第1章三角函数复习课件（苏教版必修4）

(共28张PPT)
图象性质
任意角
三角函数
基本
关系式
诱导公式
高中数学
知识体系
注意问题
方法指导
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结束
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第三章 立体几何初步
第四章 平面解析几何
初步
高中数学总知识体系
第七章 不等式
第八章 数列、极限、数学归纳法
第九章 复数
第十章 排列组合、二项式定理
必修一
立 体几何
代 数 (下册)
解析几何
第五章 直线和平面
第六章 多面体和旋转体
第十一章 直线和圆
第十二章 椭圆、双曲线、抛物线
第十三章 参数方程、极坐标
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第一章 集合
第二章 函数概念
与基本初等函数
必修二
(2)角的度量:
角度制:圆周360等分之一的弧所对的圆心角为1 角.
弧度制:等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度角.
换算: =180 ,1(弧度) 57 17 45 57.3 ,1 = (弧度).
(一)任意角的三角函数
1.角的概念 2.三角函数
(3)终边相同的角与象限角的表示:
{ | =2k + ,k Z}或{ | =360 k+ ,k Z}( , 终边相同)
x轴正半轴 =2k ,k Z
x轴负半轴 =2k + ,k Z

2
y轴正半轴 =2k + ,k Z
y轴负半轴 =2k + ,k Z
3
2

2
2k +
2k < < ,k Z
终边相同的角
轴线角
象限角
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
2k + < <2k +2 ,k Z
3
2
2k + < <2k + ,k Z
3
2

180
2k + < <2k + ,k Z

2
1.角的概念:
(1)正角、负角、零角的含义.
返 回
练 习
2.三角函数:
(1)三角函数的定义:
正弦sin ; 余弦cos ;
正切tan ; 余切cot ;
正割sec ; 余割csc
(4)特殊角的三角函数值:
(3)三角函数的符号:(正弦一二象限取正,余弦一四取正,正切一三取正)
sin
cos
tan
cot

0

6

4

3

2

3
2
2
.P
O x
y

设P(x,y)为 终边上任一点,
则:sin = , cos = ,
tan = , cot = ,
sec = , csc = .
其中r= x2+y2 .
r
x
r
y
y
x
y
r
x
r
x
y
(2)用线段表示三角函数:
正弦线MP、余弦线OM、
正切线AT、(余切线)
O M
A
P
T
x
y
其中A(1,0),试画出其他象限角
对应的三线,并说出正负!
0
1
2
2
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
3
1
0
-1
1
0
1
2
1
0
不存在
不存在
-1
0
0
不存在
0
0
1
0
不存在
不存在
0
1
3
3
自己先试说说
它们是怎样用这
平面直角坐标系
定义的.
练习一(4题)
1.设 的终边在直线y=-2x上,那么sin 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
5
5
2 5
5
2 5
5
-
2 5
5

C
2.把-75 化成弧度,并以弧度制写出与这个角终边相同的
角的集合.
75
5
答:-75 =-—— =-— ，与这个角终边相同的
角的集合为:{ | =2k -— ,k Z}
180
12
5
12
3.下列各组角中,终边相同的一组是( )
(A) 与k + (k Z) (B)(2k+1) 与(4k 1) (k Z)
(C)k + 与2k (k Z) (D)k + 与 (k Z)
k
2

2

6

6

3
k
3
B
4.已知 是第二象限角,那么- 、 、 各是第几象限角

2

3
答案:- 是第三象限角, 是第一或第三象
限角, 是第一或第二或第三象限角.
3

2

详 解
详 解
解题提示:令k=-1,0,1,2,3,4等列出
几个值即可比较得.
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解:设直线上一点P的坐标为(x,y),其中x≠0,y=-2x,
则r= x2+y2 = x2+(-2x)2= 5|x|,
sin = — = ——
=
5|x|
-2x
y
r
2 5
5
-
2 5
5
(x>0)
(x<0)
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题(简):设 的终边在直线y=-2x
上,那么sin 的值为( )
说明：这题极易选
错,可判断对定义理
解的透彻性.
解:∵ 为第二象限角,∴2k + < <2k + (k Z)
∴-2k - <- <-2k - (k Z),
即- 是第三象限角.
又k + < 分别令k为奇数和偶数,可知 为第一或第三
象限角,
同法可求得 是第一或第二或第三象限角.
注意不等式运算性质.
2

2

2

4

2


2

3

返 回
题:已知 是第二象限角,那么- 、
、 各是第几象限角
2

3

(二)同角三角函数的基本关系式
1.关系式 2.应用
1.关系式(三倒二商三平方):
(1)sin csc =1;cos sec =1;tan cot =1
(2)tan = ; cot =
(3)sin2 +cos2 =1;1+tan2 =sec2 ;1+cot2 =csc2
cos
sin
sin
cos
2.利用上述关系,可以解决以下问题:
(1)已知某角的一个三角函数值,求其他各三角函数值;
(2)化简某些三角函数式;
(3)证明某些三角恒等式.
例:已知sin cos = ,且 < < ,则cos -sin =_______.
1
8
4

2

-
3
2
详 解
应够熟练吧 要再做3题吗
要!
不!
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解: sin cos = ,而sin2 +cos2 =1,
∴(cos -sin )2=sin2 +cos2 -2sin cos
=1- =
又 < <
∴ sin >cos ,
∴ cos -sin =-
1
8
1
4
3
4
2

4

3
2
返 回
2.已知tan = ,则 =_________.
cos +sin
cos -sin
2
提示:显然cos ≠0,分子分母同除以cos 后代入即得
1.已知 是第三象限角,则
sec 1+tan2 +tan sec2 -1=( )
(A) 1 (B)1 (C)-1 (D)以上都不对
3.已知: (0, ),化简 1+2sin cos - 1-2sin cos .

2
-3-2
2
提示:原式=sec |sec |+tan |tan |,又 为第三象限角,
∴sec <0,tan >0,从而得.
C
解:原式= (sin +cos )2- (sin -cos )2
=|sin +cos |-|sin -cos |
当0< ≤ 时,0当 < < 时,0∴原式=
2sin
2cos
(0, ]
( , )
2

4

2

4

4

4

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行了!
用公式时都是把 看
作锐角,先化简式子,
最后再转化 !
(三)诱导公式
1.常用的六组诱导公式
2.利用诱导公式求任意角的三角函数值
1.常用的六组诱导公式:
(1)2k + (即k 360 + )组
(2) - (即180 - )组
(3) + (即180 + )组
(4)- 组
(5) - (即90 - )组
(6) + (即90 + )组

2

2
2.利用诱导公式求任意角的三角函数值,一般步骤:
任意角的
三角函数
0 到360 角
的三角函数
任意正角的
三角函数
0 到90 角的
三角函数
查表
看公式
做练习
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(1)sin(2k + )=sin ; cos(2k + )=cos ;
tan(2k + )=tan ; cot(2k + )=cot .
(2)sin( - )=sin ; cos( - )=-cos ;
tan( - )=-tan ; cot( - )=-cot .
(3)sin( + )=-sin ; cos( + )=-cos ;
tan( + )=tan ; cot( + )=cot .
(4)sin(- )=-sin ; cos(- )=cos ;
tan(- )=-tan ; cot(- )=-cot .

2

2
(5)sin( - )=cos ; cos( - )=sin ;
tan( - )=cot ; cot( - )=tan .

2

2
(6)sin( + )=cos ; cos( + )=-sin ;
tan( + )=-cot ; cot( + )=-tan .

2

2

2

2
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注意公式中的符号
注意公式中的符号
注意公式中的符号
相当于第一象限的角都取正号!
以下的各组呢 也要找找规律!
提示:化简得:tan190 =tan(180 +10 )=tan10 ,
tan100 =tan(90 +10 )=-cot10 ,
tan350 =tan(360 -10 )=-tan10 ,
sin1590 =sin(1590 -1440 )=sin150 =sin30 ,
cos(-1860 )=cos(1800 -1860 )=cos(-60 )=cos60 ,
或cos(-1860 )=cos1860=cos(1860 -1800 )=cos60 ,
cot(-960 )=cot(1080 -960 )=cot120 =-cot60 ,
tan1395 =tan(1395 -1440 )=tan(-45 )=-tan45 .
练习二(4题)
(2)cot10 +tan190 +tan100 +cot350
+sin1590 cos(-1860 )+cot(-960 ) tan1395 =_____.
1.若cos( -x)= ,x (- , ),则x的值为( )
(A) 或 (B) (C) (D)
3
2

6
7
6
5
6
5
6
2
3
4.已知tan( - )=a2且|cos( - )|=-cos ,求sec( + )
答案: 1+a4
2.计算:(1)sin210 +sin280 +tan10 tan80 =_____.
19
6
3.化简求值:(1)sin(- )=_______.
tan( + )cos3(- - )
cot( +4 )cos( + )sin2( +3 )
(2) =_____.
1-csc30 sin1085 sin2075
cos5 - 1-sin295
(3) =______.
C
2
3
3
1
4
+
1
2
1
1
提示:化为sin210 +cos210 +tan10 cot10
详 解
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题:已知tan( - )=a2且|cos( - )|=-cos ,
求sec( + )
解:∵tan( - )=-tan =a2,
∴tan =-a2≤0,
又|cos( - )|=|cos |=-cos ,
∴cos ≤0,而tan ≤0,
∴ 为第二象限角或在y轴负半轴,
∴sec ≤0,且sec =- 1+tan2 =- 1+a4,
∴sec( + )=-sec = 1+a4.
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(四)三角函数的图象与性质
1.函数的图象与主要性质 2.周期函数
3.正弦型函数y=Asin( x+ )的一些概念、性质
1.正、余弦函数、正、余切函数的图象与主要性质
{x|x R且x≠
k + ,(k Z)}

2
1
-1
2
x
y
O
1
-1

2
x
O

2

2
x
y
O
-
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
一周期
图象
定义域
值域
单调性
奇偶性
周期
2k + ]↑
(k Z)

2
[2k - ,

2
2k + ]↓
(k Z)
3
2
[2k + ,

2

2
x
y
O

R
R
[-1,1]
R
R
{x|x R且x≠
k ,(k Z)}
在[2k + ,2k ]↑
(k Z)
在[2k ,2k + ]↓
(k Z)

2
k - ,

2
k + )
在(
(k Z)上都是
增函数
在(k ,k + )
(k Z)上都
是减函数
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
2

2

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练 习
[-1,1]
2.周期函数和最小正周期的意义
3.正弦型函数y=Asin( x+ )的振幅、周期、相位、初相
及其图象与函数y=sinx之间的关系
对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,使得当x取定义域
中的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫做
周期函数,T叫做f(x)的周期.
对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在一个最小
的正数,就把这个最小正数叫做最小正周期.
三角函数的周期概指最小正周期.
(1)当A>0, >0时,A称为该函数的振幅,
2

=T称为函数的周期,
( 为角速度), x+ 称为函数的相位, 称为函数的初相.
(2)当A>0, >0,x R时,y=Asin( x+ )的图象,可以看作把y=sinx
的图象上的所有的点向左(当 >0)或向右( <0)平移| |个单位,
再把所得的各点的横坐标缩短( >1)或伸长(0< <1)到原来的1/
倍(纵坐标不变),最后再把所得的图象各点纵坐标伸长(A>1)或
缩短(0解:函数化为y=-sin2x+4sinx+2=-(sinx-2)2+6.
∵-1≤sinx≤1,
而二次函数y=-(t-2)2+6在[-1,1]上是增函数,
∴sinx=-1时,ymin=-3; sinx=1时,ymax=5.
注意:这里“左加右减”指的是x的位置变换,
即“x”变为“x+a”或“x-a”!(见第一章)
练习三(6题)
1.下列函数中,既在区间(0, )内递增,又是以2 为最小正周期的偶函数是( )
(A)y=|sinx| (B)y=1-cos2 (C)y=2cosx (D)y=cot
2
x
2
x
2.要得到函数y=sin(2x- )的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
(A)向左平移 个单位

3
(C)向左平移 个单位

6
(D)向右平移 个单位

6
(B)向右平移 个单位

3

3
3.函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,则a=____,b=____.
4.函数y=Asin( x+ )(其中 >0,A>0)的图象如右,
则函数的解析式为________________________.
y
x
O
-
(0,- )
3
5
2
-
5.函数y=cos2x+4sinx+1的最大值为______.最小值为______.
6.已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;(2)判断函数的奇偶性;
(3)求函数的单调区间.
详 解
B
D
3
-1
y=2sin( + )
2x
3
5
3
5
-3
详 解
答案:(1)定义域(k - ,k + )(k Z);值域{y|y≥0};
(2)偶函数;(3)在(k - ,k ] ,在[k ,k + ) (k Z)

4

4

4

4
详 解
详 解
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x
x
题:下列函数中,既在区间(0, )内递增,又是以2 为
最小正周期的偶函数是( )
(A)y=|sinx| (B)y=1-cos2 (C)y=2cosx (D)y=cot
2
2
解:(A)答案是以 为周期的函数,且在[ , )上是
减函数,可排除;
(C)答案中,t=cosx在(0, )单调递减,而y=2t为
增函数,故该函数在(0, )单调递减,排除;
(D)答案显然不是偶函数,且在(0, )单调递减,
也可排除;
故选(B),其实(B)中函数可化为y=sin2
(还可继续化为y= (1-cosx) ),
分析可知满足题意.
2
x
2
1

2
返回
注:用排除法解选择题是常用方法!
题:函数y=asinx+b的最大值为2,最小值为-4,
则a=____,b=____.
解:∵sinx的最大值为1,最小值为-1,
∴该函数的最大值为|a|+b,而最小值为-|a|+b,
由题得:|a|+b=2, -|a|+b=-4,
解得:a= 3,b=-1.
注:利用sinx和cosx的最大值为1,最小值为-1
(有时还要结合二次函数图象性质,如后面
的第5题)来出题解题是经常的事所以应该
经常想起这点.
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解:T=2[- -(- )]=3 , =3 , = .
又当x= =- 时,函数取最大值,
- + = ,即 = .
又图象过点(0,- 3),有Asin =- 3,则A=2.
故解析式为y=2sin( + ).
5
2
5
3
5
3
7
4
7
4
- -
5
2
2

2
3
2
2x
3
2

3
2
题:函数y=Asin( x+ )(其中 >0,A>0)
的图象如右,则函数的解析式为____.
y
x
O
-
(0,- )
3
5
2
-
注:利用图象的直观性结合y=Asin( x+ )曲线的特征
确定A、 、 的值,是理解曲线与图象位置关系的
重要内容,可培养数形结合、待定系数法解题思想.
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(3)由cosx的单调性、定义域及复合函数单调性
得: 当2k - <2x≤2k (k Z)
即x (k - ,k ] (k Z)时,f(x)单调递减;
同样得x [k ,k + )(k Z)时,f(x)单调递增.

4

2

4
解:(1)由cos2x>0, 得:2k - <2x<2k + (k Z)
∴定义域为{x|k - 又∵0
2

2

4

4
题:已知函数y=log0.5cos2x.(1)求定义域、值域;
(2)判断函数的奇偶性;(3)求函数的单调区间.
(2)f(-x)=log0.5cos(-2x)=log0.5cos2x=f(x),
∴(x)是偶函数.
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(五)方法指导
1.坐标法 2.主元法 3.递归法
4.几何模型法 5.图象变换法
3.递归法:
(1)诱导公式可化任意角三角函数为锐角三角函数.
(2)诱导公式中的 角为任意角,确定符号时当锐角处理.
(3)研究周期函数图象性质时,可先归到一特殊周期研究.
1.坐标法(数形结合法的表现):
角的概念在平面直角坐标系中出现,能直观地说明角的
内涵,终边相同的角、象限角等概念能把众多角归类.
2.主元法:
当问题涉及多种三角函数或多个角时,据条件选取其中
一个三角函数或一个角为主元,把其他各三角函数或角进
行变换,化为主元三角函数或同角三角函数.简单说成:
化同名,化同角,切割常化弦.
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证明:在平面直角坐标系中,取单位圆(如图).
依定义可知,sin =MP,tan =AT,而 即
为弧AP的长.考虑三角形OMP和OAT及扇
形OAP的面积,有S△OMP再据三角形及扇形面积计算得:MP<弧长AP故命题成立. [注:该结论应记住.]
4.几何模型法:
单位圆能直观地解释三角函数,因而成为几何工具.主要应用有:
(1)用三角函数射影法作基本三角函数的图象;
(2)直观地表示简单三角方程或简单三角不等式的解集;
(3)证明诱导公式及一些重要的三角等式和不等到式.
5.图象变换法:
讨论正弦型函数y=Asin( x+ )+h(A>0, >0)的图象作法,除了
用“五点法”外,还有图象变换法(平移变换、伸缩变换).
O M
A
P
T
x
y
例:已知 (0 ,90 ),求证:sin < (六)注意问题
1.区分“角” 2.判断符号 3.恒等变换
4.活用公式 5.由形察数 6.对称问题
1.区分“角”:
主要指当角相同时,三角函数值相等;而当三角函数值
相等时,角不一定相等!特别是终边相同的角并不就是相
同的角!初学三角函数时常会把它们混在一起.
2.判断符号:
一指诱导公式中各符号的判断;二指利用“一倒二商三
平方”的 “平方关系”求值时,需根据角的范围来确定平方
根号前的“+”或“-”号.
看个例题
如:sin =0.5, (360 ,450 ),则 =390 ,千万
不能写成了30 !如果用弧度制写更易出错!
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3.恒等变换:
主要指在化简或证明过程中,必须在定义域上对式子进行保“值”
变“形”,避免会改变定义域的变换.这在下一章里更多出现,要注意.
4.活用公式:
在化简求值等变形中,要合理决定变换的简捷程序,善于观察角,
如x+30 和60 -x互余,x+45 与135 -x互补等.这也在下一章更多见.
5.由形察数:
这是数形结合思想的一个方面.既可从图形中发现一些函数性质,
又可从图形中得到函数解析式.
看个例题
例:函数y= 在x (- , )时为奇函数,而
在x R时却是非奇非偶函数,原因即在此.
1+sinx-cosx
1+sinx+cosx
2

2

6.对称问题:
函数y=Asin( x+ )的对称轴可由图象的直观性得到,为“过最高
(低)点且与x轴垂直的直线”,即x= (k Z).又令 x+ =k ,
就得到函数图象的对称中心是点( ,0)(k Z).

k + -

2
k -

试做一题
题:下面函数中, 图象以直线x= 为对称轴的是( )
(A)y=sin x (B)y=cos x (C)y=tan x y=cot x
1
2
解:y=sin x的对称轴由 x=k + 得到,即x=k+ ,
(k z),令k=0,即得x= ;
y=cos x的对称轴由 x=k 得到,即x=k,(k z);
而y=tanx和y=cotx的图象都不是轴对称图形.
故选(A)

2
2
1
2
1
答案为-1,你做对了吗
注:若把这种题变形,出这样一道题,看会不会做:
如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-
对称,那么a=_______.

8
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任意角
三角函数
基本
关系式
诱导公式
图象性质
注意问题
方法指导
1.角的概念 2.三角函数
1.关系式 2.应用
1.常用的六组诱导公式
2.利用诱导公式求任意角的
三角函数值
1.函数的图象与主要性质
2.周期函数
3.正弦型函数y=Asin( x+ )
的一些概念、性质
1.坐标法 2.主元法 3.递归法
4.几何模型法 5.图象变换法
1.区分“角” 2.判断符号 3.恒等变换
4.活用公式 5.由形察数 6.对称问题
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说明:“三角函数”部分的高考试题选编在下一章“两角和差”后统一附录.