北师大版数学八年级下册：第一章三角形的证明综合测试(word解析版)

第一章综合测试
一、单选题（每小题3分，共30分）
1.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A.13 B.17 C.22 D.17或22
2.如下图，false，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.如下图，已知false，点false分别在边false上，false，下列条件中，不能判定false是等腰三角形的是（ ）
A.false； B.false； C.false； D.false.
4.直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为（ ）
A.45° B.55° C.65° D.50°
5.三角形三个内角度数之比是false，则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.如下图，在四边形false中，false和false交于点false，下列结论错误的是（ ）
A.false垂直平分false B.图中共有三对全等三角形
C.false D.四边形false的面积等于false
7.如下图所示.在false中，false分别是false的中垂线，false在false上，则false（ ）
A.58° B.32° C.36° D.34°
8.如下图，在false中，false垂直平分false，垂足为点false，交false于false点，连接false，若false，则false的值为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
9.如下图，false中，false是false的平分线，false于点false，若false，则false的周长为（ ）
A.false B.false C.false D.false
10.如下图，false是false的平分线，false，则false（ ）
A.60° B.120° C.110° D.40°
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.等腰三角形的一个内角是30°，则另两个角的度数分别为________.
12.已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为________.
13.如下图，false中，false是高false的交点，且false，则false________.
14.如下图，等边三角形false中，false，垂足为点false，点false在线段false上，false，则false等于________.
15.如下图，在false中，false，边false的垂直平分线false交false于点false，交false于点false，则false的长为________.
16.如下图，在false中，false平分false交false于点false，则false的度数是________.
17.如下图所示，false为false的平分线的交点，false于false，且false，则false与false之间的距离等于________.
三、解答题一（每小题6分，共18分）
18.分别画出满足下列条件的点：（尺规作图，请保留作图痕迹，不写作法.作图痕迹请加粗加黑！）
（1）在边false上找一点false，使false到false和false的距离相等；
（2）在射线false上找一点false，使false.
19.如下图，已知false与false交于false.连接false.
求证：false是等腰三角形.
20.如图，在false中，false是边false上的高线，false.求证：false是直角三角形.
四、解答题二（每小题8分，共24分）
21.如下图，在等腰false中，false垂直平分false，分别交false于点false.
（1）若false，求false的度数；
（2）若false的周长为15，求false的长.
22.如图，在false中，false为边false上的点，且false为线段false的中点，过点false作false，过点false作false，且false相交于点false.
（1）求证：false；
（2）求证：false.
23.如下图，在false中，false，点false在边false上，过点false作false交边false于点false，连结false.
（1）求证：false.
（2）若false，求证：false平分false.
五、解答题三（每小题10分，共20分）
24.在false中，false，直线false经过点false，且false于false，false于false.
（1）当直线false绕点false旋转到图（1）的位置时，显然有：false；请证明.
（2）当直线false绕点false旋转到图（2）的位置时，求证：false；
（3）当直线false绕点false旋转到图（3）的位置时，试问（2）中false的关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，它们又具有怎样的等量关系？请证明.
25.如下图，在false中，false.
（1）求证：false
（2）求false边上的高.
（3）点false从点false出发在线段false上以false的速度向终点false运动，设点false的运动时间为false.
①false的长用含false的代数式表示为________.
②当false为等腰三角形时，直接写出false的值.
第一章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】C
【解析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论.
分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，
false，
false此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是false.
故选C.
2.【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质，得出相等角，通过求证false，可以判断相应的选项，然后通过等角的补角相等，得出false，即可解决.
如下图：
false，
false
false，
false，
false
false
false（B选项正确）
false（D选项正确）
false
故false
false
false（A选项正确）
故选C
【考点】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质.
3.【答案】D
【解析】添加false可利用false判定false，进而可得false，从而可得false是等腰三角形；添加false不能判定false，因此也不能证明false，进而不能证明false是等腰三角形.
A.添加false，
在false和false中
false，
false，
false，
false为等腰三角形，故此选项不合题意；
B.添加false，
在false和false中
false，
false，
false，
false为等腰三角形，故此选项不合题意；
C.添加false，
又false，
false，
false，
false为等腰三角形，故此选项不合题意；
D.添加false，不能证明false，因此也不能证明false，进而得不到false为等腰三角形，故此选项符合题意；
故选D.
【考点】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法.
4.【答案】B
【解析】设两个锐角分别为false，
由题意得，false，
解得false，
所以，最大锐角为55°.
故选B.
5.【答案】D
【解析】由三角形的三个内角度数比为false，可设三角形的三个内角分别为：false，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：false，解此方程即可求得答案.
设三角形的三个内角分别为：false.由三角形内角和定理得：false
解得：false.
当false时，false.
三角形的三个内角度数分别为：45false，45false，90false.
故这个三角形是等腰直角三角形.
故选D.
【考点】本题考查了三角形的内角和定理.解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为false，设三角形的三个内角分别为：false，利用方程思想求解.
6.【答案】C
【解析】根据线段垂直平分线的判定和全等三角形的判定定理判断即可.
false，
false垂直平分false，故A正确；
false，
false，
false，
false；
故图中共有三对全等三角形，故B正确；
false不一定等于false，
false不一定等于false，故C错误；
false垂直平分false，
false，
false四边形false的面积false，
故D正确，
故选：C.
【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积公式，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.
7.【答案】B
【解析】先由false及三角形内角和定理求出false的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出false，即false，由false解答即可.
false中，false分别是false的中垂线，false，即false，false.故选B.
【考点】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出false是解答此题的关键.
8.【答案】B
【解析】依据含30false角的直角三角形的性质，即可得到false的长，再根据角平分线的性质，即可得到false的长，进而得出false的长.
解：false垂直平分false，
false，
false，
false，
即false平分false，
又false，
false，
false，
故选：B.
【考点】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质.此题注意掌握数形结合思路的应用.
9.【答案】A
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得false，然后利用“false”证明false和false全等，根据全等三角形对应边相等可得false，再求出false的周长false，从而得解.
解：false平分false，
false，
在false和false中，
false，
false，
false，
false的周长false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false的周长false.
故选：A.
【考点】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并求出false的周长false是解题的关键.
10.【答案】A
【解析】因为false是false的角平分线，
所以false，
所以false，
所以false，
于是false.
故选A.
二、
11.【答案】75°（或者75°/30°、120°）
【解析】分为两种情况讨论，①30°是顶角；②30°是底角；结合三角形内角和定理计算即可.
解：①30°是顶角，则底角false；
②30°是底角，则顶角false.
false另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°.
故答案是75°；75°或30°、120°.
【考点】此题考查等腰三角形的性质，难度不大
12.【答案】24
【解析】false，
此三角形为直角三角形，
此三角形的面积为：false.
故答案为：24.
13.【答案】45°
【解析】根据题意证false，推出false，推出false，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出false，即可求出答案.
解：false，
false，
false，
false，
false在false和false中，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
即false
故答案为：45false
【考点】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
14.【答案】15false
【解析】先判断出false是false的垂直平分线，进而求出false，即可得出结论.
解：false等边三角形false中，false，
false，即：false是false的垂直平分线，
false点false在false上，
false，
false，
false，
false，
false是等边三角形，
false，
false，
故答案为：15false.
【考点】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出false是解本题的关键.
15.【答案】9
【解析】false是false的垂直平分线，
false，
false，
false，
false，
false为false的角平分线，
false，
false，
false，
false，
false.
【考点】本题主要考查的知识点有线段垂直平分线的性质、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、直角三角形30false角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练运用各性质是解题的关键.
16.【答案】108false
【解析】根据false求出false的度数，利用false平分false求出false，再利用三角形的内角和求出false的度数.
false，
false，
false平分false，
false，
false，
故答案为：108false.
【考点】此题考查角度的加减计算，注意三角形的内角和定理、角平分线定理的应用.
17.【答案】10.
【解析】过点false作false于false，交false于false，根据角平分线的性质和平行线的性质解答可得解.
如下图，过点false作false于false，交false于false，
false，
false，
false是false的平分线，false，
false，
false是false的平分线，false，
false，
false，
即false与false之间的距离是10.
故答案为10.
【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键.
三、
18.【答案】（1）作法：
1.以点false为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角false两边于点false.
2.分别以点false为圆心，以大于false的长度为半径画弧，两弧交于点false.
3.作射线false，交false与点false，如下图所示，点false即为所求.
（2）作法：
1.以线段的false两个端点为圆心，以大于false一半长度为半径分别在线段两边画相交弧；
2得出相交弧的两个交点false；
3用直尺连接这两个交点，所画得的直线与射线false交与点false，如下图所示，点false即为所求.
【解析】（1）根据角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故做角false的角平分线交false于点false点即为所求.
（2）根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故作出线段false的垂直平分线，交射线false与点false点即为所求.
【考点】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，根据角平分线和垂直平分线的作法即可解决问题，能够熟练掌握二者的作法是解决本题的关键.
19.【答案】证明：false
false，
在false和false中，
false
false，
false，
false，
即false是等腰三角形.
【解析】利用false定理得出false即可得出false，再利用等腰三角形的判定得出即可.
【考点】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出false是解题关键.
20.【答案】解：false，
false.
在false中，
false，
false.
在false中，
false.
false，
false，
false是直角三角形.
【解析】由勾股定理分别求出false和false的长，再用勾股定理的逆定理证明false是直角三角形.
四、
21.【答案】解：（1）false垂直平分false，
false，
false，
false，
又false，
false，
false；
（2）false垂直且平分false，
false，
false的周长false，
又false，
false.
【解析】（1）由false垂直平分false，根据线段垂直平分线的性质，可得false，又由false，即可求得false的度数，又由false，即可求得false的度数，继而求得答案；
（2）由已知条件，运用线段垂直平分线定理得到false，结合false的周长为15，求false即可.
【考点】线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
22.【答案】证明：（1）false为线段false的中点，
false
false，
false
false
false
（2）false
false
false
false
false，且false
false
false
【解析】（1）由等腰三角形的性质可得false，由余角的性质可得false；
（2）由“false”可证false，可得false.
【考点】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
23.【答案】（1）证明：false，
false，
false，
false，
false，
false；
（2）证明：false，
false，
false，
false，
false，
false平分false.
【解析】（1）根据等边对等角可得false，再根据两直线平行，同位角相等可得false，false，从而得到false，然后根据等角对等边可得false；
（2）根据等边对等角可得false，再根据两直线平行，内错角相等可得false，从而得到false，然后根据角平分线的定义证明即可.
【考点】本题考查了等腰三角形的判定及性质，以及角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定及性质.
五、
24.【答案】（1）false中，false，
又直线false经过点false，且false于false于false，
false，
在false和false中，
false，
false；
（2）false中，false，直线false经过点false，且false于false于false，
false，
false.
而false；
（3）如图3.
false中，false，直线false经过点false，且false于false于false，
false，
false.
false；
false之间的关系为false.
【解析】（1）证明false，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）证明false，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；
（3）当直线false绕点false旋转到图（3）的位置时，仍然false，然后利用全等三角形的性质可以得到false.
【考点】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高.
25.【答案】证明：（1）false，
false，
false，
false是直角三角形；
（2）设false边上的高为false，
由题意得false，
解得false.
false边上的高为false；
（3）①false
②当false或false或false时，false为等腰三角形.
【解析】（1）运用勾股定理的逆定理即可证得false；
（2）运用等面积法列式求解即可；
（3）①由路程false速度false时间，可得false；②分三种情况进行求解，即可完成解答.
①false点false从点false出发在线段false上以false的速度向终点false运动，
false；
故答案为：false；
②如图1，若false，则false，
如图2，若false，过点false作false，
由（2）可知：false，
false，
false，且false，
false，
false，
false，
若false，如图2，
false，
false，
false，
false，
综上所述：当false或false或false时，false为等腰三角形.
【考点】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、等面积法等知识，利用分类讨论思想解决问题是解答本题的关键。