2020-2021九年级数学下册 第二十七章 相似 单元测试题（Word版 含答案）

2020-2021学年度九年级数学下册
第二十七章
相似
单元测试题
一、选择题
1．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和则它的内接正方形的边长为（　　　）
A．
B．
C．
D．
2．在正方形中，点为边上的一点，，连接，作于点，令关于的函数关系图象大致是（
）
A．B．C．
D．
3．如图，直线，则（　　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知与是位似图形，原点是位似中心，位似比，若，则的长为（
）．
A．5
B．6
C．9
D．12
5．如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连结，相交于点，，，矩形矩形，连结交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（
）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
6．如图，正五边形的边长为2，连结对角线，线段分别与和相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接BF．将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上且BA′交CD于点G，若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则BG＝（　　）
A．5
B．
C．
D．3
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（　　）
A．（9，6）
B．（8，6）
C．（6，9）
D．（6，8）
9．如图，在矩形中，对角线交于点，过点作交的延长线于点，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，平行四边形ABCD中，BD=AB，∠ABD=30°，将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置，使点E落在BD上，
ME交AB于点O，
则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，正方形和正方形是位似图形，其中点与点对应，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标为______．
12．如图，在边长为的正方形中，为的中点．现将线段绕着点旋转得．当落在上时，则的长为______．
13．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____．
14．在平行四边形中，平分交于点F，，点E是对角线上的点，连结．
（1）如图1，若，点G是的中点，则_________．
（2）如图2，以点E为直角顶点，在的右下方作等腰直角，若点E从点A出发，沿运动到点C停止，设在点E运动过程中，的中点T经过的路径长为a，的长为b，则_________．
15．如图，点Q是△ABC内一点，且满足∠QAB=∠QBC=∠QCA=∠a．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，∠a=__________．
（2）如图2，当△ABC
是等腰直角三角形(其中
∠ACB=90°)时，△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是___________．
三、解答题
16．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴相交于点，直线经过点A、C．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若在直线上方的抛物线上有一点，使的面积最大，求出的最大面积并求出此时点的坐标；
（3）若点是抛物线上一动点，过作轴于点，是否存在点，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知，二次函数的图象与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．
（1）若，如图1，已知A，C两点的坐标为．
①求抛物线的解析式，并求出B的坐标．
②点P是抛物线上第一象限内一个动点．y轴上有一点，连结交于点H，若H恰好平分，求点P的坐标．
（2）若，，，，如图2，抛物线与一次函数的图象交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线上是否存在唯一一点Q，使得？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形；
（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；
（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
19．（探索发现）如图①，是一张直角三角形纸片，，小明想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线剪下时，矩形的面积最大，经证明发现：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为__________．
（拓展应用）
如图②，在中，，边上的高，矩形的顶点分别在边上，顶点在边上，则矩形面积的最大值为__________．（用含的代数式表示）
（灵活应用）
如图③，有一块“缺角矩形”，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
（实际应用）
如图④，现有一块四边形的木板余料，经测量，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点在边上且面积最大的矩形，求该矩形的面积．
20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A(-1，0)．
（1）求抛物线的解析式及顶点D
的坐标；
（2）判断的形状，并证明你的结论；
（3）点是轴上的一个动点，
①当的值最小时，
；
②过点作轴，交抛物线于点，连接，面积的最大值为
；
（4）为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形为矩形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，直线过点且与轴平行，直线过点且与轴平行，直线与直线相交于点．点为直线上一动点，反比例函数（）的图象过点与直线相交于点．
（1）若点与点重合，求的值；
（2）若，是否存在点及轴上的点，使得以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求点坐标：若不存在，请说明理由．
（3）连接、、，且的面积为面积的2倍？求点的坐标．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=?2x+6交坐标轴于A，B两点，过点C（-6，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE
≌△BOA．
（1）求点B的坐标，线段OA的长；
（2）确定直线CD的解析式，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是线段CE上一动点(不与点C，E重合)，ON⊥OM交AB于点N，连接MN，当△OMN的面积最小时，请求点M的坐标和△OMN的面积．
（4）如图3，点M是直线CD上一动点，过点M作x轴的垂线，交轴于点Q，连接EQ，若∠EQM=∠ACD，求点M的坐标．
23．（1）观察猜想：
如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．
（2）类比探究：
如图3，当，时，请求出的值及的度数．
（3）拓展应用：
如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．
【参考答案】
1．B
2．B
3．D
4．C
5．A
6．C
7．C
8．A
9．C
10．B
11．
12．
13．
14．（1）
（2）
15．30°
1：2：2
16．（1）；；（2）的面积最大为4，此时；（3）存在，．
17．（1）①，；②或；（2）存在，或
18．（1）1或；（2）或或；（3）；（4）．
19．【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】720；【实际应用】
20．（1），顶点的坐标为；（2）直角三角形，证明略；（3）①；②4；（4）存在，点Q的坐标为(，)或(，)或(，)．
21．（1）；（2）存在，点坐标为；（3）点坐标为或．
22．（1）（0，6），3；（2）（）；（3）（，），；（4）（，），（，）．
23．（1），45°；（2），30°；（3）2