2020-2021学年第二学期广东省河源市高二开学考试数学试卷（2月份）Word含答案

2021年广东省河源市高二开学考试数学试卷（2月份）
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为
A.
40
B.
20
C.
30
D.
12
我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年全国高中数学联赛安徽初赛，他们取得的成绩满分140分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数满足成等差数列且成等比数列，则的最小值为???
A.
B.
2
C.
D.
9
椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A.
B.
C.
2
D.
4
若x，y满足则的最大值为?
?
A.
2
B.
C.
1
D.
0
“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是
A.
B.
C.
D.
已知曲线上一点，则点A处的线方程为
A.
B.
C.
D.
设命题p：函数在R上为单调递增函数；命题q：函数为奇函数，则下列命题中真命题是
A.
B.
C.
D.
正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是PA的中点，则异面直线BE与PC所成的角为
A.
B.
C.
D.
设，则“”是“”的
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
某几何体的三视图如下图所示，它的体积为
A.
B.
C.
D.
设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为
A.
9，12
B.
8，11
C.
8，12
D.
10，12
已知为定义在R上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中e是自然对数的底，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数的极小值点为______．
在集合中随机取一个元素m，在集合2，中随机取一个元素n，得到点，则点P在圆
内部的概率为______
．
已知椭圆的一个焦点为，经过点F且斜率为1的直线l与该椭圆交于C，D两点，则线段CD的长为______．
已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩均为整数分成六段，，，后得到频率分布直方图如图所示．
Ⅰ求分数在内的频率；
Ⅱ根据频率分布直方图，估计该校学生环保知识竞赛成绩的平均分；
Ⅲ用分层抽样的方法在80分以上含80分的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
已知直线l：，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
求该圆的方程；
若直线：与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x与单位成本y统计数据如表：
月份
1
2
3
4
5
6
产量千件
2
3
4
5
4
5
单位成本元件
73
72
71
73
69
68
Ⅰ试确定回归方程；
Ⅱ指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？
Ⅲ假定单位成本为70元件时，产量应为多少件？
参考公式：，
参考数据
如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点E是棱的中点．
求证：平面ABC；?
求二面角的余弦值；
在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与C相交于A，B两点．?
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记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：；
若抛物线C上异于A，B的一点到C的准线的距离为，且，
问：直线l是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由?
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已知函数，其中，为自然数的底数．
当时，讨论函数的单调性；
当时，求证：对任意的，．
2021年广东省河源市高二开学考试数学试卷（2月份）答案和解析
1.【答案】C解：由题意知，，
所以系统抽样的分段间隔为30．
2.【答案】C解：甲班学生成绩的中位数是，得；
由茎叶图可知乙班学生的总分为，乙班学生的平均分是86，且总分为，所以，
若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，
则，，即有，，，
则，
当且仅当时，的最小值为．
3.【答案】A解：椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，，
4.【答案】A
解：作出不等式组表示的平面区域，
将变为，将其平移经过点B时，目标函数z达到最大值，
由，解得，．
5.【答案】D解：设大正方形边长为5，由知对边等于3，邻边等于4，
小正方形的边长为1，面积等于，则对应的概率．
6.【答案】C解：的导数为，可得切线的斜率为，
点A处的线方程为，化为，
7.【答案】D解：因为函数在R上为单调递增函数；故命题p为真命题，为假命题；因为函数，故为偶函数，故命题q为假命题，为真命题；所以为假命题．为假命题．为假命题．为真命题．
8.【答案】C解：连接AC、BD，交于点O，连接PO，
以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是PA的中点，
，，
0，，0，，0，，，0，，
，0，，设异面直线BE与PC所成的角为，
则，，异面直线BE与PC所成的角为．
9.【答案】A【解答】解：化为：，解得：，或．“”是“”的充分不必要条件．
10.【答案】B解：有三视图可知：该几何体为上半部分为一个半径长度为6的半球，
下半部分为一个底面半径为6，高为8的圆锥组成的组合体．
其体积为．
11.【答案】C解：两圆圆心，恰好是椭圆的焦点，
，两圆半径相等，都是1，即，
．
．．
12.【答案】B解：设，则，
，即，又；，
是R上的增函数；；
；，
13.【答案】2解：
令得，
且时，；
时，；
时，
故在出取得极小值．
14.【答案】解：由题意可得点的所有结果有共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概率．
记“点P在圆内部”为事件A，即，则A包含的结果有共2种情况古典概率的计算公式可得
15.【答案】解：由椭圆的焦点在x轴上，则，所以椭圆方程：，
则直线CD的方程为，设，，
联立方程组，消去y，整理得：，
所以，，，
所以，
16.【答案】
】解：抛物线的标准方程为，
则抛物线的焦点为，准线方程为，过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得，
，，则，设PA的倾斜角为，则，
当m取得最小值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为，代入，可得，
即，，，
，双曲线的实轴长为，
双曲线的离心率为．
17.【答案】解：Ⅰ分数在内的频率为：；
Ⅱ平均分为：分；
Ⅲ由题意，分数段的人数为：人；分分数段的人数为：人，
因为用分层抽样的方法在分以上含80分的学生中抽取一个容量为6的样本，所以分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；分数段抽取1人，记为?
?
?
?
?
?
??
因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，
则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于分为”事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，
，，，，，，，，
，，共15种．
事件A包含的基本事件有，，，，种，
所以恰有1人的分数不低于分的概率为
18.【答案】解：设圆心，，半径为r，
该圆与直线l和y轴均相切，，
，，
圆的方程为；
由圆的方程找出圆心坐标为，半径，
所以圆心到直的距离，
根据勾股定理得，
解得：．
19.【答案】解：设x表示每月产量单位：千件，y表示单位成本单位：元件，作散点图如图．
由图知y与x间呈线性相关关系．
设线性回归方程为，其中，，
由公式可求得，，
回归方程为；
由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降元．
当时，，得千件．
单位成本是70元件时，产量约为4050
20.【答案】证明：，，，
，
，，
又侧面，侧面，，
又，AB、平面ABC，
平面ABC；
以B为原点，BC，，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，0，，，，
，0，；
则，，0，；
设平面的法向量为y，，则，即，
令，得，，所以；
设平面的法向量为b，，则，即
令，求得；
，，
二面角的余弦值为；
假设在棱CA上存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，
不妨设，；
又，0，；
即，所以0，；
所以，平面的法向量为；
则EM与平面所成角的正弦值为：
，，
化简得，解得或；
所以在棱CA上存在一点M，使得EM与平面所成角的正弦值为，
此时或．
21.【答案】证明：由题可得：设，，
由，消y可得，
可得，，
，
即：得证．
解：抛物线C上异于A，B的一点到C的准线的距离为，
，，
，
，
．
设，，
由可得，，
，
，
，
，
，
即，
即，
或，
当时，，即，
此时过点，与点P重合，不合题意，舍去；
当时，，即，
此时过点，符合题意．
综上所述直线过定点．
22.【答案】解：当时，，
则，
，
，
故，
则在R上单调递减；
当时，，
要证明对任意的，．
则只需要证明对任意的，．
设，
看作以a为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，恒成立，
对于，令，
则，
设时，，即．
，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故式成立，
综上对任意的，．