§6 平面向量数量积的坐标表示
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=( )
A.20
B.54
C.(-10,30)
D.(-8,24)
解析∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6),
∴(a·b)(a+b)=(-10,30).
答案C
2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
解析a+b=(3,k+2),又a+b与a共线,所以k+2=3k,解得k=1,于是a=(1,1),设a与c夹角为θ,
则cos
θ=.
答案B
3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=( )
A.4
B.3
C.
D.4
解析由已知得=(1,k-1),而由题意得,即=-3+k-1=0,故k=4.
答案D
4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为.
答案D
5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.
B.
C.2
D.10
解析∵向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=,故选B.
答案B
6.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b= .?
解析由题意知b=λ(1,-2)=(λ,-2λ)(λ<0).
∵|b|=3,∴=3.
∴5λ2=45,∴λ2=9.
∵λ<0,∴λ=-3.∴b=(-3,6).
答案(-3,6)
7.直线y=2x-1与直线x+y=1的夹角的余弦值为 .?
解析由已知得两直线的方向向量分别是m=(1,2),n=(1,-1),于是cos
θ==-,于是两直线的夹角的余弦值是.
答案
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,E,F是斜边AB的两个三等分点,且AC=6,BC=8,则= .?
解析
以C为原点,CB,CA分别为x轴、y轴建立坐标系,由已知可得,C(0,0),E,F,于是,于是.
答案
9.已知a=(1,2),b=(-3,2).
(1)求a-b及|a-b|;
(2)求ka+b与a-b垂直,求实数k的值.
解(1)a-b=(4,0),|a-b|==4.
(2)ka+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0).
∵(ka+b)⊥(a-b),∴(ka+b)·(a-b)=4(k-3)+(2k+2)·0=0,解得k=3.
10.导学号93774078已知a,b,c
是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解(1)设c=(x,y),∵|c|=2,
∴=2,即x2+y2=20.
由c∥a和|c|=2,可得
解得
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),
∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
∴2×5+3a·b-2×=0,
整理得a·b=-,
∴cos
θ==-1.
又θ∈[0,π],∴θ=π.
B组 能力提升
1.已知向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b夹角的余弦值为( )
A.
B.-
C.±
D.
解析由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16)得a=(-3,4),b=(5,-12),所以cos
==-,故选B.
答案B
2.已知O为坐标原点,向量=(3sin
α,cos
α),=(2sin
α,5sin
α-4cos
α),α∈,且,则tan
α的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析由题意知6sin2α+cos
α·(5sin
α-4cos
α)=0,即6sin2α+5sin
αcos
α-4cos2α=0,等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan
α-4=0,由于α∈,所以tan
α<0,解得tan
α=-,故选A.
答案A
3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,+∞)
B.
C.(-∞,-2)
D.(-2,2)
解析由a·b=2+k>0得k>-2,又当a∥b时,2k=1,k=,所以a与b夹角为锐角时,k的范围是.
答案B
4.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( )
A.[0,1]
B.[-1,1]
C.[-]
D.[0,]
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos
θ=cos
θ,∵cos
θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-].
答案C
5.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,则t的值为 .?
解析∵a=(4,-3),b=(2,1),
∴a+tb=(4+2t,-3+t).
∵a+tb与b的夹角为45°,
∴(a+tb)·b=|a+tb||b|cos
45°,
∴2(4+2t)+(-3+t)×1
=,
∴5t+5=.
∴(t+1).
①
将①式两边平方得t2+2t-3=0,
解得t=1或t=-3.
当t=-3时,①式无意义,∴t=-3舍去,故t=1.
答案1
6.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
解(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),
则=(2,6),=(4,4),
所以||=2,||=4.
故所求的两条对角线的长分别为2,4.
(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得
(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,
所以t=-.
7.导学号93774079在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?
解因为a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d).
所以(a+b)2=(c+d)2,
即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.
因为a·b=c·d,所以|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.
①
同理,有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.
②
由①②可得|a|=|c|,且|b|=|d|,
即四边形ABCD的两组对边分别相等.
所以四边形ABCD是平行四边形.
又由a·b=b·c得b·(a-c)=0.
而由平行四边形ABCD的性质得a=-c,
代入上式得b·(2a)=0,
即a·b=0.所以a⊥b,即AB⊥BC.
综上所述,四边形ABCD是矩形.
8.导学号93774080如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求的值;
(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,
此时=(-10,0),
所以=-×(-10)+×0=14.
(2)设点E的坐标为(0,y)(y≠0),
此时,
所以=-×(-10)+×0=14,为常数,
故的值是一个常数.习题课——平面向量数量积的综合应用
课后篇巩固探究
1.已知a=(3,-2),b=(1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析向量λa+b与a-2b垂直,则(λa+b)·(a-2b)=0,又因为a=(3,-2),b=(1,0),故(3λ+1,-2λ)·(1,-2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-.
答案C
2.若△ABC满足∠A=,AB=2,则下列三个式子:①,②,③中为定值的式子的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析因为=||||cos
=0,
所以为定值;
因为=||||cos
B=||2=4,
所以为定值.
同理=||2,
而||不是定值,故③不满足.故选C.
答案C
3.已知平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( )
A.-8
B.-6
C.6
D.8
解析·()=()·(-2)=[(1,3)-(2,4)]·[(1,3)-2(2,4)]=(-1)×(-3)+(-1)×(-5)=8.
答案D
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角的余弦值为sin,则b·(2a-b)等于( )
A.2
B.-1
C.-6
D.-18
答案D
5.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析设a,b的夹角为θ,由题意得Δ≥0,即|a|2≥4a·b,
∴cos
θ=,∴θ≥.
又θ∈[0,π],∴θ∈.
答案B
6.已知△ABC中,||=10,=-16,D为BC边的中点,则||等于( )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析∵D为BC边的中点,∴).
∴||=|.
又∵||=10,且,
∴||=10,即()2=100,
即||2+||2-2=100.
∵=-16,∴||2+||2=68,
故()2=68-32=36.
∴||=6,即||=3.故选D.
答案D
7.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(a·b)b,则|c|=.
解析由题意可得a·b=2×1+4×(-2)=-6,
∴c=a-(a·b)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),
∴|c|==8.
答案8
8.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),若a,b在向量c上的投影相等,且(c-a)·(c-b)=-,则向量c的坐标为 .?
解析设c=(x,y),c与a的夹角为α,c与b的夹角为β.由已知有|a|cos
α=|b|cos
β,即,即(a-b)·c=0,即3x-y=0①,由已知(c-a)·(c-b)=-,即x2+y2-x-3y+=0②,①②联立得x=,x=,即c=.
答案
9.
如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则的取值范围是 .?
解析如图所示,以AB所在直线为x轴,AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则=(1,0),=(x,y),所以=(x,y)·(1,0)=x.因为点P在圆x2+(y-5)2=25上,所以-5≤x≤5,即-5≤≤5.所以应填[-5,5].
答案[-5,5]
10.导学号93774081已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)).
(1)若点A,B,C不能构成三角形,求实数m应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,求实数m的值.
解(1)∵=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-(3+m)),若点A,B,C不能构成三角形,则这三点共线.∵=(3,1),=(2-m,1-m),
∴,即3(1-m)=2-m,∴m=.
(2)若△ABC为直角三角形,且①A为直角,则,∴3(2-m)+(1-m)=0,解得m=.②B为直角,=(-1-m,-m),则,
∴3(-1-m)+(-m)=0,解得m=-.③C为直角,则,∴(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0,解得m=.
综上所述,m=或m=-或m=.
11.导学号93774082已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,求证:△ABC的三条高交于一点.
证明如图所示,设BE,CF交于点H,
=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
∵,
∴
由①-②,得h·(c-b)=0,
即=0,∴,∴AH的延长线过点D,从而AD,BE,CF相交于一点H.
12.导学号93774083已知=(2,1),=(1,7),=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使取到最小值时的;
(2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB.
解(1)因为点C是直线OP上的一点,
所以向量共线.设=t,
则=t(2,1)=(2t,t),
=(1-2t,7-t),
=(5-2t,1-t),
=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8,
当t=2时,取得最小值,此时=(4,2).
(2)当t=2时,=(-3,5),=(1,-1).
所以||=,||==-3-5=-8.
cos∠ACB==-.§5 从力做的功到向量的数量积
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若向量a,b满足|a|=3,a·b=-5,则b在a方向上的射影等于( )
A.15
B.-
C.-
D.-15
解析b在a方向上的射影为|b|cos
θ==-.
答案C
2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于( )
A.
B.
C.-
D.-
解析由m⊥n,得m·n=0,
由(m+kn)⊥(m-3n),得(m+kn)·(m-3n)=0,
即|m|2-3k|n|2=0,
∴3k==4,
∴k=.
答案A
3.若向量a,b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案A
4.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为( )
A.0
B.
C.
D.
解析∵c=a-b,
∴a·c=a·a-·a·b=0,
∴a与c的夹角为.
答案D
5.如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则()·()等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析∵点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,
∴||=||=||=,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,
∴()·()=+3cos=-.
答案D
6.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则等于( )
A.
B.6
C.12
D.18
解析如图,过点O作OD⊥AB于点D,易知AD=AB=3,则=()·=3×6+0=18,故选D.
答案D
7.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为 .?
解析设a与b的夹角为θ,由已知得a2=a·b,
又|a|=1,|b|=,
∴1·cos
θ=1.
∴cos
θ=.
又θ∈[0°,180°],
∴θ=45°.
答案45°
8.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为 .?
解析由=8,得16×cos
A=8,即cos
A=,∠A=60°,又AB=AC,所以△ABC是等边三角形.
答案等边三角形
9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+3b|= .?
解析∵|a+3b|2=a2+2a·3b+9b2
=1+6×1×2×cos
60°+9×4=43,
∴|a+3b|=.
答案
10.已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值:
(1)a·b;
(2)(2a+b)·(a-2b);
(3)|2a-3b|.
解(1)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2,
∴a·b=×(|a+b|2-|a|2-|b|2)=×(21-42-52)=-10.
(2)(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×42-3×(-10)-2×52=12.
(3)|2a-3b|=
=.
11.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?
解∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,
即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.
①
同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.
②
①-②,得|b|2=|d|2,
①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=|d|,|a|=|c|.
同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.
∵,∴a=-c.
又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,
即b·(2a)=0.∴a·b=0,
∴.故四边形ABCD为正方形.
B组 能力提升
1.若=0,则△ABC为( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.等腰直角三角形
解析∵=0,∴=0,
∴·()=0,
∴=0,∴,
∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.
答案A
2.在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则=( )
A.6
B.-6
C.12
D.-12
解析如图,设AB的中点为M,则=()·)·()=)=-6.
答案B
3.下列四个命题:①若a-b=0,则a=b;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若λ∈R且λa=0,则λ=0或a=0;④对任意两个单位向量e1,e2,都有e1·e2≤1.其中正确的命题是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
解析①是正确的;因为a·b=|a||b|cos
θ=0?|a|=0或|b|=0或cos
θ=0?a=0或b=0或θ=90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cos
θ=cos
θ≤1,故④是正确的.
答案C
4.设a,b是非零向量,x∈R,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有( )
A.a⊥b
B.a∥b
C.|a|=|b|
D.|a|≠|b|
解析f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b.
∵f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b.
答案A
5.在矩形ABCD中,AB=,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值是( )
A.-5-
B.5+
C.4+
D.5-
解析如图所示,过点F作FG∥AD交AB于点G,易知=||·||·cos∠BAF=||·||=,故||==1,
所以=()·()==0-×(-1)+2×4+0=5+,故选B.
答案B
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=4,设=b,=a,=c,则a·b+b·c+c·a的值为 .?
解析由勾股定理得BA=5,又cos
B=,cos
A=,故a·b+b·c+c·a=0+3×5×+4×5×=-25.
答案-25
7.平面上三个向量满足||=1,||=,||=1,=0,则的最大值是 .?
解析=()·()=-()·=1-||·||cos
θ=1-2cos
θ,其中θ为向量的夹角,当θ=π时,取得最大值3.
答案3
8.导学号93774076已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b夹角的余弦值.
解p·q=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.
∵|p|=|a+b|=
=,
|q|=|a-b|=
==1,
设p与q的夹角为θ,
∴cos
θ=.
9.导学号93774077证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
证明设平行四边形为ABCD,则=()2=+2.
①
因为,
所以,
=()2=-2.
②
由①+②,得=2()=.
故平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.(共33张PPT)
§4 平面向量的坐标
一
二
三
一、平面向量的坐标表示
1.把一个向量分解成两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.
2.在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面上的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y).
一
二
三
一
二
三
二、平面向量线性运算的坐标表示
1.加法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.
2.减法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.
3.数乘:若a=(x1,y1),设λ∈R,则λa=(λx1,λy1).即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积.
4.给定点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标.
一
二
三
【做一做2】
若向量a=(x+3,x2-3x-4)与
相等,已知A(1,2)和B(3,2),则x的值为( )
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4
答案:A
答案:(-1,2)
一
二
三
三、向量平行的坐标表示
1.定理1:若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例.
2.定理2:若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.
3.两个向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0.
【做一做4】
已知向量a=,b=(x,1),(2a+b)∥b,且x<0,则x的值为 .?
解析:∵2a+b=(16+x,x+1),b=(x,1),
∴x(x+1)-(16+x)=0.
解得x=-4或x=4(舍去).
答案:-4
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求平面向量的坐标
【例1】
(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量
思路分析:(1)先将a+b,a-b用i,j表示,再转换为坐标;
(2)直接套用向量的坐标公式即可.
解:(1)∵a=3i+4j,b=-i+j,
∴a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,
a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.
又i=(1,0),j=(0,1),∴a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).
(2)∵B(7,6),C(1,8),
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
2.向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1(1)已知
=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为( )
A.(1,8)
B.(-1,8)
C.(3,2)
D.(-3,2)
答案:(1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
平面向量的坐标运算
思路分析:对于(1)可直接运用坐标运算法则进行计算;(2)应先求出相关向量的坐标,再运用法则计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于( )
A.3a+b
B.3a-b
C.-a+3b
D.a+3b
(1)解析:设c=ma+nb,则(4,2)=m(1,1)+n(-1,1)=(m-n,m+n),
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
平面向量共线的条件及应用
【例3】
(1)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),
(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,它们是同向还是反向?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)思路分析:题目给出了a,b的坐标,欲求k的值使ka+b与a-3b平行,可先把向量ka+b与a-3b的坐标形式表示出来,再利用向量平行的坐标表示列出方程,或利用向量共线的定理列出方程求得k的值,再根据符号确定两向量的方向.
解:(方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
∵(ka+b)∥(a-3b),
∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
利用向量坐标判断向量共线或三点共线的方法
1.利用向量的坐标判断两向量是否共线时,可先求出需要判断的向量的坐标,再依据坐标关系来说明两个向量平行,即:
3.利用向量解决三点共线问题的思路是:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线.因为两个向量过同一点,所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
所以(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得k=-2或k=11,
所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因把向量的模当成向量而致误
【典例】
已知M(1,5),N(5,17),点P在直线MN上,且
错解设点P的坐标为(x,y),则
根据题意,有(x-1,y-5)=3(5-x,17-y),
解得x=4,y=14.所以点P的坐标为(4,14).
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解得x=7,y=23.
所以点P的坐标为(7,23).
综上,可知点P的坐标为(4,14)或(7,23).
纠错心得1.已知两向量模的关系时,容易忽视向量的方向而引起坐标求解错误或者丢解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练若a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同,则x= .?
解析:∵a与b共线,
1
2
3
4
5
6
1.已知
=(-2,4),则下面说法正确的是( )
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当点B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
答案:D
1
2
3
4
5
6
A.(-2,-4)
B.(2,4)
C.(6,10)
D.(-6,-10)
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( )
解析:由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,
所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0?14m=-28?m=-2.故选D.
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.已知向量a=(-3,4),则下列能使a=λe1+μe2(λ,μ∈R)成立的一组向量e1,e2是( )
A.e1=(0,0),e2=(-1,2)
B.e1=(-1,3),e2=(2,-6)
C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)
1
2
3
4
5
6
解析:对于A:因为e2与a=(-3,4)不是平行向量,所以一定不成立;
对于B:由(-3,4)=λ(-1,3)+μ(2,-6)=(-λ+2μ,3λ-6μ),
对于C:由(-3,4)=λ(-1,2)+μ(3,-1)=(-λ+3μ,2λ-μ),
所以成立.验证可知D不成立,故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
5.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ= .?
解析:a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4=3×2,解得λ=
.
答案:
1
2
3
4
5
6
(1)点P在第一、第三象限角平分线上?
(2)点P在第三象限内?
解:设点P的坐标为(x,y),
1
2
3
4
5
6(共19张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 平面向量的线性运算
1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算.
2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础.
专题一
专题二
专题三
【例1】如图,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,已知
专题一
专题二
专题三
解:如图,连接DN,CN.
专题一
专题二
专题三
所以点D的坐标为(-2,3)或(2,1).
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题二 平面向量的数量积及其应用
1.求两个向量的数量积主要有三种方法:(1)定义法,a·b=|a||b|cos
θ;(2)向量分解法,即将欲求数量积的两个向量都用已知向量(模已知,夹角已知)为基底进行分解,然后根据数量积运算的性质及运算律计算;(3)坐标运算法,即将向量建立到平面直角坐标系中,求出向量的坐标,然后进行计算.
2.向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两个向量垂直、平行、求两个向量的夹角、计算向量的长度等.
专题一
专题二
专题三
A.13
B.7
C.5
D.3
(2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=
.
①求向量a与b的夹角;
②求|3a+b|的值.
专题一
专题二
专题三
(方法二)以O为原点,OB所在直线为x轴,建立坐标系(如图).
则O(0,0),M(-2,0),N(2,0).
圆O的方程为x2+y2=9.
答案:C
专题一
专题二
专题三
(2)解:①由题意得(3a-2b)2=7,
即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
解析:由平面几何知识可求得CD=1.
专题一
专题二
专题三
专题三 数形结合思想方法的应用
数形结合思想是研究平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导的基本思想方法.向量的坐标表示的引入,使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合在一起.处理两直线平行、垂直的问题是几何问题,但可通过向量的坐标运算这种代数手段使问题解决,还可以利用向量的数量积处理线段的长度、两直线夹角问题.
专题一
专题二
专题三
【例3】
(1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b
B.a⊥b
C.|a|=|b|
D.a+b=a-b
(2)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )
专题一
专题二
专题三
解析:(1)(解法一)代数法.将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,
∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,
∴a·b=0,∴a⊥b.故选B.
(解法二)几何法.如图所示,
∵|a+b|=|a-b|,
∴?ABCD的两条对角线长度相等,
即?ABCD为矩形.
∴a⊥b.故选B.
专题一
专题二
专题三
(2)建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意知a⊥b,且a与b是单位向量,
∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1,
∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆,
答案:(1)B (2)C
专题一
专题二
专题三
变式训练3(1)已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论正确的是( )
A.向量a+b与a-b垂直
B.向量a-b与a垂直
C.向量a+b与a垂直
D.向量a+b与a-b共线
(2)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=
.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|= .?
专题一
专题二
专题三
解析:(1)如图所示,作
b,以OA和OC为邻边作?OABC,由于|a|=|b|≠0,则?OABC
是菱形,则必有AC⊥OB.
即(a+b)⊥(a-b).故选A.
(2)因为b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1·e2=
知e1与e2的夹角为60°,所以b与e1,e2所成的角均为30°,2.2 向量的减法
课后篇巩固探究
1.可以写成①;②;③;④.其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
解析.
答案D
2.若a,b是两个不相等的向量,则a-b与b-a( )
A.模相等,方向相反
B.模相等,方向相同
C.仅方向相反
D.仅模相等
解析设=a,=b,则a-b=,b-a=,显然是一对相反向量.
答案A
3.下列各式中不能化简为的是( )
A.+()
B.()+()
C.
D.
解析+()=;
()+()=()+()=;
;
,显然由得不出;
∴不能化简为的式子是D.
答案D
4.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点,且满足等式,则四边形ABCD是( )
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.等腰梯形
解析∵,
而,
∴,
∴,即AB∥CD,且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案A
5.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析如右图,作?ABCD,则,
∵|m|=|n|,∴||=||.
∴?ABCD为矩形.
∴△ABC为直角三角形,∠B=90°.
答案C
6.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .(用a,b,c表示)?
解析=c-b.
又,
∴=c-b.
∴=a+c-b.
答案a+c-b
7.已知O是边长为6的等边三角形ABC的中心,则||= .?
解析如图,=()-.
∵等边三角形ABC的边长为6,
∴||=×6=3.
∴||=×3=2.
答案2
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .?
解析如图,在平面内任取一点A,作=a,=b,以AD,AB为邻边作?ABCD,
则=a+b,=a-b.
由题意,知||=||=2,||=1.
过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.
因为AB=BD=2,所以AE=ED=AD=.
在Rt△ABE中,cos∠EAB=.
易知∠CBF=∠EAB,
所以cos∠CBF=.
所以BF=BC·cos∠CBF=1×.
所以CF=.
所以AF=AB+BF=2+.
在Rt△AFC中,AC=,所以|a+b|=.
答案
9.导学号93774065已知任意四边形ABCD,E为AD的中点,F为BC的中点,求证:.
证明如图所示,在四边形CDEF中,
.
①
在四边形ABFE中,
.
②
由①+②,得
=()+()+().
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴=0,=0,
∴,即.
10.导学号93774066已知=a,=b,且|a|=|b|=2,∠AOB=,求|a+b|,|a-b|.
解以OA,OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA,
由向量的三角形法则和平行四边形法则,可得a+b=,a-b=.
又|a|=|b|,
∴平行四边形OBCA为菱形.
∵∠AOB=,
∴|a+b|=||=2||=2,|a-b|=||=2.
11.如图,在?ABCD中,=a,=b.
(1)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在的直线互相垂直?
(2)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么?
解(1)=a+b,=a-b.
若a+b与a-b所在的直线互相垂直,则AC⊥BD.
因为当|a|=|b|时,四边形ABCD为菱形,此时AC⊥BD,
故当a,b满足|a|=|b|时,a+b与a-b所在的直线互相垂直.
(2)不可能.因为?ABCD的两对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量.(共31张PPT)
§6 平面向量数量积的坐标表示
一
二
三
四
五
一、平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
这就是说,两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.
【做一做1】
若a=(5,y),b=(-6,-4),且a·b=-2,则y等于( )
A.-5
B.-7
C.5
D.7
解析:∵a·b=-2,
∴-30-4y=-2,即4y=-28,∴y=-7,故选B.
答案:B
一
二
三
四
五
二、向量的模
答案:10
一
二
三
四
五
三、向量的夹角
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,
【做一做3】
已知非零向量a,b的夹角为θ,若a+b=(3,-6),a-b=(3,-2),则cos
θ= .?
解析:∵a+b=(3,-6),a-b=(3,-2),
∴a=(3,-4),b=(0,-2).
一
二
三
四
五
四、两个向量垂直
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
则-4+2m-4=0,
即m=4.
答案:4
一
二
三
四
五
五、直线的方向向量
由解析几何知,给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
【做一做5】
直线y=3x+1与直线x+3y-7=0的方向向量分别是 和 ,这两条直线的位置关系是 .?
解析:直线y=3x+1的方向向量是(1,3),
一
二
三
四
五
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(2)对任意向量a,总有a2=|a|2.
( )
(3)直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量为(A,B).
( )
(4)要使|a·b|≤|a||b|中等号成立,则需使a与b共线且同向.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
数量积的坐标运算
【例1】
(1)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6
B.5
C.4
D.3
(2)在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点M在AD上,且AM=2MD,点N是CD的中点,求
思路分析:(1)可直接套用数量积的坐标运算公式求解;(2)有两种思路:一是建立坐标系用坐标运算求解;二是用基底表示
后再展开计算.
(1)解析:8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3).
由(8a-b)·c=30,得6×3+3x=30,∴x=4.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
(2)解:(方法一)以点B为原点,以BC,AB所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的坐标系.
则B(0,0),M(4,2),N(6,1),
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练1(1)若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=4,则x的值为 .?
(2)已知向量a∥b,b=(1,2),|a·b|=10.
①求向量a的坐标;
②若a,b同向,c=(2,-1),求(b·c)·a,(a·b)·c.
(1)答案:-1
(2)解:①因为a∥b,
所以设a=λb(λ∈R),所以a=(λ,2λ),
所以|a·b|=|λ+4λ|=10,所以λ=±2,
所以a=(2,4)或a=(-2,-4).
②因为a,b同向,所以a=(2,4),
所以(b·c)·a=[1×2+2×(-1)]·a=0·a=0.
(a·b)·c=(2+2×4)·c=10·(2,-1)=(20,-10).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
用坐标运算求向量的模
【例2】
已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
解:(1)(方法1)因为a=(1,2),b=(3,-1),所以a-2b=(-5,4),
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟1.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练2若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为( )
解析:因为a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),
所以a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
用坐标运算求向量的夹角
【例3】
若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )
思路分析:先求出2a+b与a-b的坐标,再用夹角公式求解.
解析:2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为θ,
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos
θ=
.这样利用向量的坐标来求其夹角,可使向量的几何属性代数化,从而有利于解决问题.
2.求向量a与b的夹角θ的步骤是:(1)求出a·b,|a|,|b|;(2)代入夹角公式求cos
θ;(3)结合θ的范围确定θ.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
又0°≤θ≤180°,故夹角θ=120°.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
用坐标运算解决向量的垂直问题
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟利用向量数量积的坐标表示,可以使两个向量垂直的条件更加代数化,因而其判定方法也更加简洁,在以后解题中要注意应用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练4若a=(5,-7),b=(-1,2),且(a+λb)⊥b,则实数λ的值为 .?
解析:由(a+λb)⊥b,得(a+λb)·b=0,
即a·b+λ|b|2=0,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
直线的方向向量及其应用
【例5】
已知直线l1:3x+y-2=0与直线l2:mx-y+1=0的夹角为45°,求实数m的值.
解:∵直线l1,l2的方程分别为3x+y-2=0与mx-y+1=0,
∴向量a=(1,-3),b=(1,m)分别为l1,l2的方向向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
反思感悟1.利用直线的方向向量主要解决两类问题:(1)利用直线的方向向量求直线的斜率,从而求直线的方程;(2)利用直线的方向向量确定两条直线的夹角.
2.当两条直线的夹角为45°时,两条直线方向向量的夹角应该是45°或135°两种可能,因此,在列方程时应注意到这一点,否则将会丢解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
变式训练5直线y=2与直线x+y-2=0的夹角是( )
解析:任取直线y=2的一个方向向量(1,0),直线x+y-2=0的一个方向向量为(1,-1),
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
因忽略向量夹角的范围而致误
【典例】
已知向量a=(2cos
φ,2sin
φ),φ∈
,b=(0,-1),则a与b的夹角为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
易错辨析
纠错心得1.首先要明确向量a与b夹角的范围为[0,π].所有的向量夹角不能超越这个范围;
的范围,因此必须再次使用诱导公式进行转化.
1
2
3
4
5
1.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|a+b|=( )
解析:∵a+b=(0,5),∴|a+b|=5.
答案:C
1
2
3
4
5
2.若向量a,b满足a+b=(2,-1),且a=(1,2),则向量a与b的夹角等于( )
A.45°
B.60°
C.120°
D.135°
解析:由题意,得b=(1,-3).
设a与b的夹角为θ,
又0°≤θ≤180°,
故a与b的夹角为135°.
答案:D
1
2
3
4
5
3.已知a=(1,m)与b=(n,-4)共线,且c=(2,3)与b垂直,则m+n的值为( )
解析:a,b共线?mn=-4,c⊥b?2n-12=0,
答案:A
1
2
3
4
5
4.已知向量a是直线x+2y-3=0的方向向量,且|a|=2
,则a= .?
所以a=(4,-2)或(-4,2).
答案:(4,-2)或(-4,2)
1
2
3
4
5
5.已知a=(m+1,3),b=(1,m-1),且a与b的夹角为钝角.若(2a+b)与(a-3b)垂直,求a与b夹角的余弦值.
解:∵(2a+b)⊥(a-3b),
∴2a2-5a·b-3b2=0,
即2[(m+1)2+9]-5[m+1+3(m-1)]-3[1+(m-1)2]=0,
整理得m2+10m-24=0,
解得m=2或m=-12.
∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b=m+1+3(m-1)=4m-2<0,
∴m<
,∴m=-12.
设a与b夹角为θ,(共34张PPT)
§5 从力做的功到向量的数量积
一
二
三
一、向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,作
,
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.
2.范围:[0°,180°].当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
3.规定:零向量可与任一向量垂直.
四
一
二
三
答案:60° 120°
四
一
二
三
二、向量b在向量a方向上的射影
1.设向量a与向量b的夹角为θ,则|b|cos
θ叫作向量b在向量a方向上的射影(也叫投影).?
2.如图所示,当θ为锐角时,|b|cos
θ>0;
当θ=90°时,|b|cos
θ=0;当θ为钝角时,|b|cos
θ<0;当θ=0°时,|b|cos
θ=|b|;当θ=180°时,|b|cos
θ=-|b|.
四
一
二
三
【做一做2】
已知向量a,b的夹角是60°,|a|=5,|b|=8,则a在b方向上的射影等于 ,b在a方向上的射影等于 .?
b在a方向上的射影为|b|cos
θ=8×cos
60°=4.
四
一
二
三
三、向量的数量积(或内积)
1.定义:已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cos
θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos
θ
.?
2.几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos
θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos
θ的乘积.?
3.物理意义:力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s.
四
【做一做3】
若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·a+a·b等于( )
答案:C
一
二
三
四
四、向量的数量积的性质
1.若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos
θ.
2.若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b,通常记作a⊥b?a·b=0.
5.对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
知识拓展1.性质(2)可用于证明垂直问题:a⊥b?a·b=0.
2.性质(3)表明:当两个向量相等时,两个向量的数量积等于向量长度的平方,因此可用于求向量的长度.
3.性质(4)可用于求两个向量的夹角.
4.性质(5)可以解决有关“不等式”的问题.
5.由性质(5)可知a∥b?a·b=±|a||b|.
一
二
三
四
【做一做4】
若a·c=b·c(c≠0),则( )
A.a=b
B.a≠b
C.|a|=|b|
D.a在c方向上的射影与b在c方向上的射影必相等
解析:设a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,
∵a·c=b·c,
∴|a|·|c|cos
θ1=|b|·|c|cos
θ2.
∵c≠0,∴|a|cos
θ1=|b|cos
θ2.
答案:D
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)向量a在向量b上的射影一定为正数.
( )
(2)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c).
( )
(3)已知a≠0,且a·c=a·b,则b=c.
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求平面向量的数量积
【例1】
已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b);(4)|a+b|.
思路分析:依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可
解:(1)a·b=|a||b|cos
120°=2×3×
=-3.
(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.
(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos
120°-3|b|2
=8-15-27=-34.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用数量积的性质求向量的模
解:(1)因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟根据数量积的定义a·a=|a||a|cos
0°=|a|2,得|a|=
,这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|= .?
解析:由(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4·cos
60°-6×16=-72,得|a|=6(|a|=-4舍去).
答案:6
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用数量积求向量的夹角
【例4】
(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
思路分析:(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;
(2)可采用数形结合的方法构成平面图形求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(1)解析:因为(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.
设a,b的夹角为θ,
则2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
又|a|=|b|,
所以2|b|2cos
θ+|b|2=0,
因此cos
θ=-
,从而θ=120°.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
∴∠AOC=60°,即a与a+b的夹角为60°.
∵∠AOC=60°,∴∠AOB=120°.
即a与a-b的夹角为30°.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟求向量夹角的方法
1.求向量的夹角,主要是利用公式cos
θ=
求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
2.求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3已知a,b均为单位向量,(2a+b)·(a-2b)=
,则向量a,b的夹角为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用向量的数量积解决有关的垂直问题
【例5】
已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直.
思路分析:充分利用a·b=0?a⊥b这一条件.把问题转化为解方程.
解:由已知得a·b=3×2×cos
60°=3.若c⊥d,则c·d=0,∴c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟向量垂直问题的解决方法
1.直接法.证明或求解两个向量的夹角θ=90°即可.
2.数量积运算法.对非零向量a,b,a⊥b?a·b=0,这是非常重要的方法,也是向量数量积的重要性质.
3.当然有很多情况要借助数量积的运算律先加以转化,再利用垂直的条件.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4(1)已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则
等于( )
(2)已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.
(1)解析:由a+2b与a-2b互相垂直,得(a+2b)·(a-2b)=0,所以|a|2-4|b|2=0,即|a|2=4|b|2,
答案:D
(2)证明:(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos
120°-|b|·|c|cos
120°
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因对向量的夹角理解不正确而致误
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.要明确两向量夹角的定义及范围.
2.在三角形中往往容易把角的大小与向量夹角的大小混为一体.
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
3.已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则实数λ的值为( )
答案:B
1
2
3
4
5
6
4.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .?
解析:|2a-b|2=4|a|2-4a·b+|b|2=4-0+4=8,
故|2a-b|=2
.
答案:2
1
2
3
4
5
6
答案:22
1
2
3
4
5
6
6.已知|a|=6,|b|=5.当:①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为45°时,分别求a与b的数量积.
解:①当a∥b时,若a与b同向,则a与b的夹角θ=0°,所以a·b=|a||b|cos
θ=6×5×cos
0°=30;若a与b反向,则a与b的夹角θ=180°,所以a·b=|a||b|·cos
180°=6×5×(-1)=-30.
②当a⊥b时,向量a与b的夹角为90°,
所以a·b=|a|·|b|·cos
90°=6×5×0=0.§2 从位移的合成到向量的加法
2.1 向量的加法
课后篇巩固探究
1.如图所示,在正六边形ABCDEF中,=( )
A.0
B.
C.
D.
解析.
答案D
2.
如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解析在平行四边形ABCD中,
,选项A错误;
,选项B错误;
,选项C正确;
,选项D错误.
答案C
3.已知下面的说法:
①如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向与a或b的方向相同;
②在△ABC中,必有=0;
③若=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;
④若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等.
其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析①当a+b=0时,不成立;②说法正确;③当A,B,C三点共线时,也可以有=0,故此说法不正确;④当a,b共线时,若a,b同向,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b反向,则|a+b|=||a|-|b||;当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|,故此说法不正确.
答案B
4.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量的模等于( )
A.2
B.4
C.12
D.6
解析因为,
所以的模为的模的2倍.
又||==2,
所以向量的模为4.
答案B
5.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则∠ACB= .?
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为,由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
答案120°
6.设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则=( )
A.
B.
C.
D.0
答案D
7.如图所示,已知梯形ABCD,AD∥BC,且AC与BD相交于点O,则= .?
解析.
答案
8.若向量a,b满足|a|=7,|b|=9,则|a+b|的最小值是 .?
解析|a+b|≥||a|-|b||=2,即当a,b反向共线时,|a+b|的值最小,等于2.
答案2
9.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30海里,这时接到求救信号,在巡逻艇的正东方向40海里处有一艘渔船抛锚需救助.则巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移的大小为 ,方向为 .?
解析画出示意图如图所示,巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量,既有大小又有方向,其大小为||==50(海里),由于sin∠BAC=,故其方向约为北偏东53°.
答案50海里 北偏东53°
10.导学号93774063如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC.求证:.
证明∵,
∴.
∵向量大小相等、方向相反,∴=0.
∴+0=.
11.导学号93774064如图所示,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6
km/h,测得小船正以8
km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶,求小船在静水中速度的大小及方向.
解由题知小船的行驶速度的大小为8
km/h,方向与一致,水流速度的方向与一致,大小为6
km/h.如图,连接BC,过点B作AC的平行线,过点A作BC的平行线,两条平行线交于点D,则四边形ACBD为平行四边形.可以看成水流速度与船在静水中的速度的合速度.
在Rt△ABC中,||=8
km/h,||=6
km/h,
∴||=||==10(km/h).
∵∠DAB=∠ABC,
∴tan∠DAB=tan∠ABC=.
答:小船在静水中的速度的大小为10
km/h,沿且夹角满足tan∠DAB=的方向行驶.(共32张PPT)
§1 从位移、速度、力到向量
一
二
三
四
一、位移、速度和力
1.位移、速度和力这些物理量都是既有大小,又有方向的量,在物理中称为矢量.
2.只有大小没有方向的量,是数量.如长度、面积、质量等.
一
二
三
四
二、向量的概念
1.在数学中,把既有大小,又有方向的量统称为向量.其中,大小和方向称为向量的二要素.
2.应该注意数学中的向量与物理中的矢量是有区别的.数学中研究的是仅由大小和方向确定,而与起点位置无关的向量(称为自由向量).
一
二
三
四
【做一做1】
下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:日常生活中,常用到两类量,一类量只有大小而没有方向,如质量、路程、密度、温度、功等,这类量叫作数量,它是一个代数量,可以进行代数运算;另一类量既有大小又有方向,如速度、位移、力、加速度等,这类量叫作向量.故选D.
答案:D
一
二
三
四
三、向量的表示
1.有向线段
2.向量的几何表示法
向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向(起点指向终点).
3.向量的字母表示法
一
二
三
四
解析:有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错;向量之间不能比较大小,但其模可以比较大小,故②错;向量
的方向不同,不是同一个向量,故③错;④对.
答案:④
一
二
三
四
四、向量的相关概念
2.零向量:长度为零的向量称为零向量,记作0或
,规定零向量的方向是任意的.
3.单位向量:长度为单位1的向量叫作单位向量.
4.相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量,向量a与b相等,记作a=b.
5.平行(共线)向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共线,记作a∥b.
一
二
三
四
【做一做3】
下列说法正确的是( )
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个单位向量方向相同
解析:零向量的长度为0,方向是任意的,故A,B错误,C正确.任意两个单位向量的长度相等,但方向不一定相同,故D错误.
答案:C
一
二
三
四
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
解析:△ABC的外心,即△ABC的外接圆的圆心,它到A,B,C三点的距离相等,即有
.
答案:C
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)零向量没有方向.
( )
(2)若a∥b,b∥c,则一定能得到a∥c.
( )
(3)若a与b是相等向量,则a与b一定是共线向量,反之亦然.
( )
(4)模相等的向量一定是平行向量.
( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的有关概念
【例1】
给出以下说法:
①若|a|=0,则a为零向量;
②单位向量都相等;
③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;
④向量的模一定是正数;
⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
⑥向量
是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.其中正确的序号是 .?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:①正确,模等于0的向量就是零向量;
②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;
③错误,由于零向量与任一向量共线,但其方向任意,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;
④错误,向量的模是非负实数,可能是零;
⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;
⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.
答案:①⑤
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
向量及其相关概念的注意事项
对向量及其相关概念的理解要准确、全面,特别要注意以下几点:
(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素:起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素是大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
解析:向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的表示
【例2】
一辆汽车从点A出发向西行驶了100
km到达点B,然后又改变方向向西偏北50°行驶了200
km到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100
km到达点D.
思路分析:作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量,进而求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)所作向量如图所示.
∴在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.
2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.
3.必要时,需要根据直角三角形知识求出向量的方向或长度.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
相等向量与共线(平行)向量
【例3】
(1)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,则与
模相等且共线的向量的个数是
个.?
(2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
答案:(1)7
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因对向量的有关概念理解不准确而致误
【典例】
下列说法正确的是( )
B.长度相等的向量叫作相等向量
C.零向量的长度等于0
D.共线向量是在同一条直线上的向量
错解A,B或D
正解:由定义知零向量的长度等于0,故选项C正确.
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得1.首先要明确:
两条直线平行指同一平面内的两条直线没有公共点,而当两条直线重合时,不能称之为平行.
向量共线时,表示向量的有向线段不一定共线.
或重合两种情况,故选项A错误;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故选项B错误;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故选项D错误.
1
2
3
4
5
6
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等向量
解析:它们的模相等,都等于圆的半径.
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.给出命题:
①零向量的长度为0,方向是任意的;
③若a=b,b=c,则a=c.
以上命题中,正确命题的序号是( )
A.①②
B.②
C.②③
D.①③
解析:由零向量的定义知①正确;由相等向量的定义知③正确;向量
答案:D
1
2
3
4
5
6
答案:D
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
5.如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形.
1
2
3
4
5
6(共24张PPT)
3.2 平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
【做一做1】
若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则( )
A.a=0,b=0
B.λ=μ=0
C.λ=0,b=0
D.a=0,μ=0
解析:∵a与b不共线且λa+μb=0,
∴只能有λ=μ=0.
答案:B
【做一做2】
设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是 .?
①e1,e2;
②e1,2e1;
③e1,2e2;
④e2,2e2.
解析:由于e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以①③中的向量组都可以作为基底;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以②④中的向量组都不能作为基底.故填②④.
答案:②④
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)基底要求两个向量不共线且模为1.
( )
(2)若e1,e2为不共线向量,则e1+e2与e1-e2可构成基底.
( )
(3)若a与b为不共线向量,且有x1a+y1b=x2a+y2b成立,则一定有x1=x2,且y1=y2.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对平面向量基本定理的理解
【例1】
给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
其中不正确命题的序号是 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:①错误.当e1,e2不共线时,平面向量可用e1,e2唯一地线性表示,但空间中的向量则不一定.
②错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.
③错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.
答案:①②③
反思感悟平面向量基本定理就是指平面内任一向量均可用平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设e1,e2是平面向量的一组基底,则下面四组向量中,不能作为基底的是( )
A.2e1+e2和e2-e1
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析:B中,3e1-2e2=-
(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为基底.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用基底表示向量
思路分析:根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行逐步分解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟
用一组基底表示向量的注意事项
平面内任一向量都可用一组基底来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底;
(2)注意平面向量基本定理的应用;
(3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的;
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图所示,已知在?ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的
解:∵四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理与线性运算的综合应用
【例3】
在△ABC中,
思路分析:(1)可用平面向量基本定理进行证明;(2)可用线性运算以及重心的定义求证.
所以等式成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)如图,设E是AB边的中点.
即点M在中线CE上,且是靠近AB边中点的一个三等分点,因此,M是△ABC的重心.
反思感悟在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
A.2
B.3
C.4
D.5
∴m=3.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对两向量夹角的定义理解不清致误
错解90° 60°
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案90° 120°
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得在一个平面图形中求两个向量的夹角时,切记不能直接将该平面图形的某个内角理解为两个向量的夹角,必须根据向量的方向,通过平移得出向量的夹角.
1
2
3
4
5
1.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值为( )
A.3
B.-3
C.0
D.2
答案:A
6
1
2
3
4
5
答案:B
6
1
2
3
4
5
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案:B
6
1
2
3
4
5
答案:A
6
1
2
3
4
5
6
答案:3
1
2
3
4
5
解:设D,E,F分别是边BC,AC,AB边上的中点,
6(共24张PPT)
2.2 向量的减法
一
二
一、相反向量
1.定义:如果两个向量的长度相等,方向相反,那么称这两个向量互为相反向量,a的相反向量为-a,规定:零向量的相反向量仍是零向量.
2.性质:(1)对于相反向量,有a+(-a)=(-a)+a=0;
(2)若a,b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0.
A.a-b
B.b-a
C.a+b
D.-a-b
答案:D
一
二
二、向量的减法
1.定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量,相当于加上这个向量的相反向量.求两个向量差的运算,叫作向量的减法.
3.文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
一
二
名师点拨1.可以用向量减法的三角形法则作差向量,也可以用向量减法的定义a-b=a+(-b)(即平行四边形法则)作差向量,显然,此法作图较烦琐.
2.在使用三角形法则时,应注意两向量的起点相同,差向量是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.
一
二
【做一做2】
如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则有:
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意不共线向量a与b,总有||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
( )
(2)若a与b共线且同向,则一定有|a-b|=|a|+|b|.
( )
(3)若a与b共线且反向,则一定有|a-b|=|a|+|b|.
( )
(4)若|a|=12,|b|=30,则|a-b|的取值范围为[8,30].
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量减法及其几何意义
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(1)答案:A
(2)解:以OB,OC为邻边作?OBDC,连接OD,AD,
反思感悟利用向量减法作图的方法
(1)运用三角形法则,作两个向量和的关键是作平移,首尾连.作两个向量差的关键是作平移,共起点,两尾连,指被减.
(2)多个向量相加减时要注意灵活运用运算律.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的减法运算
思路分析:本题主要考查向量减法的运算法则,可以将减法转化为加法求解,也可以直接利用减法求解,还可以将各向量统一用以O为起点的向量表示再来计算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(方法三)设O为平面内任意一点,则
反思感悟1.进行向量的减法运算要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中运用三角形法则求差向量;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示.关键是将向量转化为起点相同的向量,必要时需引进任意点O,将各向量统一用以O为起点的向量表示,再进行运算.
2.对于本题,方法一是将向量的减法转化为加法进行化简;方法二
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论中错误的是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量加、减法运算及模的综合应用
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
答案:C
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟1.对于任意向量a,b,总有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.其中,当a,b同向共线时|a-b|=||a|-|b||;当a,b反向共线时,|a-b|=|a|+|b|.
2.因为向量的加法和减法具有明显的几何意义,所以要注意构造平行四边形及三角形来解决有关问题.
3.当向量a,b不共线时,分别与向量a+b,a-b构成三角形,由“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”可以形象地解释向量的三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3(1)若向量a,b满足|a|=2,|b|=5,则|a-b|的最大值为 .?
(2)若向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2
,|a|=
,求|b|.
(1)解析:|a-b|≤|a|+|b|=2+5=7,故|a-b|的最大值是7.
答案:7
又因为|a+b|=|a-b|,
所以四边形ABCD为矩形,
即△ABD是直角三角形.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误用向量减法法则而致误
【典例】
如图所示,已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则
= .?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得本题错解的产生是向量减法法则使用错误,要弄清楚
才是正确的.因此在学习过程中要注重细节,不要因小失大.
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
答案:A
1
2
3
4
5
6
形ABCD的形状是( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
答案:B
1
2
3
4
5
6
解析:由题意知?ABCD是菱形.
又∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形.
答案:2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
6.如图所示,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,设(共24张PPT)
3.1 数乘向量
一
二
一、数乘向量
1.定义:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量.记作λa,这种运算叫作向量的数乘.
2.长度与方向的规定:
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.
3.几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长或压缩到原来的|λ|倍.
4.运算律:设λ,μ为实数,则有
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
一
二
【做一做1】
将
[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简式为( )
A.2a-b
B.2b-a
C.a-b
D.b-a
答案:B
【做一做2】
如图,在?ABCD中,AC与BD相交于点O.则下列各式成立的是( )
答案:C
一
二
二、向量共线的判定定理和性质定理
1.判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
2.性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.
A.A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
∴A,B,D三点共线.
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若向量λa=0,则a=0.
( )
(2)若向量λa=0,则λ=0.
( )
(3)若向量a与b不共线,且λa=μb(λ,μ∈R),则一定有λ=μ=0.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
探究一
探究二
探究三
易错辨析
数乘向量的定义及几何意义
【例1】
(1)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是( )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
(2)点C是线段AB靠近点A的一个三等分点,则下列不正确的是( )
答案:(1)C (2)B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
对向量数乘运算的三点说明
(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的线性运算
【例2】
(1)计算下列各式:
①3(a-2b+c)-(2c+b-a);
(2)设x,y是未知向量.
①解方程5(x+a)+3(x-b)=0;
思路分析:要解决(1)中的问题,需要用到数乘向量的运算律,其运算过程类似于“合并同类项”;(2)是解关于未知向量的方程或方程组,它与解关于未知数的方程或方程组是类似的,在计算过程中应遵守向量加、减法及向量数乘的运算律.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)①原式=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+c.
②把第一个方程的左、右两边同乘以-2,然后与第二个方程相加,
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a= ,b= .?
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量共线定理的应用
【例3】
判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).
解:(1)∵b=-2a,∴a与b共线.
(2)∵a=
b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.
∵e1与e2是两非零不共线向量,
∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟向量共线定理的应用
1.判断或证明两个向量a与b(b≠0)共线时,只需证明a=λb(λ∈R)即可.
2.已知两个向量a与b(b≠0)共线时,可根据向量共线的性质得a=λb(λ∈R),从而解决有关的参数问题.
3.利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练3(1)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=( )
A.0
B.-0.5
C.-2
D.0.5
(1)解析:依题意知向量a+λb与2a-b共线,故设a+λb=k(2a-b),
答案:B
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因对向量共线的条件理解不清而致误
【典例】
已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线?
错解若存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),
则3e1+2e2=3λe1-2λe2,即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2,
所以不存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),故两个向量不共线.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正解①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.
②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),
则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,
3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,
纠错心得1.对于向量共线问题一定要掌握好共线向量定理,并知道定理中对各个量的限制条件.
2.错解中对向量共线的条件理解不清,只有当a,b不共线,且λa=μb时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.
1
2
3
4
5
1.下列各式计算正确的个数是( )
①(-7)·6a=-42a;②a-2b+(2a+2b)=3a;③a+b-(a+b)=0.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①②正确,③的结果应为0,故③错误.
答案:C
1
2
3
4
5
2.若3x-2(x-a)=0,则向量x等于( )
A.2a
B.-2a
解析:由题意知3x-2x+2a=0,故x=-2a.
答案:B
1
2
3
4
5
答案:B
3.设P是△ABC所在平面内的一点,且
,则△PAB与△PBC的面积之比是( )
1
2
3
4
5
三点共线,则实数p的值为 .?
答案:-1
1
2
3
4
5
5.已知向量e1,e2是两个共线向量,若a=e1-e2,b=2e1+2e2.求证:a∥b.
证明:①若e1=e2=0,则a=b=0,∴a与b共线,即a∥b.②若e1,e2至少有一个不为零向量,不妨设e1≠0,则e2=λe1(λ∈R),且a=(1-λ)e1,b=2(1+λ)e1,∴a∥e1,b∥e1,而e1≠0,
∴a∥b.综上可证得a∥b.§4 平面向量的坐标
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.设向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
答案C
2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为( )
A.-2,1
B.1,-2
C.2,-1
D.-1,2
解析∵c=λ1a+λ2b,
∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).
∴解得λ1=-1,λ2=2.
答案D
3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与同方向的单位向量是( )
A.
B.
C.
D.
解析易得=(4-1,-1-3)=(3,-4),所以与同方向的单位向量为(3,-4)=,故选A.
答案A
4.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是
( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
解析设a=k1e1+k2e2,
A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),
∴无解.
B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),
∴解得
故B中的e1,e2可把a表示出来.
同理,C,D选项同A选项,无解.
答案B
5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=( )
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
解析设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,
所以d=(-2,-6).
答案D
6.在?ABCD中,若=(1,3),=(2,5),则= ,= .?
解析=(1,2),
=(0,-1).
答案(1,2) (0,-1)
7.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),以e1,e2为基底将a分解为a1e1+a2e2的形式为 .?
解析设a=a1e1+a2e2(a1,a2∈R),
则(-1,2)=a1(1,2)+a2(-2,3)=(a1-2a2,2a1+3a2),
所以解得
所以a=e1+e2.
答案a=e1+e2
8.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则a+的值是 .?
解析∵A,B,C三点共线,∴共线,∴存在实数λ,使(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴解得λ=,a+.
答案
9.已知边长为2的等边三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量的坐标.
解如图,等边三角形ABC的边长为2,
则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos
60°,2sin
60°),
∴C(1,),∴D,
∴=(2,0),=(1,),
∴=(1-2,-0)=(-1,),
.
10.设A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,共线且方向相同?此时点A,B,C,D能否在同一直线上?
解设点O为坐标原点,则根据题意有=(2x,2)-(x,1)=(x,1),
=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),=(5,3x)-(1,2x)=(4,x).
由共线,得x2-4=0,即x=±2.
又方向相同,∴x=2.
此时,=(2,1),=(-3,2),而2×2-1×(-3)=7≠0,∴不共线,
∴A,B,C三点不在同一直线上.
∴点A,B,C,D不在同一直线上.
11.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
解(1)设点A(x,y),B(x0,y0),
∵|a|=2,且∠AOx=45°,
∴x=2cos
45°=,且y=2sin
45°=.
又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,
∴x0=3cos
120°=-,y0=3sin
120°=.
故a==(),b=.
(2)如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos
30°,sin
30°),
∴B.
∵||=3,∴C(-3sin
30°,-3cos
30°),
即C.
又A(2,0),
∴-(2,0)=,
.
B组 能力提升
1.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p?q=(-4,-3),则q等于( )
A.(-2,1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(-2,-1)
解析设q=(x,y),由题设中运算法则,得
p?q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3),
即解得
故q=(-2,1).
答案A
2.已知向量a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ,μ∈R),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(0,+∞)
B.(-∞,3)
C.(-∞,-3)∪(-3,+∞)
D.[-3,3)
解析因为平面上任意向量c都可以用a,b唯一表示,所以a,b是平面向量的一组基底,即a,b为不共线的非零向量,则3m≠2m-3,即m≠-3,故选C.
答案C
3.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至点E,使||=|,则点E的坐标为 .?
解析∵,∴A为BC中点,∴点C的坐标为(3,-6).又||=|,且E在DC的延长线上,
∴=-.
设E(x,y),则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y).
于是解得
故点E坐标是.
答案
4.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),试求当点P在第三象限时λ的取值范围.
解由题意得=(3+5λ,1+7λ).
设点P(x,y),则=(x-2,y-3).
于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
所以
又点P在第三象限,
所以解得λ<-1.
所以λ的取值范围为(-∞,-1).
5.
导学号93774073如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.
解(方法一)设=t=t(4,4)=(4t,4t),
则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),
=(2,6)-(4,0)=(-2,6).
由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,
解得t=,∴=(4t,4t)=(3,3),
∴点P的坐标为(3,3).
(方法二)设P(x,y),则=(x,y),
∵共线,=(4,4),∴4x-4y=0.
①
又=(x-2,y-6),
=(2,-6),且向量共线,
∴-6(x-2)+2(6-y)=0.
②
解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,
∴点P的坐标为(3,3).
6.导学号93774074已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)证明:对于任意向量a,b及常数m,n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(3,5)成立的向量c.
(1)证明设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
则f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
又mf(a)=(my1,2my1-mx1),nf(b)=(ny2,2ny2-nx2),
所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2),
所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).
(2)解f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1).
(3)解设向量c=(x3,y3),则
解得所以c=(1,3).(共32张PPT)
习题课——平面向量数量积的综合应用
一
二
三
四
一、向量的射影
1.设向量a与向量b的夹角为θ,则向量b在a方向上的射影为|b|cos
2.设向量a与向量b的夹角为θ,则向量a在b方向上的射影为|a|cos
一
二
三
四
二、向量数量积的坐标表示
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么
1.a·b=x1x2+y1y2且a·b=0?a⊥b?x1x2+y1y2=0.(解决垂直问题常用公式)
一
二
三
四
三、向量数量积的运算律
1.交换律:a·b=b·a.
2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
注意①数量积不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c)≠a·b·c.
②a·b=0
a=0或b=0.
③a·b=a·c
b=c.
一
二
三
四
四、重要公式(结论)
1.(a+b)·(a-b)=a2-b2.
2.(a±b)2=a2±2a·b+b2.
一
二
三
四
【做一做1】
设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
解析:∵a=(1,2),b=(1,1),
∴c=(1+k,2+k).
∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0.
∴k=-
.故选A.
答案:A
一
二
三
四
【做一做2】
已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5
,则|b|等于( )
∴|b|=5.
答案:C
一
二
三
四
解析:由夹角公式直接代入求解即可.设a,b的夹角为θ,
一
二
三
四
【做一做4】
已知A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(2)若四边形ABCD是矩形,求C点坐标,并求两对角线所成锐角的余弦值.
(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
一
二
三
四
(2)解:∵四边形ABCD为矩形,且AB⊥AD,
设点C坐标为(x,y),则(-3,3)=(x-3,y-2),
∴x-3=-3,y-2=3,∴x=0,y=5,
∴点C坐标为(0,5),
探究一
探究二
思想方法
平面向量数量积的基本运算
【例1】
(1)已知等边三角形ABC的边长为2,
(2)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|= .?
(3)已知向量a∥b,b=(1,2),|a·b|=10,则a的坐标为 .?
探究一
探究二
思想方法
解析:(1)由已知得a·b+b·c+c·a=|a||b|cos
120°+|b||c|cos
120°+|c||a|cos
120°=-6.
(2)由|a+b|2=(a+b)2,可得a2+2a·b+b2=576,
所以169+2a·b+361=576,
所以2a·b=46.
所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=169-46+361=484,
所以|a-b|=22.
(3)因为a∥b,
所以设a=λb(λ∈R),所以a=(λ,2λ),
所以|a·b|=|λ+4λ|=10,所以λ=±2,
所以a=(2,4)或a=(-2,-4).
答案:(1)-6 (2)22 (3)(2,4)或(-2,-4)
探究一
探究二
思想方法
反思感悟解决此类问题要注意加深对数量积定义及相关概念的理解.若向量在坐标形式下求解,注意熟记数量积的坐标形式及相关的度量公式.
探究一
探究二
思想方法
变式训练1(1)若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的射影为 ,b在a方向上的射影为 .?
(2)已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
①求a,b的夹角;
②求|a+b|.
探究一
探究二
思想方法
(2)解:①由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4a2-4a·b-3b2=61,
又因为|a|=4,|b|=3,所以a·b=-6.设a,b的夹角为θ,
②|a+b|2=a2+2a·b+b2=16-12+9=13.
探究一
探究二
思想方法
数量积的综合应用
A.20
B.15
C.9
D.6
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
探究一
探究二
思想方法
探究一
探究二
思想方法
∴点P的坐标为(3,0).故选C.
答案:(1)C (2)C
反思感悟1.数量积在向量的化简、求值及有关平面几何证明中,要先把待求向量用合适的基底表示出来,体现由已知解决未知的思想.
2.数量积在坐标下讨论最值问题,一般利用函数思想,体现了纯代数的思维方法.
探究一
探究二
思想方法
答案:9
探究一
探究二
思想方法
几何法与代数法在解决数量积最值问题中的对比
【典例】
已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则
的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
思路点拨:本题可借助数形结合的思想,也可以利用数量积的坐标形式加以解决.
探究一
探究二
思想方法
解析:一画出图形,利用向量加法的几何意义通过数形结合求解.
AC为Rt△ABC的斜边,则AC为圆x2+y2=1的一条直径,故AC必经过原点,
探究一
探究二
思想方法
解析二利用向量的线性运算及数量积求解.
探究一
探究二
思想方法
解析三设出点B的坐标,转化为坐标运算求解.
答案:B
探究一
探究二
思想方法
方法点睛该例题求解思路方法比较丰富,是一个很好的训练思维能力及思想方法的案例.
解析一强调了数形结合思想的应用,同时也有必要的向量的基本运算;解析二主要应用数量积的形式来表达距离,体现了数量积的最原始意义;解析三强调数量积的坐标运算,并化归为三角函数的最值问题.
1
2
3
4
5
6
1.已知向量a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b与b垂直,则|a|=( )
解析:由题意知2a-b=(3,x),
∵2a-b与b垂直,
∴(2a-b)·b=(3,x)·(-1,x)=0,
∴x2=3.
故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
2.在△ABC中,有如下命题,其中正确的是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④
角,△ABC是钝角三角形,④错误.
答案:C
1
2
3
4
5
6
3.如图,在?ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,点M在AB边上,且
1
2
3
4
5
6
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,-1),则cos
θ= .?
答案:1
1
2
3
4
5
6
5.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解:(1)若a⊥b,则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0,
即x2-2x-3=0,
解得x=-1或x=3.
(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,
即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),|a-b|=2.
1
2
3
4
5
6
6.已知在△ABC中,角C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,
设A(a,0),则B(0,a),E(x,y).
∵D是BC的中点,3.2 平面向量基本定理
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为基底的组数有( )
①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
解析看每一组的两个向量是否共线,若共线则不能作为基底,若不共线则可作为基底,∵4e2-2e1=-2(e1-2e2),∴第③组中的两个向量共线,不能作为基底.
答案C
2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基底,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为( )
A.λ=0
B.e2=0
C.e1∥e2
D.e1∥e2或λ=0
解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.
答案A
3.设a,b为平面内所有向量的一组基底,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于( )
A.2
B.-2
C.10
D.-10
解析=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.
∵A,B,D三点共线,
∴存在实数λ使得=λ,
即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.
∵a,b为基底向量,
∴解得λ=,k=2.
答案A
4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2=0,则( )
A.
B.=2
C.=3
D.2
解析由2=0,得2=-().
因为D是BC的中点,
所以=2,
于是2=-2,
即.
答案A
5.在△ABC中,点D在BC边上,且=2=r+s,则r+s=( )
A.
B.
C.-3
D.0
解析由题意得)=.
因为=r+s,所以r=,s=-,
所以r+s=0,故选D.
答案D
6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则k的值为 .?
解析因为a,b不能作为一组基底,
所以存在实数λ,使得a=λb,
即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),
则6λ=3,且kλ=-4,
解得λ=,k=-8.
答案-8
7.在?ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,用a,b表示.
解如图,.
由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,
∴.∴
=
=)
=
=a+b+
=a+b.
8.
导学号93774069如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解
如图所示,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,
(a+b)-a=(b-2a),
b-a=(b-2a).
(2)证明由(1)知,,∴共线.
又有公共点B,∴B,E,F三点共线.
B组 能力提升
1.已知平面内有一点P及一个△ABC,若,则( )
A.点P在△ABC外部
B.点P在线段AB上
C.点P在线段BC上
D.点P在线段AC上
解析∵,
∴=0,
即=0,
∴=0,∴2,
∴点P在线段AC上.
答案D
2.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面内不共线的三点,若点P满足+λ(λ∈(0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析设BC中点为M,则,则有+λ,即=λ(λ∈(0,+∞)),∴M,P,A三点共线.∴点P的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.
答案C
3.已知?ABCD中,E为CD的中点,=x=y,其中x,y∈R,且均不为0,若,则= .?
解析=y-x,
由=λ(λ≠0),
∴y-x=λ()=λ,
∴.
答案
4.在△ABC所在平面上有一点P,满足+4,则△PBC与△PAB的面积比为 .?
解析+4,所以2,即点P在AC边上,且AP=2PC,所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.
答案1∶2
5.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.
解设=e1,=e2,
则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=2e1+3e2,
∴解得
∴,即AP∶PM=4∶1.
6.导学号93774070如图所示,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM交于点P,用向量a,b表示.
解设=m=n,因为,所以+ma+m(1-m)a+mb,+n(1-n)b+na.
因为a与b不共线,所以
解得所以a+b.
7.导学号93774071已知A,B,C三点不共线,O为平面上任意一点,证明存在实数p,q,r,使得p+q+r=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.
证明如图,由题意可得r=-(p+q).
∴p+q-(p+q)=0,
即p()=q(),p=q,
∴p+q=0=0·+0·.
由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的,
∴p=0,q=0,p+q=0.∵p+q+r=0,
故有p=q=r=0.§7 向量应用举例
课后篇巩固探究
1.在四边形ABCD中,=0,,则四边形ABCD是( )
A.直角梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析由=0知.由知BC=AD,且BC∥AD,故四边形ABCD是矩形.
答案C
2.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),∴中点M的坐标为,
∴.
∴=2.
答案B
3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20
N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为( )
A.10
N
B.10
N
C.20
N
D.10
N
答案A
4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B.以b,c为邻边的平行四边形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
D.以b,c为两边的三角形的面积
解析设a与b的夹角为θ,则|b·c|=|b||c||cos(90°-θ)|=|b||a||sin
θ|,则|b·c|的值一定等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.
答案A
5.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则||的最小值是( )
A.4-2
B.-1
C.+1
D.
解析设P(x,y),由||=1可知x2+(y+2)2=1,所以点P的轨迹是以C(0,-2)为圆心,1为半径的圆,
又||=的最小值表示点P与点(-,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,||的最小值为-1=-1.
答案B
6.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为 .?
解析设P点坐标为(x,y),
则有∴P(10,-5).
答案(10,-5)
7.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x= .?
解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.
答案
8.如图所示,在倾斜角为37°(sin
37°=0.6),高为2
m的斜面上,质量为5
kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为 J,重力对物体m所做的功为 J(g=9.8
m/s2).?
解析物体m的位移大小为|s|=(m),
则支持力对物体m所做的功为
W1=F·s=|F||s|cos
90°=0(J);
重力对物体m所做的功为
W2=G·s=|G||s|cos
53°=5×9.8××0.6=98(J).
答案0 98
9.导学号93774084设O为△ABC的外心,已知AB=3,AC=4,非零实数x,y满足=x+y,且x+2y=1,求cos∠BAC的值.
解设AC的中点为D,则=x+y=x+2y,∵x+2y=1,∴O,B,D三点共线,由O为△ABC的外心知OD⊥AC,即BD⊥AC,在Rt△ADB中,AB=3,AD=AC=2,所以cos∠BAC=.
10.导学号93774085在重300
N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图①所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.
解如图②所示,两根绳子的拉力之和,且||=||=300
N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,从而||=||cos
30°=150(N),||=||sin
30°=150(N),||=||=150
N.
故与铅垂线成30°角的绳子的拉力大小是150
N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力大小是150
N.(共31张PPT)
2.1 向量的加法
一
二
三
一、向量的加法的定义
求两个向量和的运算,叫作向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.
一
二
三
二、向量的求和法则
1.三角形法则:如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点A,作
这个法则叫作向量求和的三角形法则.
一
二
三
一
二
三
【做一做1】
如图,在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,则
一
二
三
三、向量加法运算律
1.交换律:a+b=b+a.
2.结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
注意由于向量的加法满足交换律与结合律,因此,多个向量的加法运算就可按照任意的次序与组合来进行.例如,(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c)=(a+d)+(b+c).
【做一做2】
化简下列各组向量:
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对任意不共线向量a,b总有|a+b|<|a|+|b|成立.
( )
(2)当a与b共线且反向时|a+b|=|a|+|b|.
( )
(3)若a与b共线且同向时|a+b|=|a|+|b|.
( )
(4)若|a|=100,|b|=90,则|a+b|的范围为[10,190].
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
利用向量的加法法则作和向量
【例1】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b+c.
思路分析:可用三角形法则或平行四边形法则求出a+b,再与c求和.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.用三角形法则求和时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.
2.用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点”.
3.在求多个向量的加法作图时,常利用向量的三角形法则.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
向量的加法运算
【例2】如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量:
思路分析:此类问题应根据三角形法则或平行四边形法则,观察是否具备应用法则的条件.若不具备,应改变条件,以便使用法则求解.
解:(1)因为ABCDEF是正六边形,O是中心,所以四边形OABC是平行四边形,
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟进行向量的加法运算时要抓住两条主线,一是基于“形”,通过作出向量,在图形中,运用平行四边形法则或三角形法则求和;二是基于“式”,它是对上述操作的符号化表示,特别要注意运用
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2(1)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
解析:(1)在平行四边形ABCD中,
答案:(1)C (2)1
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
向量的加法运算律及应用
【例3】
化简下列各式:
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.意义.
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
2.应用原则.
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
向量加法的实际应用
【例4】
一艘船从点A出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时水的流速为2
km/h,求船实际航行的速度的大小与方向.
思路分析:该问题属于实际应用题,其中船速和水的流速及两者间的方向关系明确——垂直,因此解答本题可借助向量知识及直角三角形的边角关系求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:如图,
所以船实际航行的速度的大小为4
km/h,方向是与水流的方向成60°角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.向量的加法在物理学中应用较为广泛,如力的合成、速度的合成等,解决这类问题的关键是结合图形,利用平行四边形法则或三角形法则解决.
2.实际问题的向量解法的步骤:
把实际问题转化为向量问题→解决向量问题→把向量问题转化为实际问题
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
求范围时因忽略了两向量共线的情况而致误
根据向量加法的三角形法则可得:
A,B,C三点构成三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.在解决向量的长度问题时,注意各向量的共线情况.当两向量长度一定,共线同向时,向量和的长度最大,共线反向时,两向量和的长度最小.
2.错解中忽略了A,B,C三点共线的情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练已知向量m与n不共线,且|m|=1,|n|=4,则|m+n|的取值范围是 .?
解析:因为m与n不共线,
所以有||m|-|n||<|m+n|<|m|+|n|,
即3<|m+n|<5.
答案:(3,5)
1
2
3
4
5
1.若向量a表示向东走1
km,向量b表示向南走1
km,则向量a+b表示( )
解析:由向量加法的平行四边形法则可知,a+b表示向东南走
km.
答案:A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.在长江南岸某渡口处,江水以12.5
km/h的速度向东流,渡船的速度为25
km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?
∴∠CAD=30°.
∴渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.§1 从位移、速度、力到向量
课后篇巩固探究
1.已知向量a与b是两个不平行的向量,若a∥c且b∥c,则c等于( )
A.0
B.a
C.b
D.不存在这样的向量
解析零向量与任一向量是共线向量,故c=0.
答案A
2.
如图,在正六边形ABCDEF中,点O为其中心,则下列判断错误的是( )
A.
B.
C.||=||
D.
解析的模相等,但方向不相同,因此,不是共线向量,更不是相等向量.
答案D
3.设O是正方形ABCD的中心,向量是
( )
A.平行向量
B.有相同终点的向量
C.相等向量
D.模相等的向量
答案D
4.若a为任一非零向量,b是模为1的向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.
其中正确的是( )
A.①④
B.③
C.①②③
D.②③
解析题中只明确了b的模的大小,而没有指明a的模,因此,①错误;④错误;题中没有说明a,b的方向,故不能判断两向量是否平行,因此,②错误;向量的模是一个长度,其值大于等于0,故③正确.
答案B
5.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列说法中错误的是( )
A.C?A
B.A∩B={a}
C.C?B
D.A∩B?{a}
解析A∩B含有a的相反向量,所以B错误.
答案B
6.
如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
解析根据相等向量的定义,A中,的方向不同,故A错误;B中,的方向不同,故B错误;C中,的方向相反,故C错误;D中,的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故D正确.
答案D
7.如图所示,在四边形ABCD中,,且||=||,则四边形ABCD的形状为 .?
解析∵,∴四边形ABCD为平行四边形.
又||=||,∴平行四边形ABCD为菱形.
答案菱形
8.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD与BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点组成的所有向量中,与向量方向相反的向量为 .?
解析由于AB∥EF∥CD,所以与共线的向量有,其中方向相反的是.
答案
9.如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D.若的模为2,的模为3,的模为1,则的模为 .?
解析如图,延长CD,过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED,
所以||=||.
因为△ADE∽△BDC,
所以,
故||=.
答案
10.导学号93774061如图,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA边上的点,已知,试推断向量是否为相等向量,说明你的理由.
解,理由:∵,
∴||=||,点D是AB边的中点.
∵,
∴是平行向量,
∴DF∥BE,即DF∥BC.
∴=1,
∴点F是AC边的中点.
∵点D是AB边的中点,
∴由三角形中位线定理知,DF=BC.
又||=||,即DF=BE,
∴BE=BC,
∴点E为BC边的中点.
∵点D是AB边的中点,
于是DE∥AC,且DE=AC.
∵点F是AC边的中点,
∴AF=AC,
∴DE∥AF,且DE=AF,
故.
11.导学号93774062如图所示,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,设点集S={A,B,C,D,O},向量集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},试求集合T的子集的个数.
解由题意可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个,即.由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即.又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个,从而集合T共有212个子集.(共27张PPT)
§7 向量应用举例
一
二
三
四
一、直线的法向量
1.一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量,一条直线的法向量有无数个.
2.直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量是(B,-A),它的一个法向量是(A,B).
【做一做1】
若直线l方程为3x-4y+1=0,则其单位法向量是 .?
一
二
三
四
二、点到直线的距离公式推导过程
【做一做2】
点A(2,4)到直线y=2x-1的距离为 .?
一
二
三
四
三、向量在平面几何中的应用
一
二
三
四
【做一做3】
点P是△ABC所在平面内一点,若
,其中λ∈R,则点P一定在( )
A.△ABC内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
∴P,A,C三点共线,
∴点P一定在AC边所在的直线上.
答案:B
一
二
三
四
四、向量方法在物理中的应用
1.力、速度、加速度、位移都是向量.
2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算,运动的叠加也用到了向量的合成.
3.功即是力F与所产生位移s的数量积.
一
二
三
四
【做一做4】
下图是用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N,则每根绳子的拉力大小是 .?
解析:因为绳子等长,所以每根绳子的拉力和合力所成的角都相等,都等于60°,故每根绳子的拉力都是10
N.
答案:10N
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线l:Ax+By+C=0的方向向量为(A,B),法向量为(B,-A).
( )
答案:(1)× (2)√
探究一
探究二
探究三
点到直线距离公式的应用
【例1】
点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为
,则点P坐标为( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)
D.(2,1)或(-1,2)
解析:设P(a,5-3a),
∴|2a-3|=1.
∴a=2或a=1.
∴点P坐标为(2,-1)或(1,2).
答案:C
探究一
探究二
探究三
反思感悟求点到直线的距离一般先把直线化成一般
式:Ax+By+C=0,利用公式d=
求出点M(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,两平行线间的距离常转化为点到直线的距离去求.
探究一
探究二
探究三
变式训练1已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=( )
A.10
B.-16
C.10或-16
D.13
解得m=10或m=-16.
答案:C
探究一
探究二
探究三
向量在平面几何中的应用
【例2】
在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.求证:AF⊥DE.
证明:(方法一)建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为2,
探究一
探究二
探究三
(方法二)设正方形边长为1,
探究一
探究二
探究三
反思感悟
用向量证明平面几何问题的方法
用向量证明平面几何问题的方法,常见思路有两种.
(1)向量的线性运算法:
选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化
(2)向量的坐标运算法:
建立适当的平面直角坐标系→把相关向量坐标化→向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化
探究一
探究二
探究三
变式训练2已知点O是△ABC所在平面内一点,且满足
∴a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2.
∴c·b=a·c=b·a,
探究一
探究二
探究三
向量在物理中的应用
【例3】
如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
求:(1)|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况;
(2)当|F1|≤2|G|时,角θ的范围.
探究一
探究二
探究三
思路分析:力的合成就是向量的加法,先要画出物体的受力分析图.
解:画出物体的受力分析图如图.
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,得
∵0°≤θ<90°,
∴0°≤θ≤60°,
∴角θ的范围是0°≤θ≤60°.
反思感悟用向量知识解决的实际问题,一般难度较大.解题时既要把问题转化为向量,又要注意到向量与实际问题的不同.得到的向量结论与实际结论也可能有所区别.
探究一
探究二
探究三
变式训练3如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8
m,其中|F1|=2
N,方向为北偏东30°;|F2|=4
N,方向为北偏东60°;|F3|=6
N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功.
探究一
探究二
探究三
1
2
3
4
5
6
1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为( )
答案:B
1
2
3
4
5
6
A.不共线
B.平行
C.相交
D.以上均不对
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.已知作用在A点的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为( )
A.(9,1)
B.(1,9)
C.(9,0)
D.(0,9)
解析:F=F1+F2+F3=(8,0).∵起点坐标为A(1,1),
∴终点坐标为(9,1).故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
4.过点A(2,-3),且与向量m=(4,-3)垂直的直线方程为
.?
解析:由题设直线方程为4x-3y+c=0,点A(2,-3)在直线上,∴c=-17.
答案:4x-3y-17=0
1
2
3
4
5
6
5.一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60
m,若纤绳与行进方向的夹角为
,人的拉力为50
N,则纤夫对船所做的功为 .?
1
2
3
4
5
6
6.如图,已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E,F分别是BD,AC的中点.求证:EF∥BC.
连接BF,∵F是AC的中点,
1
2
3
4
5
6§3 从速度的倍数到数乘向量
3.1 数乘向量
课后篇巩固探究
1.线段AB的中点为C,若=λ,则λ的值是( )
A.2
B.-2
C.2或-2
D.或2
解析由已知得,
∴=2=-2.
答案B
2.下列说法正确的个数为( )
①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.
答案B
3.已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ等于( )
A.1
B.0
C.-1
D.±1
解析∵向量a+λb与b+λa的方向相反,
∴(a+λb)∥(b+λa),即存在一个负实数m,使得a+λb=m(b+λa),
即(1-mλ)a=(m-λ)b.
∵a与b不共线,
∴1-mλ=m-λ=0,可得m=λ<0,
∴1-λ2=0,∴λ=-1.
答案C
4.已知的终点A,B,C在一条直线上,且=-3,设=p,=q,=r,则下列等式成立的是
( )
A.r=-p+q
B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
解析r=-3-3()=p-3q+3r,所以2r=3q-p,r=-p+q,故选A.
答案A
5.如图,在△ABC中,设E为BC边的中点,则3+2=( )
A.
B.2
C.
D.2
解析3+2
=3()+
=3=2-2
=2()=2()=2.
答案D
6.若四边形ABCD为正方形,点E是CD的中点,且=a,=b,则= .?
解析=b-a.
答案b-a
7.若2(b+c-3x)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量x= .?
解析由原方程得2x-a-b-c+x+b=0.
∴x=a-b+c,
∴x=a-b+c.
答案a-b+c
8.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是 .?
解析∵=5e,=-7e,∴AB∥CD,且AB≠CD.
又||=||,∴四边形ABCD是等腰梯形.
答案等腰梯形
9.导学号93774067如图所示,在?ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且BN=BD.求证:M,N,C三点共线.
证明设=a,=b,则由向量减法的三角形法则可知
a-b.
∵点N在BD上,且BN=BD,
∴)=(a+b),
∴(a+b)-b=a-b=,
∴.
又的公共点为C,
∴C,M,N三点共线.
10.导学号93774068若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,t为何值时,a,tb(t∈R),(a+b)三向量的终点在同一条直线上?
解设=a,=tb,(a+b),
∴=-a+b,
=tb-a.
要使A,B,C三点共线,需=λ(λ∈R),
即-a+b=λtb-λa.
∴
∴当t=时,三向量的终点在同一条直线上.第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.以下说法中不正确的是( )
A.零向量与任一非零向量平行
B.零向量与单位向量的模不相等
C.平行向量方向相同
D.平行向量一定是共线向量
解析只有C是错误的,平行向量有方向相同与相反两种情况.
答案C
2.已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N等于( )
A.{(1,1)}
B.{(1,1),(-2,-2)}
C.{(-2,-2)}
D.?
解析设a=(x,y),对于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.
①
对于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),.
②
由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.
答案C
3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于( )
A.-a+b
B.a-b
C.a-b
D.-a+b
解析设c=xa+yb,因此,
解得因此,c=a-b.
答案B
4.(2018全国Ⅱ高考)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4
B.3
C.2
D.0
解析a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.
答案B
5.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.
B.
C.2
D.10
解析由a⊥c得a·c=2x-4=0,所以x=2,
由b∥c得1×(-4)=2y,所以y=-2,
于是a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),
从而|a+b|=.
答案B
6.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2+λ,则λ=( )
A.
B.
C.-
D.-
解析∵=2,∴=2=2(),即得,由已知条件+λ可得λ=.
答案A
7.(2018全国Ⅰ高考)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析如图,=-
=-)
=
=)=.
答案A
8.在△ABC中,∠ACB=90°,且CA=CB=3,点M满足=2,则=( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析
如图,
∵
=)
=,
∴|2
=×0+×32=3.
答案B
9.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.π
解析由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0,即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ,所以3|a|2-|a||b|cos
θ-2|b|2=0,即3·|b|2cos
θ-2|b|2=0,整理,得cos
θ=,故θ=.
答案A
10.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),点C在第二象限内,∠AOC=,且||=2,若=λ+μ,则λ,μ的值是( )
A.,1
B.1,
C.-1,
D.-,1
解析根据平面向量的基本定理并结合图形求出分量即可.
答案D
11.若点O为平面内任意一点,且(-2)·()=0,则△ABC是( )
A.直角三角形或等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形但不一定是直角三角形
D.直角三角形但不一定是等腰三角形
解析由(-2)·()=0得()·()=0,∴=0,即||=||.
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.由题意不能判定△ABC为直角三角形.
答案C
12.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.0
解析设S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表达式中有0个a·b,则S=2a2+2b2,记为S1;若S的表达式中有2个a·b,则S=a2+b2+2a·b,记为S2;若S的表达式中有4个a·b,则S=4a·b,记为S3.
又|b|=2|a|,所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3θ=4|a|2,即cos
θ=,又θ∈[0,π],所以θ=.
答案B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= .?
解析由|2a-b|=可得,4|a|2-4a·b+|b|2=10,所以4-4×1×|b|×cos
45°+|b|2=10,
即|b|2-2|b|-6=0,解得|b|=3.
答案3
14.已知点A(7,1),B(1,a),若直线y=x与线段AB交于点C,且=2,则实数a= .?
解析根据题意,设C(x,x),
由A(7,1),B(1,a),得
=(x-7,x-1),=(1-x,a-x).
又=2,∴(x-7,x-1)=2(1-x,a-x),
∴解得x=3,a=4,
∴实数a的值为4.
答案4
15.函数y=tan的部分图像如下图所示,则()·= .?
解析依题意知A(2,0),B(3,1),∴=(3,1),=(2,0),=(1,1),∴()·=4.
答案4
16.
如图,在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则·()的最小值是 .?
解析如题中图,设=a,则|a|=2.
因为O为中线AM上的动点,
所以=t=ta(0≤t≤1),
故=(1-t)a.
因为M是BC的中点,
所以=2=-2ta.
所以·()=(1-t)a·(-2ta)
=-2t(1-t)|a|2=8t2-8t=8-2.
所以,当t=∈[0,1]时,最小值为-2.
答案-2
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.
(10分)如图,在平行四边形OADB中,设=a,=b,.试用a,b表示.
解由题意知,在平行四边形OADB中,)=(a-b)=a-b,
则=b+a-b=a+b.
)=(a+b),
则(a+b)-a-b=a-b.
18.(12分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)当a·b=时,求向量a与b的夹角θ的值.
解(1)因为(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=.
所以|b|2=|a|2-=1-,故|b|=.
(2)因为cos
θ=,
又0°≤θ≤180°,故θ=45°.
19.(12分)已知向量a,b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.
(2)求实数k,使ka+b与2a+kb共线.
(1)证明因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
所以=5a+5b=5,
因此共线.
又点B为的公共点,
所以A,B,D三点共线.
(2)解因为ka+b与2a+kb共线,
则存在实数λ使ka+b=λ(2a+kb),
所以所以k=±.
20.导学号93774086(12分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系,x轴正方向指向东,y轴正方向指向北.一个单位长度表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向匀速前进,6分时路过少年宫C,10分后到达科技馆B(-3,5).
(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度(用坐标表示).
(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置.
解(1)依题意知=(-3,5)-(2,0)=(-5,5).
||==5,∠xAB=135°.所以此人沿北偏西45°方向走了500米.
因为t=时,所走的实际距离s=||×100=500(米),
所以|v|==3
000(米/时)=30(百米/时),
所以|v|cos
135°=-30,|v|sin
135°=30,所以v=(-30,30).
(2)因为,
=(2,0)+(-5,5)=(-1,3),
所以||=,又tan∠COy=,
所以∠COy=18°26',
即少年宫C位于距离广场中心100米,且在北偏西18°26'处.
21.(12分)
如图所示,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).
(1)若点P在斜坐标系xOy中的斜坐标为(2,-2),求点P到原点O的距离.
(2)求以原点O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
解(1)因为点P的斜坐标为(2,-2),
所以=2e1-2e2,
所以||2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos
60°=8-4=4,所以||=2,即点P到原点O的距离为2.
(2)设圆上动点M的斜坐标为(x,y),
则=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1,
则x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1,
故所求圆的方程为x2+y2+xy=1.
22.导学号93774088(12分)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有,求证:AC=BC.
证明设=t(0≤t≤1),
∴=t,
∴=(t)·(t)=t2+t.由题意,
即t2+t
=,
即当t=取得最小值.
由二次函数的性质可知-,
即-,
∴=0.
取AB中点M,则,
∴=0,即AB⊥MC.∴AC=BC.