山西省省实中2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案

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山西省实验中学
2020—2021学年度第二学期开学考试试题（卷）
高一年级 数学 卷面总分值100分 考试时间90分钟
第一卷（客观题）
一、单选题(本题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．化简) b) )4·\r(3,\f(b,a)))(a，b＞0)的结果是(　　)
A. B．ab C. D．a2b
2．3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3 C．6 D．6－3
3．函数y＝的单调递增区间为(　　)
A. B． C. D．
4．不等式≥1的解集是(　　)
A. B.
C. D.
5．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
6．若关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，则不等式bx2＋ax－3＞0的解集是(　　)
A.∪(1，＋∞) B.
C．(－∞，－1)∪ D.
7.已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　)
A．0 B．－ C. D．π
8．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)
A．9 B．12 C．18 D．24
二、多选题(本题共4个小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的不得分．)
9.若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α，β可能的值为(　　)
A.， B.， C.， D.，
10．已知I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}为全集，集合A，B为I的子集，且A∩(?IB)＝{1,4,7}，(?IA)∩B＝{2,3}，(?IA)∩(?IB)＝{6,8,9,10}，那么集合A的子集可以为(　　)
A．{6,7,8,9,10} B．{1,4,7}
C．{1,4,5,7} D．{6,8,9}
11.下列关于函数y＝tan的说法错误的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
12．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
第二卷（主观题）
三、填空题(本题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
14．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．
15．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos =________．
16．已知函数f(x)＝4cosωxsin－(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________，f(x)在区间上的单调递增区间为________．
四、解答题(本题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17.(本小题满分8分)已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
18.(本小题满分8分)已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
19.(本小题满分8分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．
20(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
山西省实验中学
2020—2021学年度第二学期开学考试试题（卷）
高一年级 数学 卷面总分值100分 考试时间90分钟
第一卷（客观题）
一、单选题(本题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．)
1．化简) b) 4·\r(3,\f(b,a)))(a，b＞0)的结果是(　　)
A. B．ab C. D．a2b
答案　C
2．3x2＋的最小值是(　　)
A．3－3 B．3 C．6 D．6－3
答案　D
解析　原式＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，
当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
3．函数y＝的单调递增区间为(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　由真数大于0得4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－14．不等式≥1的解集是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　不等式≥1，移项得－1≥0，
即≤0，可化为或
解得≤x<2，则原不等式的解集为，
故选B.
5．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系为
A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b
[答案]　B
6．若关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，则不等式bx2＋ax－3＞0的解集是(　　)
A.∪(1，＋∞) B.
C．(－∞，－1)∪ D.
答案　A
解析　∵关于x的不等式x2＋ax－b＜0(a，b为常数)的解集为(－2,1)，∴解得a＝1，b＝2，∴所求不等式bx2＋ax－3＞0即为2x2＋x－3＞0，解得x＜－或x＞1，∴不等式bx2＋ax－3＞0的解集是∪(1，＋∞)．
7.已知函数y＝sin是奇函数，则φ的值可以是(　　)
A．0 B．－ C. D．π
[解析]　y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，
从而φ＝kπ－，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－满足题意．故选B.
[答案]　B
8．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)
A．9 B．12 C．18 D．24
答案　B
解析　∵a>0，b>0，∴由不等式＋≥恒成立，得m≤(a＋3b)＝6＋＋恒成立．∵＋≥2＝6，当且仅当a＝3b时等号成立，∴6＋＋≥12，∴m≤12.即m的最大值为12.故选B.
二、多选题(本题共4个小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错的不得分．)
9.若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α，β可能的值为(　　)
A.， B.， C.， D.，
答案　AB
解析　由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，得1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)．∵tan(α＋β)＝＝，又α，β都是锐角，∴α＋β＝.故A，B符合，C，D不符合．故选AB.
10．已知I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}为全集，集合A，B为I的子集，且A∩(?IB)＝{1,4,7}，(?IA)∩B＝{2,3}，(?IA)∩(?IB)＝{6,8,9,10}，那么集合A的子集可以为(　　)
A．{6,7,8,9,10} B．{1,4,7}
C．{1,4,5,7} D．{6,8,9}
答案　BC
解析　由于集合A，B将全集I划分为四个子集：(?IA)∩(?IB)，A∩(?IB)，(?IA)∩B，A∩B.所以借助于Venn图，可迅速做出判断，依题意填充数字到相应区域，如图，可知A∩B＝5，故A＝{1,4,5,7}，所以A的子集可以为B，C.
11.下列关于函数y＝tan的说法错误的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
[解析]　令kπ－解得kπ－[答案]　ACD
12．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是(　　)
A．x1x2∈A B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
[答案]　ABC
[解析]　由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．故选A、B、C.
第二卷（主观题）
三、填空题(本题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)
13．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
[答案]　
14．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．
解　由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
15．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，求cos =________．
解　因为α，β∈，所以α＋β∈.
所以cos(α＋β)＝＝.
又β－∈，
所以cos＝－，
cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
16．已知函数f(x)＝4cosωxsin－(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________，f(x)在区间上的单调递增区间为________．
答案　1　
解析　f(x)＝4cosωxsin－＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx－＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋－＝2sin.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.所以f(x)＝2sin.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤，f(x)单调递增，所以f(x)在区间上的单调递增区间为.
四、解答题(本题共4个小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
17.(本小题满分8分)已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
[解]　由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.则
∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是{m|0≤m≤3}．
18.(本小题满分8分)12．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
解　∵tanα＝<1，且α为锐角，∴0<α<.
又sinβ＝<，且β为锐角，∴0<β<，
∴0<α＋2β<.
由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝，
∴tan2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝1，
故α＋2β＝.
19.(本小题满分8分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．
[解析]y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵f(x)的定义域为[1,9]，
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足
∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，
∴当x＝3时，y取得最大值，为13.
20(本小题满分12分)11.设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
[解]　(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx
＝sinωx－cosωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.