课题：6.2.3
向量的数乘运算（第二课时）
学习目标：
通过学习向量的相关运算，在图形中体会并学会向量共线定理，并知道其几何意义，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：向量共线的判定定理
新课学习：
对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线；反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的μ倍，即||=μ||，那么当与同方向时，有=μ；当与反方向时，有=-μ.
向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使
即：向量与共线
作用：（1）证明或判断两个向量是否平行或共线
（2）证明：三个点是否共线（转化为两个向量是否共线）
典型例题：
例1、如图，已知任意两个非零向量，，试作=+，=+2，=+3.
猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想
例2、已知，是两个不共线的向量，向量-t，-共线，求实数t的值
针对练习：
1、判断下列各小题中的向量与是否共线：
（1）=-2，=2；
（2）=-，=
-2+2.
2、已知，是两个不共线的向量，=-2，=2+k.若与是共线向量，求实数k的值
课后作业：
1、判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，不共线．
2、如图，已知，．试判断与是否共线．
3、设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值。
001
002课题：6.2.2
向量的减法运算（第02周
第04课时
总009课时）
备课时间：2020年02月10日
主备人：苏永明
检查人：于克存
上课时间：
年
月
日
学习目标：
通过学习向量的相关运算，在图形中体会并学会向量的减法运算，并知道其几何意义，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：向量减法的三角形法则
新课学习：
1、向量减法的定义：求两个向量_____的运算，叫做向量的减法。两个向量的差向量仍然是个向量。
2、向量减法的方法：
（1）利用相反向量：
－＝＋（－）
已知向量、，在平面内任取一点，作＝，＝－，
则向量＝＝－
（2）三角形法则：
已知向量不共线，在平面内任取一点，作，，如图，即。当向量起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是
3、共线向量的减法
总结：（1）当向量与不共线时，，，－的方向______，且|－|___||－||；
（2）当向量与共线时：
①当与反向时，则－与______的方向相同，且|－|＝__________，
②当与同向时，若||>||，则－的方向与___相同，且|－|＝_________；
若||<||，则－的方向与___相同，且|－|＝_________；
典型例题：
例1、已知向量、、、，求作向量－，－
例2、在□中，已知，，你能用表示向量吗？
针对练习：
1、已知向量、，求作向量
（1）
（2）
（3）
（4）
2、在平行四边形中，已知，，用表示向量
3、化简：
（1）________；（2）__________；（3）_________
（4）________；（5）__________；（6）_________
（7）；（8）=_________
（8）=___________
4、已知为平行四边形内一点，，求
(用表示)
课后作业
1、如果表示“向东走10
km”，表示“向西走5
km”，表示“向北走10
km”，表示“向南走5
km”，那么下列向量具有什么意义？
（1）+；______________________
（2）+；______________________
（3）+；______________________
（4）+；______________________
（5）++；__________________
（6）++；______________________
2、一架飞机向北飞行300
km，然后改变方向向西飞行400
km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成
3、一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为15
km/h，同时河水流速的大小为km/h.求船实际航行的速度的大小与方向
4、化简：
（1）++=________
（2）（+）++=________
（3）+++=________
（4）-+-=________
（5）-________
（6）________
（7）=________
5、若向量，，满足++=，那么向量，，的有向线段能构成三角形吗？
6、已知，为两个非零向量，当向量，成什么位置关系时，满足|+|=|-|？
7、填空：
（1）若，满足||=2，||=3，则|+|的最大值为_________，最小值为________
（2）当非零向量，满足___________时，+平分与的夹角.
8、飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400
km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400
km到达丙地，丙地在甲地的___________方向，丙地距甲地_______________
9、（1）如下图，在△ABC中，计算++=_______
（2）如下图，在四边形ABCD中，计算+++=_______
（3）如下图，在n边形A1A2A3…An中，+++…++=______
033
034课题：6.2.1
向量的加法运算（第02周
第03课时
总007课时）
备课时间：2020年02月10日
主备人：苏永明
检查人：于克存
上课时间：
年
月
日
学习目标：
通过学习向量的相关运算，在图形中体会并学会向量的加法运算，并知道其几何意义，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则
新课学习：
1、向量加法的定义：求两个向量_____的运算，叫做向量的加法。两个向量的和向量仍然是向量。
2、向量加法的方法：
（1）三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
已知非零向量、，在平面内任取一点，作＝，＝，则向量叫做与的和，记作＋，即＋。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
（2）平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量、，以，为邻边作□OACB，则以O为起点的向量（OC是□OACB的对角线）就是向量与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
规定：+＝+＝
说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
3、共线向量的加法
总结：（1）当向量与不共线时，，，+的方向______，且|+|___||+||；
（2）当向量与共线时：
①当与同向时，则+、、的方向
_________，且|+|____||+||，
②当与反向时，若||>||，则+的方向与_________相同，且|+|＝_________；
若||<||，则+的方向与_________相同，且|+|＝_________；
4、向量加法所满足的运算律
（1）交换律：_____________
（2）结合律：_____________________
典型例题：
例、长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为6km/h，同时江水的
速度为向东6
km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间
的夹角表示）
针对练习：
1、如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量+
2、当向量、满足什么条件时，|+|=||-||（或||-||）?
3、根据图示填空：
（1）+=______；
（2）+=______；
（3）++=________；
（4）++=_______.
4、如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）
（1）
（
）
（2）（
）
（3）（
）
5、有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河。小船航行速度的大小为15
km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5
km/h，求小船实际航行速度的大小与方向。
课后作业：
1、若＝，则四边形ABCD是（
）
A、梯形
B、等腰梯形
C、平行四边形
D、菱形
2、下列命题正确的是（
）
A、单位向量都相等
B、长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C、若，满足||>||且与同向，则>
D、对于任意向量、,必有|+|≤||+||
3、以下四个命题中不正确的是（
）
A、若为任意非零向量，则∥
B、|
+|＝||+||
C、＝，则||＝||，反之不成立
D、任一非零向量的方向都是唯一的
4、设（+）+（+）＝,≠,则在下列结论中，正确的有（
）
①∥;
②+=;
③+=;
④｜+｜＜｜｜+｜｜
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③
5、（1）化简
（2）（＋）＋＋＝_________
6、设表示“向东走3
km”，表示“向北走3
km”，则+表示_____________.
7、在四边形ABCD中，根据图示用一个向量填空：
+＝
，
+＝
，
+＝
，
+
++＝
029
030课题：6.2.4
向量的数量积（第一课时）
学习目标：
通过具体实例，记住平面向量数量积及其相关性质，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：平面向量的数量积的定义
新课学习：
1、两个非零向量的夹角
已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则____________叫做向量与的夹角，其范围是_____________
当θ
=
0时,
与______；当θ
=
π时，与______；当θ
=时，与______，记作_____
2、平面向量数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量________________叫与的数量积(或内积)，记作，即有＝___________________，（0≤θ≤π）。
规定：与任何向量的数量积为____
（1）当＝0时，__________；（2）
当为锐角时，__________；（3）当为直角时,
__________；（4）当为钝角时，__________；（5）当＝180时，__________；
注意：（1）两个向量的数量积是一个_____，不是______，符号由________的符号所决定
（2）两个向量的数量积称为内积，写成，书写时要注意符号“”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替
3、投影：
如图（1），设，是两个非零向量，=，
=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终
点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，
得到，我们称上述变换为向量向向量_________，
叫做向量在向量上________________.
如图（2），我们可以在平面内任取一点O，作=，=.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量在向量上的____________。
如图（2），设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，对于任意的，都有
=___________.
4、平面向量数量积的性质：
设、是非零向量，它们的夹角是θ，
是与方向相同的单位向量，则：
（1）=__________=__________
（2）______________
（3）当与同向时，＝___________；当与反向时，＝___________.
特别的＝_____或||＝________
（4）││
____||||
（5）________________
例题与练习：
例1、已知||=5，||=4，与的夹角，求
例2、已知||=12，||=9，=，求与的夹角θ
练1、已知||=8，||=6，和的夹角是60°，求·.
001
002课题：6.2.4
向量的数量积（第二课时）
学习目标：
通过具体实例，记住平面向量数量积相关运算的性质，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：平面向量的数量积的运算律
新课学习：
1、平面向量数量积的运算律：
（1）交换律：＝____________
（2）数乘结合律：()＝____________＝____________
（3）分配律：()＝____________________
2、重要结论：
（1）对任意向量，，=
_______________；（+）（-）=
_______________
（2）对任意向量，，＝_________________＝____________________________
典型例题：
例1、已知||=6，||=4，与的夹角为60°，求(+2)·(-3)
例2、已知|=3，=4，
且与不共线，当k为何值时，向量＋k与－k互相垂直？
针对练习：
1、已知△ABC中，，，当?<0或?=0时，试判断△ABC的形状.
2、已知||=6，为单位向量，当向量，的夹角分别等于45°，90°，135°时，求向量在向量上的投影向量.
3、已知||=1，||=2，||=3，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：
（1）(·)；（2）(·).
4、（1）已知|=3，||=4，且与的夹角θ=150°，求·，(+)2，|+|；
（2）已知|=2，||=5，且·=-3，求|+|，|-|.
5、已知||=，||=1，且-与+2互相垂直，求·.
6、已知||=4，||=3，且(2-3)·(2+)=61，求与的夹角θ.
课后检测：
1、下列说法中，正确的有_______________________________________
①；
②；
③＝；
④；
⑤若，则对任一非零，有；
⑥＝0，则与至少有一个为；
⑦对任意向量，，都有；
⑧与是两个单位向量，则
2、已知向量与向量的夹角为,,,分别在下列条件下求:
（1）；
（2）；
（3）∥；
（4）
.
3、根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：
（1）；
（2）；
（3），且.
4、在△ABC中，，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N.设，，用，分别表示向量，，，，，，.
5、如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证：.
6、已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（
）.
（A）
（B）
（C）
（D）
001
002课题：6.2.3
向量的数乘运算
学习目标：
通过学习向量的相关运算，在图形中体会并学会向量的数乘运算，并知道其几何意义，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：向量的数乘运算
新课学习：
已知非零向量，求作和．
1、实数与向量的积的定义：
一般地，求实数与向量的____的运算，叫做向量的数乘，记作：，它仍然是一个向量，它的长度与方向规定如下：
（1）的大小：＝________；
（2）的方向：当时，与_______且方向________；
当时，与_______且方向________；
当
时：＝____
2、实数与向量的积的运算律：
（1）___________________
（2）＝_______________
（3）＝________________
典型例题：
例1、计算
（1）
（2）
（3）
例2、如图，□的两条对角线相交于点，且，，用，表示、、和
针对练习：
1、点C在线段AB上，且，则=_______，=_______
2、把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：
（1）=3，=6；
（2）=8，=-14；
（3）=，=；
（4）=，=.
3、化简：
（1）5(2-2)+4(2-3)
（2）6(-3+)-4(-+-)
（3）[(3-2)+5-(6-9)]
（4）(x-y)(+)-(x-y)(-)
（5）(-2)-(3-2)-(-)
（6）(x+y)-
(x-y)
4、如图，O是平行四边形ABCD外一点，用，，表示
001
002
