2020-2021学年八年级数学北师大版下册《1.3 线段的垂直平分线》同步培优训练（word版，附答案）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步培优训练（附答案）
1．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，已知AC＝6，BC＝4，则△BCD的周长是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．P是△ABC内一点，且点P到△ABC三个顶点的距离都相等，则P点是（　　）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3．如图，在△ABC中，AC＝6cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是10cm，则BC的长为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连结AD．若CD＝2，BD＝4，则AC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
5．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　）
A．8cm B．7cm C．10cm D．9cm
7．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　 　度．
8．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝　 　．
9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是　 　．
10．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　 　．
11．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝　 　°．
12．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝　 　；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝　 　；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　 　．
13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，则OA＝　 　cm．
14．如图，△ABC中，∠A＝68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则∠EDF＝　 　度．
15．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交BC于D，交AC于E，△ABD的周长为15cm，而AC＝5cm，则△ABC的周长是　 　．
16．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为　 　°．
17．如图，∠ABC＝58°，AD垂直平分BC，垂足为D，BE平分∠ABD交AD于E，连接CE，若∠AEC＝m°，则m＝　 　．
18．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为　 　．
19．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长；
（2）若∠ABC＝29°，∠C＝47°，求∠CDE度数．
21．如图，AD是△ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）求证：∠B＝∠AED．
（2）若DE＝1，求AB的长．
22．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，可求出∠MCN的度数为　 　．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE，∠CBE＝2∠ABE，求∠C的度数．
24．已知，如图，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F．
求证：∠B＝∠CAF．
参考答案
1．解：∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+DA＝BC+AC＝10，
故选：D．
2．解：∵点P到A、B两点的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC、BC的垂直平分线上，
则点P是△ABC三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
3．解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点N，
∴AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC＝6cm，
又∵△BCN的周长是10cm，
∴BC＝6﹣（BN+CN）＝10﹣6＝4（cm），
故选：D．
4．解：∵点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，BD＝4，
∴AD＝BD＝4，
在Rt△ACD中，CD＝2，AD＝4，
∴AC＝＝＝2，
故选：C．
5．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．
6．解：∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∵△ABC周长26cm，AF＝5cm，
∴AC＝10（cm），
∴AB+BC＝16（cm），
∴AB+BE+EC＝16（cm），
即2DE+2EC＝16（cm），
∴DE+EC＝8（cm），
∴DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．
7．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．
8．解：连接OA，
∵∠BOC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴AO＝BO，AO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．
9．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
同理，FA＝FC，
∴△AEF的周长＝FA+EF+EA＝EB+EF+FC＝BC+EF+EF＝16，
故答案为：16．
10．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，
当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，
当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，
故答案为：18°或112°．
11．解：设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABP＝x，
∵直线l垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠CBP＝x，
∴60°+15°+x+x+x＝180°，
解得，x＝35°，即∠ABP＝35°，
故答案为：35．
12．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴9﹣8＜BC＜9+8，
∴1＜m＜17．故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．
13．解：连接OA，
∵OD、OE分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE＝6cm，
∴BC＝6cm，
∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA＝OC＝OB，
∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC＝16cm，
∴OC+OB＝16﹣6＝10cm，
∴OC＝5cm，
∴OA＝OC＝5cm，故答案为：5．
14．解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，
∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，
∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），
∴∠EDF＝∠A＝68°．
故答案为68．
15．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为15cm，
∴AB+BD+DA＝15，
∴AB+BD+DC＝15，
即AB+BC＝15，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15+5＝20（cm）．
故答案为20cm．
16．解：连接DA、DC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，
∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，
故答案为：10．
17．解：∵BE平分∠ABD，∠ABC＝58°，
∴∠EBC＝∠ABC＝29°，
∵AD垂直平分BC，
∴EB＝EC，∠ADC＝90°，
∴∠C＝∠EBC＝29°，
∴∠AEC＝∠ADC+∠C＝119°，即m＝119，
故答案为：119．
18．解：连接CE，如图所示：
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∠DEC＝∠EDC＝72°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE＝72°+∠BAE，
∵∠AEB＝92°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝180°﹣92°﹣∠BAE＝88°﹣∠BAE，
∴∠EBD＝360°﹣∠CBD﹣∠ABC﹣∠ABE＝360°﹣（72°+∠BAE）﹣72°﹣（88°﹣∠BAE）＝128°，
故答案为：128°．
19．解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
20．解：（1）∵BD垂直平分AE，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+AD+CD+CE＝18，CD+CE+DE＝6，
∴2AB＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝29°，∠C＝47°，
∴∠BAC＝104°，
∵AB＝BE，∠ABC＝29°，
∴∠BAE＝∠AEB＝，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAE＝104°﹣＝，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠CDE＝2∠DAE＝47°．
21．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∵EH⊥AD，
∴∠AEH＝∠DEH，
∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠AED；
（2）解：由（1）得：EF∥BC，
∴∠HED＝∠EDB，
∵∠AEH＝∠HED，∠AEH＝∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴AB＝2BE＝2DE＝2×1＝2．
22．解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，BN＝CN，
∵△CMN的周长为15cm，
∴CM+MN+CN＝15（cm），
∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+BN＝15（cm）；
（2）∵MA＝MC，MD⊥AC，
∴∠AMD＝∠CMD，
同理可知，∠BNE＝∠CNE，
∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣70°＝110°，
∴∠AMD+∠BNE＝110°，
∴∠AMC+∠BNC＝220°，
∴∠CMN+∠CNM＝360°﹣220°＝140°，
∴∠MCN＝180°﹣140°＝40°，
故答案为：40°．
23．解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠CBE＝∠C，
∵∠CBE＝2∠ABE，
∴∠ABE＝∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠C+∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝36°．
24．证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠CAF+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠CAF