湖南师大附中博才实验中学2020—2021学年度
第二学期九年级入学考试试题卷·数学
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
2．如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．北斗三号最后一颗卫星于2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ）
A．3.6×103
B．3.6×104
C．3.6×105
D．36×104
第3题图
第7题图
4．下列运算正确的是（ ）
A．x5÷x3＝x2
B．（y5）2＝y7
C．
D．
5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．为了调查某校学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ）
A．此次调查属于全面调查
B．1000名学生是总体
C．样本容量是80
D．被抽取的每一名学生称为个体
7．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，则AB的长度为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．6m
8．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
第8题图
第10题图
9．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（ ）
A．2，3，4
B．2，2，4
C．2，3，6
D．1，2，4
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
11．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（ ）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A．
B．
C．
D．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG?BH＝BE?BO，其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
第12题图
第15题图
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．分解因式：2n2﹣8＝
．
14．计算的结果是
．
15．如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，∠AOB＝100°．则阴影部分的面积是
．
16．以40m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h＝20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是
．
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）+（2x﹣1）2﹣2x（2x﹣1），其中x＝4．
19.【生活经验】
如图，木工师傅在材料的边角处画直角时，常用一种“三弧法”．方法是：
①画线段AB，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②以点C为圆心，仍以①中相同长度为半径画弧交AC的延长线于点D；
③连接BD，则∠ABD就是直角；
（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释．
【数学结论】
由“三弧法”我们判断一个三角形是直角三角形的新方法；
（2）在一个三角形中，如果
，那么这个三角形是直角三角形．
【应用结论】
（3）两个等腰三角形的腰长相等都为a、顶角互补，底边长分别为b和c，探究a、b、c之间的数量关系．
20．2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调直结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为
，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
22．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．
23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点BD交AC于点E．
（1）若，求．
（1）求证：AD2＝DE?DB．
（2）若BC＝5，CD＝，求DE的长．
定义：对于函数y=f(x),若x=a时，y=2a，则称（a,2a）为函数y=f(x)的倍速点；当函数有0个、1个、2个、3个、…、n个、无数个倍速点时，则依次称函数为0阶倍速函数、1阶倍速函数、…、n阶倍速函数、无穷阶倍速函数。
（1）请判断是否是倍速函数，如果是倍速函数，请直接写出所有倍速点和阶数；
（2）对于两个不相等的实数a、b,我们规定符号min｛a，b｝表示a、b中较小的值，如min｛2，4｝=2，若函数是无穷阶倍速函数，按照符号min｛a，b｝规定解关于x的方程；
（3）如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，令的最大值，判断函数是否是倍速函数，如果是倍速函数求出其倍速点和阶数．
25．已知抛物线
求证：无论m为何值，此抛物线恒过x轴上一定点；
设抛物线恒过x轴上的定点为A，与x轴另一个交点为B，过点A的直线与y轴交于点C，交抛物线对称轴于点D，若直线与抛
物线有且只有一个公共点，且，求m、k的值；
在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形为平行四边形，如果存在直接写出点E的坐标，若不存在请说明理由．
(
备用
)
(
第
1
页
共
7
页
)湖南师大附中博才实验中学2020—2021学年度
第二学期九年级入学考试试题卷·数学——参考答案
九年级入学考试数学一、二大题参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．A．
2．D．
3．B．
4．A．
5．C．
6．C．
7．C．
8．A．
9．A．
10．C．
11．B．
12．D．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．2（n+2）（n﹣2）．
14．．
15．．
16．4s．
九年级入学考试数学参考答案、试题详解及评分标准
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．【解答】解：∵﹣1.6＜0＜2＜，
∴在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是．
故选：A．
2．【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
3．【解答】解：36000＝3.6×104．
故选：B．
4．【解答】解：A、原式＝x2，所以A选项正确；
B、原式＝y10，所以B选项错误；
C、与不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝，所以D选项错误．
故选：A．
5．【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
6．【解答】解：A、此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意；
B、1000名学生的视力情况是总体，故本选项不合题意；
C、样本容量是80，正确；
D、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体．故本选项不合题意．
故选：C．
7．【解答】解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝4m，
∴，
则AC＝4（m），
故AB＝（m）．
故选：C．
8．【解答】解：∵共被分成了均匀的4个区域，其中黄色区域有2个，
∴止后指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色为黄色的概率是，
故选：A．
9．【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
B、2+2＝4，不能够组成三角形，不符合题意；
C、2+3＝5＜6，不能组成三角形，不符合题意；
D、1+2＝3＜4，不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
10．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
11．【解答】解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：．
故选：B．
12．【解答】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2，
∴PC＝4﹣2＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BH?BG＝BE?BO，故④正确，
故选：D．
二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．【解答】解：原式＝2（n2﹣4）
＝2（n+2）（n﹣2）．
故答案为：2（n+2）（n﹣2）．
14．【解答】解：原式＝．
故答案是：．
15．【解答】解：S阴影＝＝
故答案为．
16．【解答】解：当h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
则小球从飞出到落地需要4s．
故答案为：4s．
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．【解答】解：原式＝1+﹣2×+3
＝1+﹣+3
（4分）
＝4．（6分）
18．【解答】解：原式＝x2﹣1+4x2﹣4x+1﹣4x2+2x
＝x2﹣2x，（4分）
当x＝4时，原式＝16﹣2×4＝16﹣8＝8．（6分）
19．【解答】解：【生活经验】
由题意得，AC＝BC＝CD，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠A，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D，
∵∠ABC+∠CBD+∠A+∠D＝180°，
∴2（∠ABC+∠CBD）＝180°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝90°；（2分）
【数学结论】根据题意可知：
一边上的中线等于这边的一半；
故答案为：一边上的中线等于这边的一半；（4分）
【应用结论】
∵
这两个等腰三角形可以拼出一个大三角形且满足“三弧法”的条件
∴∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝2AC＝2a，AB＝b，BD＝c，
根据勾股定理，得
AB2+BD2＝AD2，
即b2+c2＝4a2．
故答案为：b2+c2＝4a2．（6分）
20．【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，（2分）
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：
（3分）
（2）由题意得：3200×=＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；（5分）
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为．（8分）
21．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；（4分）
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．（8分）
22．【解答】解：（1）依题意得：，解得：．
答：m的值为10，n的值为14．（3分）
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．（6分）
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．（9分）
23.【解答】（1）解：∵BC是⊙O的直径
∴∠CAB＝900
∵
∴∠ABC＝900-300=600
∵D是劣弧的中点，得，
∴∠ABD＝∠DAC=300
∴=（3分）
（2）证明：由（1）得∠ABD＝∠DAC，
又∵∠ADB＝∠EDA，
∴△ABD∽△EAD，
∴AD2＝DE?DB；（6分）
（3）解：由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC2＝DE?DB
∵CB是直径，
∴△BCD是直角三角形．
∴BD＝，由DC2＝DE?DB得，（）2＝2DE，
解得DE＝．（9分）
24.【解答】（1）解：由得
∴
∴是倍速函数
其倍速点为（1,2）、（-1，-2），所以是2阶倍速函数（3分）
∵函数是无穷阶倍速函数
∴有无数个解
∴有无数个解
∴，即
∴
若时，
∴，此方程无解；
若时，
∴是此方程的解
∴的解为（6分）
在BC上取M使得此时PM=1，连结B、P，
∵,又
∴
∴
∴
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，
故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
在△CDM中
CD=4,CM=3,根据勾股定理的DM=5
∴a=5,此时函数为
由解得：
∴是2阶倍速函数，其倍速点为
（10分）
【解答】（1）证明：
∵
=
=
=
∴当
即此抛物线恒过x轴上一定点（3分）
解：由（1）有A，B
∵
∴-
∴A点在B点左侧
∵直线过点A
∴
∴
∵直线与抛物线有且只有一个公共点
∴的判别式等于0
即
∴
∴
即
∴直线与y轴交点C
由题意得抛物线的对称轴
∴直线===
=
即D
∵
∴
即
∴
∴
∴
∴（7分）
由（2）得A，B，C,对称轴为
∴AB=2，假设符合条件的平行四边形存在
(A)若BC做对角线时，过点C做平行于x轴的直线CE交抛物线的对称轴于点E，则CE=3-0=3
∴
即此时平行四边形不存在
（B）若AB为对角线或AC为对角线时，显然E点不在抛物线对称轴上
综上所述不存在合条件的平行四边形。（10分）
(
第
1
页
共
12
页
)
