§6 余弦函数的图像与性质
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.下列关于函数f(x)=的说法正确的是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
解析定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(-x)==-=-f(x),故f(x)是奇函数.
答案A
2.函数f(x)=cos的图像的一条对称轴是( )
A.x=
B.x=
C.x=-
D.x=-
解析作出函数f(x)=cos的图像(图略),由图像知,其一条对称轴是x=.
答案A
3.函数y=-3cos
x+2的值域为( )
A.[-1,5]
B.[-5,1]
C.[-1,1]
D.[-3,1]
解析∵-1≤cos
x≤1,
∴-1≤-3cos
x+2≤5,
即值域为[-1,5].
答案A
4.函数y=|cos
x|的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析作出函数y=|cos
x|的图像(图略),由图像可知A,B都不是单调区间,D为单调递增区间,C为单调递减区间,故选C.
答案C
5.不等式2cos
x>的解集为( )
A.
B.
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析不等式2cos
x>,即cos
x>,作出y=cos
x在[-π,π]上的图像(图略),
因为cos=cos
,所以当-
x>,故原不等式的解集为.
答案D
6.函数y=cos
x在区间[-π,a]上是增加的,则a的取值范围为 .?
解析∵y=cos
x在[-π,0]上是增加的,
∴-π答案(-π,0]
7.cos
110°,sin
10°,-cos
50°的大小关系是 .?
解析因为sin
10°=cos
80°,-cos
50°=cos(180°-50°)=cos
130°,
而y=cos
x在[0,π]上是减少的,
所以cos
80°>cos
110°>cos
130°,
即sin
10°>cos
110°>-cos
50°.
答案sin
10°>cos
110°>-cos
50°
8.方程2x=cos
x的实根有 .?
解析在同一平面直角坐标系中分别画出y=2x与y=cos
x的图像,可知两图像有无数个交点,即方程2x=cos
x有无数个实数根.
答案无数个
9.画出函数y=cos
x(x∈R)的简图,并根据图像写出y≥时x的集合.
解用五点法作出y=cos
x的简图,如图所示.
过点作x轴的平行线,从图像中看出:
在区间[-π,π]上,y=与余弦曲线交于点,故在区间[-π,π]内,当y≥时,x的集合为.
当x∈R时,若y≥,则x的集合为x-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
10.求函数y=cos2x+2cos
x-2,x∈的值域.
解令t=cos
x.
∵x∈,
∴-≤t≤1,
∴原函数可化为y=t2+2t-2=(t+1)2-3.
∵-≤t≤1,
∴当t=-时,ymin=-3=-;
当t=1时,ymax=1.
∴原函数的值域是.
B组 能力提升
1.函数y=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是( )
A.0
B.
C.
D.π
解析当φ=时,y=sin=cos
x,而y=cos
x是偶函数.
答案C
2.导学号93774021函数y=-xcos
x的部分图像是下图中的( )
解析因为函数y=-xcos
x是奇函数,图像关于原点对称,所以排除选项A,C;当x∈时,y=-xcos
x<0,所以排除选项B.故选D.
答案D
3.导学号93774022已知函数f(x)=cos
x,x∈,若函数f(x)=m有三个从小到大不同的实数根α,β,γ,且β2=αγ,则实数m的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
解析方程f(x)=m有三个不同的实数根,则m∈(-1,0),
由题意知三个根分别为α,β,γ,且α<β<γ,则<α<β<<γ<3π,且α+β=2π,β+γ=4π,
又β2=αγ,
∴β2=(2π-β)(4π-β),
解得β=,
则m=f=cos=-,故选A.
答案A
4.已知cos
x=有实根,则m的取值范围为 .?
解析∵-1≤cos
x≤1,
∴-1≤≤1,且2m+3≠0,
解得m≥-或m≤-4.
答案(-∞,-4]∪
5.画出函数y=cos
x+|cos
x|的图像,并根据图像讨论其性质.
解y=cos
x+|cos
x|=利用五点法画出函数在上的图像,如图所示.
将图中的图像左右平移2kπ(k∈Z)个单位长度,即得函数y=cos
x+|cos
x|的图像(图略).
由图像可知函数具有以下性质:
定义域:R;
值域:[0,1];
奇偶性:偶函数;
周期性:最小正周期为2π;
单调性:在区间(k∈Z)上是减少的,在区间(k∈Z)上是增加的.
6.导学号93774023已知函数f(x)=lg(cos
2x).
(1)求其定义域、值域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)讨论f(x)的单调性.
解(1)要使函数f(x)=lg(cos
2x)有意义,
只需cos
2x>0,
于是有2kπ-<2x<2kπ+(k∈Z),
解得kπ-故函数的定义域为.
∵02x≤1,
∴lg(cos
2x)≤0,
∴函数的值域为(-∞,0].
(2)由(1)知f(x)=lg(cos
2x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=lg{cos[2(-x)]}=lg(cos
2x)=f(x),
∴原函数是偶函数.
(3)令y=f(x)=lg
u,u=cos
2x.
u=cos
2x在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.
∴函数y=lg(cos
2x)在区间(k∈Z)上是增加的,在区间(k∈Z)上是减少的.(共31张PPT)
§6 余弦函数的图像与性质
一
二
一、余弦函数y=cos
x,x∈R的图像
一
二
【做一做1】
用五点法作函数y=cos
x+1的图像时,需要描出的五个关键点的坐标分别是? .?
【做一做2】
函数y=-cos
x的图像可由y=sin
x的图像向 平移 个单位得到.?
一
二
二、余弦函数y=cos
x,x∈R的性质
一
二
【做一做3】
函数y=-3cos
x的一条对称轴方程是
( )
答案:D
【做一做4】
对于函数y=sin
,x∈R,下列说法正确的是( )
A.值域是[-1,0]
B.是奇函数
C.最小正周期是2π
D.在[0,π]上是减少的
解析:因为y=sin
=-cos
x,所以函数的值域是[-1,1],是偶函数;最小正周期是2π;在[0,π]上是增加的.
答案:C
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为y=cos
x,x∈R是偶函数,所以y=cos
x+5与y=cos(x+5)均是偶函数.
( )
(2)函数y1=|sin
x|与y2=|cos
x|,x∈R的周期均为
.
( )
(3)余弦函数在第一象限内是减少的.
( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
用五点法作余弦函数的图像
【例1】
画函数y=2cos
x+3,x∈[0,2π]的简图.
思路分析:用五点法作图的步骤:列表—描点—连线.
解:(1)列表:
(2)描点:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思感悟用五点法画函数y=Acos
x+b(A≠0),x∈[0,2π]的简图的步骤:
(1)列表:
(2)描点:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
变式训练1作出函数y=-cos
x+1,x∈[0,2π]的简图.
解:(1)列表:
(2)描点:
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来(如图所示).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
余弦函数的值域与最值问题
【例2】
求下列函数的值域:
(1)y=-2cos
x-1;
(3)y=cos2x-3cos
x+2.
思路分析:(1)利用余弦函数cos
x的有界性,即-1≤cos
x≤1来解决;
(2)利用反解法解决;
(3)利用换元及配方法解决.
解:(1)∵-1≤cos
x≤1,∴-2≤-2cos
x≤2,
∴-3≤-2cos
x-1≤1.
∴函数y=-2cos
x-1的值域为[-3,1].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
∴t∈[-1,1]为二次函数的单调递减区间.
∴当t=-1时,ymax=6;当t=1时,ymin=0.
∴函数y=cos2x-3cos
x+2的值域为[0,6].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思感悟
与余弦函数有关的值域的求法
(1)直接法:①利用y=cos
x的有界性;②已知x的范围,求y=cos
x的值域.
(2)反解法.也是利用有界性,但是要把函数反解成cos
x=g(y)的形式,再用-1≤g(y)≤1,解得y的取值范围.
(3)换元法.令t=cos
x,整体换元,换元后的函数必定是我们所熟悉的函数,比如一次函数、二次函数、对数函数等.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
变式训练2求使函数y=
取得最大值、最小值的自
变量x的集合,并分别写出最大值、最小值.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
与余弦函数有关的奇偶性问题
【例3】
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos
x;
思路分析:先判断定义域是否关于原点对称,再研究f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
解:(1)定义域为R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos
x=-f(x),因此,f(x)是奇函数.
因此,f(x)是奇函数.
(3)函数应满足1-sin
x≠0,
反思感悟1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数必为非奇非偶函数.
2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,要注意两个方面,一是函数的定义域是否关于原点对称;二是注意三角函数诱导公式的合理利用.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
答案:(1)B (2)A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
余弦函数的单调性及应用
(2)求函数y=lg
cos
x的单调递增区间.
思路分析:(1)先通过诱导公式将两个角转化到y=cos
x的同一个单调区间上,再比较大小;(2)令u=cos
x,则在定义域上,y=lg
cos
x的单调性与u=cos
x的单调性相同.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
令u=cos
x(0cos
x=lg
u,
因为y=lg
u在其定义域上是增加的,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
反思感悟1.利用余弦函数的单调性比较大小,注意函数名称要相同,并且比较的角都在同一单调区间内.
2.求函数的单调区间.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,求函数的单调区间之前要注意其定义域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
余弦函数图像的简单应用
【例5】
(1)求不等式cos
x<-
的角x的集合;
(2)判断方程|x|=cos
x的根的个数.
思路分析:(1)作出y=cos
x函数的图像,结合图像得出解集;
(2)作出y=|x|与y=cos
x两个函数的图像,看交点个数.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
解:(1)作出函数y=cos
x在[0,2π]上的图像(如图所示).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)求解方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos
x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cos
x的图像如图所示.显然只有两交点,即原方程有且仅有两个根.
反思感悟利用余弦函数的图像,可以求满足某一条件的角的取值范围,还可以研究有关方程的根的个数问题.
(1)用余弦函数的图像求角的范围时,首先可以作出y=cos
x在一个周期内的图像,然后找出适合条件的角的范围,最后依据周期性,写出所有满足条件的角的范围.
(2)根据余弦函数的图像研究方程根的个数问题时,要正确作出相应函数的图像,注意角的取值范围,分析观察图像的交点情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(1)解析:由sin(cos
x)≥0,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
(2)在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=cos
x与y=
在[0,2π]上的图像(如图),它们有3个交点,故方程有3个实数根.
答案:(1)A (2)3
1
2
3
4
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
答案:A
1
2
3
4
2.函数y=cos
x-2在x∈[-π,π]上的图像是( )
解析:把y=cos
x,x∈[-π,π]的图像向下平移2个单位长度即可.
答案:A
1
2
3
4
3.从函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图像来看,满足cos
x=-
的x的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
1
2
3
4
4.函数y=x2-cos
x的零点个数为 .?
解析:在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos
x的图像,如图所示.则两个函数图像有2个交点,∴函数y=x2-cos
x的零点有2个.
答案:2(共23张PPT)
§9 三角函数的简单应用
解答三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题.
1.审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型,有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,在阅读过程中,注意挖掘一些隐含条件.
2.建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将实际问题转化成了纯数学问题.
3.解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.
4.回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验.
【做一做1】如图是一简谐振动的图像,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7
s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在0.1
s和0.5
s时振动速度最大
D.该质点在0.3
s和0.7
s时的加速度为零
解析:由题中图像可知,振幅为5
cm.
答案:B
【做一做2】
电流I(单位:A)随时间(单位:s)变化的函数关系I=Asin(ωt+φ)的图像如图所示,则当t=
s时的电流为
A.?
答案:0
探究一
探究二
探究三
已知三角函数解析式解决实际问题
【例1】
心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80
mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin
160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
思路分析:函数解析式已知,可根据周期公式以及周期与频率的关系解决(1)(2),可用五点作图法解决(3),由函数解析式或图像得出函数的最大值以及最小值即得血压在血压计上的读数.
探究一
探究二
探究三
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为140
mmHg,舒张压为90
mmHg.
探究一
探究二
探究三
反思感悟在日常生活中,呈周期变化的现象,可利用三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+b描述其变化规律,并结合各参数的实际意义解决相关问题.
探究一
探究二
探究三
变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
?
?
?
?
(1)根据图中数据求函数解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰?
探究一
探究二
探究三
解:(1)由图像可知ymax=900,ymin=700,
且A+b=ymax,-A+b=ymin,
探究一
探究二
探究三
已知函数模型确定函数解析式
【例2】
如图,大风车叶轮的最高顶点离地面14.5
m,叶轮旋转所成圆的直径为14
m,风叶轮以每分旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15
s后到达最高点,假设叶轮顶点离地面高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,试求出其中四个参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.
探究一
探究二
探究三
思路分析:y=asin(ωt+φ)与圆周运动等物理现象有着密切的关系,体现了数学与物理在内容上的互相渗透.根据风叶轮每分旋转2周,
点求出振幅a及b的值,最后确定c的值.
∵叶轮旋转所成圆的直径为14
m,∴叶轮应该在离圆心上下、左右7
m范围内变化,即函数振幅a=7.
根据叶轮顶点从离地面最低,经15
s后到达最高位置,
探究一
探究二
探究三
反思感悟求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,
点来求,当已知A,b求出后,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值.
探究一
探究二
探究三
变式训练2右图为某地一天从6时到14时的温度变化曲线,其图像近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0).
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的一个函数解析式;
(3)请预测16时的温度.
探究一
探究二
探究三
解:(1)由题图知,这段时间的最大温差是30-10=20(℃).
(2)题图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的半个周期的图像.
(3)根据(2)中得出的解析式知,当x=16时,y=20+5
≈27,即16时的温度约为27
℃.
探究一
探究二
探究三
建立三角函数模型解决实际问题
【例3】如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为4.8
m,圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h.
(1)求h与θ之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t
s到达OB,求h与t之间的函数解析式.
思路分析:(1)正确地作出辅线,将距离h灵活地拆分成两部分,最后归结为关于θ的函数式.
(2)注意在该模型中角速度是函数式中的ω.
探究一
探究二
探究三
解:(1)由题意作图,如图所示,过点O作与地面平行的线段ON交☉O于点N,过点B作ON的垂线BM,交ON于点M,
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.解决实际问题时,主要是把实际问题数学化,把有关的数据合理地进行转化,注意最后一定回归到实际问题.
2.对于本题中的关键是结合观览车的图形特点将h用含θ的代数式表达出来.
1
2
3
4
答案:B
1
2
3
4
2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin
,则单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2π
s
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
答案:D
1
2
3
4
3.如图所示,某海湾相对于平均海平面的水面高度h(单位:米)在某天24时内的变化情况,则水面高度h关于从夜间零时开始的时间t的函数关系式为 .?
1
2
3
4
4.在波士顿,估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)=
+12,其中t表示某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推.
(1)问哪一天白昼最长?哪一天最短?
(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时?7.3 正切函数的诱导公式
课后篇巩固探究
1.已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-α)的值是( )
A.-
B.-
C.±
D.±
解析∵角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),∴tan
α=,
∴tan(180°-α)=-tan
α=-.
答案A
2.给出下列各函数值,其中符号为负的是( )
A.sin(-1
000°)
B.cos(-2
200°)
C.tan(-10)
D.
解析sin(-1
000°)=sin(-3×360°+80°)=sin
80°>0;
cos(-2
200°)=cos
2
200°=cos(6×360°+40°)=cos
40°>0;
tan(-10)=-tan
10<0;
sin>0,cos
π=-1<0,tan=tan<0,
故>0.
答案C
3.已知tan(π+α)+=2,则tan(π-α)=( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
解析由已知可得tan
α+=2,解得tan
α=1.
于是tan(π-α)=-tan
α=-1.
答案D
4.导学号93774027设a=sin
33°,b=cos
55°,c=tan
35°,则( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
解析∵b=cos
55°=sin
35°>sin
33°=a,∴b>a.
又∵c=tan
35°=>sin
35°=cos
55°=b,
∴c>b.∴c>b>a.故选C.
答案C
5.sin·cos·tan的值是( )
A.-
B.
C.-
D.
解析原式=sin·cos·tan=-sin=-×(-)=-.故选A.
答案A
6.tan= .?
解析tan=-tan=-tan=-tan=tan.
答案
7.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)= .?
解析由tan(π-x)=知,tan
x=-,
故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan
x=-.
答案-
8.log4+log9= .?
解析∵sin=sin=sin,
tan=-tan=tan,
∴log4+log9
=log4+log9
=lo
=-=-.
答案-
9.求下列各式的值:
(1)cos+tan;
(2)sin
810°+tan
765°+tan
1
125°+cos
360°.
解(1)cos+tan
=cos+tan
=cos+tan
=+1=.
(2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin
90°+tan
45°+tan
45°+cos
0°=4.
10.导学号93774028设tan=a,求的值.
解∵tan=tan
=tan=a,
∴原式=
=.
11.导学号93774029求证:当k=2或3时,.
证明当k=2时,左边==右边.
当k=3时,左边=
=
=
==右边.
故当k=2或3时,原等式成立.(共35张PPT)
§2 角的概念的推广
一
二
三
一、角的概念
1.角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
2.角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:
一
二
三
【做一做1】
用任意角表示下列各角:
(1)顺时针拧螺丝1圈转过的角为 ;?
(2)将时钟拨慢2
h,分针转过的角为 .?
答案:(1)-360° (2)720°
一
二
三
二、象限角
在平面直角坐标系中研究角时,如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.
【做一做2】
318°角的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:318°角的终边所在的象限是第四象限.
答案:D
一
二
三
三、终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+360°·k
,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
名师归纳
象限角与轴线角的集合表示方法
第一象限角的集合为
{x|k×360°第二象限角的集合为
{x|k×360°+90°第三象限角的集合为
{x|k×360°+180°第四象限角的集合为
{x|k×360°+270°一
二
三
终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°,k∈Z};
终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°+180°,k∈Z};
终边落在x轴上的角的集合为
{x|x=k×180°,k∈Z};
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°+90°,k∈Z};
终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为
{x|x=k×360°-90°,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合为
{x|x=k×180°+90°,k∈Z}.
一
二
三
【做一做3】
下列各角中,终边与330°角终边相同的是
( )
A.-630°
B.-1
830°
C.30°
D.990°
解析:终边与330°角终边相同的角为β=330°+k×360°(k∈Z).令k=-6,得β=-1
830°.故选B.
答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直角是第一象限角.
( )
(2)第四象限角一定比第三象限角大.
( )
(3)终边落在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z}.
( )
(4)若α是第四象限角,则
一定是钝角.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
角的概念
【例1】
下列各种说法正确的是( )
A.经过2小时,钟表的时针转过的角度为60°
B.第一象限角就是锐角
C.锐角是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
解析:根据锐角的定义和第一象限角的范围来进行判定.锐角的集合是{α|0°<α<90°},第一象限角的集合是{α|k×360°<α<
k×360°+90°,k∈Z},故当k=0时,角的范围就与锐角的范围相一致,故锐角是第一象限角,C正确.对于A,经过2小时,时针转过的角度为-60°,故说法错误;对于B,390°角是第一象限角,但它不是锐角,故说法错误;对于D,-30°角是小于90°的角,但它不是锐角,故说法错误.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,只需举一个反例即可;二是利用定义直接判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基本概念才能作出正确的判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)下列说法正确的是( )
A.三角形的内角一定是第一、二象限角
B.钝角不一定是第二象限角
C.终边与始边重合的角是零角
D.钟表的时针旋转而成的角是负角
(2)给出下列说法:
①锐角都是第一象限角;
②第一象限角一定不是负角;
③第二象限角是钝角;
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为 .?
答案:(1)D (2)①
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
【例2】
写出与75°角终边相同的角的集合,并求在360°~1
080°范围内与75°角终边相同的角.
思路分析:根据与角α终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+α,
k∈Z},写出与75°角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出360°~1
080°范围内的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1
080°时,
即360°≤k·360°+75°<1
080°,
又k∈Z,
所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
综上所述,与75°角终边相同且在360°~1
080°范围内的角为435°角和795°角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟求与已知角α终边相同的角时,要先将这样的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2与-2
018°终边相同的最小正角是 .?
解析:∵-2
018°=142°-6×360°,
∴与-2
018°终边相同的最小正角是142°.
答案:142°
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
象限角
【例3】
(1)分别判断角α=-130°和β=-940°是第几象限角.
(2)若角α是第二象限角,试判断180°-α及2α是第几象限角.
思路分析:(1)可通过终边相同的角将其转化为[0°,360°)内的角后进行判断;(2)先确定α的范围,再写出180°-α,2α的范围,根据范围判断所在象限.
解:(1)由于α=-130°=-360°+230°,即α角与230°角终边相同,而230°是第三象限角,故α是第三象限角.
由于β=-940°=-3×360°+140°,即β角与140°角终边相同,而140°是第二象限角,故β是第二象限角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
(2)由α是第二象限角可得,90°+k×360°<α<180°+k×360°(k∈Z),所以180°-(180°+k×360°)<180°-α<180°-(90°+k×360°)(k∈Z),
即-k×360°<180°-α<90°-k×360°(k∈Z).
所以180°-α为第一象限角.
同理,180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°(k∈Z),
所以角2α可能是第三、第四象限角或者终边落在y轴的非正半轴上.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,从而确定其象限.
2.已知角的终边所在的象限,求新角的终边所在的位置时,通常首先根据所给角的范围,得到新角的范围,然后判断新角终边所在的位置.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:
(1)-120°;(2)660°;(3)-950°08'.
解:(1)因为-120°=240°-360°,所以在0°~360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限的角.
(2)因为660°=300°+360°,所以在0°~360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限的角.
(3)因为-950°08'=129°52'-3×360°,所以在0°~360°范围内,与-950°08'终边相同的角是129°52',它是第二象限的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
区域角
【例4】
如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
思路分析:(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;
(2)注意角的终边所出现的规律性是每隔180°就会重复出现.
解:(1)对于阴影部分,先取[-60°,75°]这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为{α|-60°+k·360°<α<75°+k·360°,k∈Z}.
(2)对于阴影部分,先取[60°,90°]这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为{α|60°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:
(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;
(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β;
(3)分别将起始边界,终止边界的对应角α,β加上360°的整数倍,即可求得区域角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4如图,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A.{α|k·360°+30°<αB.{α|k·180°+150°<αC.{α|k·360°+150°<αD.{α|k·360°+30°<α答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练5若把变式训练4的图改为如图所示的图,应该选择下列选项中的哪一个呢?( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤360°+315°,k∈Z}
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因考虑不全而致误
【典例】
如果α是第三象限角,那么
,2α是第几象限角?
错解因为α是第三象限角,
所以k·360°+180°<α所以k·180°+90°<
所以
是第二象限角.
由①得k·720°+360°<2α即(2k+1)·360°<2α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z.
所以2α是第一或第二象限角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
正解:因为α是第三象限角,
所以k·360°+180°<α由①得2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°,k∈Z,即(2k+1)·360°<2α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z.
所以2α是第一或第二象限角或是终边落在y轴非负半轴上的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.在讨论角的终边所在的象限时,一方面要注意象限角的表示方法必须是360°的整数倍加上一个角,另一方面注意不能忽略角的终边在坐标轴上的情况.
2.错解错在两个方面:一个是没有注意到90°和135°前面加的不是360°的整数倍,盲目下结论,导致错误;另一个是忽略了满足(2k+1)·360°<α<(2k+1)·360°+180°,k∈Z的角α的终边落在y轴非负半轴上的情况,导致错误.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练已知α是第一象限角,则
所在的象限为 .?
解析:因为α是第一象限角,所以k·360°<α1
2
3
4
5
6
1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下列判断正确的是( )
A.B=A∩C
B.B∪C=C
C.A∪C=B
D.A=B=C
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.下列各组角中,终边相同的角是( )
A.390°与690°
B.-330°与750°
C.480°与-420°
D.300°与-840°
解析:若α与β终边相同,则α-β=k·360°,k∈Z,-330°-750°=-3×360°.
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.若α是第四象限角,则270°-α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析:因为α是第四象限角,所以-α是第一象限角,因此270°-α是第四象限角.
答案:D
1
2
3
4
5
6
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},则A∩B=( )
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:由-180°∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°},故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
5.已知角α的终边落在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则角α的集合是 .?
解析:在0°~360°范围内,阴影部分的边界射线所表示的角分别是45°和150°,因此,所求α的范围是45°+k×360°<α<150°+k×360°(k∈Z).
答案:{α|45°+k×360°<α<150°+k×360°,k∈Z}
1
2
3
4
5
6
6.已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
解:∵30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,
∴当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,
∴集合A中角的终边在图中阴影(Ⅰ)区域内.
又集合B中角的终边在图中阴影(Ⅱ)区域内,
∴集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
∴A∩B={α|30°+k·360°<α<45°+k·360°,k∈Z}.第一章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若-<α<0,则点P(tan
α,cos
α)位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析由于α是第四象限角,所以tan
α<0,cos
α>0,因此,点P在第二象限.
答案B
2.已知cos
α+sin
α=-,则sin
αcos
α的值为( )
A.-
B.±
C.-
D.±
解析由已知得(cos
α+sin
α)2=sin2α+cos2α+2sin
αcos
α=1+2sin
αcos
α=,
解得sin
αcos
α=-.
答案A
3.(2018天津高考)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin
2x,该函数在-+kπ,+kπ(k∈Z)上单调递增,在(k∈Z)上单调递减,结合选项可知选A.
答案A
4.若|cos
θ|=cos
θ,|tan
θ|=-tan
θ,则的终边在( )
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上
D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上
解析由题意知,cos
θ≥0,tan
θ≤0,所以θ的终边在x轴的非负半轴上或在第四象限,故的终边在第二、四象限或在x轴的非负半轴上.
答案D
5.函数y=的定义域为( )
A.(-4,-π]
B.[-π,-3]
C.[-3,0]
D.[0,+∞)
解析要使函数有意义,需满足
即解得-4答案A
6.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示,则( )
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
解析由图像得,T=4×(3-1)=?ω=.
f(1)=sin=1?+φ=2kπ+(k∈Z),
又0≤φ<2π,故φ=.
答案C
7.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos
ωx的图像,只要将y=f(x)的图像( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析函数f(x)的最小正周期为π,则ω==2,
所以f(x)=sin2x+.下面用诱导公式化同名,f(x)=sin2x+=cos-2x+=cos-2x=cos2x-=cos2x-.要想得到函数g(x)=cos
2x的图像,只要把f(x)解析式中的x换成x+即可,因此只需把函数f(x)的图像向左平移个单位长度即可.故选A.
答案A
8.导学号93774039如图,一个摩天轮的半径为18
m,12
min旋转一周,它的最低点P0离地面2
m,∠P0OP1=15°,摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离y(单位:m)与时间x(单位:min)之间的函数关系式是( )
A.y=-18cos(x+1)+20
B.y=-18cos(x-1)+20
C.y=-18cos+20
D.y=-18cos+20
解析由选项设y=-Acos(ωx+φ)+k.
摩天轮12
min旋转一周,则函数的周期T=12,
即=12,则ω=,排除A,B.
最小值为2,最大值为36+2=38,
即A+k=38,-A+k=2,得k=20,A=18,
即y=-18cos+20.
当∠P0OP1=15°,对应的时间x=×12=,函数取得最小值2,
即-18cos+20=2,cos=1,
则+φ=2kπ,则φ=2kπ-,k∈Z,
则当k=0时,φ=-,
即y=-18cos+20
=-18cos+20,
故选D.
答案D
9.将函数y=sin
x的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sin的图像,则φ等于( )
A.
B.
C.
D.
解析依题意得y=sin=sin=sin,
所以将y=sin
x的图像向左平移个单位长度后得到y=sin的图像,
即y=sin的图像.
答案B
10.
已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0x<0的解集为( )
A.∪(0,1)∪
B.∪(0,1)∪
C.∪(0,1)∪(1,3)
D.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)
答案B
11.已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意可知函数f(x)的周期T=2×=2π,故ω=1,
∴f(x)=sin(x+φ).令x+φ=kπ+,
将x=代入可得φ=kπ+,
∵0<φ<π,∴φ=.
答案A
12.导学号93774040已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上,则f(x)的最小正周期是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由题意可知点在圆x2+y2=k2上,所以+()2=k2,解得k=±2.此时,函数f(x)的最小正周期是T==2|k|=4.
答案D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.sin+cos·tan
4π-cos= .?
解析原式=-sin+cos·0-cos=-sin-cos=sin-cos=0.
答案0
14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是 弧度,扇形面积是 .?
解析设圆心角为θ,则有θ=弧度;扇形面积S=×12×8=48.
答案 48
15.函数y=sin,x∈的值域是 .?
解析∵x∈,
∴≤x+,
∴≤sin≤1,
即原函数的值域为.
答案
16.导学号93774041已知函数f(x)=sin
2x,给出下列五个说法:
①f;
②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
③f(x)在区间上递增;
④将函数f(x)的图像向右平移个单位可得到函数y=cos
2x的图像;
⑤函数f(x)的图像关于点成中心对称.
其中说法正确的是 (填序号).?
解析①正确,由已知得函数f(x)周期为π,f=fsin;
②错误,由f(x1)=-f(x2)=f(-x2),知x1=-x2+kπ或x1=+x2+kπ(k∈Z);
③错误,令-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
函数f(x)在每一个闭区间
(k∈Z)上都递增,
但(k∈Z),
故函数f(x)在区间上不是单调函数;
④正确,将函数f(x)的图像向右平移个单位可得到函数y=sin
2sincos
2x的图像;
⑤错误,函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x0=kπ,解得x0=,
即对称中心的坐标为(k∈Z),
故点不是其对称中心.
答案①④
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求的值.
解∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),
∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α),
∴-sin(π-α)=2cos(-α),
∴sin
α=-2cos
α,
由此可知cos
α≠0.
∴原式==-.
18.(12分)已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域;
(2)比较f与f的大小.
解(1)由已知得2x-≠kπ+(k∈Z),x≠kπ+(k∈Z),
所以f(x)的定义域为.
(2)因为f=3tan=-3tan<0,f=3tan=3tan=3tan=3tan>0.
所以f19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示.
(1)试确定f(x)的解析式;
(2)若f,求cos的值.
解(1)由题图可知A=2,,则T=2,ω==π.
将点P代入y=2sin(πx+φ),
得sin=1,
又|φ|<,
所以φ=.
故f(x)的解析式为f(x)=2sin(x∈R).
(2)由(1)和f,
得2sin,
即sin.
所以cos=cos
=-sin=-.
20.(12分)如果关于x的方程sin2x-(2+a)sin
x+2a=0在x∈上有两个实数根,求实数a的取值范围.
解sin2x-(2+a)sin
x+2a=0,
即(sin
x-2)(sin
x-a)=0.
∵sin
x-2≠0,
∴sin
x=a,
因此此题转化为求在x∈上,sin
x=a有两个实数根时a的取值范围.
由y=sin
x,x∈与y=a的图像(图略)知≤a<1.
故实数a的取值范围是.
21.导学号93774042(12分)已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间.
(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.
解(1)由-+2kπ≤2x++2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
由+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z).
(2)因为0≤x≤,
所以≤2x+,
所以-≤sin≤1,
所以f(x)的最大值为2+a+1=4,
所以a=1.
(3)当f(x)取最大值时,2x++2kπ,k∈Z,
所以2x=+2kπ,k∈Z,
所以x=+kπ,k∈Z.
所以当f(x)取最大值时,x的取值集合是.
22.(12分)已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图像上的任意两点,角φ的终边经过点P(1,-),且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈0,时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)∵角φ的终边经过点P(1,-),
∴tan
φ=-,
∵-<φ<0,∴φ=-.
由当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,得T=,即,∴ω=3.
∴f(x)=2sin3x-.
(2)由-+2kπ≤3x-+2kπ,k∈Z,
得-≤x≤,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).
(3)当x∈0,时,-≤f(x)≤1,
于是2+f(x)>0,则mf(x)+2m≥f(x),
等价于m≥=1-.
由-≤f(x)≤1,得的最大值为.
故实数m的取值范围是,+∞.§3 弧度制
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若将分针拨慢10
min,则分针转过的弧度数是( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为分针每分钟转过的角度为-6°,所以将分针拨慢10
min,则分针转过的弧度数为.
答案A
2.下列转化结果错误的是( )
A.60°化成弧度是
B.-化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-
D.化成度是15°
解析-150°=-150×
rad=-
rad,故C项错误.
答案C
3.-的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析-=-2π-.因为-是第四象限角,所以-的终边所在的象限是第四象限.
答案D
4.在半径为3
cm的圆中,的圆心角所对的弧长为
( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
解析由题意可得圆心角α=,半径r=3
cm,
∴弧长l=αr=×3=(cm).
故选A.
答案A
5.已知扇形的周长为12
cm,面积为8
cm2,则扇形圆心角的弧度数为( )
A.1
B.4
C.1或4
D.2或4
解析设扇形的弧长为l
cm,半径为r
cm,因为扇形的周长为12
cm,面积为8
cm2,
所以
解得
所以α=1或4.
答案C
6.已知4π<α<6π,且角α与角-的终边相同,则α= .?
解析∵α=2kπ-(k∈Z),且4π<α<6π,
∴令k=3,
得α=6π-.
答案
7.如图所示,阴影部分用弧度制可表示为?
.?
解析330°可看成-30°,即-,
而75°=75×,
∴<θ<2kπ+.
答案
8.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程长度为 .?
解析因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,正方形在圆周上滚动时,点的位置如图所示,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了2圈,而自身滚动了3圈.设第i(i∈N
)次滚动点A的路程为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,所以点A所走过的路程长度为3(A1+A2+A3+A4)=π.
答案π
9.设角α1=-570°,α2=750°,β1=,β2=-.
(1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限;
(2)将β1,β2用角度制表示出来.
解(1)因为180°=π,
所以-570°=-570×=-.
所以α1=-=-2×2π+.
因为750°=750×,
所以α2==2×2π+.
所以α1是第二象限角,α2是第一象限角.
(2)β1=°=108°.
β2=-°=-420°.
10.导学号93774006若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),求角α的大小.
解如图所示,设角的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0~2π范围内的角为,故以OB为终边的角的集合为.
∵α∈(-4π,4π),
∴-4π<2kπ+<4π(k∈Z),∴-∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1.
∴α=-,-.
B组 能力提升
1.若集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},则P∩Q=( )
A.?
B.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|0≤α≤π}
解析当k=-1,0时,集合P和Q的公共元素满足-4≤α≤-π或0≤α≤π,当k取其他值时,集合P和Q无公共元素,故P∩Q={α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}.
答案B
2.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( )
A.
B.
C.
D.2
解析设圆的半径为R,则可求得其内接正三角形的边长为2R·sin
60°=R,而圆弧长等于内接正三角形的边长,所以其圆心角弧度数是.
答案C
3.导学号93774007若角α满足α=(k∈Z),则角α的终边一定在( )
A.第一象限或第二象限或第三象限
B.第一象限或第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
解析当k=3n,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于第一象限;当k=3n+1,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于第二象限;当k=3n+2,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于y轴的非正半轴上.综上可知,角α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.
答案D
4.已知角θ=,若角α的终边与角θ的终边关于x轴对称,则角α= .?
解析如图所示,可知α=2kπ-(k∈Z).
答案2kπ-(k∈Z)
5.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R,若扇形的周长是一定值C(C>0),则该扇形的最大面积为 .?
解析因为扇形的半径为R,周长为C,所以扇形的弧长为C-2R,故扇形的面积S=(C-2R)R=-R2+R=-.当R=,即α==2时,扇形的面积最大,最大面积为.
答案
6.如图所示,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
解(1)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z),所以终边落在阴影部分内的角的集合是.
(2)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).设y轴右边阴影部分表示的角的集合为M1,y轴左边阴影部分表示的角的集合为M2,
则M1=,M2=.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2=+2kπ或.
7.导学号93774008已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解(1)由圆O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,∴α=∠AOB=60°=
rad.
(2)由(1)可知α=
rad,r=10,
∴弧长l=α·r=×10=,
∴S扇形=lr=×10=,
而S△AOB=·AB·×10×,∴S=S扇形-S△AOB=50.§5 正弦函数的图像与性质
5.1 正弦函数的图像
课后篇巩固探究
1.在同一平面直角坐标系中,函数y=sin
x,x∈[0,2π)与y=sin
x,x∈[2π,4π)的图像( )
A.重合
B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称
D.形状不同,位置不同
解析观察正弦曲线,可知y=sin
x,x∈[0,2π)与y=sin
x,x∈[2π,4π)的图像形状相同,位置不同.
答案B
2.函数y=2+sin
x,x∈(0,4π]的图像与直线y=2的交点的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=2+sin
x,x∈(0,4π],直线y=2的图像(如图所示),可得两图像的交点共有4个,故选D.
答案D
3.如图,曲线对应的函数是( )
A.y=|sin
x|
B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|
D.y=-|sin
x|
解析当x>0时,y=-sin
x;当x<0时,y=sin
x,
∴y=-sin|x|.
答案C
4.导学号93774015方程sin
x-=0在[0,2π]上实数根的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析画出y=sin
x以及y=在[0,2π]上的图像,可知它们有两个交点,因此方程有2个实数根.
答案C
5.用五点法作函数y=3-4sin
x在[0,2π]上的图像时,五个关键点的坐标分别是 .?
答案(0,3),,(π,3),,(2π,3)
6.用五点法作函数y=2sin
2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是 .?
解析分别令2x=0,,π,,2π,求出x的值分别为0,,π.
答案0,,π
7.导学号93774016若函数y=3sin
x的图像与直线y=a在[π,2π]上有两个不同的交点,则实数a的取值范围是 .?
解析作出函数y=3sin
x的图像,可知要使其与直线y=a在[π,2π]上有两个不同的交点,则-3答案(-3,0]
8.作出函数y=sin
x-2在[0,2π]上的图像.
解列表.
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
sin
x-2
-2
-1
-2
-3
-2
描点,用光滑的曲线顺次连接各点,可得y=sin
x-2(x∈[0,2π])的图像(如图所示).
9.利用正弦函数的图像,求满足下列关系的角x的值或范围.
(1)1-2sin
x=0;(2)+sin
x≤0.
解(1)方程化为sin
x=,在[0,2π)内,方程sin
x=的解为.故所求的角x的集合为或x=.
(2)不等式化为sin
x≤-,在[0,2π)内满足不等式的角x的集合为≤x≤.故所求的角x的集合为.
10.导学号93774017方程sin
x=在x∈上有两个实数解,求a的取值范围.
解设y1=sin
x,x∈,y2=,y1=sin
x,x∈的图像如图.由图可知,当<1,
即-1x,x∈的图像与y2=的图像有两个交点,即方程sin
x=在x∈上有两个实数解,所以a的取值范围是(-1,1-].(共32张PPT)
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
一
二
三
一、正弦函数、余弦函数的基本性质
根据正弦函数y=sin
x和余弦函数y=cos
x的定义,我们不难从单位圆看出函数y=sin
x,y=cos
x有以下性质:
1.定义域是R;
2.最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1];
3.它们是周期函数,其周期都是2kπ(k∈Z),最小正周期为2π;
y=cos
x在每一个区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在每一个区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
一
二
三
【做一做1】
(1)函数y=-2sin
x的定义域是 ,值域是 ,最小正周期是 ,在区间 上是增加的,在区间 上是减少的.?
(2)函数y=cos
x-2的定义域是 ,最大值为 ,最小值为 ,在区间 上是增加的,在区间 上是减少的.?
(2)R -1 -3 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
一
二
三
二、特殊角的终边的对称关系
1.角-α的终边与角α的终边关于x轴对称;
2.角α±π的终边与角α的终边关于原点对称;
3.角π-α的终边与角α的终边关于y轴对称.
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
一
二
三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin
α,cos(2kπ+α)=cos
α.
(1.8)
sin(-α)=-sin
α,cos(-α)=cos
α.
(1.9)
sin(2π-α)=-sin
α,cos(2π-α)=cos
α.
(1.10)
sin(π-α)=sin
α,cos(π-α)=-cos
α.
(1.11)
sin(π+α)=-sin
α,cos(π+α)=-cos
α.
(1.12)
公式1.8~1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.
一
二
三
2.诱导公式的记忆方法
一
二
三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程
任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数
上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了化未知为已知的数学思想.
一
二
三
【做一做3】
cos
330°等于( )
答案:C
【做一做4】
sin
95°+cos
175°的值为( )
A.sin
5°
B.cos
5°
C.0
D.2sin
5°
解析:sin
95°+cos
175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos
5°-cos
5°=0.
答案:C
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若α+β=π,则α与β的终边关于y轴对称.( )
(3)存在角α,使sin(π+α)=sin
α,cos(π-α)=cos
α.
( )
(4)在△ABC中,若A+B=
,则均有sin
A=cos
B,cos
A=sin
B成立.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
【例1】
已知函数y=-3sin
x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
思路分析:可模仿函数y=sin
x的有关性质来研究函数y=-3sin
x+1的相关性质.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)由y=sin
x的性质可得y=-3sin
x+1的性质如下:
定义域:R.
值域:[-2,4].
周期性:周期为2π.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟对于形如y=asin
x+b的函数性质的研究可借助y=sin
x的性质.要清楚a,b对函数y=asin
x+b的影响,若参数不确定还要注意分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1求函数y=2cos
x-4的定义域、值域、最值、周期以及单调区间.
解:由y=cos
x的基本性质可知函数y=2cos
x-4的性质如下:
定义域:R.
值域:[-6,-2].
最值:当x=2kπ(k∈Z)时,取最大值为-2;
当x=2kπ+π(k∈Z)时,取最小值为-6.
周期:周期为2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π.
单调区间:由y=cos
x的单调性可知,y=2cos
x-4在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的.
探究一
探究二
探究三
探究四
利用诱导公式化简与求值
【例2】
计算:
(1)sin2120°+cos
180°+tan
45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤
利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:
解:(1)cos
945°=cos(2×360°+225°)
探究一
探究二
探究三
探究四
给值求值问题
思路分析:首先对所求三角函数中的角与已知三角函数中的角作
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.给值求值问题,观察已知角和待求角的关系,运用诱导公式将不同名的三角函数化为同名的三角函数,将不同的角化为相同的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
诱导公式在三角形中的应用
思路分析:充分利用三角形内角和定理以及诱导公式,寻求两内角之间的关系,从而确定三角形形状.
解:∵A+B+C=π,∴A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B.
∴cos
C=cos
B.
又B,C为△ABC的内角,
∴C=B,∴△ABC为等腰三角形.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.在△ABC中,有A+B+C=π,
,因此在解决三角形中的三角函数问题时,要注意充分利用诱导公式.
2.在三角形中,当cos
C=cos
B时,一定有C=B;若sin
C=sin
B,也一样能得到C=B.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)证明:①因为A+B+C=π,所以sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin
A,原式成立.
②因为A+B+C=π,
1
2
3
4
5
答案:D
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5§2 角的概念的推广
课后篇巩固探究
1.与角-463°终边相同的角为( )
A.k·360°+463°,k∈Z
B.k·360°+103°,k∈Z
C.k·360°+257°,k∈Z
D.k·360°-257°,k∈Z
解析因为463°=-2×360°+257°,
所以257°与-463°终边相同,
由此可得与角-463°终边相同的角可以写成k·360°+257°,k∈Z的形式.故选C.
答案C
2.以下命题正确的是( )
A.若α是第一象限角,则2α是第二象限角
B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则A?B
C.若k·360°<αD.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
答案B
3.已知角α是第四象限角,则角-是( )
A.第一或第三象限角
B.第二或第三象限角
C.第一或第四象限角
D.第二或第四象限角
解析∵角α是第四象限角,
∴k×360°-90°<α∴k×180°-45°<∴-k×180°<-<-k×180°+45°(k∈Z),
∴角-是第一或第三象限角.
答案A
4.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为( )
A.B?A
B.A?B
C.A=B
D.A?B
解析集合A中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.
答案C
5.
导学号93774003如图,终边落在空白部分(含边界)的角的集合是
( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}
答案D
6.已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S= .?
解析易知点P在y轴的负半轴上.又270°角的终边在y轴的非正半轴上,则S={α|α=270°+k×360°,k∈Z}.
答案{α|α=270°+k×360°,k∈Z}
7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .?
解析在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
答案-30°+k·360°,k∈Z
8.已知α=-1
910°.
(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.
解(1)-1
910°=-6×360°+250°,因为250°为第三象限角,所以-1
910°角为第三象限角.
(2)θ为-110°或-470°.
9.在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由.
解时针每分钟走0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,本题为追及问题.
(1)一昼夜有24×60=1
440(分钟),时针和分针每重合一次间隔的时间为分钟,所以一昼夜时针和分针重合=22(次).
(2)假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是一共有24×2-4=44(次)时针与分针垂直.
(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为分,而由于的最小公倍数为720分钟,即12个小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.
10.
导学号93774005如图.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.§7 正切函数
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.已知角α的终边落在直线y=2x上,则tan
α的值是( )
A.2
B.±2
C.
D.±
解析在终边上任取点P(a,2a)(a≠0),则tan
α==2.
答案A
2.函数y=3tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析要使函数有意义,则2x+≠kπ+(k∈Z),则x≠(k∈Z).
答案C
3.sin
2·cos
3·tan
4的值为( )
A.负数
B.正数
C.0
D.不存在
解析∵<2<π,∴sin
2>0.
∵<3<π,∴cos
3<0.
∵π<4<,∴tan
4>0.∴sin
2·cos
3·tan
4<0.
答案A
4.函数y=tan
x+是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
解析函数的定义域是∩{x|x≠kπ,k∈Z}=,关于原点对称.
又∵f(-x)=tan(-x)+
=-=-f(x),
∴函数y=tan
x+是奇函数.
答案A
5.函数f(x)=2x-tan
x在上的图像大致为
( )
解析函数f(x)=2x-tan
x为奇函数,所以图像关于原点对称,故排除A,B.当x→时,f(x)→-∞,所以排除D,选C.
答案C
6.若tan≤1,则x的取值范围是 .?
解析令z=2x-,满足tan
z≤1的z值是-+kπ即-+kπ<2x-+kπ,k∈Z.
解得-kπ答案,k∈Z
7.直线y=a与y=tan
x的图像的相邻两个交点的距离是 .?
解析由题意知,相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度,故为π.
答案π
8.给出下列四个结论:
①sin->sin-;②cos->cos-;
③tan
>tan
;④tan
>sin
.
其中正确结论的序号是 .?
解析函数y=sin
x是-,0上的增函数,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos
,cos-=cos-4π-=cos
,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tan
x是,π上的增函数,<π,所以tan
,③不正确;易知在0,上,tan
x>x>sin
x,所以tan
>sin
,④正确.
答案①④
9.已知角α的终边上一点P的坐标为(-,y)(y≠0),且sin
α=y.求tan
α.
解由题意r2=x2+y2=3+y2,
由三角函数定义sin
α=y,
∴y=±,∴tan
α=,即tan
α=±.
10.利用函数图像解不等式-1≤tan
x≤.
解作出函数y=tan
x,x∈的图像,如图所示.
观察图像可得:在区间上,自变量x应满足-≤x≤.
由正切函数的周期性可知,不等式的解集为
.
11.求函数y=tan
2x的定义域、值域、单调区间,并作出它在区间[-π,π]内的图像.
解(1)要使函数y=tan
2x有意义,
只需2x≠+kπ(k∈Z),即x≠(k∈Z),
∴函数y=tan
2x的定义域为
.
(2)设t=2x,由x≠(k∈Z),知t≠+kπ(k∈Z).∴y=tan
t的值域为(-∞,+∞),
即y=tan
2x的值域为(-∞,+∞).
(3)由-+kπ<2x<+kπ(k∈Z),得-2x的单调递增区间为
(k∈Z),无单调递减区间.
(4)函数y=tan
2x在区间[-π,π]内的图像如图所示.
B组 能力提升
1.函数t=tan的图像的对称中心不可能是
( )
A.
B.
C.
D.
解析因为正切函数y=tan
x图像的对称中心是,k∈Z.令3x+(k∈Z),解得x=(k∈Z),所以函数y=tan的图像的对称中心为,k∈Z.
当k=0,1,-1时,得=-,-.
所以A,B,D选项是函数图像的对称中心.故选C.
答案C
2.导学号93774024下列图形分别是①y=|tan
x|;②y=tan
x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈内的大致图像,则由a到d对应的函数关系式应是( )
A.①②③④
B.①③④②
C.③②④①
D.①②④③
解析y=tan(-x)=-tan
x在上是减少的,只有图像d符合,即d对应③.
答案D
3.已知函数y=tan
ωx在区间上是减少的,则ω的取值可能是( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析根据各选项ω的值在给定区间上取特殊值来进行验证.选B.
答案B
4.若不等式tan
x>a在x∈上恒成立,则a的取值范围为( )
A.a>1
B.a≤1
C.a<-1
D.a≤-1
解析因为函数y=tan
x在x∈上是增加的,所以tan
x>tan=-1,所以a≤-1.
答案D
5.导学号93774025若y=tan(2x+θ)图像的一个对称中心为,且-<θ<,则θ的值是 .?
解析令2x+θ=(k∈Z),由对称中心为,
得θ=(k∈Z).
又θ∈,故θ=-.
答案-
6.作函数y=|tan
x|的图像,并讨论其定义域、值域、奇偶性和单调性.
解y=|tan
x|=
其图像如图所示,由图像可得y=|tan
x|的性质如下:
(1)定义域为(k∈Z);
(2)值域为[0,+∞);
(3)由|tan(-x)|=|-tan
x|=|tan
x|,知函数为偶函数;
(4)单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z).
7.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
解y=tan-ax=tan-ax+,
∵y=tan
x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,
又x∈,∴-ax∈-,-,
∴-ax∈,
∴
解得-≤a≤6-8k(k∈Z).
由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
∴a=-2<0,∴存在a=-2∈Z,满足题意.(共32张PPT)
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
一
二
三
四
一、正切函数
2.正切函数与正弦函数、余弦函数的关系
一
二
三
四
3.三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.
4.正切值在各象限中的符号
由正切函数的定义知:当角
α的终边在第一和第三象限时,正切值为正;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为负.
【做一做2】
若角α的终边上有一点P(2,x),且tan
α=-3,则x的值等于( )
答案:D
一
二
三
四
二、正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT
为角α的正切线.
一
二
三
四
一
二
三
四
【做一做3】
已知角α的正切线是单位长度的有向线段,则角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
解析:由题意可知tan
α=±1,所以角α的终边在直线y=x或y=-x上.故选D.
答案:D
一
二
三
四
三、正切函数的图像
一
二
三
四
【做一做4】
画出函数y=|tan
x|的图像.
解:由y=|tan
x|得,
其图像如图:
一
二
三
四
四、正切函数的性质
一
二
三
四
答案:D
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)正切函数在定义域上是增函数.
( )
(2)正切曲线的对称中心是
(k∈Z).
( )
(3)函数y=tan(π-x)是奇函数.
( )
(4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正切函数的定义及其应用
【例1】
求下列函数的定义域和值域:
思路分析:根据正切函数的定义域和值域并结合正切函数的图像求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟求正切函数定义域的方法及注意点:
求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan
x有意义,即x≠
+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图像求解.
解形如tan
x>a的不等式的步骤:
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正切函数的图像及其应用
【例2】
解不等式tan
x≥-1.
思路分析:作出正切函数一个周期的图像→由图像得一个周期的x的取值范围→扩展到整个定义域得解集
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:作出y=tan
x一个周期的图像,如图所示.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟解决此类问题,一般根据函数的图像利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的性质
思路分析:由y=tan
x的性质,利用整体代换的方法求解.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
反思感悟
正切型函数的性质的求解方法
函数y=Atan(ωx+φ)的性质可通过以下方法求解:
(1)定义域:将(ωx+φ)视为一个整体,令ωx+φ≠kπ+
(k∈Z),解得x.
(2)值域:R.
(5)单调性:将(ωx+φ)视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.A>0(A<0)时,函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的单调性与y=tan
x,x∈R,x≠
+kπ(k∈Z)的单调性相同(反),解不等式可得出单调区间.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一
探究二
探究三
易错辨析
因误认为正切函数在整个定义域上都是增函数而出错
探究一
探究二
探究三
易错辨析
纠错心得1.在应用函数的单调性解题时,要弄清是在整个定义域上是单调的,还是在每个区间上是单调的,否则会出现错误.
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
2.下列命题中正确的是( )
A.y=tan
x在整个定义域上是增函数
B.y=tan
2x的周期为π
C.当x>0时,tan
x>0
答案:D
1
2
3
4
5
6
3.若tan
θ·cos
θ>0,则θ在( )
A.第一或第二象限
B.第一或第三象限
C.第一或第四象限
D.第二或第四象限
解析:当tan
θ>0,cos
θ>0时,θ在第一象限;当tan
θ<0,cos
θ<0时,θ在第二象限,故θ在第一或第二象限.
答案:A
1
2
3
4
5
6
答案:B
1
2
3
4
5
6
A.[-1,1]
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
6.求函数y=2tan
3x的定义域及单调区间.(共21张PPT)
5.1 正弦函数的图像
一
二
一、正弦线
设任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,称MP为角α的正弦线,P叫作正弦线的终点.
【做一做1】
若角α的正弦线长为1,则sin
α= .?
答案:±1
一
二
二、正弦函数的图像
1.正弦函数图像的作法
(1)几何法:利用单位圆中的正弦线作出.
2.正弦函数的图像
正弦函数y=sin
x(x∈R)的图像叫作正弦曲线,如图所示.
一
二
【做一做2】
用五点法画y=sin
x,x∈[0,2π]的图像时,下列不是五个关键点中的点的是( )
解析:五个关键点是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)第一象限内的角越大,其正弦线越长.
( )
(2)正弦函数的图像向左、右两边无限延伸.
( )
(3)正弦函数是定义域上的增函数.
( )
(4)正弦曲线的对称轴为x=2kπ+
,k∈Z,对称中心点为(2kπ,0)(k∈Z).
( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究一
探究二
探究三
用五点法作函数y=Asin
x+b(A≠0,x∈[0,2π])的简图
【例1】
利用“五点法”画出函数y=-2+sin
x,x∈[0,2π]的简图.
解:按五个关键点列表如下.
描点并连线,得函数y=-2+sin
x,x∈[0,2π]的图像如图所示.
探究一
探究二
探究三
反思感悟通过解决本题可归纳出用五点法画函数y=Asin
x+b(A≠0),x∈[0,2π]的简图的步骤:
(1)列表:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
探究一
探究二
探究三
变式训练1作出函数y=-2sin
x(0≤x≤2π)的简图.
解:列表如下.
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
探究一
探究二
探究三
根据正弦函数的图像求角的范围
思路分析:先作出正弦函数y=sin
x在[0,2π]上的简图,确定出在一个周期[0,2π]内x的取值范围,再结合正弦函数周期性得到全部x的取值范围.
解:作出y=sin
x在[0,2π]上的图像(如图所示).
探究一
探究二
探究三
反思感悟
利用正弦曲线求解sin
x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在一个周期内的图像;(2)作直线y=a与函数图像相交;(3)在一个周期内确定x的取值范围;(4)根据正弦函数周期性确定最终范围.
探究一
探究二
探究三
变式训练2求满足下列条件的角的范围.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
利用正弦函数图像判断方程根的个数
【例3】
判断方程sin
x=lg
x根的个数.
思路分析:在同一平面直角坐标系中分别画出y=sin
x与y=lg
x的图像,分析它们交点的个数.
解:画出函数y=sin
x和y=lg
x的图像(如图所示).由图像可知两图像有3个交点,因此,原方程有3个实数根.
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.关于方程根的个数问题,往往是运用数形结合法构造函数,转化为函数图像的交点的个数问题.
2.正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标是-1,在作图时要注意这种有界性.
3.利用图像研究方程根的个数,作图时要尽量精确,特别是曲线上所经过的某些关键点,一定要画准.
探究一
探究二
探究三
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=sin
x与函数y=
的图像,如图所示.
从而当x>0时,两函数有3个交点.由图像的对称性知当x<0时,也有3个交点,加上当x=0时的一个交点,一共有7个交点.
答案:A
1
2
3
4
5
1.关于正弦函数y=sin
x的图像,下列说法错误的是( )
A.关于原点对称
B.有最大值1
C.与y轴有一个交点
D.关于y轴对称
解析:正弦函数y=sin
x的图像如图所示.根据y=sin
x,x∈R的图像可知A,B,C均正确,D错误.
答案:D
1
2
3
4
5
2.函数y=1-sin
x,x∈[0,2π]的大致图像是( )
解析:利用五点法画图,函数y=1-sin
x,x∈[0,2π]的图像一定过点
答案:B
1
2
3
4
5
3.在[0,2π]上,满足sin
x≥
的x的取值范围是( )
解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出y=sin
x,x∈[0,2π]的图像
答案:B
1
2
3
4
5
答案:2
1
2
3
4
5
5.用“五点法”作出函数y=1+2sin
x,x∈[0,2π]的图像.
解:列表:5.2 正弦函数的性质
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.函数f(x)=的定义域是( )
A.R
B.[0,+∞)
C.(k∈Z)
D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
解析f(x)=,由4sin
x≥0得sin
x≥0.因此2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z).
答案D
2.函数y=4sin
x+3在[-π,π]上的单调递增区间为( )
A.
B.
C.
D.
解析y=sin
x的单调递增区间就是y=4sin
x+3的单调递增区间.故选B.
答案B
3.已知函数f(x)=sin
2x,则下列关于f(x)的叙述正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最小值不是-1
解析f(x)是奇函数;f(x)的最小正周期为T==π;f(x)的最大值是1,最小值是-1.故选A.
答案A
4.若a=sin
1,b=sin
2,c=sin
3,则( )
A.a>b>c
B.c>a>b
C.a>c>b
D.b>a>c
解析因为a=sin
1,b=sin
2=sin(π-2),c=sin
3=sin(π-3),且0<π-3<1<π-2<,y=sin
x在上是增加的,所以sin(π-3)1即sin
312.故b>a>c.
答案D
5.函数y=(sin
x-a)2+1,当sin
x=a时有最小值,当sin
x=1时有最大值,则a的取值范围是 .?
解析∵函数y=(sin
x-a)2+1当sin
x=a时有最小值,
∴-1≤a≤1.
∵当sin
x=1时有最大值,∴a≤0,∴-1≤a≤0.
答案[-1,0]
6.设函数f(x)=sin
x,x∈R,对于以下三种说法:
①函数f(x)的值域是[-1,1];②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值1;③当且仅当2kπ+π解析当f(x)<0时,应有2kπ+π答案①②
7.求函数y=的最大值、最小值,并求出相应x的集合.
解由题意知即-1≤sin
x≤1.
当sin
x=-1,即x=2kπ+,k∈Z时,ymax=,相应x的集合为;
当sin
x=1,即x=2kπ+,k∈Z时,ymin=,相应x的集合为.
8.(1)比较大小:sin与sin;
(2)在锐角三角形ABC中,比较sin
A与cos
B的大小.
解(1)∵sin=sin=sin,
且0<,y=sin
x在上是增加的,
∴sin(2)∵△ABC为锐角三角形,
∴A∈,且A+B>,
∴A>-B,且-B∈.
又y=sin
x在上是增加的,
∴sin
A>sin,即sin
A>cos
B.
9.已知sin
x+sin
y=,求M=sin
x+sin2y-1的最大值与最小值.
解因为sin
x+sin
y=,所以sin
x=-sin
y.
因为-1≤sin
x≤1,所以
解得-≤sin
y≤1.
又易知M=sin
x+sin2y-1=,
所以当sin
y=-时,Mmax=;
当sin
y=时,Mmin=-.
B组 能力提升
1.函数y=|sin
x|的一个单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析画出函数y=|sin
x|的图像(图略),易知选C.
答案C
2.导学号93774018定义在R上的奇函数f(x)的周期是π,当x∈时,f(x)=sin
x,则f的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析f=f=f
=-f=-sin=-.
答案C
3.已知α,β∈,且cos
α>sin
β,则α+β与的大小关系是( )
A.α+β>
B.α+β<
C.α+β≥
D.α+β≤
解析因为cos
α>sin
β,
所以sin>sin
β.
而α,β∈,
所以-α∈.
由y=sin
x的单调性,知-α>β,
所以α+β<.
答案B
4.若函数y=sin
x在[0,a]上是增加的,则a的取值范围为 .?
解析由函数y=sin
x的图像(图略)可知,函数y=sin
x在上是增加的,
∴[0,a]?,∴0答案
5.导学号93774019对于函数f(x)=xsin
x,给出下列三个命题:
①f(x)是偶函数;
②f(x)是周期函数;
③f(x)在区间上的最大值为.
其中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号).?
解析∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-xsin(-x)=xsin
x=f(x),
∴f(x)是偶函数,故①正确;
虽然函数y=sin
x是周期函数,但f(x)=xsin
x不具有周期性,故②错误;
易知f(x)在区间上是增加的,∴f(x)在处取得最大值,最大值为sin,故③正确.
答案①③
6.若函数y=a-bsin
x的最大值为,最小值为-,试求函数y=-4asin
bx的最值及周期.
解设t=sin
x∈[-1,1],则y=a-bt.
①当b>0时,a-b≤a-bt≤a+b.
∴
∴
∴所求函数为y=-2sin
x.
②当b<0时,同理可得
∴
∴所求函数为y=-2sin(-x)=2sin
x.
∴综合①②得,所求函数为y=±2sin
x,其最小值为-2,最大值为2,周期为2π.
7.导学号93774020已知函数f(x)=lo|sin
x|.
(1)求其定义域和值域;
(2)判断奇偶性;
(3)判断周期性,若是周期函数,求其最小正周期;
(4)写出单调区间.
解(1)由|sin
x|>0,得sin
x≠0,∴x≠kπ(k∈Z).
∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
∵0<|sin
x|≤1,
∴lo|sin
x|≥0.
∴函数的值域为{y|y≥0}.
(2)∵函数定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,f(-x)=lo|sin(-x)|=lo|sin
x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
(3)∵f(x+π)=lo|sin(x+π)|=lo|sin
x|=f(x),∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π.
(4)当x∈时,t=|sin
x|是增加的;
当x∈时,t=|sin
x|是减少的.又函数y=lot为减函数,
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z).(共40张PPT)
习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
一
二
三
一、用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图像简图、步骤
3.描点画图,再利用函数的周期性,可把所得简图向左、右分别扩展,从而得到y=Asin(ωx+φ)的简图.(但一般这步只作叙述,图像上不体现出来也可)
一
二
三
二、确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的常用方法
1.代入法:把图像上的一个已知点代入(此时,A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
2.五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点
作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下:
“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;
“第五点”为ωx+φ=2π.
一
二
三
三、图像变换的两种主要途径
1.先平移后伸缩:
y=sin
x的图像
一
二
三
2.先伸缩后平移:
一
二
三
特别提醒1.当φ=kπ(k∈Z)时,y=sin(x+φ)是奇函数,当φ=kπ+
(k∈Z)时,y=sin(x+φ)是偶函数.
2.当φ=kπ(k∈Z)时,y=cos(x+φ)是偶函数,当φ=kπ+
(k∈Z)时,y=cos(x+φ)是奇函数.
3.若函数f(x)的图像对称轴为x=a,则有f(2a-x)=f(x)成立,反之也成立.
4.函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的求解一定要明确ω的正负,若ω为负,则先利用诱导公式将x的系数变为正,再求单调区间.
5.求函数y=Asin(ωx+φ)的最值时,一定要弄清函数定义域,不要凭想当然认为sin(ωx+φ)总是满足-1≤sin(ωx+φ)≤1.
一
二
三
【做一做1】
为了得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需把函数y=sin
2x的图像上所有的点( )
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
答案:A
一
二
三
【做一做2】
如图是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的一部分,则它的一个解析式为( )
一
二
三
答案:D
一
二
三
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
答案:A
一
二
三
【做一做4】
函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π]的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围为 .?
解析:由已知得f(x)=sin
x+2|sin
x|=
作出函数f(x)与直线y=k的图像(图略),由图像可得出k的取值范围为(1,3).
答案:(1,3)
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的图像及简单应用
【例1】
(1)利用“五点法”作余弦函数的图像时,第三个关键点的坐标为( )
(2)用“五点法”作函数y=2sin
+3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.
(1)答案:C
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)解:①列表.
②描点、连线作出一周期的函数图像.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟1.用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图像时,应先令ωx+φ分别为
,2π,再解出自变量x的对应值,作出一周期内的图像.
2.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正值,然后利用整体代换,把ωx+φ代入相应不等式中,求出相应的变量x的范围.
探究一
探究二
探究三
答题模板
变式训练1(1)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin
+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5
B.6
C.8
D.10
(2)用“五点法”作出函数y=cos
在长度为一个周期的闭区间上的简图.
探究一
探究二
探究三
答题模板
由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.
所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.
答案:C
(2)解:列表.
探究一
探究二
探究三
答题模板
描点作图.
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的图像变换
【例2】(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)
的图像如图所示,为了得到y=sin
ωx的图像,只需把y=f(x)的图像上所有点( )
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)函数h(x)=2sin
的图像与函数f(x)的图像关于点(0,1)对称,则函数f(x)可由h(x)经过( )的变换得到.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)设点P(x',y')是函数f(x)图像上任意一点,则点P关于点(0,1)的对称点Q(x,y)一定在函数h(x)的图像上,利用中点坐标公式可以求得x=-x',y=2-y',所以有2-y'=2sin
,
答案:(1)A (2)A
反思感悟1.三角函数的图像变换一定要明确“初始点”与“目标点”.这样不致于产生方向上的错误.
2.当函数名称不统一时,切记要将函数名先统一再变换.
探究一
探究二
探究三
答题模板
(2)要得到函数y=-2sin
x的图像,只需将函数y=2cos
x的图像( )
探究一
探究二
探究三
答题模板
答案:(1)C (2)C
探究一
探究二
探究三
答题模板
三角函数的综合性质
思路分析:(1)根据周期公式
求解;(2)先根据x的取值范围求出2x-φ的范围,再结合正弦函数的单调性确定sin(2x-φ)的取值范围,从而得到f(x)的值域即可得到函数的最值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
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反思感悟三角函数性质的应用
1.周期性:函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为
2.三角函数的最值求法
(1)利用sin
x,cos
x的有界性;
(2)从y=Asin(ωx+φ)+k(ω>0)的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.
(3)换元法:把sin
x或cos
x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
3.若函数图像关于x=a对称,则一定有f(x)=f(2a-x)与f(a+x)=f(a-x)成立,反之若函数f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x),则可证明函数图像关于x=a对称.
探究一
探究二
探究三
答题模板
f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ= .?
①求函数的解析式;
②写出该函数的单调区间.
探究一
探究二
探究三
答题模板
探究一
探究二
探究三
答题模板
正弦型函数在高考中的考查
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到
y=g(x)的图像,若y=g(x)图像的一个对称中心为
,求θ的最小值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
可求出ω,φ,由表格中的最值可确定A.
(2)写出y=g(x)的函数解析式,类比y=sin
x图像的对称中心为(kπ,0),k∈Z,利用整体思想建立关于θ的方程,根据k∈Z及θ>0,求出θ的最小值.
探究一
探究二
探究三
答题模板
数据补全如下表:
探究一
探究二
探究三
答题模板
名师点评1.本题在知识层面上考查了五点法作图、图像变换及三角函数的性质.
2.在能力层面上,(1)ω,φ的求解考查了方程的思想;(2)θ的求解考查了整体思想和函数思想.
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知函数f(x)=2
sin(2x+θ),x∈R为偶函数,则θ= .?
解析:因为f(x)为偶函数,则根据诱导公式,f(x)一定能够转化为
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共21张PPT)
7.3 正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式
(1)tan(2π+α)=tan
α;(2)tan(-α)=-tan
α;?
(3)tan(2π-α)=-tan
α;?
(4)tan(π-α)=-tan
α;(5)tan(π+α)=tan
α;?
名师点拨1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
【做一做】
求值:(1)tan
120°= ;?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)因为3<4<5,所以tan
345.
( )
(2)tan
=tan
α当且仅当k=2π时成立.
( )
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan
A>tan
B>tan
C.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
利用正切函数诱导公式求值
【例1】
计算:
(1)sin
1
590°·cos(-1
830°)+tan
1
395°·tan(-1
200°);
思路分析:利用诱导公式将负角、较大角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
解:(1)原式=sin(4×360°+90°+60°)·cos(5×360°+30°)-tan(4×360°-45°)·tan(3×360°+180°-60°)=cos
60°·cos
30°
探究一
探究二
探究三
思路分析:(1)可由已知条件求出φ的值,再代入求出tan
φ;
探究一
探究二
探究三
反思感悟1.正切函数的诱导公式通常结合已知角求三角函数值,即知角求值,关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角,通常是特殊角的三角函数值.
2.给值求值时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值.
探究一
探究二
探究三
A.5
B.-5
C.25
D.与α的值有关
答案:A
探究一
探究二
探究三
(2)解:∵tan
225°=tan(180°+45°)=tan
45°=1,
探究一
探究二
探究三
利用正切函数的诱导公式化简或证明
思路分析:观察被证式两端,左繁右简,可以从左端入手,利用诱导公式进行化简,逐步地推向右边.
探究一
探究二
探究三
反思感悟与正弦函数、余弦函数一样,正切函数的诱导公式的记忆口诀也是“奇变偶不变,符号看象限”.
诱导公式结合特殊角的正切值,可求三角函数值.
求值流程图:
任意角的正切值→0~2π的角的正切值→锐角的正切值
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
探究一
探究二
探究三
变式训练2化简:
(2)tan
10°+tan
170°+sin
1
866°-sin(-606°).
(2)原式=tan
10°+tan(180°-10°)+sin(5×360°+66°)-sin(-720°+114°)
=tan
10°-tan
10°+sin
66°-sin
114°
=sin
66°-sin(180°-66°)
=sin
66°-sin
66°=0.
探究一
探究二
探究三
利用诱导公式和正切函数性质比较大小
【例4】
比较大小:tan
2,tan
3,tan
4.
思路分析:先利用诱导公式将tan
2,tan
3,tan
4转化为同一单调区间上的正切值,再利用单调性比较大小.
解:tan
2=tan(2-π),tan
3=tan(3-π),tan
4=tan(4-π).
∴tan(2-π)即tan
234.
探究一
探究二
探究三
反思感悟
比较正切函数值大小的方法
比较大小时,能求出具体函数值的,利用具体的函数值比较大小;不能求出具体的函数值的,一定先把它们化成同名的三角函数,再利用诱导公式把角转化为同一个单调区间上的角,利用函数的单调性进行比较大小.
探究一
探究二
探究三
变式训练3比较大小:
(2)tan
1
519°与tan
1
493°.
(2)tan
1
519°=tan(360°×4+79°)=tan
79°,tan
1
493°=tan(360°×4+53°)=tan
53°,
因为79°>53°,所以tan
1
519°>tan
1
493°.
1
2
3
4
5
1.tan
660°的值为( )
解析:tan
660°=tan(180°×3+120°)=tan
120°=-tan
60°=-
.
答案:C
1
2
3
4
5
2.下列各式成立的是( )
A.tan(π+α)=-tan
α
B.tan(π-α)=tan
α
C.tan(-α)=-tan
α
D.tan(2π-α)=tan
α
解析:tan(π+α)=tan
α;tan(π-α)=-tan
α;tan(-α)=-tan
α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tan
α.故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
3.若tan(π+α)=-
,则tan(3π-α)的值为( )
答案:A
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan
β=0.
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan
β=tan(π-β)+tan
β=-tan
β+tan
β=0.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若函数y=2sin
x+a的最大值为-2,则a的值等于
( )
A.2
B.-2
C.0
D.-4
解析由已知得2+a=-2,所以a=-4.
答案D
2.化简所得的结果是( )
A.sin
α
B.-sin
α
C.cos
α
D.-cos
α
解析原式==cos
α.
答案C
3.已知sin,则cos的值等于( )
A.
B.
C.-
D.-
解析由sin,
则cos=cos
=sin.故选A.
答案A
4.下列四个等式:
①sin(360°+300°)=sin
300°;
②cos(180°-300°)=cos
300°;
③sin(180°+300°)=-sin
300°;
④cos(±300°)=cos
300°.
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析①③④均正确,②中cos(180°-300°)=-cos
300°.
答案C
5.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin
x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=( )
A.
B.
C.0
D.-
解析反复利用f(x+π)=f(x)+sin
x,将f进行转化,再利用诱导公式求值.f=f+sin
=f+sin
+sin
=f+sin
+sin
+sin
=2sin
+sin-=.
答案A
6.已知sin,则cos(π+α)= .?
解析cos(π+α)=-cos
α=-sin=-.
答案-
7.若sin
x=a-1有意义,则a的取值范围是 .?
解析要使sin
x=a-1有意义,则-1≤a-1≤1,即0≤a≤2.
答案[0,2]
8.化简:= .?
解析原式==-1.
答案-1
9.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求的值.
解∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),
∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α),
∴-sin(π-α)=2cos(-α),
∴sin
α=-2cos
α,且cos
α≠0.∴原式==-.
10.求证:在△ABC中,sin(2B+2C)=-sin
2A.
证明因为A,B,C为△ABC的三个内角,
所以A+B+C=π,
则2A+2B+2C=2π.
于是2B+2C=2π-2A.
故sin(2B+2C)=sin(2π-2A)=sin(-2A)=-sin
2A.原式成立.
B组 能力提升
1.如果α+β=180°,那么下列等式中成立的是( )
A.cos
α=cos
β
B.cos
α=-cos
β
C.sin
α=-sin
β
D.sin
α=cos
β
解析由α+β=180°得α=180°-β,两边同时取正弦函数得sin
α=sin(180°-β)=sin
β,两边同时取余弦函数得cos
α=cos(180°-β)=-cos
β.
答案B
2.已知sin,则cos=( )
A.
B.
C.-
D.-
解析cos=cos
=sin.
答案A
3.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
解析∵sin(π-x)=sin
x,∴f(x)=asin
x+bx+c,则f(1)=asin
1+b+c,f(-1)=asin(-1)+b×(-1)+c=-asin
1-b+c,∴f(-1)=-f(1)+2c.
①
把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c=?Z,故选D.
答案D
4.若点P(-sin
α,cos
α)在角β的终边上,则β= (用α表示).?
解析根据三角函数的定义得cos
β=-sin
α,sin
β=cos
α,由诱导公式得,cos
β=-sin
α=cos,k∈Z,sin
β=cos
α=sin,k∈Z,因此,β=α++2kπ,k∈Z.
答案α++2kπ,k∈Z
5.化简求值:= .?
解析
=
=
==-1.
答案-1
6.导学号93774013已知函数f(x)=cos,则下列四个等式中,成立的是 .(写出正确的序号)?
①f(2π-x)=f(x);②f(2π+x)=f(x);③f(-x)=-f(x);④f(-x)=f(x).
解析f(2π-x)=cos=cos=-cos=-f(x),①不成立;
f(2π+x)=cos=cos=-cos=-f(x),②不成立;f(-x)=cos=cos=f(x),③不成立,④成立.
答案④
7.求函数f(x)=2sin2x+14sin
x-1的最大值与最小值.
解因为f(x)=2sin2x+14sin
x-1=2,又-1≤sin
x≤1,
所以当sin
x=1时,f(x)取最大值15;
当sin
x=-1时,f(x)取最小值-13.
8.导学号93774014设f(θ)=,
求f的值.
解因为f(θ)=
=
=
=cos
θ,
所以f=cos
=cos=cos.§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.已知sin
α=,则角α所在的象限是( )
A.第一象限
B.第一或第二象限
C.第一或第三象限
D.第四象限
解析因为sin
α=>0,所以α在第一或第二象限.
答案B
2.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos
α=-,则b的值为( )
A.3
B.-3
C.±3
D.5
解析因为角α的终边经过点P(-b,4),且cos
α=-,
所以r=,cos
α==-,
解得b=±3.
由题意得b>0,所以b=3.
答案A
3.设角α的终边与单位圆相交于点P,则sin
α-cos
α的值是( )
A.
B.-
C.-
D.
解析由三角函数的定义,得sin
α=-,cos
α=,
∴sin
α-cos
α=-=-.故答案为C.
答案C
4.如图所示,直线l的倾斜角为,且与单位圆交于P,Q两点,则点P的横坐标是( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为cos=-,故选B.
答案B
5.已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sin
β=,则y的值为( )
A.±
B.
C.-
D.±2
解析r=,sin
β=>0,解得y=或y=-(舍去).
答案B
6.已知锐角α的终边交单位圆于点P,则sin
α= ,cos
α= .?
解析由题意得cos
α=.
又角α为锐角,∴α=60°,∴sin
α=.
答案
7.当α为第二象限角时,的值是 .?
解析∵α为第二象限角,∴sin
α>0,cos
α<0.
∴=2.
答案2
8.导学号93774009若f(x)是周期为4的函数,当-2019)+f(2
020)= .?
解析f(2
019)=f(2
020-1)=f(-1)=×(-1)=-,f(2
020)=f(0)=×0=0,
故f(2
019)+f(2
020)=-.
答案-
9.函数y=的定义域为 .?
解析要使函数式有意义,需由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
答案[-4,-π]∪[0,π]
10.利用定义求的正弦值与余弦值.
解在平面直角坐标系中,作∠AOB=,如图所示.
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为.故sin=-,cos.
11.已知角α的终边上一点P(-,m),且sin
α=m,求sin
α与cos
α的值.
解由已知,得m=,
解得m=0或m=±.
①当m=0时,cos
α=-1,sin
α=0;
②当m=时,cos
α=-,sin
α=;
③当m=-时,cos
α=-,sin
α=-.
B组 能力提升
1.sin
1·sin
2·sin
3·sin
4的符号为( )
A.正
B.负
C.0
D.无法确定
解析因为1是第一象限角,2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin
1>0,sin
2>0,sin
3>0,sin
4<0,于是sin
1·sin
2·sin
3·sin
4<0.
答案B
2.点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,则的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析根据三角函数的定义得,x=cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos
60°=,
y=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin
60°=,
故.
答案A
3.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,则f的值为( )
A.-1
B.1
C.0
D.-2
解析f=f=f=f=1.
答案B
4.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意得角α的终边上一点的坐标为,
则角α的最小正值为,故选D.
答案D
5.导学号93774010已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),若,则cos
α的值为( )
A.
B.-
C.±
D.
解析∵角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),,
∴b=-a,r=b,
∴cos
α==-.故选B.
答案B
6.若f(x)是定义域为R的函数,且满足f(x+4)=,则f(x)的周期是 .?
解析由f(x+4)=,可得f(x+8)=,
因此,f(x+8)==f(x).故f(x)的周期是8.
答案8
7.已知角α的终边在直线y=-2x上,求sin
α,cos
α的值.
解设角α终边上一点P(a,-2a)(a≠0),
则r=|a|.
当a>0时,a终边在第四象限,r=a.
∴sin
α==-,cos
α=.
当a<0时,α终边在第二象限,r=-a.
∴sin
α=,cos
α==-.
8.导学号93774011已知函数f(x)的定义域是R,对任意实数x,满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=x2+2x.
(1)求证:函数f(x)是周期函数;
(2)求f(-7).
(1)证明对任意实数x,有f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).∴函数f(x)是周期函数.
(2)解由(1)知,函数f(x)的周期为4,
∴f(-7)=f(-7+2×4)=f(1).
∵当x∈[0,4)时,f(x)=x2+2x,
∴f(-7)=f(1)=3.§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.函数y=2sin+1的最大值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析函数y=2sin+1的最大值为2+1=3.
答案C
2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f=( )
A.-
B.
C.
D.-
解析由=π,得ω=2,此时f(x)=sin.
∴f=sin.
答案B
3.函数y=3sin的一个单调递减区间为( )
A.
B.
C.
D.
解析y=3sin=-3sin,当x∈时,x-,此时y=sin在区间上是增加的,从而y=-3sin在区间上是减少的,即单调递减区间是.
答案B
4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x∈[0,2π])的图像和直线y=的交点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.4
解析作出函数y=cosπ,x∈[0,2π]的图像及y=的图像可得,应选C.
答案C
5.
已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则( )
A.ω=1,φ=
B.ω=1,φ=-
C.ω=2,φ=
D.ω=2,φ=-
解析∵T=4×=π,
∴ω==2,由五点作图法知2×+φ=,φ=-.
答案D
6.
如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将y=sin
x(x∈R)的图像上所有点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
解析由图像可知函数的周期为π,振幅为1,所以函数的解析式可设为y=sin(2x+φ).代入可得φ的一个值为,故图像中函数的一个解析式是y=sin,所以只需将y=sin
x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.
答案A
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )
A.y=4sin4x+
B.y=2sin2x++2
C.y=2sin4x++2
D.y=2sin4x++2
解析由题意可得,A==2,m==2,ω==4,∴φ=kπ+,∴当k=1时,φ=,∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.
答案D
8.将函数y=sin的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为 和 .?
解析依据图像变换得函数g(x)=sin.
∵x∈,∴4x+,
∴当4x+时,g(x)取最大值;当4x+时,g(x)取最小值-.
答案 -
9.设函数f(x)=4sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是 .?
解析由正弦曲线的图像可知,f(x1),f(x2)分别是函数f(x)=4sin的最小值、最大值,|x1-x2|的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的个周期,故|x1-x2|的最小值=T==2.
答案2
10.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
的图像的一部分如图所示,求函数f(x)的解析式.
解由图像可知,A=2,T=8.
∵T=8,∴ω=.
∴f(x)=2sin.
方法一:由图像过点(1,2)得,2sin=2,
∴sin=1.∴+φ=2kπ+(k∈Z),
即φ=2kπ+(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.
方法二:∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点,
∴×1+φ=,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
11.已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的最大值、最小值,及相应x的值;
(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心;
(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度才为偶函数?
解(1)当2x++2kπ(k∈Z)时,f(x)有最大值,即当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)max=.
当2x+=-+2kπ(k∈Z)时,f(x)有最小值,即当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)min=.
(2)由T=知函数f(x)的最小正周期为T=π.
令2x+=kπ+(k∈Z),则x=(k∈Z),
∴对称轴为直线x=(k∈Z).
令2x+=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),
∴对称中心为(k∈Z).
(3)由函数性质知若函数y=Asin(ωx+φ)+b为偶函数,φ>0,
则φ至少为,即y=sincos
2x+为偶函数.
∴应将函数y=sin的图像平移至函数y=sin的图像处.
由函数图像平移方法知:y=sin的图像y=sin的图像,
∴函数f(x)的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数.
B组 能力提升
1.将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则y=g(x)图像的一条对称轴是
( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
解析将函数f(x)=3sin图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,可得函数y=3sin的图像,再向右平移个单位长度,可得y=3sin=3sin的图像,故g(x)=3sin.
令2x-=kπ+,k∈Z,得到x=·π+,k∈Z.则得y=g(x)图像的一条对称轴是x=.故选C.
答案C
2.导学号93774030设ω>0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D.3
解析y=sin+2向右平移个单位长度,
得y1=sin+2,
即y1=sin+2,
又函数y与y1的图像重合,则-ω=2kπ(k∈Z),
∴ω=-k(k∈Z).
又ω>0,k∈Z,
∴当k=-1时,ω取得最小值.故选C.
答案C
3.将函数f(x)=sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最小值是( )
A.
B.1
C.
D.2
解析将函数f(x)=sin
ωx的图像向右平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为f(x)=sin
ω=sin.因为函数的图像经过点,所以sin=sin=0,所以=kπ(k∈Z),即ω=2k(k∈Z),因为ω>0,所以ω的最小值为2.
答案D
4.函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,且在这个区间上的最大值是,则ω可以为( )
A.
B.
C.2
D.4
解析因为函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,所以周期T≥π,所以0<ω≤2.由题意知2sin?sin.当ω=时,f=1,不合题意;当ω=时,f,符合题意;当ω=2时,f=2,不合题意.故选B.
答案B
5.导学号93774031点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m的图像的一个对称中心,且点P到该图像对称轴的距离的最小值为,则( )
A.f(x)的最小正周期是π
B.m的值为1
C.f(x)的初相φ为
D.f(x)在上是增加的
解析∵点P是函数f(x)的图像的一个对称中心,
∴m=2,-ω+φ=kπ(k∈Z),
又由题意知T=4×=2π,则ω=1,
∴-+φ=kπ(k∈Z).
由|φ|<,得φ=,利用排除法知D正确.
答案D
6.f(x)=3sin的图像C具有:
①图像C关于直线x=对称;②函数f(x)在区间内是增加的;③由y=3sin
2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
以上三个论断中,正确的论断是 .(填序号)?
解析①中,x=时,2x-,正确;②中,由x∈得2x-,正确;③中,函数y=3sin
2x的图像向右平移个单位得到y=3sin
2=3sin的图像,结论错误,故选①②.
答案①②
7.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设α∈(0,2π),f=2,求α的值.
解(1)∵函数f(x)的最大值为3,
∴A+1=3,即A=2.
∵函数图像相邻两条对称轴之间的距离为,
∴最小正周期T=π,
∴ω=2.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)f=2sin+1=2,
即sin.
∵0<α<2π,∴-<α-,
∴α-或α-,故α=或α=π.
8.导学号93774032已知函数y=3sin.
(1)求此函数的周期、振幅、初相;
(2)作函数在[0,4π]上的图像;
(3)说出此函数图像是由y=sin
x的图像经过怎样的变化得到的.
解(1)y=3sin的周期T=4π,振幅为3,初相为-.
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点,列表如下.
x
0
4π
x-
-
0
π
y=3sin
-
0
3
0
-3
-
描点,作出以上各点,用平滑曲线顺次连接各点,得y=3sin在[0,4π]上的草图如图所示.
(3)①把函数y=sin
x的图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图像;
②把得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin的图像;
③把得到的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得到函数y=3sin的图像.(共24张PPT)
§1 周期现象
一
二
一、周期现象
1.我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象.
2.自然界中海水的潮汐现象,日出日落,月缺月圆,寒来暑往,物理中的单摆运动等都是周期现象.
3.周期现象应具有的两个重要特征:
(1)经过相同的间隔;
(2)出现的现象重复.
【做一做1】
如果今天是星期六,那么16天后的那一天是( )
A.星期一
B.星期三
C.星期四
D.星期五
解析:因为16=7×2+2,而今天是星期六,所以16天后的那一天是星期一.
答案:A
一
二
【做一做2】
月球围绕地球转,月球到地球的距离随着时间的变化而变化,这种现象是周期现象,则周期是 .?
解析:月球围绕地球一个月转一圈.
答案:一个月
一
二
二、周期现象的判断
判断某种现象是不是周期现象,主要根据周期现象的两个重要特征,可结合以下几种形式加以判断:
1.根据我们熟知的自然规律、生活常识等判断;
2.将问题涉及的变量的值列在表格中分析判断;
3.将问题涉及的数据以散点图表示出来观察判断.
一
二
【做一做3】
下列变化是周期现象的是( )
A.地球自转引起的昼夜交替变化
B.某同学每天做作业的时间
C.某交通路口每次绿灯亮时通过的车辆数
D.某同学每天打电话的时间
解析:由生活常识知某同学每天做作业的时间是可以变化的,不是周期现象;由生活常识知某交通路口每次绿灯亮时通过的车辆数是随机变化的,不是周期现象;由生活常识知某同学每天打电话的时间也不具有规律性,不是周期现象.故选A.
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)地球上南极点处极昼极夜的变化可以看作是周期现象.
( )
(2)小明上学经常迟到是周期现象.
( )
(3)周期现象的判断可以借助生活常识、表格或散点图来进行.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
周期现象的概念
【例1】
连续抛掷一枚骰子,点数可能为1,2,3,4,5,6.这六个点数是否会周期性地重复出现?
思路分析:从该现象是否重复出现,是否有相同的间隔两方面进行考虑.
解:连续抛掷一枚骰子,出现的点数是随机的,相同点数重复出现没有相同的间隔,因此不会周期性地重复出现.
反思感悟1.周期现象是指某种现象总是以相同的间隔重复出现.这里的间隔,可以是时间间隔,也可以是长度、距离间隔等,重复出现必须是无差别的重复出现.
2.一些现象是不是周期现象,其判断的依据是周期现象的特征,即每次都以相同的间隔出现,而且现象是无差别的重复出现.
探究一
探究二
探究三
变式训练1有以下现象:①候鸟的迁徙;②每年6月7号、8号高考;③某人每天看电视的时间;④化学元素的性质.其中是周期现象的有 (填序号).?
解析:③显然不是周期现象,其余均是周期现象.
答案:①②④
探究一
探究二
探究三
根据散点图判断周期现象
【例2】
一个地区不同日子里白昼的时长是不同的,下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间精确到0.1
h):
探究一
探究二
探究三
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,在如图给定的平面直角坐标系中画出这些数据的散点图,并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9
h.
(2)白昼时间的变化是不是周期现象?请你估计一下,该地区来年6月21日的白昼时间是多少?
探究一
探究二
探究三
思路分析:首先根据表中提供的数据作出散点图,然后结合作出的散点图以及周期现象的特征分析和计算.
解:(1)散点图如下图所示,因为从4月27日至8月13日的白昼时间都超过15.9
h,所以该地区一年中白昼时间超过15.9
h的大约有4+31+30+31+13=109(天).
探究一
探究二
探究三
(2)由散点图可知白昼时间的变化是周期现象.估计该地区来年6月21日的白昼时间是19.4
h.
反思感悟1.根据散点图判断周期现象的基本步骤如下:收集数据—画出散点图—根据散点图分析.
2.根据散点图判断周期现象的关键是看随着一个变量的等值变化,另一个变量的值是否重复出现.
探究一
探究二
探究三
变式训练2我们的心跳都是有节奏、有规律的,心脏跳动时,血压在增大或减小.下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系,通过表中数据来研究血压变化的规律.
(1)根据上表数据在平面坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图;
(2)说明血压变化的规律.
探究一
探究二
探究三
解:(1)散点图如图所示.
(2)从散点图可以看出,每经过相同的时间间隔T,血压就重复出现相同的数值,因此,血压是周期性变化的.
探究一
探究二
探究三
周期现象的应用
【例3】
某班有48名学生,每天安排4名同学值日,一周上五天课,一学期按二十周计算,该班每位同学一学期要值日几次?
思路分析:先算出值日生轮完一遍需要几个上课日,再看一下二十周(实际只有100个上课日)能轮完几遍,便可得到每位同学值日次数.
解:共有48名学生,每天安排4名,则12个上课日就轮完一遍.而一学期有5×20=100个上课日,12×8=96个上课日,所以该班每位同学一学期至少值日8次,有一部分同学要值日9次.
反思感悟根据周期现象解决相关问题时,应抓住周期现象中的“经过相同的间隔(时间间隔等)”这一核心,因为这一相同的间隔,就是相应的周期.
探究一
探究二
探究三
变式训练3已知函数y=f(x)(x∈N+),若f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f(4)=0,
f(5)=1,f(6)=0,…,则可猜想f(2
019)= .?
解析:由已知可发现当x为奇数时,有f(x)=1,当x为偶数时,有f(x)=0.故f(2
019)=1.
答案:1
1
2
3
4
5
6
1.下列现象是周期现象的是( )
①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.③④
解析:显然日出日落和潮汐是周期现象.故选A.
答案:A
1
2
3
4
5
6
2.钟表分针的运行是一个周期现象,其周期为60
min,现在分针恰好指在2:00处,100
min后分针指在( )
A.8:00处
B.10:00处
C.11:00处
D.12:00处
解析:100=60+40,分针转过一个周期为12个大格,则40
min转过12×
=8个大格,2+8=10,故100
min后指针指在10:00处.
答案:B
1
2
3
4
5
6
3.给出函数f(x)的一些函数值如下表:
则可以猜想f(2
018)= .?
解析:由于2
018=4×504+2,
而f(x)的函数值以4为周期重复出现,
故f(2
018)=f(2)=0.
答案:0
1
2
3
4
5
6
4.单摆运动是周期运动,如果一个单摆的周期为0.6
s,那么摆动4
s,小球经过了 个周期.?
1
2
3
4
5
6
5.如图所示,第45个图形是 色的 ;第126个图形是 色的 .?
解析:由图可以看出图形都是每隔6个重复出现一次,且序号是偶数的图形都是白色的,序号是奇数的图形都是黑色的.
因为45是奇数,且45=6×7+3,
所以第45个图形是黑色的正方形.
同理可得126=6×21,
所以第126个图形是白色的五角星.
答案:黑 正方形 白 五角星
1
2
3
4
5
6
6.太空中某星的亮度随着时间的变化而变化,下表是某研究人员在2月(按28天计算)观察该星所得到的数据:
试判断该星的亮度变化是不是周期现象,并推断下个月第14日该星的亮度等级是多少.
1
2
3
4
5
6
解:画出散点图,如图所示,从图中可以看出该星的亮度等级每隔7天又重复出现,是周期现象.事实上,无论从哪日算起,每隔7天,该星都会出现相同的亮度等级,所以下个月第14日该星的亮度等级是4.2.(共31张PPT)
§3 弧度制
一
二
三
四
一、弧度
在单位圆(半径为1的圆)中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad,读作弧度.
【做一做1】
下列各说法中,正确的是( )
A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1°的弧与1°的角之和
D.1弧度角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
答案:D
一
二
三
四
二、角度与弧度的互化
因为周角在角度制下是360°,在弧度制下是2π
rad,所以360°=2π
rad,180°=π
rad,1°=
rad≈0.017
45
rad,
应熟记以下一些特殊角的度数与弧度数的对应值:
一
二
三
四
【做一做2】
-225°化为弧度为( )
答案:C
A.75°
B.105°
C.135°
D.175°
答案:A
一
二
三
四
三、弧度制
1.一般地,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制.
2.在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
一
二
三
四
四、弧度制下的三个公式
1.弧度数公式:|α|=
,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对弧长与所在圆的半径的比值.
2.弧长公式:l=|α|r,即弧长等于所对圆心角弧度数的绝对值与半径的积.采用角度制时的相应公式为l=
.
【做一做4】
已知扇形的半径r=30,圆心角α=
,则该扇形的弧长等于 ,面积等于 ,周长等于 .?
扇形的周长为30+30+5π=60+5π.
答案:5π 75π 60+5π
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)1弧度就是在圆中圆心角为1°时对应的弧长.
( )
(2)相同的角在角度制与弧度制下的数值一定不相等.
( )
(3)扇形的面积公式S=
|α|R2中α可以是角度数,也可以是弧度数.
( )
答案:(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
探究四
弧度制的概念
【例1】
下列说法错误的是( )
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值.
2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同.
3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省去.
4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成nπ(n∈R)的形式.若无特别要求,不必把π写成小数,如-45°=-
rad,不必写成-45°≈-0.785
rad.
探究一
探究二
探究三
探究四
角度与弧度的互化
【例2】
(1)把112°30'化为弧度;
(3)将-1
485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式,且0≤α<2π.
度数;(3)先把任意角表示为终边与其终边相同的角,再用弧度制表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法:
(1)关键:抓住互化公式π
rad=180°是关键;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度;
(4)角度化为弧度时,其结果写成π的形式,没特殊要求,切不可进行近似计算,也不必将π化为小数;
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1(1)下列各角中,与240°角终边相同的角为( )
(2)已知角α=-1
480°.
①将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角;
②在区间[-4π,0)上找出与α终边相同的角.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
用弧度制表示角及其范围
【例3】
如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分内的角的集合.
思路分析:先确定区域的边界角,化为弧度制,再用集合表示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟
用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法
1.用弧度制表示象限角如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
2.用弧度制表示轴线角如下:
终边落在x轴上的角为α=kπ(k∈Z);
终边落在y轴上的角为α=kπ+
(k∈Z).
3.用弧度制表示终边相同的角的集合为
{β|β=2kπ+α,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2下面表述不正确的是( )
A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:对于A,终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z},故A正确;
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
【例4】
(1)已知扇形的周长为8
cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10
cm,面积等于4
cm2,求其圆心角的弧度数.
思路分析:(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0<θ<2π,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值.
解:设扇形的弧长为l
cm,半径为r
cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,
1
2
3
4
5
6
1.-220°角化为弧度是( )
答案:D
1
2
3
4
5
6
2.
弧度化为角度是( )
A.278°
B.280°
C.288°
D.318°
故选C.
答案:C
1
2
3
4
5
6
3.若扇形的半径变为原来的2倍,弧长也变为原来的2倍,则( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积变为原来的2倍
D.扇形的圆心角变为原来的2倍
解析:根据弧度的定义可知,圆心角的大小是一个比值,与弧长、半径有关.
答案:B
1
2
3
4
5
6
答案:C
1
2
3
4
5
6
5.已知半径为10
cm的圆上有一条长为40
cm的弧,则该弧所对的圆心角的弧度数是 .?
答案:4
1
2
3
4
5
6
6.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.
解:设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4.§9 三角函数的简单应用
课后篇巩固探究
1.
如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(单位:s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆频率分别是( )
A.
B.2,
C.,π
D.2,π
解析t=0时,θ=sin.由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆频率为.
答案A
2.
右图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置,图中E,F,G,H四点经过半个周期后达到最高点的是( )
A.E
B.F
C.G
D.H
解析绳波上的点上下振动,点F经过半个周期恰好达到最高点.
答案B
3.商场人流量被定义为每分钟通过门口的人数,元旦某商场的人流量满足函数f(t)=50+4sin(t≥0),则下列时间段内人流量是增加的是( )
A.[0,5]
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
解析由2kπ-≤2kπ+(k∈Z),得4kπ-π≤t≤4kπ+π(k∈Z),即函数f(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z),当k=1时,增区间为[3π,5π],而[10,15]∈[3π,5π],故选C.
答案C
4.
如图为一半径为3
m的水轮,水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮自点A开始1
min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(单位:m)与时间x(单位:s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则( )
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
答案A
5.导学号93774036表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深情况统计:
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深/m
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y=Asin
ωt+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为( )
A.4
m
B.5
m
C.6
m
D.7
m
解析由表格知函数的最大值是7,最小值是3,则满足得A=2,h=5.相邻两个最大值之间的距离T=15-3=12,即=12,则ω=,此时y=2sint+5.当t=11时,y=2sin+5
=2sin+5=-2sin+5
=-2×+5=4.故选A.
答案A
6.导学号93774037动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12
s旋转一周,已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的递增区间是( )
A.[0,1]
B.[1,7]
C.[7,12]
D.[0,1]和[7,12]
解析∵T=12,∴ω=,从而可设y关于t的函数为y=sin.又t=0时,y=,∴φ=,
∴y=sin,
∴当2kπ-t+≤2kπ+(k∈Z),
即12k-5≤t≤12k+1(k∈Z)时,函数递增.
∵0≤t≤12,∴函数y的递增区间为[0,1]和[7,12].
答案D
7.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(单位:cm)表示成时间t(单位:s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60].?
解析解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin.
答案10sin
8.
如图所示,点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为3
cm,周期为3
s,且物体向右运动到点A(距平衡位置最远处)开始计时.
(1)求物体离开平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;
(2)求该物体在t=5
s时的位置.
解(1)设位移x和时间t之间的函数关系式为x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π),则由T==3,得ω=.当t=0时,有3sin
φ=3,即sin
φ=1.又0≤φ<2π,
故可得φ=.从而所求的函数关系式是x=3sin,即为x=3cost.
(2)令t=5,得x=3cos=-1.5,故该物体在t=5
s时的位置是在点O左侧,且距点O的距离为1.5
cm.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成的角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ).
求:(1)θ的取值范围;(2)f(θ)的解析式;
(3)f(θ)的值域.
解(1)观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为0,.
(2)如图,连接BD,则∠DBC=,过D作地面的垂线,垂足为E,在Rt△BED中,∠DBE=θ+,DB=2,
∴f(θ)=2sinθ+0≤θ≤.
(3)f(θ)=2sinθ+0≤θ≤,≤θ+,∴≤sinθ+≤1,即f(θ)的值域为[1,2].(共41张PPT)
§8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质
一
二
三
四
一、三角函数的图像变换
1.上、下伸缩变换
函数y=Asin
x的图像,可以看作是把函数y=sin
x图像上所有的点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0不变)而得到,即y=sin
x的图像
y=Asin
x的图像.
2.左、右平移变换
函数y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sin
x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到(可简记为左“+”右“-”),即y=sin
x
y=sin(x+φ).
一
二
三
四
3.左、右伸缩变换
函数y=sin
ωx的图像,可以看作是把y=sin
x图像上所有的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的
倍(纵坐标不变)而得到,即y=sin
x
y=sin
ωx.
4.上、下平移变换
函数y=sin(ωx+φ)+b的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有的点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位长度而得到(可简记为上“+”下“-”),即y=sin(ωx+φ)
y=sin(ωx+φ)+b.
一
二
三
四
(3)把函数y=sin
3x图像上所有点的 坐标变为原来的 倍,即可得到函数y=sin
x的图像.?
(4)将函数y=4sin
x-1的图像向下平移2个单位,得到函数 的图像.?
一
二
三
四
二、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响
1.在函数y=Asin
x(A>0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅.
2.在函数y=sin(x+φ)中,φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相,x+φ为相位.
A.4π,-2
B.4π,2
C.π,2
D.π,-2
答案:B
一
二
三
四
三、函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图像
1.用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图像.
列表如下:
一
二
三
四
其中P1,P3,P5均为零点(图像与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点,分别称为第一、二、三、四、五个关键点.
(3)描点,作出函数在一个周期内的图像,再向左、右无限扩展,得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图像.
一
二
三
四
2.由函数y=sin
x的图像得到函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的图像.
方法一(先平移后伸缩):
(1)作出y=sin
x的图像;
(2)把正弦曲线向左(或向右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像;
(3)将曲线上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像;
(4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像;
(5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像.
一
二
三
四
方法二(先伸缩后平移):
(1)作出y=sin
x的图像;
(2)把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=sin
ωx的图像;
(3)将曲线上各点向左(或向右)平移
个单位长度,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像;
(4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像;
(5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像.
一
二
三
四
答案:C
一
二
三
四
四、函数y=Asin(ωx+φ)的性质
1.定义域:R.
2.值域:[-|A|,|A|].
一
二
三
四
一
二
三
四
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(3)对于正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0),x∈R来说一定有ymax=A+B,ymin=-A+B.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像
思路分析:按“五点法”的作图步骤进行.
解:列表.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
描点、连线成图(如图).利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到y=2sin
,x∈R的图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟1.用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先作变量代换,令X=ωx+φ,再由X取
来确定相应的x值,最后根据x,y的值描点、连线并作出函数的图像.
2.作给定区间上y=Asin(ωx+φ)的图像时,若x∈[m,n],应先求出(ωx+φ)的相应范围,在求出的范围内确定其关键点,再确定x,y的值,描点、连线并作出函数图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1用“五点法”作函数y=2sin
+3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.
解:①列表.
②描点、连线作出一周期的函数图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
三角函数的图像变换
【例2】
由函数y=sin
x的图像经过怎样的变换,可以得到函数
y=
+1的图像.
思路分析:本题考查三角函数的图像变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(方法一)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟三角函数图像的变换方法
1.对函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,φ≠0,b≠0),其图像的基本变换有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A>1时伸长;当A<1时缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.当ω>1时缩短;当ω<1时伸长.(3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的.当φ>0时左移;当φ<0时右移.(4)上下平移(纵向平移变换):是由b的变化引起的.当b>0时上移;当b<0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
2.若相应的变换函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化相同,再利用相应的变换得到结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练2(1)把函数y=2sin
的图像经过变换,得到y=-2sin
2x的图像,这个变换是( )
(2)已知函数y=f(x)的图像上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图像沿x轴向左平移
个单位,这样得到的图像和y=2sin
x的图像相同,则函数y=f(x)的解析式为 .?
答案:(1)A (2)f(x)=-
cos
2x
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
根据函数的图像求函数的解析式
【例3】
如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ>0)在一个周期内的图像,试确定A,ω,φ的值.
思路分析:方法一可以用五点作图法原理先确定A,再确定ω,最后确定φ;方法二也可以用关键点代入的方法求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解法一(起点法)由图像可知振幅A=3,
根据五点法作图原理(以上两点可作为五点法作图中的第三点和第五点),
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟
根据三角函数图像求三角函数解析式的方法
1.如果从图像可确定振幅和周期,那么可直接确定函数解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
2.通过若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,ω,φ.依据五点列表法原理,点的序号与所列式子的关系如下:“第一点”为ωx+φ=0;“第二点”为ωx+φ=
;“第三点”为ωx+φ=π;“第四点”为ωx+φ=
;“第五点”为ωx+φ=2π.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练3已知函数y=Asin(ωx+φ)
在一个周期内的部分函数图像如图所示.求此函数的解析式.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质
【例4】
已知函数y=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0<φ<π)在x=
时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调区间.
思路分析:(1)可直接套公式求解;(2)应先求出f(x)的解析式,再用整体换元法求单调区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
反思感悟研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,主要通过整体换元的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin
x的性质,诸如定义域、值域、周期、单调区间等.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练4已知函数f(x)=2
sin
(ω>0)的最小正周期是π.
(1)求ω;
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
因图像变换方向把握不准而出错
【典例】
将函数y=sin
x的图像上所有的点向右平移
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( )
错解A或B或D
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
纠错心得1.关于正弦型函数图像的平移变换与周期变换问题一定要搞清楚始点与终点目标,否则易弄错方向,还要注意函数类型是否统一.
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
答案:A
1
2
3
4
5
3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<
,则( )
答案:C
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共21张PPT)
本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数的求值与化简
三角函数的求值与化简主要是指根据三角函数的定义及诱导公式求三角函数式的值或对三角函数式化简.要掌握三角函数的定义、特殊角的三角函数值,熟记诱导公式.
专题一
专题二
专题三
【例1】
(1)已知角α终边上一点P(-4,3),
①求cos
θ的值;
②求tan(θ-3π)的值.
分析:(1)先根据三角函数的定义求出sin
α,cos
α,tan
α的值,再将待求值式子化简,最后代入求值.(2)根据三角函数的定义,先求出sin(π+θ)与cos(π+θ)以及tan(π+θ)的值,再化简求值.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练1(1)角α的终边上有一点P(m,5),且cos
α=
(m≠0),则sin
α+cos
α= .?
专题一
专题二
专题三
专题二 三角函数的图像与变换
三角函数的图像一般用五点法作图,作图的关键是正确找出五个关键点;根据三角函数的图像求解析式可以利用代入法,也可以用五点作图中的关键点法;图像的变换问题要注意变换的顺序以及函数名的统一.
专题一
专题二
专题三
【例2】
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如图所示,则f(0)的值是 .?
专题一
专题二
专题三
解析:(1)由于T=π,则ω=2,
则只要将函数y=f(x)的图像上所有点向左平移
个单位长度就得到函数g(x)=cos
ωx的图像.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练2(1)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图像如图所示,则φ= .?
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题三 三角函数的性质
1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k及y=Atan(ωx+φ)+k的形式,再用公式求解,另外还可以利用图像求出三角函数的周期.
2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域,若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当
3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.
专题一
专题二
专题三
4.求三角函数的最值有三种方法:(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值域求得;(2)利用换元法,把sin
x,cos
x看成一个变量,转化为求二次函数的最值;(3)利用数形结合.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
答案:B
专题一
专题二
专题三
答案:C
专题一
专题二
专题三
(3)思路分析:利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解:令t=sin
x.
专题一
专题二
专题三
(2)函数y=Asin(ωx+φ)
在x∈(0,7π)内只取到一次最大值和一次最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.
①求此函数的解析式;
②求此函数的单调递增区间.
专题一
专题二
专题三
答案:C
专题一
专题二
专题三
所以此函数的单调递增区间为[-4π+10kπ,π+10kπ](k∈Z).习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
课后篇巩固探究
1.下列函数中,在上是减少的,且周期为π的是
( )
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
解析C,D中函数周期为2π,所以错误.当x∈时,2x+,函数y=sin为减少的,而函数y=cos为增加的.
答案A
2.已知函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )
A.
B.
C.2
D.3
解析∵ω>0,-≤x≤,∴-≤ωx≤.
由已知条件知-≤-,∴ω≥.
答案B
3.将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x),则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析∵函数y=2sin的周期T==π,
∴将函数y=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x)=2sin=2sin,
∴令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.故选A.
答案A
4.函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析函数f(x)=sin(2x+φ)的图像向左平移个单位长度得y=sin=sin的图像.
又其为奇函数,则+φ=kπ,k∈Z,
解得φ=kπ-.
又|φ|<,令k=0,得φ=-,
∴f(x)=sin.
又∵x∈,
∴sin,
即当x=0时,f(x)min=-,故选A.
答案A
5.导学号93774033当x=时,函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数y=f( )
A.是奇函数且图像关于点对称
B.是偶函数且图像关于点(π,0)对称
C.是奇函数且图像关于直线x=对称
D.是偶函数且图像关于直线x=π对称
解析∵当x=时,函数f(x)取得最小值,
∴函数f(x)的图像关于直线x=对称,
∴由f(0)=f得φ=+kπ,k∈Z,
∴f(x)=Asin,k∈Z,
∴f=Asin
=Asin(π-x+kπ)=
∴y=f是奇函数,且图像关于直线x=对称.
答案C
6.已知关于x的方程sin=k在区间上有两个不同的实数解,则k的取值范围为 .?
解析设f(x)=sin.
∵x∈,∴≤2x+.
易知函数f(x)=sin上是增加的,在上是减少的,
∴当方程sin时,有f(0)≤答案[1,)
7.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的图像的对称轴完全相同.若x∈,则f(x)的取值范围是 .?
解析由题意知ω=2,所以f(x)=3sin.
因为x∈,所以2x-,
所以f(x)∈.
答案
8.函数y=Asin(ωx+φ)的最大值是3,对称轴方程是x=,要使函数的解析式为y=3sin,还应给出的一个条件是 .(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形)?
解析若给出条件:周期T=π,则ω==2,此时y=3sin(2x+φ).
由对称轴方程是x=×2+φ=kπ+(k∈Z).取k=0,得φ=.
此时y=3sin,符合题意.
答案答案不唯一,如周期T=π
9.导学号93774034将函数f(x)=sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最小值是 .?
解析将函数y=sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数为y=sin
ω.
再由所得图像经过点,
可得sin
ω=sinω=0,
∴ω=kπ,k∈Z.
故ω的最小值是2.
答案2
10.已知函数f(x)=2sin+1.
(1)当x=时,求f(x)的值;
(2)若存在区间[a,b](a,b∈R且a解(1)当x=时,f(x)=2sin+1=2sin(3π)+1=2sin
π+1=1.
(2)f(x)=0?sin=-?x=kπ-,k∈Z或x=kπ-π,k∈Z,即f(x)的零点间隔依次为.
故若y=f(x)在[a,b]上至少含有6个零点,
则b-a的最小值为2×+3×.
11.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈,f=-,f,求cos
α,sin
β的值.
解(1)由已知得=10π,∴ω=.
(2)∵f(x)=2cos,
∴f=2cos=-2sin
α,
f=2cos=2cos
β.
又f=-,f,
∴sin
α=,cos
β=.
又∵α,β∈,
∴cos
α=,sin
β=.
12.导学号93774035已知f(x)=Asin(A>0)的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像.求g(x)在上的值域.
解(1)因为A>0,所以由题意知A=6.
(2)由(1)得f(x)=6sin.
将函数y=f(x)的图像先向左平移个单位长度后得到y=6sin=6sin的图像,
再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin的图像,
因此g(x)=6sin.
因为x∈,
所以4x+.
故g(x)在上的值域为[-3,6].(共34张PPT)
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
一
二
三
四
五
一、单位圆
在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.
一
二
三
四
五
二、任意角的正弦函数、余弦函数
1.利用单位圆定义任意角的正、余弦函数
如图所示,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数,记作v=sin
α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u=cos
α.?
一
二
三
四
五
对于给定的角α,点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标为函数值的函数.
2.利用角的终边上任意一点的坐标定义正、余弦函数
如图所示,在角α终边上任取一点P1(u1,v1),设|OP1|=r,由相似形原
一
二
三
四
五
3.正弦函数和余弦函数的定义域与值域
(1)通常用x,y分别表示自变量与函数值,因此正弦函数表示为y=sin
x(x∈R),正弦函数值也称为正弦值.余弦函数表示为y=cos
x(x∈R),余弦函数值也称为余弦值.
(2)由定义可知:正弦函数y=sin
x和余弦函数y=cos
x的定义域都是实数集R,值域都是[-1,1].
【做一做1】
若角α的终边过点(-1,2),则sin
α等于
( )
答案:D
一
二
三
四
五
又∵角β是锐角,∴m=2符合题意.
答案:2
一
二
三
四
五
三、正弦值、余弦值的符号
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内的坐标符号导出的.正弦的符号决定于纵坐标y的符号;余弦的符号决定于横坐标x的符号.正弦、余弦函数值在每个象限的符号如图所示.
也可用下表表示:
一
二
三
四
五
【做一做4】
判断下列各三角函数值的符号:
解:(1)因为700°=360°+340°,
所以700°是第四象限角,故sin
700°<0;
(2)因为-30°是第四象限角,所以cos(-30°)>0;
一
二
三
四
五
四、周期函数
1.一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的周期.若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数,那么这个最小正数就称为f(x)的最小正周期.今后提到的三角函数的周期,如未特别说明,一般都是指它的最小正周期.
2.正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的周期都是2kπ(k∈Z,且k≠0),它们的最小正周期均为2π.
一
二
三
四
五
【做一做5】
(1)若函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),则f(x)的周期是 .?
解析:(1)由周期函数定义知f(x)的周期是4;
(2)因为正弦函数是周期函数,4π是它的一个周期,所以sin(4π+α)=sin
α=
.
一
二
三
四
五
五、2kπ+α(k∈Z)的正弦、余弦公式
1.在单位圆中,由任意角的正弦、余弦函数的定义可得:
sin(2kπ+α)=sin
α(k∈Z),
cos(2kπ+α)=cos
α(k∈Z).
2.部分特殊角的三角函数值.
一
二
三
四
五
一
二
三
四
五
【做一做6】
sin
420°cos
750°+sin(-690°)·cos(-660°)=
.
解析:原式=sin(360°+60°)·cos(720°+30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin
60°cos
30°+sin
30°·cos
答案:1
一
二
三
四
五
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若角α的终边与以原点为圆心,以2为半径的圆交于点(,1),则可以认为sin
α=1.
( )
(2)若x∈R,则cos(sin
x)>0.
( )
(3)存在这样的k∈Z,使得sin(kπ+α)≠sin
α成立.
( )
(4)若某一函数f(x),对任意x∈R均有f(x+t)=f(x-t)成立(其中t≠0),则2t是函数f(x)的周期.
( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
根据正、余弦的定义求值
思路分析:(1)可先由α=
确定出其终边与单位圆交点的坐标,再根据定义写出正、余弦值;(2)可直接根据定义求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin
α=y,cos
α=x;
(3)若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,则首先求
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1(1)若α=-π,则sin
α= ,cos
α= ..
解析:(1)由于α=-π,因此角α终边与单位圆交点是(-1,0).
故sin
α=0,cos
α=-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
正、余弦函数值的符号判断及应用
【例2】
(1)如果点P(sin
θ+cos
θ,sin
θcos
θ)位于第二象限,那么角θ所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)判断下列各式的符号:
①sin(-670°)cos
1
230°;②sin
8·cos
8.
思路分析:(1)由已知条件确定出sin
θ及cos
θ值的符号,从而确定θ的象限;(2)先判定积式中每一个因式中角的象限,再确定相应函数值的符号,最后确定积的符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(1)解析:因为点P位于第二象限,所以
所以角θ在第三象限,故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
(2)解:①因为-670°=-2×360°+50°,所以-670°角是第一象限角,则sin(-670°)>0.
又1
230°=3×360°+150°,
所以1
230°角是第二象限角,则cos
1
230°<0.
所以sin(-670°)cos
1
230°<0.
②因为2π+
<8<2π+π,
所以8
rad是第二象限角,
所以sin
8>0,cos
8<0,
故sin
8·cos
8<0.
反思感悟一个角的正、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,三全负,二正弦,四余弦”(即第一象限角的正、余弦值全为正值,第三象限角的正、余弦值全为负值,第二象限角的正弦值为正,第四象限角的余弦值为正).
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练3若sin
α>0,cos
α<0,则角α的终边所在象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵sin
α>0,∴角α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
∵cos
α<0,∴角α的终边在第二或第三象限或x轴的非正半轴上,综上可知,角α的终边在第二象限.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
2kπ+α(k∈Z)的正、余弦公式的应用
【例3】
求下列各式的值.
思路分析:将一般角的三角函数转化为特殊角的三角函数求值.
反思感悟要熟记公式sin(2kπ+α)=sin
α,cos(2kπ+α)=cos
α,该公式可以将任意角的正、余弦值转化为0~2π或0°~360°内的角的正、余弦值,再通过特殊角的函数值求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练4求下列三角函数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
周期函数及其简单应用
【例4】
已知函数f(x)是周期为4的奇函数,且当0≤x≤2时,f(x)=x2,求f(-2
019)的值.
思路分析:通过周期和奇偶性将f(-2
019)转化为自变量在[0,2]内的函数值代入求解.
解:(方法一)f(-2
019)=f(-505×4+1)=f(1)=12=1.
(方法二)f(-2
019)=-f(2
019)=-f(504×4+3)=-f(3)=-f(-1)=f(1)=12=1.
反思感悟周期函数求函数值的方法
1.根据函数的周期求函数值,通常是利用周期将待求函数值的自变量的值进行转化,直至其成为已知条件中的自变量的值或范围,再代入求解.
2.求解这类问题的关键是利用周期对自变量的值进行转化.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
A.1
B.-1
C.±1
D.无法确定
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
分类讨论思想在三角函数值中的应用
【典例】
已知角α的终边经过点(-4m,3m)(m≠0),求sin
α+cos
α的值.
思路点拨:首先应用分类讨论思想确定角的终边所在的象限,然后求出sin
α,cos
α的值即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
方法点睛给定某角终边上一点,若该点含有参数,则需先对参数进行讨论,再结合题中角的象限进行取舍.
1
2
3
4
5
解析:已知交点在单位圆上,根据三角函数的定义可知sin
α=-
.
答案:B
1
2
3
4
5
2.已知角α的终边过点(3,-4),则cos
θ=( )
解析:∵x=3,y=-4,∴r=5.∴cos
θ=
.
答案:C
1
2
3
4
5
3.下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A.sin
156°>0
B.cos
<0
C.sin
2<0
D.cos
2<0
解析:2
rad≈114.6°是第二象限角,应有sin
2>0.
答案:C
1
2
3
4
5
4.若f(x)的定义域为R,且满足f(x+3)=f(x),f(x)是奇函数,f(1)=-4,则f(11)= .?
解析:f(11)=f(3×3+2)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)=-(-4)=4.
答案:4
1
2
3
4
5
解:(1)∵120°是第二象限角,∴tan
120°<0.
∵269°是第三象限角,∴sin
269°<0.
∴tan
120°·sin
269°>0.§1 周期现象
课后篇巩固探究
1.如果今天是星期三,那么7k-6(k∈N+)天后的那一天是( )
A.星期三
B.星期四
C.星期五
D.星期六
解析因为7k-6=7(k-1)+1,所以7k-6天后的那一天是星期四.
答案B
2.下列函数图像中,不具有周期性的是( )
解析C中,x∈[-2,2]之间的图像在前后都没有重复出现.
答案C
3.0.428
571
428
571…的小数点后第545位上的数字是( )
A.5
B.4
C.8
D.7
解析由题意知数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.
答案D
4.探索下图所呈现的规律,判断2
015至2
017箭头的方向是( )
解析观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置,则2
015
至2
017箭头的方向与3至5箭头的方向是相同的.故选D.
答案D
5.导学号93774000四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①,②,③,④号位置上(如图),第1次前后排动物互换位置,第2次左右列互换座位,……这样交替进行下去,则第2
017次互换座位后,小兔的位置对应的是( )
①猴
②兔
③猫
④鼠
开始
①猫
②鼠
③猴
④兔
第1次
①鼠
②猫
③兔
④猴
第2次
①兔
②猴
③鼠
④猫
第3次
A.编号①
B.编号②
C.编号③
D.编号④
解析由已知和题图得,小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…,得到每4次一个循环.因为2
016÷4=504,所以第2
017次交换位置后,小兔的位置和第1次交换的位置相同,即编号为④.
答案D
6.在如图所示的y=f(x)的图像中,若f(0.005)=3,则f(0.025)= .?
解析由图像知周期为0.02,
∴f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.
答案3
7.十字路口处红绿灯亮灭的情况如下:1
min亮绿灯,接着10
s亮黄灯,再接着1
min亮红灯,10
s亮黄灯,1
min亮绿灯……则刚开始亮绿灯时,某人过路口,10
min后又回到此路口,此时应该亮 灯.?
解析红绿灯的亮灭以140
s为一个周期,600=140×4+40,所以是绿灯.
答案绿
8.导学号93774001已知奇函数y=f(x)(x∈R),且f(x)=f(x+4),f(1)=2,则f(2)+f(3)+f(4)= .?
解析∵y=f(x)(x∈R)是奇函数,
∴f(0)=0.
又f(x)=f(x+4),
∴f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-2,
而f(-2)=f(-2+4)=f(2),f(-2)=-f(2),
∴f(2)=0,
故f(2)+f(3)+f(4)=-2.
答案-2
9.古希腊数学家毕达哥拉斯的故事:一次毕达哥拉斯处罚学生,要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为A,B,C,D,E,F,G),一直到指出第1
999个数的柱子的标号是哪一个,才能够停止.你能帮助这名学生尽快结束处罚吗?
解A B C D E F G
1
2
3
4
5
6
7
13
12
11
10
9
8
14
15
16
17
18
19
25
24
23
22
21
20
…
易知从“A”开始数,周期为12,而1
999=12×166+7.
故标号为G的柱子就是数到第1
999个数的那根柱子.
10.如图是一单摆,摆球从点B到点O,再到点C用时1.6
s(不计阻力).若从摆球在点B处开始计时,经过1
min后,请估计摆球相对于点O的位置.
解由题意知,该摆球摆动一个来回需用时3.2
s,
因为1
min=60
s=(18×3.2+2.4)s,而2.4
s-1.6
s=0.8
s,
所以1
min后摆球在点O处.
11.导学号93774002若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期;
(2)求当t=10.5
s时弹簧振子相对平衡位置的位移.
解(1)由题图可知,该函数的周期为4
s.
(2)设x=f(t),由函数的周期为4
s,
可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8
cm,
当t=10.5
s时弹簧振子相对平衡位置的位移为-8
cm.(共27张PPT)
5.2 正弦函数的性质
正弦函数y=sin
x的性质
【做一做1】
函数f(x)=
sin
2x的奇偶性为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
答案:A
【做一做2】
函数y=sin
2x的一个增区间是( )
答案:B
【做一做3】
函数y=2-sin
x的最大值及取最大值时的x的值为( )
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)y=|sin
x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.
( )
(2)对于函数y=msin
x+n(m≠0),当且仅当sin
x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin
x=-1时,取最小值ymin=-m+n.
( )
(3)在锐角范围内,角越大,其正弦值越大.
( )
(4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的周期.
( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
求与正弦函数有关的定义域问题
【例1】
求下列函数的定义域:
由9-x2≥0,得-3≤x≤3.②
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.求函数的定义域问题一般将其转化为解三角不等式(组),借助正弦函数的图像进行求解.
2.解答本例时,(1)要注意sin
x的符号;
(2)要使sin
2x>0和9-x2≥0同时成立,取公共部分时,要注意统一成弧度单位,再借助于数轴求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1求下列函数的定义域:
探究一
探究二
探究三
探究四
求与正弦函数有关的值域与最值问题
【例2】
求下列函数的值域.
(2)y=-2sin2x+5sin
x-2.
思路分析:(1)利用换元法,将问题转化为正弦函数在限制条件下的值域问题;
(2)利用配方法,并注意sin
x的有界性.
探究一
探究二
探究三
探究四
∵-1≤sin
x≤1,∴ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1.
故函数y=-2sin2x+5sin
x-2的值域是[-9,1].
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法等,而三角函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合三角函数本身的性质.
2.形如y=a+bsin
x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin
x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
3.形如y=Asin2x+Bsin
x+C的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2(1)函数y=sin2x-3sin
x+2的最小值为( )
解析:(1)利用换元法转化为求二次函数的最小值.
因此,当t=1,即sin
x=1时,函数y=sin2x-3sin
x+2取最小值0.
探究一
探究二
探究三
探究四
与正弦函数周期性、奇偶性有关的问题
【例3】
(1)函数y=cos
是( )
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
A.-1
B.±5
C.-5或-1
D.5或1
答案:(1)A (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟求三角函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求三角函数周期的方法
①定义法:即利用周期函数的定义求解.
②图像法:即通过观察函数图像求其周期.
(2)判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3若函数y=2sin
x+a-1是R上的奇函数,则a的值为( )
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析:依题意f(0)=0,即a-1=0,故a=1.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数的单调性及其应用
(2)比较下列各组数的大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟1.求函数y=sin(ωx+φ)单调区间的方法
(1)ω>0时,将ωx+φ代入到y=sin
x的单调区间中求出x的范围,即为所求.
(2)ω<0,将函数化为y=-sin(-ωx-φ),将-ωx-φ代入y=sin
x的单调减(增)区间,可求出原函数的单调增(减)区间.
2.比较同名三角函数值的大小时,应先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数,再运用三角函数单调性比较.
3.比较不同名三角函数值的大小时,先运用三角函数诱导公式将其转化为同一单调区间上的同名三角函数,再运用三角函数的单调性比较,也可以用数形结合思想或三角函数线比较.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练4(1)下列关系式正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
(2)求函数y=-3sin的单调区间.
(1)答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
4
5
A.R
B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.[-1,0)∪(0,1]
D.{x|x≠0}
解析:要使函数有意义,应有sin
x≠0,因此,x≠kπ(k∈Z).故定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
答案:B
1
2
3
4
5
答案:C
1
2
3
4
5
3.函数f(x)=x3+sin
x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 .?
解析:∵f(a)=a3+sin
a+1=2,∴a3+sin
a=1.
∴f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin
a)+1=-1+1=0.
答案:0
1
2
3
4
5
解析:∵-2sin
x≥0,
∴sin
x≤0,
∴2kπ-π≤x≤2kπ,k∈Z,
∴函数的定义域是[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
1
2
3
4
5
5.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
(2)sin
500°与sin
530°.
(2)sin
500°=sin
140°,sin
530°=sin
170°.
∵90°<140°<170°<180°,y=sin
x在(90°,180°)上是减少的,∴sin
140°>sin
170°,即sin
500°>sin
530°.