3.1归纳与类比
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文档简介
3.1归纳与类比
教材依据
“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：
1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理
教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学
教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等
教学过程：
1.创设情景：
1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”
思考：整个过程对你有什么启发？
教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……
2.探求研究:
探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）
探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？
探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥 4 4 6
四棱锥 5 5 8
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
正八面体 8 6 12
五棱柱 7 10 15
截角正方体 7 10 15
尖顶塔 9 9 16
教师指导，合作交流，归纳：，，，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解
结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析
例1：在数列中，猜想这个数列的通项公式？
解析：先由学生计算：
归纳：
说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.
例2、（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长；
任务二：归纳、猜想一般性结论。
边形 3 4 6 8
最小周长 4．56 4 3．72 3．64
推广 观察 归纳
计算 猜想
5.分层练习：
1．由“铜、铁、铝、金等金属能导电”，你能归纳出什么结论？
2．观察下列式子，归纳结论：
，，
………………
问：
3．右图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
点；
4．已知数列中，，试归纳这个数列的通项公式。
答案：1．金属导电;2．;
3． ; 4．.
6.课时小结（师生共同）
1什么是归纳推理
2归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。
布置作业：
（补充）：
拓展延伸：
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；
2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：
⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转的行星； ⑵有大气层,在一年中也有季节变更；
⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等；
科学家猜想;火星上也可能有生命存在。
说明：以上两练习使用的是类比推理。目的是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”的教学作了铺垫。
教后反思：
⑴要实现数学新知识的建构学习，教师要创设适当的情境，情境应符合实际.包括生活场景的实际，数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。
⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了以学生为本的现代教育观；同时练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教，促进全体的参与。
附：板书设计
面积一定时，圆的周长最小
n边形面积一定时(为1)，正n边 形周长最小
已有知识矩形面积一定时正方形周长最小
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
归纳推理
创设情景 概念讲解 分层练习
探求研究 例1 小结，作业
例2 思考交流
教材依据
“归纳推理”是北京师范大学出版社出版的普通中学课程标准实验教科书数学（选修1－2）第三章第一节的内容。
教学目标：
1.知识与技能目标：理解归纳推理的原理，并能运用解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过自主、合作与探究实现“一切以学生为中心”的理念。
3.情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
教学重点：归纳推理的原理
教学难点：归纳推理的具体应用。
教法学法：自主、合作探究教学
教学准备：多媒体电脑、课件、空间多面体模型等
教学过程：
1.创设情景：
1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”
思考：整个过程对你有什么启发？
教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……
2.探求研究:
探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）
探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？
探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥 4 4 6
四棱锥 5 5 8
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
正八面体 8 6 12
五棱柱 7 10 15
截角正方体 7 10 15
尖顶塔 9 9 16
教师指导，合作交流，归纳：，，，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解
结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析
例1：在数列中，猜想这个数列的通项公式？
解析：先由学生计算：
归纳：
说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.
例2、（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
教师：设定任务一：常见多边形面积一定时，计算其周长；
任务二：归纳、猜想一般性结论。
边形 3 4 6 8
最小周长 4．56 4 3．72 3．64
推广 观察 归纳
计算 猜想
5.分层练习：
1．由“铜、铁、铝、金等金属能导电”，你能归纳出什么结论？
2．观察下列式子，归纳结论：
，，
………………
问：
3．右图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
点；
4．已知数列中，，试归纳这个数列的通项公式。
答案：1．金属导电;2．;
3． ; 4．.
6.课时小结（师生共同）
1什么是归纳推理
2归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明。
布置作业：
（补充）：
拓展延伸：
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；
2.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征：
⑴火星也绕太阳运行，绕轴自转的行星； ⑵有大气层,在一年中也有季节变更；
⑶火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等；
科学家猜想;火星上也可能有生命存在。
说明：以上两练习使用的是类比推理。目的是知识上承上启下，把本节知识延伸，既拓宽了学生视野，也为下一节“类比推理”的教学作了铺垫。
教后反思：
⑴要实现数学新知识的建构学习，教师要创设适当的情境，情境应符合实际.包括生活场景的实际，数学教学内容的实际，学生知识状况的实际，学生思维发展的实际等等。
⑵学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了以学生为本的现代教育观；同时练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教，促进全体的参与。
附：板书设计
面积一定时，圆的周长最小
n边形面积一定时(为1)，正n边 形周长最小
已有知识矩形面积一定时正方形周长最小
(2)
(3)
(4)
(5)
(1)
归纳推理
创设情景 概念讲解 分层练习
探求研究 例1 小结，作业
例2 思考交流
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