河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期开学考试 数学（word版 含答案解析）

河南省名校联盟2020-2021学年高二下学期开学考试
数学
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知平面的法向量是,平面的法向量是.若,则的值是( )
A. B.6 C. D.
2.已知非零空间向量,且,则一定共线的三点是( )
A. B. C. D.
3.已知点，且线段的垂直平分线的方程是，则实数m的值是( )
A. B. C.3 D.1
4.已知直线在x轴、y轴上的截距相等，则直线与直线之间的距离为( )
A. B. C.或 D.0或
5.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
7.设公差为的等差数列，如果，那么等于( )
A． B． C． D．
8.记为等比数列的前项和.若,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知方程表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中判断正确的是( )
A.当时，曲线C表示椭圆
B.当或时，曲线C表示双曲线
C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则
D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则
10.已知双曲线的离心率为,右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点,则有( )
A.渐近线方程为 B.渐近线方程为
C. D.
11.点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为( )
A. B. C. D.
12.设函数,则下列判断正确的是( )
A.是增函数
B.是偶函数
C.既无最大值,也无最小值
D.曲线在处的切线方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的图象在点处的切线方程是___________________.
14.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
15.某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有______________种.（用数字作答）
16.已知函数为的导函数,则的值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知直线与直线交于点
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)在(1)的条件下，若直线与圆交于两点，求直线与圆截得的弦长
18. （12分）如图，三棱柱中，平面平面和都是正三角形，D是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. （12分）设椭圆的右顶点为,上顶点为.已知椭圆的离心率为,
(1)求椭圆的方程
(2)设直线与椭圆交于两点,与直线交于点,且点均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求的值.
20. （12分）现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市.
(1)如果选派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法?
(2)至少有2名男司机，共有多少种不同的选派方法?
21. （12分）已知的展开式的各二项式系数之和为32，且展开式中含项的系数为80.
（1）求m,n的值；
（2）求的展开式中含项的系数.
22. （12分）已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
答案以及解析
1.答案：B
解析：的法向量与的法向量也互相平行,..
2.答案：A
解析：三点共线.
3.答案：C
解析：由已知条件可知线段的中点在直线上，代入直线方程，解得.
4.答案：A
解析：直线在x轴、y轴上的截距相等，
令，得，令，得，，解得或（舍），
直线的方程为，即.又可转化为，
直线与直线之间的距离为.故选A.
5.答案：B
解析：因为圆与两坐标轴都相切，且点在该圆上，所以可设圆的方程为，所以，即，解得或，所以圆心的坐标为或，所以圆心到直线的距离为或，故选B.
6.答案：C
解析：圆的圆心为,半径为过圆心与直线垂直的直线方程为,当所求的圆的圆心在直线上时,半径最小,排除A,B.圆心到直线的距离为,则所求的圆的半径为,故选C.
7.答案：B
解析：∵是公差为的等差数列， ∴
8.答案：B
解析：设等比数列的公比为,则由解得所以,所以,故选B.
9.答案：BCD
解析：当时，曲线C表示圆，A错误；若C为双曲线，则或，B正确；若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则，C正确；若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，D正确.
10.答案：BC
解析：双曲线的渐近线方程为,离心率为,所以,所以,,故渐近线方程为.取的中点,连接,利用点到直线的距离公式,可得,则,所以,所以,故选BC.
11.答案：AB
解析：抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB.
12.答案：AC
解析：由条件可知,故为奇函数,B错误,,当时,,所以,又,所以,所以在上是增函数,又为奇函数,故为增函数,A正确,易知的值域为R,故C正确,又,故D错误,故选AC.
13.答案：
解析：由题意知，所以函数的图象在点处的切线方程是，即.
14.答案：1 260
解析：分类讨论：第一类，不含0的，按照分步乘法计数原理得，可以组成个没有重复数字的四位数；第二类，包含0的，按照分步乘法计数原理得，可以组成个没有重复数字的四位数，所以一共可以组成个没有重复数字的四位数.
15.答案：72
解析：先排甲、乙之外的3人，有种排法，然后将甲、乙插入到这3人形成的4个空中，有种方法，所以不同的安排方案有种.
16.答案：3
解析：∵,∴.
17.答案：（1）由
令，将代入得： (直线表示方式不唯一)
（2）圆心到直线的距离， 所以
18.答案：（1）如图，连接，交于点E，连接，
由于四边形是平行四边形，所以E是的中点.因为D是的中点，所以.
因为平面平面，所以平面.
（2）如图，取的中点O，连接，根据和都是正三角形，得.又平面平面，平面平面，所以平面，于是.
以O为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则.
所以.
设平面的法向量为，则
，即，令，则，所以.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以.
设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，
因此二面角的余弦值为.
19.答案：(1)设椭圆的焦距为由已知得 ，又由,可得
由,从而，所以,椭圆的方程为
(2)设由题意
点Q的坐标为由的面积是面积的2倍,
可得,从而,即.易知直线的方程为,
由方程组?消去y,可得.
由方程组消去y,可得.
由,可得两边平方,整理得,解得或.
当时,不合题意,舍去;当时,,符合题意.所以,k的值为
20.答案：（1）从5名男司机中选派3名，有种方法，从4名女司机中选派2名，有种方法，根据分步乘法计数原理，选派的方法有种.
（2）分四类：
①选派2名男司机，3名女司机的方法有种；
②选派3名男司机，2名女司机的方法有种；
③选派4名男司机，1名女司机的方法有种；
④选派5名男司机，不派女司机的方法有种.
所以选派方法共有种.
21.答案：（1）由题意知，则的展开式的通项为，由题意知，当时，，所以.
（2）由（1）知，，所以的展开式的通项为的展开式的通项为，①令，此时含项的系数为；②令，此时含项的系数为；③令，此时含项的系数为.
所以的展开式中含项的系数为.
22.答案：(1)当时,,则.
,所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2)由函数,得.
当时,,所以的单调递减区间为,无单调递增区间.
当时,令,即,解得.
当时,,
所以的变化情况如下表:






0 +


极小值
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
当时,,所以的变化情况如下表:




+ 0


极大值

所以的单调递增区间为,单调递减区间为.