§3 二倍角的三角函数
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若tan
α=3,则的值等于( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析=2tan
α=6.
答案D
2.等于( )
A.-2cos
5°
B.2cos
5°
C.-2sin
5°
D.2sin
5°
解析原式=
=(cos
50°-sin
50°)
=2
=2sin(45°-50°)
=-2sin
5°.
答案C
3.cos·cos·cos·cos的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析乘以,利用倍角公式化简得.
答案D
4.已知π<α<2π,化简的结果为( )
A.sin
B.-sin
C.cos
D.-cos
解析∵<α<2π,∴<π,
∴cos
α>0,cos<0,
∴原式=
==-cos.
答案D
5.若sin
2α=,0<α<,则cos的值为( )
A.
B.-
C.±
D.
解析(sin
α+cos
α)2=1+sin
2α=,
因为0<α<,所以sin
α+cos
α=,
则cos(cos
α+sin
α)=.
答案D
6.若,则tan
2α=( )
A.-
B.
C.-
D.
解析等式左边分子、分母同时除以cos
α(显然cos
α≠0),得,解得tan
α=-3,
∴tan
2α=.
答案B
7.已知sin,则sin
2x= .?
答案
8.定义运算a?b=a2-ab-b2,则sin?cos= .?
解析原式=sin2-sin·cos-cos2=-cossin=-.
答案-
9.求下列各式的值:
(1);
(2)2tan
15°+tan215°;
(3)sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°.
解(1)原式=
=
=
=
==1.
(2)原式=tan
30°(1-tan215°)+tan215°
=(1-tan215°)+tan215°=1.
(3)(方法一)sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°
=cos
20°cos
40°cos
80°=.
(方法二)令x=sin
10°sin
50°sin
70°,
y=cos
10°cos
50°cos
70°.
则xy=sin
10°cos
10°sin
50°cos
50°sin
70°cos
70°
=sin
20°·sin
100°·sin
140°
=sin
20°sin
80°sin
40°
=cos
10°cos
50°cos
70°
=y.
∵y≠0,∴x=.
从而有sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°=.
10.导学号93774097已知函数f(x)=2cos
x(sin
x-cos
x),x∈R.
(1)求函数f(x)图像的对称中心;
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.
解(1)f(x)=2cos
x(sin
x-cos
x)=sin
2x-cos
2x-1=sin-1.
令2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,
因此,函数f(x)的图像的对称中心为,k∈Z.
(2)因为f(x)=sin-1在区间上为增函数,在区间上为减函数,
又f=-1,f-1,fsin-1=-cos-1=-2,
故函数f(x)在区间上的最大值为-1,最小值为-2.
B组 能力提升
1.可化简为( )
A.1
B.-1
C.cos
x
D.-sin
x
解析原式=
=
=
==1.
答案A
2.若cos
θ=-,θ是第三象限的角,则=( )
A.
B.-
C.
D.-2
解析
=,
因为cos
θ=-,且θ是第三象限的角,
所以sin
θ=-,故=-2.
答案D
3.若=-,则cos
α+sin
α的值为 .?
解析∵
=
=-(cos
α+sin
α)=-,
∴cos
α+sin
α=.
答案
4.已知角α,β为锐角,且1-cos
2α=sin
αcos
α,tan(β-α)=,则β= .?
解析由1-cos
2α=sin
αcos
α,得1-(1-2sin2α)
=sin
αcos
α,
即2sin2α=sin
αcos
α.
∵α为锐角,∴sin
α≠0,
∴2sin
α=cos
α,即tan
α=.
(方法一)由tan(β-α)=
=,得tan
β=1.∵β为锐角,∴β=.
(方法二)tan
β=tan(β-α+α)=
==1.
∵β为锐角,∴β=.
答案
5.若<β<α<π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin
α+cos
α的值为 .?
解析由题意得0<α-β<,π<α+β<π,则sin(α-β)=,cos(α+β)=-,
∴sin
2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)·cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-,
∴(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=1+sin
2α=.
又sin
α+cos
α=sin>0,
∴sin
α+cos
α=.
答案
6.若f(x)=cos
2x-2a(1+cos
x)的最小值为-,则a= .?
解析f(x)=cos
2x-2acos
x-2a=2cos2x-2acos
x-2a-1,令t=cos
x,则-1≤t≤1,函数f(x)可转化为y=2t2-2at-2a-1=2-2a-1,当>1,即a>2时,当t=1时,ymin=2-2a-2a-1=-,解得a=,不符合a>2,舍去;当<-1,即a<-2时,当t=-1时,ymin=2+2a-2a-1=1≠-,不符合题意,舍去;当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,当t=时,ymin=--2a-1=-,解得a=-2±,因为-2≤a≤2,所以a=-2+.综上所述,a=-2+.
答案-2+
7.导学号93774098已知sin
α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos的值.
解∵0<α<,∴cos
α=,
∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
若0<α+β<,∵sin(α+β)
α,
∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,
∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,
∴cos
β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos
α+sin(α+β)sin
α=-.
又,
∴cos.
8.已知函数f(x)=4tan
xsin·cos.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tan
xcos
xcos
=4sin
xcos
=4sin
x
=2sin
xcos
x+2sin2x-
=sin
2x+(1-cos
2x)-
=sin
2x-cos
2x
=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,函数y=2sin
z的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.(共23张PPT)
2.3 两角和与差的正切函数
两角和与差的正切公式
知识拓展
两角和与差的正切公式的常见变形
(1)tan
α+tan
β=tan(α+β)(1-tan
αtan
β);
(2)tan
α+tan
β+tan
αtan
βtan(α+β)=tan(α+β);
答案:A
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
两角和与差的正切公式的直接应用
【例1】
(1)在△ABC中,已知tan
A,tan
B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan
C等于( )
A.2
B.-2
C.4
D.-4
答案:(1)A (2)B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是熟记公式,特别是Tα±β中的符号规律是“分子同、分母反”.
2.对于不能直接套用公式的情况,要根据已知与未知进行变形使之联系起来,有时还要借助角的变换技巧.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)已知tan
1°=a,则tan
44°等于( )
探究一
探究二
探究三
易错辨析
两角和与差的正切公式的逆用与变形用
(2)求值:tan
70°-tan
10°-
tan
70°tan
10°;
(3)在非直角三角形ABC中,求证:tan
A+tan
B+tan
C=tan
Atan
Btan
C.
思路分析:(1)将
视为tan
60°后再逆用两角差的正切公式;
(2)注意到70°-10°=60°,且tan
60°=
,因此,可用两角差的正切公式的变形;
(3)将等式左边任意两项结合利用两角和的正切公式变形,结合A+B+C=π,利用诱导公式证明.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
tan
A+tan
B=tan(A+B)(1-tan
Atan
B),
又A+B+C=π,所以A+B=π-C,从而tan(A+B)=-tan
C,
于是tan
A+tan
B+tan
C=-tan
C(1-tan
Atan
B)+tan
C
=-tan
C+tan
Atan
Btan
C+tan
C=tan
Atan
Btan
C,
故原式成立.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.由两角和与差的正切公式可知,tan
αtan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,因此,要特别注意公式的正用、逆用和变形使用.
2.在逆用公式的过程中要注意特殊值的代换,例如,1=tan
45°,
的形式,从而逆用公式.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2(1)若tan
28°·tan
32°=m,则tan
28°+tan
32°=( )
(2)已知α+β=
,则(1+tan
α)(1+tan
β)的值是( )
A.-1
B.1
C.2
D.4
∴tan
α+tan
β=1-tan
αtan
β,
∴(1+tan
α)(1+tan
β)=1+tan
α+tan
β+tan
αtan
β=1+1-tan
αtan
β+tan
αtan
β=2.
答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
给值求角问题
思路分析:先由α=(α-β)+β求出tan
α的值,再由2α-β=(α-β)+α求出2α-β的正切值,讨论2α-β的范围后即可确定2α-β的值.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟给值求角时,若所给三角函数值以正切值为主,则应考虑到先求该角的正切值,再根据角的范围确定角的大小.必要时还应根据已知的三角函数值缩小角的范围,从而确定角的大小.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:D
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因忽视题目中的隐含条件而致误
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得1.涉及根据三角函数值求角的问题,很容易忽视角范围的讨论,防止出错的关键就是结合原始数据及过程数据进行检验并得到进一步明确.
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.在△ABC中,C>90°,则tan
A·tan
B与1的关系适合
( )
A.tan
A·tan
B>1
B.tan
A·tan
B<1
C.tan
A·tan
B=1
D.不能确定
解析:因为C>90°,所以A+B<90°.
所以tan(A+B)>0,tan
A+tan
B>0.
所以1-tan
Atan
B>0,
所以tan
Atan
B<1.
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.化简tan
10°tan
20°+tan
20°·tan
60°+tan
60°tan
10°的值等于( )
A.1
B.2
C.tan
10°
D.
tan
20°
解析:tan
60°(tan
10°+tan
20°)
=
[tan(10°+20°)(1-tan
10°tan
20°)]
=1-tan
10°tan
20°,将它代入原式即可.
答案:A
1
2
3
4
5
6
解析:观察可知18°+42°=60°,可运用两角和的正切公式求值.
∵tan
18°+tan
42°+tan
120°
=tan
60°(1-tan
18°tan
42°)+tan
120°
=-tan
60°tan
18°tan
42°,
∴原式=-1.
答案:-1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.coscos+sinsin=( )
A.1
B.0
C.-1
D.
解析coscos+sinsin=cos=0.
答案B
2.若sin
α=,cos
α=,则k的值为( )
A.-7或1
B.-7
C.1
D.-7或-1
解析由题意知=1,
∴(k+1)2+(k-1)2=(k-3)2,
∴k2+6k-7=0,
∴k=-7或k=1,经检验,符合题意,故选A.
答案A
3.若sin
α-4cos
α=0,则tan的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析由已知得tan
α==4,
于是tan.
答案A
4.若(4tan
α+1)(1-4tan
β)=17,则tan(α-β)的值为
( )
A.
B.
C.4
D.12
解析由已知得4(tan
α-tan
β)=16(1+tan
αtan
β),即=4,∴tan(α-β)=4.故选C.
答案C
5.已知cos,则的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为cos,
所以sin
2α=-cos=1-2cos2,sin=cos,
所以.
答案A
6.已知tan
α=2,则的值是( )
A.
B.-
C.
D.
答案D
7.已知sin(α-β)cos
α-cos(α-β)sin
α=,且β是第三象限角,则cos的值等于( )
A.±
B.±
C.-
D.-
解析由已知,得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=,
∴sin
β=-.∵β是第三象限角,∴cos
β=-.
∴cos=±=±=±.
答案A
8.函数f(x)=2cos2x-sin
2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别是( )
A.2π,3
B.2π,1
C.π,3
D.π,1
解析∵f(x)=cos
2x+1-sin
2x
=2+1=2cos+1,
∴T=π,f(x)max=3.
答案C
9.若sin
2α=-,α∈,则sin
α+cos
α等于( )
A.-
B.
C.-
D.
解析由已知得(sin
α+cos
α)2=1+sin
2α=1-,
又α∈,
所以sin
α<0,cos
α>0,且|sin
α|<|cos
α|,
于是sin
α+cos
α=.
答案B
10.(2018全国Ⅱ高考)若f(x)=cos
x-sin
x在[0,a]是减函数,则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
解析∵f(x)=cos
x-sin
x
=cos,
(方法1)作图如图所示.
易知amax=π.
(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上为减函数,∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知x∈,∴amax=π.
答案C
11.化简sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的结果是
( )
A.89
B.
C.45
D.
解析sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+…+sin245°+cos244+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.故选B.
答案B
12.已知sin
2(α+γ)=nsin
2β,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析为方便,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=nsin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=nsin(β+δ)cos(β-δ)+ncos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=ntan(β+δ)-ntan(δ-β),于是.
答案D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.如果cos
α=,且α是第四象限的角,那么cos=.
解析由题意得sin
α=-=-=-,故cos=-sin
α=.
答案
14.已知tan=2,则的值为 .?
解析由tan=2,得tan
x=,
所以tan
2x=,
故.
答案
15.若A+B=,则cos2A+cos2B的取值范围是 .?
解析cos2A+cos2B=(cos
2A+cos
2B)+1.
因为A+B=,所以(cos
2A+cos
2B)+1=+1
=+1
=cos+1.
所以cos2A+cos2B∈.
答案
16.已知sin<α<π,则sin= .?
解析由<α<π可知<α+,
因为sin,
所以cos=-.
所以sin=sin
=cossin
=-=-.
答案-
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知sin
α=,α∈,tan
β=.
(1)求tan
α的值;
(2)求tan(α+2β)的值.
解(1)∵sin
α=,α∈,
∴cos
α=.
∴tan
α=.
(2)(方法一)∵tan
β=,
∴tan
2β=.
∴tan(α+2β)==2.
(方法二)∵tan
β=,
∴tan(α+β)==1.
∴tan(α+2β)==2.
18.(12分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在角α的终边上,点Q(sin2θ,-1)在角β的终边上,且=-.
求:(1)cos
2θ的值;
(2)sin(α+β)的值.
解(1)∵=-,∴sin2θ-cos2θ=-,
∴=-,
解得cos
2θ=.
(2)由(1)得cos2θ=,sin2θ=,∴P,Q.
∴sin
α=,cos
α=,sin
β=-,cos
β=,∴sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β==-.
19.(12分)从圆心角为120°,半径为20
cm的扇形铁片上截出一块矩形OPMN,如图,让矩形的一边在扇形的一条半径OA上,点M在弧AB上,求此矩形面积的最大值.
解设截出的矩形的面积为S
cm2,连接OM,设∠POM=α(0°<α<90°),易知S=OP·MP=OMcos
α·OMsin
α=OM2sin
2α=200sin
2α.
当sin
2α=1,即α=45°时,矩形的面积S取得最大值200
cm2.
答:矩形面积的最大值为200
cm2.
20.(12分)已知函数f(x)=tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)设α∈,若f=2cos
2α,求α的大小.
解(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,
所以f(x)的定义域为x∈Rx≠,k∈Z.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f=2cos
2α,得tan=2cos
2α,
即=2(cos2α-sin2α),
整理得=2(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
因为α∈,所以sin
α+cos
α≠0.
因此(cos
α-sin
α)2=,即sin
2α=.
由α∈,得2α∈,
所以2α=,即α=.
21.导学号93774103(12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a.
①sin213°+cos217°-sin
13°cos
17°;
②sin215°+cos215°-sin
15°cos
15°;
③sin218°+cos212°-sin
18°cos
12°;
④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos
48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos
55°.
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
解(1)选择②式计算.a=sin215°+cos215°-sin
15°·cos
15°=1-·sin
30°=.
(2)猜想的三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)=.
证明:sin2α+cos2(30°-α)-sin
αcos(30°-α)=sin2α+(cos
30°cos
α+sin
30°sin
α)2-sin
α·(cos
30°·cos
α+sin
30°sin
α)=sin2α+cos2α+sin
αcos
α+sin2α-sin
αcos
α-sin2α=sin2α+cos2α=.
22.导学号93774104(12分)已知函数f(x)=2sin
xcos
x+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos
2x0的值.
解(1)由f(x)=2sin
xcos
x+2cos2x-1,得f(x)=(2sin
xcos
x)+(2cos2x-1)=sin
2x+cos
2x=2sin.所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)=2sin在区间上为增函数,在区间上为减函数,又f(0)=1,f=2,f=-1,所以函数f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin.
又因为f(x0)=,所以sin.
由x0∈,得2x0+.
从而cos=-=-.
所以cos
2x0=cos
=coscos+sinsin
=.§1 同角三角函数的基本关系
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.已知tan
α=3,则等于( )
A.
B.
C.
D.2
答案B
2.在△ABC中,若cos(A+B)>0,sin
C=,则tan
C等于( )
A.
B.-
C.±
D.
解析由cos(A+B)>0知,-cos
C>0,即cos
C<0,
又sin
C=,
所以cos
C=-=-,
故tan
C==-.
答案B
3.若=-5,则tan
α的值为( )
A.-2
B.2
C.
D.-
解析由已知可得=-5,解得tan
α=-.
答案D
4.若α为第三象限角,则的值为
( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
解析∵α为第三象限角,
∴sin
α<0,cos
α<0,
则=-1-2=-3.
答案B
5.若△ABC的内角A满足sin
Acos
A=,则sin
A+cos
A的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为sin
Acos
A=>0,
所以内角A为锐角,
所以sin
A+cos
A=.
答案A
6.若角α的终边落在直线x+y=0上,则= .?
解析∵角α的终边落在直线y=-x上,
∴角α的终边可能在第二或第四象限,
则
答案0
7.已知向量a=(3,4),b=(sin
α,cos
α),且a∥b,则tan
α= .?
解析∵a=(3,4),b=(sin
α,cos
α),且a∥b,
∴3cos
α-4sin
α=0.∴tan
α=.
答案
8.已知cos2α+4sin
αcos
α+4sin2α=5,则tan
α= .?
解析由题意知
==5,
整理得tan2α-4tan
α+4=0,∴tan
α=2.
答案2
9.证明:.
证明左边=
=
==右边,
故原等式成立.
10.导学号93774089已知sin
θ+cos
θ=-,
(1)求的值;
(2)求tan
θ的值.
解(1)因为sin
θ+cos
θ=-,
所以1+2sin
θcos
θ=,即sin
θcos
θ=-,
所以.
(2)由(1)得=-,
所以=-,
即3tan2θ+10tan
θ+3=0,
所以tan
θ=-3或tan
θ=-.
B组 能力提升
1.已知α为第二象限角,sin,则sin=
( )
A.-
B.
C.-
D.
解析由sin,可得cos,
于是sin=sin
=±=±,
又α为第二象限角,cos,
所以-α是第四象限角,
从而sin=-.
答案A
2.化简的结果是( )
A.sin
4+cos
4
B.sin
4-cos
4
C.cos
4-sin
4
D.-(sin
4+cos
4)
解析先判断4是第几象限角,再比较sin
4与cos
4的大小.∵<4<,
∴0>cos
4>sin
4,
∴=|sin
4-cos
4|=cos
4-sin
4,故选C.
答案C
3.记cos(-80°)=k,那么tan
100°=( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为sin
80°=,所以tan
100°=-tan
80°=-=-.
答案B
4.已知sin
α=,cos
α=,α是第四象限角,则tan
α= .?
解析由sin2α+cos2α=1,知=1,解得m=8或m=0.
又α为第四象限角,则sin
α<0,cos
α>0,知m=8,则tan
α=-.
答案-
5.已知tan
α=2,则的值为 .?
解析原式=.
答案
6.导学号93774090求证:.
证明方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=(sin
x+1-cos
x-cos
x-1+sin
x)
=
=右边.
7.导学号93774091已知sin
α,cos
α是方程5x2-x+m=0的两个实根.
(1)求m的值;
(2)当α∈(0,π)时,求tan(3π-α)的值;
(3)求sin3α+cos3α的值.
解(1)∵sin
α,cos
α是5x2-x+m=0的两个实根,
∴
又sin2α+cos2α=1,
∴(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α=1+,
解得m=-.
(2)∵m=-,sin
α+cos
α>0,sin
αcos
α<0,
∴α∈.
∴5x2-x-=0,
解得x=-或x=.
∴sin
α=,cos
α=-.
∴tan(3π-α)=-tan
α=-.
(3)sin3α+cos3α=(sin
α+cos
α)(sin2α-sin
αcos
α+cos2α)=.(共32张PPT)
习题课——三角恒等变换公式的综合应用
一
二
三
四
一、两角的和与差的正弦、余弦、正切公式
1.C(α±β)
cos(α±β)=cos
αcos
β?sin
αsin
β
.?
2.S(α±β)
sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β
.?
3.T(α±β)
一
二
三
四
二、二倍角公式
1.S2α:sin
2α=2sin
αcos
α
.?
2.C2α:cos
2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
一
二
三
四
三、半角公式
一
二
三
四
四、有关公式的逆用及变形
1.tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β).
3.辅助角公式
特别提醒1.在半角公式中,公式中的“正负号”由半角所在象限来确定,当不能确定时,要保留“正负号”.
2.在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范围,正切无意义的角是不能套用公式的.
3.上述辅助角公式中的φ满足tan
φ=
,且φ所在象限由a,b来确定,且满足条件的φ有无数个.
一
二
三
四
答案:C
一
二
三
四
【做一做2】
下列函数中,最小正周期为π的奇函数是
( )
答案:B
一
二
三
四
答案:A
一
二
三
四
(1)求f(x)的表达式;
一
二
三
四
探究一
探究二
探究三
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三角函数的求值
【例1】
(1)已知tan
α=2,则sin
2α的值是( )
答案:(1)B (2)3
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反思感悟
三角函数求值主要有三种类型
1.“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
2.“给值求值”,即给出某些角的三角函数的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
3.“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
探究一
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三角函数的化简
∴sin
αα<0.
∴原式=cos
α-sin
α+sin
α+cos
α=2cos
α.
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反思感悟
三角函数化简的原则、目标及技巧
1.三角函数式化简的基本原则
(1)切化弦.
(2)异名化同名.
(3)异角化同角.
(4)高次降幂.
(5)分式通分.
(6)无理化有理.
(7)常数的处理(特别注意“1”的代换).
探究一
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2.三角函数式化简的目标
(1)次数尽可能低.
(2)角尽可能少.
(3)三角函数名称尽可能统一.
(4)项数尽可能少.
3.三角函数式化简的基本技巧
(1)sin
α,cos
α→凑倍角公式.
(2)1±cos
α→升幂公式.
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三角函数的证明
思路分析:等式两边的角都是θ,但切弦同时出现,将切化弦化简求证.
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反思感悟关于三角恒等式的证明,常用的方法有:从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简;左右归一法,即证明左、右两边都等于同一个式子;化异为同法,针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异;比较法,设法证明“左边-右边=0”或“
=1”.
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三角恒等变换在解决三角函数性质中的应用
(3)将函数y=f(x)的图像向右平移
个单位后,再将得到的图像上各点的纵坐标向下平移5个单位,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)的表达式并判断奇偶性.
思路点拨:(1)利用降幂公式、辅助角公式将原函数化为正弦型函数再研究性质;
(2)要将已知与所求具体化,再利用角变换技巧与和差公式解决;
(3)利用图像变换理论先得到g(x),再利用奇偶性定义加以判断.
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名师点评与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种情形:
1.以三角恒等变形为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图像和性质.
2.以向量运算为载体,考查三角恒等变形.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
答案:π
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.求sin
10°sin
30°sin
50°sin
70°的值.
1
2
3
4
5
5.已知向量a=(sin
x,1),b=
,
(1)当a⊥b时,求|a+b|的值.
(2)求函数f(x)=a·(2b-a)+cos2x的单调区间.
1
2
3
4
5§2 两角和与差的三角函数
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.已知a=(2sin
35°,2cos
35°),b=(cos
5°,-sin
5°),则a·b=( )
A.
B.1
C.2
D.2sin
40°
解析a·b=2sin
35°cos
5°-2cos
35°sin
5°
=2sin(35°-5°)=2sin
30°=1.
答案B
2.在△ABC中,已知sin(A-B)cos
B+cos(A-B)sin
B≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰非直角三角形
解析sin(A-B)cos
B+cos(A-B)sin
B=sin[(A-B)+B]=sin
A≥1,又sin
A≤1,所以只能有sin
A=1,即A=,三角形是直角三角形.
答案C
3.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值为
( )
A.-
B.
C.-7
D.7
解析由sin(α+β)=得sin
αcos
β+cos
αsin
β=,
①
由sin(α-β)=得sin
αcos
β-cos
αsin
β=,
②
由①②得sin
αcos
β=,cos
αsin
β=-,
以上两式相除得=-7.
答案C
4.在△ABC中,A=,cos
B=,则sin
C=( )
A.-
B.
C.-
D.
解析∵cos
B=>0,B∈(0,π),∴B∈,
∴sin
B=,
∴sin
C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin
Acos
B+cos
Asin
B
=.
答案D
5.若将函数f(x)=sin
2x+cos
2x的图像向右平移φ个单位长度,所得图像关于y轴对称,则φ的最小正值是
( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意f(x)=sin
2x+cos
2x=sin,将其图像向右平移φ个单位长度,得函数y=sinsin的图像,要使图像关于y轴对称,则-2φ=+kπ,解得φ=-,当k=-1时,φ取最小正值.
答案C
6.若cos(A-B)=,则(sin
A+sin
B)2+(cos
A+cos
B)2=.
解析原式=sin2A+2sin
Asin
B+sin2B+cos2A+2cos
Acos
B+cos2B=2+2cos(A-B)=2+.
答案
7.若sin
α-sin
β=1-,cos
α-cos
β=,则cos(α-β)的值为 .?
答案
8.函数f(x)=cos
x+cos的对称轴方程为 .?
解析y=cos
x+cos
=cos
x+cos
x-sin
x
=
=sin=-sin,
令x-=kπ+(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
即对称轴方程是x=kπ+(k∈Z).
答案x=kπ+(k∈Z)
9.化简:sin+2sincos.
解原式=sin
xcos+cos
xsin+2sin
xcos-2cos
xsincoscos
x-sinsin
x
=sin
x+-2sincos
x
=sin
x+cos
x=0.
10.求函数f(x)=sin
2x+cos
2x的递增区间.
解f(x)=sin
2x+cos
2x
=
=sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
故f(x)的递增区间是(k∈Z).
11.导学号93774092已知cos
α-cos
β=,sin
α-sin
β=-,求cos(α-β)的值.
解由已知cos
α-cos
β=,sin
α-sin
β=-,两式两边平方并相加,得(cos
α-cos
β)2+(sin
α-sin
β)2=,即2-2cos
αcos
β-2sin
αsin
β=,
∴cos
αcos
β+sin
αsin
β=,
∴cos(α-β)=.
B组 能力提升
1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值等于
( )
A.±1
B.1
C.-1
D.0
解析原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)=-cos(θ+15°)+sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(-60°)cos(θ+15°)+cos(-60°)·sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=0,故选D.
答案D
2.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在内是减少的
B.f(x)在内是减少的
C.f(x)在内是增加的
D.f(x)在内是增加的
解析f(x)=sin,由T==π,得ω=2,则f(x)=sin.
又f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,
因为|φ|<,所以φ+,
所以f(x)=cos
2x,易知A正确.
答案A
3.若sin
2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析∵α∈,∴2α∈.
∵sin
2α=,∴2α∈,
∴α∈,∴cos
2α=-.
∵β∈,
故β+α∈,β-α∈,
于是cos(β-α)=-,
∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]
=cos
2αcos(β-α)-sin
2αsin(β-α)
=-.
又α+β∈,故α+β=.
答案A
4.已知α为锐角,且cos,则sin
α= .?
答案
5.设cos
α=-,tan
β=,π<α<,0<β<,求α-β的值.
解由cos
α=-,π<α<,得sin
α=-.
由tan
β=,0<β<,得sin
β=,cos
β=,
所以sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β==-.
由π<α<,0<β<,得-<-β<0,<α-β<,因此,α-β=.
6.导学号93774093如图,设A是单位圆和x轴正半轴的交点,P,Q是单位圆上的两点,O是坐标原点,且∠AOP=,∠AOQ=α,α∈[0,π).
(1)若点Q的坐标是,求cos的值;
(2)设函数f(α)=,求f(α)的值域.
解(1)由已知,可得cos
α=,sin
α=.
所以cos=cos
αcos
+sin
αsin.
(2)f(α)=
=·(cos
α,sin
α)
=cos
α+sin
α=sin.
因为α∈[0,π),所以α+,
所以-故f(α)的值域是.
7.导学号93774094已知函数f(x)=sin+cos(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求f(β)的值.
解(1)∵f(x)=sin
xcos+cos
xsin+cos
xcos+sin
xsinsin
x-cos
x=2sin.
∴f(x)的最小正周期为T==2π,最小值f(x)min=-2.
(2)由已知得cos
αcos
β+sin
αsin
β=,cos
αcos
β-sin
αsin
β=-,
两式相加得2cos
αcos
β=0.
∵0<α<β≤,
∴cos
β=0,
即β=.
∴f(β)=2sin.习题课——三角恒等变换公式的综合应用
课后篇巩固探究
1.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为
( )
A.
B.
C.±
D.±
解析∵θ为第二象限角,∴为第一、三象限角.
∴cos的值有两个.
由sin(π-θ)=,可知sin
θ=,∴cos
θ=-.
∴2cos2=cos
θ+1=.∴cos=±.
答案C
2.的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析原式=
=
=.
答案C
3.若sin,则cos=( )
A.
B.-
C.
D.-
解析∵sin,∴sin,
∴cos,
∴cos=2cos2-1
=2×-1=-,选D.
答案D
4.函数y=cos2的图像沿x轴向右平移a个单位(a>0)后,所得图像关于y轴对称,则a的最小值为( )
A.π
B.
C.
D.
解析∵y=cos2=-sin
2x+,将y=-sin
2x+向右平移a个单位后得到y=-sin(2x-2a)+,又根据其图像关于y轴对称,则2a=kπ+,k∈Z,∴amin=.
答案D
5.关于函数f(x)=2(sin
x-cos
x)cos
x的四个结论:
P1:最大值为;
P2:把函数g(x)=sin
2x-1的图像向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin
x-cos
x)cos
x的图像;
P3:单调递增区间为,k∈Z;
P4:图像的对称中心为,k∈Z.
其中正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析因为f(x)=2sin
xcos
x-2cos2x=sin
2x-cos
2x-1=sin-1,所以最大值为-1,所以P1错误.
将g(x)=sin
2x-1的图像向右平移个单位后得到h(x)=·sin
2-1=sin-1的图像,所以P2错误.
由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即增区间为,k∈Z,所以P3正确.
由2x-=kπ,k∈Z,得x=π+,k∈Z,
所以图像的对称中心为,k∈Z,所以P4正确,所以选B.
答案B
6.若sin,0≤α≤π,则tan
α的值是 .?
解析.∵0≤α≤π,∴0≤.
当0≤时,cos≥sin,∴原式=2sin.
又原式=sin,∴sin=0,∴tan=0,
∴tan
α==0.
当<α≤时,cos∴原式=2cos.
又原式=sin,∴tan=2,
∴tan
α=-.
答案0或-
7.函数f(x)=4cos2cos-2sin
x-|ln(x+1)|的零点个数为 .?
解析令f(x)=4··sin
x-2sin
x-|ln(x+1)|=sin
2x-|ln(x+1)|=0,即sin
2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin
2x与y=|ln(x+1)|的图像.
由图像知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.
答案2
8.已知tan
α=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
解(1)tan
==-3.
(2)
=
=
==1.
9.导学号93774100已知5sin
β=sin(2α+β),求证:2tan(α+β)=3tan
α.
证明5sin
β=5sin[(α+β)-α]
=5sin(α+β)cos
α-5cos(α+β)sin
α,
sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]
=sin(α+β)cos
α+cos(α+β)sin
α.
∵5sin
β=sin(2α+β),∴5sin(α+β)cos
α-5cos(α+β)sin
α=sin(α+β)cos
α+cos(α+β)sin
α,∴4sin(α+β)cos
α=6cos(α+β)sin
α,∴2tan(α+β)=3tan
α.
10.导学号93774101已知向量a=(cos
x,sin
x),b=(-cos
x,cos
x),c=(-1,0).
(1)若x=,求向量a,c的夹角;
(2)当x∈时,求函数f(x)=2a·b+1的最大值.
解(1)∵a=(cos
x,sin
x),c=(-1,0),
∴|a|==1,|c|==1.
当x=时,a=,
a·c=×(-1)+×0=-,cos==-.∵0≤≤π,∴=.
(2)f(x)=2a·b+1=2(-cos2x+sin
xcos
x)+1
=2sin
xcos
x-(2cos2x-1)=sin
2x-cos
2x
=sin.
∵x∈,∴2x-,
∴sin,
∴当2x-,即x=时,f(x)max=1.(共35张PPT)
2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
一
二
一、两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β,简记为Cα-β.?
名师点拨1.公式的结构特征:公式右端是两角α,β的余弦值之积与正弦值之积的和,即“同名相乘,加号连接”.
2.公式的适用范围:公式适用于任意角α,β,可以是单独一个角,也可以是几个角的组合.
3.注意公式的逆用、变形应用是灵活使用公式的前提,如cos
αcos
β+sin
αsin
β=cos(α-β),(cos
α+cos
β)2+(sin
α+sin
β)2=2+2cos(α-β)等.
一
二
【做一做1】
cos(-15°)的值为( )
解析:cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos
30°·cos
45°+sin
30°·sin
45°
答案:B
【做一做2】
求值:cos
79°cos
19°+sin
79°sin
19°= .?
一
二
二、两角和与差的正弦、余弦公式
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β,简记为Cα+β;?
sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β,简记为Sα+β;?
sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β,简记为Sα-β.?
名师点拨1.公式的记忆技巧
2.上述公式不仅要能够正用,还要善于逆用、变形用.
一
二
一
二
答案:A
【做一做4】
sin
69°·cos
99°-cos
69°·sin
99°= .?
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)存在这样的α和β的值,使得cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
( )
(2)不存在无穷多个α和β的值,使得cos(α+β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β.
( )
(3)对于任意的α和β,有cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.
( )
(4)不存在这样的α和β的值,使得sin(α-β)≠sin
αcos
β-cos
αsin
β.
( )
(5)存在这样的α和β的值,使sin(α+β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
探究一
探究二
探究三
探究四
给角化简求值问题
【例1】
化简或求值:
(1)sin
43°cos
13°-sin
13°sin
47°;
(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α);
思路分析:(1)式子中出现了三个角,但注意到43°与47°可以用诱导公式转换,从而可以选择公式求值.(2)式子中出现的角是“整体”的形式,要把“α-35°”看作角“α”,把“25°+α”看作角“β”,再逆用两角差的余弦公式.(3)直接利用两角和与差的余弦公式展开即可化简.(4)将sin
47°改写为sin(17°+30°),再用公式展开化简.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)方法一:sin
43°cos
13°-sin
13°sin
47°
=sin
43°cos
13°-sin
13°cos
43°
=sin(43°-13°)=sin
30°=
.
方法二:sin
43°cos
13°-sin
13°sin
47°
=cos
47°cos
13°-sin
13°sin
47°
=cos(47°+13°)
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给角化简求值问题,是指给出一个三角函数式,其中的角度已知,通过公式的运用,对三角函数式进行化简求值.
2.对于给角求值问题,一般所给的角都不是特殊角,无法直接运算,这时通常是观察非特殊角与特殊角间的关系,通过合理地运用两角和与差的三角函数公式,将非特殊角转化为特殊角,或使含有非特殊角的式子出现“正负抵消”或“分子分母约分”的情况,从而消除非特殊角,进而求得式子的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1化简下列各式:
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:(1)B (2)-1
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求值问题
(2)若将cos(α+β)展开,利用平方关系求cos
β,则运算量大,而利用角的变换β=(α+β)-α,两边取余弦即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给值求值型问题,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的终边所在的象限确定符号.
2.对于例2(2)的解法显然要比将cos(α+β)展开再结合平方关系解方程组的方法简单得多,所以在给值求值问题中,认真分析已知角与未知角的关系,将未知角用已知角巧妙地表示是至关重要的.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求角问题
思路分析:因为α,β均为锐角,所以α+β∈(0,π),而余弦函数在(0,π)上是减少的,因此先求α+β的余弦值,进而求出α+β的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
给值求角问题的步骤
给值求角问题,步骤是:(1)先求该角的某一三角函数值;(2)确定该角的范围;(3)依据角的范围写出所求的角.在求该角的某一三角函
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
辅助角公式的应用
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
思路分析:利用辅助角公式将f(x)转化为正弦型函数,再研究函数的周期和最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
辅助角公式的应用
2.研究三角函数的性质时,通常要将函数解析式化为Asin(ωx+φ)的形式,如果不具备这种形式,通常就需要运用辅助角公式,将其转化为这一形式,再研究相应的性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:(1)B (2)B
1
2
3
4
5
6
1.cos
45°cos
15°+sin
15°sin
45°的值为( )
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.在△ABC中,若sin
A·sin
BA·cos
B,则△ABC一定为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析:由已知得cos
A·cos
B-sin
A·sin
B>0,
即cos(A+B)>0,∴A+B为锐角,则C为钝角.
答案:D
1
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3
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5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
5.计算或化简下列各式:
(1)cos
15°cos
105°-cos
15°sin
15°;
(2)sin(α-30°)+sin(α+30°);
(3)sin(2α+β)-2cos(α+β)sin
α.
解:(1)原式=-cos
15°cos
75°-sin
75°sin
15°
=-(cos
75°cos
15°+sin
75°sin
15°)
(2)原式=sin
αcos
30°-cos
αsin
30°+sin
αcos
30°+cos
αsin
30°=2sin
αcos
30°=
sin
α.
(3)原式=sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin
α
=sin(α+β)cos
α+cos(α+β)sin
α-2cos(α+β)sin
α
=sin(α+β)cos
α-cos(α+β)sin
α
=sin[(α+β)-α]=sin
β.
1
2
3
4
5
6
解:∵2α=(α-β)+(α+β),
∴cos
2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β).(共32张PPT)
§1 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系
归纳总结1.两个公式体现的是同角三角函数的基本关系,其中平方关系体现的是同一个角的正弦与余弦之间的关系;商数关系体现的是同一个角的正弦、余弦和正切三者之间的关系.
2.对“任意”一个角(在使得函数有意义的前提下),同角三角函数的基本关系式都成立,与角的表示形式无关,如sin22α+cos22α=1,
=tan
4α等.
3.sin2α与sin
α2之间的区别:前者是α的正弦的平方,读作“sin
α的平方”;后者是α的平方的正弦,两者是截然不同的.
4.同角三角函数基本关系式的变形有以下几种:
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;
(5)(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α等.
答案:D
【做一做2】
若tan
α=3,则sin
αcos
α= .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)在△ABC中,若sin
A+cos
A=
,则△ABC为钝角三角形.
( )
(4)在△ABC中,若sin
A+cos
A=1,则△ABC为直角三角形.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
简单的三角函数求值问题
(2)首先利用cos
α>0,且cos
α≠1,得出α是第一或第四象限角,然后根据α所在的象限分别求出sin
α的值,最后求出tan
α的值.
(3)由tan
α=
=2和sin2α+cos2α=1联立解方程组,即可求得sin
α,cos
α的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟通过本题的解答可得出如下规律:
4.利用同角三角函数关系式求值时,要注意角所在象限的判断,必要时进行讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1(1)若α是第四象限角,且cos
α=
,则sin
α=( )
答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
关于sin
α和cos
α的齐次式的求值
【例2】
已知tan
α=3,求下列各式的值:
思路分析:将待求式(或已知式)中的弦化切,充分利用
=tan
α的代换.也可以联立方程组求解.
解法一已知tan
α=3,利用同角三角函数关系,
再代入所求关系式求值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二(1)把分子、分母同时除以cos
α,
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.若待求分式的分子、分母都是含有sin
α,cos
α的齐次式,则可采用分子、分母同时除以cos
α的若干次方,将其转化为关于tan
α的表达式,比如:
2.若一个式子是关于sin2α与cos2α的二次齐次式,则可逆用平方关系sin2α+cos2α=1将其转化为1中的问题再求解.
比如:asin2α+bsin
αcos
α+ccos2α
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)sin2α+sin
αcos
α+2.
探究一
探究二
探究三
探究四
利用sin
θ±cos
θ与sin
θcos
θ间的关系求值
【例3】
已知sin
θ+cos
θ=
,θ∈(0,π),求:(1)tan
θ;(2)sin
θ-cos
θ.
思路分析:一种思路是由已知条件和平方关系联立,解方程组求得sin
θ与cos
θ的值,再求两个式子的值;另一种思路是利用sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ三者之间的关系整体求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.由同角三角函数的基本关系式,可得(sin
θ±cos
θ)2=1±2sin
θcos
θ,因此,sin
θ+cos
θ,sin
θ-cos
θ,sin
θcos
θ三式之间有密切的关系,知一式的值可求另两式的值.
2.在求解sin
α±cos
α的值时往往需要用到开方,此时需要先判断sin
α±cos
α的正负,判定的方法有:(1)根据sin
αcos
α的正负进行判断;(2)可根据角的范围进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:(1)B (2)B
探究一
探究二
探究三
探究四
三角函数的化简与证明
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
三角函数化简与证明的方法
1.三角函数式的化简就是表达式的恒等变形,其一般要求如下:
(1)尽量使函数种类最少,项数最少,次数最低;
(2)尽量使分母不含三角函数式;
(3)根式内的三角函数式尽量开出来;
(4)能求得数值的应计算出来.
注意在三角函数式变形时,常将式子中的“1”作巧妙的变形.
探究一
探究二
探究三
探究四
2.证明三角恒等式,实际上就是将左右两端表面看似存在较大差异的式子,通过巧妙变形后消除差异,使其左右两端相等.为了达到这个目的,我们经常采用以下的策略和方法:
(1)从一边开始,证明它等于另一边;
(2)证明左右两边都等于同一个式子;
(3)变更论证,采用左右相减、化除为乘等方法,转化成与原结论等价的命题形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
4
5
6
1.若α是第四象限角,则下列各式中,成立的是( )
解析:由同角三角函数的基本关系式得sin
α=-
(α是第四象限角)是成立的.
答案:C
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
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5
6(共17张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数求值问题的三种常见形式
三角函数的求值问题通常包括三种类型:给角求值,给值求值,给值求角.
给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值,给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角,给值求角的关键是确定角的范围.
专题一
专题二
专题三
1.给角求值
分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先切化弦通分,再根据角之间的关系求解.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
2.给值求值
分析:本题主要考查三角函数的给值求值,解题的关键是用整体代换的思想,
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
3.给值求角
分析:围绕着cos(α+2β)的展开式进行铺垫,关键要利用给定角的锐角条件及给定数据确定出α+2β的尽可能小的范围.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题二 三角函数化简与证明中的常用技巧
用三角恒等变换进行化简、证明的常见思路和方法
(1)变角(即式子中所含角的变换):通过观察不同三角函数式所包含的角的差异,借助于“拆凑角”(如用特殊角表示一般角、用已知角表示所求角等)、“消角”(如异角化同角,复角化单角,sin2α+cos2α=1等)来减少角的个数,消除角与角之间的差异.
(2)变名(即式子中不同函数之间的变换):通过观察角的三角函数种类的差异,借助于“切割化弦”“弦切互化”等进行函数名称的变换.
专题一
专题二
专题三
(3)变式(即式子的结构形式的变换):通过观察不同的三角函数结构式的差异,借助于以下几种途径进行变换:
①常值代换,如“1”的代换1=sin2θ+cos2θ=tan
45°.
专题一
专题二
专题三
专题三 三角恒等变换在研究三角函数中的应用
分析:先用诱导公式、倍角公式、辅助角公式将原函数化为正弦型函数再进行函数性质或图像的研究.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
(1)求函数f(x)的对称轴;
专题一
专题二
专题三2.3 两角和与差的正切函数
课后篇巩固探究
1.已知α∈,sin
α=-,则tan=
( )
A.-7
B.-
C.
D.7
解析∵α∈,∴cos
α=,
∴tan
α=-.
∴tan=-.
答案B
2.已知tan(α+β)=,tan,那么tan=( )
A.
B.
C.
D.-
解析因为α+=(α+β)-,
所以tan=tan
=,
故选C.
答案C
3.若A=15°,B=30°,则(1+tan
A)(1+tan
B)的值为
( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
解析由结论A+B=45°,则(1+tan
A)(1+tan
B)=2.
答案B
4.若tan
α=lg(10a),tan
β=lg,且α+β=,则实数a的值为( )
A.1
B.
C.1或
D.1或10
解析tan
α+tan
β=lg(10a)+lg=lg
10=1.
∵α+β=,
∴tan=tan(α+β)==1,∴tan
αtan
β=0,
则有tan
α=lg(10a)=0或tan
β=lg=0,
∴10a=1或=1,即a=或1,故选C.
答案C
5.若锐角α,β使α+2β=,tantan
β=同时成立,则α+β的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析∵α+2β=,∴+β=,∴tan,即tan+tan
β=,∴tan,tan
β是x2-x+=0的两个根,解得tan=tan
β=.
又α,β均为锐角,
∴=β=,故α+β=.
答案B
6.(2018全国Ⅱ高考)已知tan,则tan
α= .?
解析∵tan,
∴5tan
α-5=1+tan
α.∴tan
α=.
答案
7.tan
23°+tan
37°+tan
23°tan
37°的值是 .?
解析∵tan
60°=,
∴tan
23°+tan
37°=tan
23°tan
37°,
∴tan
23°+tan
37°+tan
23°tan
37°=.
答案
8.已知α∈,且tan=3,则log5(sin
α+2cos
α)+log5(3sin
α+cos
α)=.
解析利用两角和的正切公式得
tan=3,
∴tan
α=.
∴log5(sin
α+2cos
α)+log5(3sin
α+cos
α)
=log5
=log5=log55=1.
答案1
9.导学号93774095已知tan
α=3.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
解(1)tan.
(2)由tan
α=3,得cos
α≠0,
所以=4.
10.导学号93774096已知tan
α=-,cos
β=,α,β∈(0,π).
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β)的最大值.
解(1)∵cos
β=,β∈(0,π),∴sin
β=,
∴tan
β=2,
∴tan(α+β)==1.
(2)∵tan
α=-,α∈(0,π),
∴sin
α=,cos
α=-,
∴f(x)=(sin
xcos
α-cos
xsin
α)+(cos
xcos
β-sin
xsin
β)
=-sin
x-cos
x+cos
x-sin
x
=-sin
x.
又-1≤sin
x≤1,
∴f(x)的最大值为.
11.在△ABC中,求证:tantan+tantan+tantan=1.
证明左边=tan+tantan
=tantan+tantan
=tantan+tan·tan
=tan+tantan
=1=右边.
故原等式成立.(共29张PPT)
§3 二倍角的三角函数
一
二
一、正弦、余弦、正切的倍角公式
1.S2α:sin
2α=2sin
αcos
α.?
2.C2α:cos
2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1.
一
二
【做一做1】
下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin
8α=2sin
4αcos
4α
B.1-cos
2α=2sin2α
C.(sin
α+cos
α)2=1+sin
2α
答案:D
【做一做2】
化简或求值:
一
二
二、半角公式
一
二
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)若函数f(x)=A1sin(ωx+φ1),g(x)=A2sin(ωx+φ2)(其中A1>0,A2>0,ω>0),则m(x)=f(x)+g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
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运用倍角公式求值
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟
运用倍角公式时的注意事项
在运用倍角公式时,要注意以下两点:
(1)明确式子结构,观察角与角之间的关系,当单角是非特殊角,而其倍角是特殊角时,常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值;当式子中涉及的角较多,要先变角,化异角为同角;对根式形式的化简,以去根号为目的,化简时注意角的范围.
(2)注意公式的正用、逆用及变形用,要注意从“角”和“函数名称”两个角度去分析,合理选择公式.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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运用半角公式求值
(2)已知等腰三角形顶角的余弦值为
,那么这个三角形一底角的余弦值为 .?
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用半角公式进行求值和化简时,要正确选用降幂公式和升幂公式.
当待化简式中含有根式时,应选用升幂公式去根号;当待化简式中含有高次式时,应选用降幂公式减少运算量,同时注意隐含条件中角的范围.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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运用倍角、半角公式进行化简、证明
【例3】
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
思路分析:(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos
2θ与1+cos
2θ运用公式先化简,后约分结合同角关系证明.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.对于三角函数式的化简,注意以下两点:
(1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.
(2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
探究一
探究二
探究三
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2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
探究一
探究二
探究三
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(2)求证:cos4α-sin4α=cos
2α.
(2)证明:左边=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos2α-sin2α=cos
2α=右边,所以等式成立.
探究一
探究二
探究三
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倍角公式在研究三角函数性质中的应用
思路点拨:先化简三角函数式,再利用正弦型三角函数的性质求最小正周期和最值.
探究一
探究二
探究三
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名师点评要研究三角函数的周期性、单调区间、值域等性质,就必须要把函数解析式化为Asin(ωx+φ)的形式,因此,化简函数解析式是研究性质的前提.而化简解析式时,需要用到各种三角函数公式,例如,同角的三角函数基本关系式、两角和与差的三角函数公式及倍角公式,特别是当解析式的次数不是1时,经常用倍角公式及其变形进行降幂,然后再用其他相关公式化简.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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答案:C
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答案:D
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3.已知向量a=(3,-2),b=(cos
α,sin
α),若a∥b,则tan
2α的值为( )
答案:B
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