调递增函数，求a的取值范围。
20．（本大题满分13分）
已知等比数列的首项，数列前n项和记为，前n项积记为
（1）证明：
（2）判断的大小，并求n为何值时，取得最大值；
（3）证明中的任意想念预报三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为证明：数列为等比数列。 （参考数据）
21．（本大题满分14分）
已知函数且导数
（1）试用含有a的式子表示b，并求的单调区间；
（2）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（共中）使得点M处的切线，则称AB存在“伴侣切线”，特别地，当时，又称AB存在“中值伴侣切线”。试问：在函数上是否存在两点使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由。
17．（1）解：由得：a = 20
∵40 + 20 + a + 10 + b = 100 ∴b = 10 …………2分
（2）解：“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率：
…………6分
（3）解：记分期付款的期数为，依题意得
9分
∵的可能取值为：1，1．5，2
∴的分布列为
∴的数学期望（万元）． 12分
19．（1）解： 3分
当2 < x < 4时，，当x > 4时，
∴f （x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，故f （x）在[3，7]的最大值在端点处取得
∵
∴f （3） < f （7），即当x = 7时f （x）取最大值． 6分
（2）解：∵F （x）是单调递增函数，∴恒成立
又∵
20．（1）证：，当n = 1时，等号成立
，当n = 2时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1． 4分
（2）解：
∵，∴当n≤10时，|Tn + 1| > |Tn|，当n≥10时，|Tn + 1| < |Tn|
故|Tn| max = |T11|
又T10 < 0，，T11 < 0，T9 > 0，T12 > 0，∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者
∵，∴T12 > T9
因此当n = 12时，Tn最大． 8分
（3）证：∵，∴| an |随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负
①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差 10分
21．（1）解：f （x）的定义域为（0，+∞），，
由得：b = a－1 2分
∴
当时，，由x > 0得：（ax + 1）（x－1） < 0
又a > 0，∴0 < x < 1，即f （x）在（0，1）上单调递增 4分
当时，，由x > 0得：（ax + 1）（x－1） > 0
又a > 0，x > 1，即f （x）在（1，+∞）上单调递减
∴f （x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 6分
（2）证：在函数f （x）图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”
假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0 < x1 < x2，则
8分
在函数图象处的切线斜率
∴
化简得：，即 11分
令，则t > 1，上式化为：，即
令， 则
由t > 1知，∴g （t）在（1，+∞）上单调递增，g （t） > g （1） = 2，
这表明在（1，+∞）内不存在t，使得
∴在函数f （x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”． 14分
1 1.5 2
P 0.4 0.4 0.2