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5.3.2
命题、定理、证明
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?福田区期末）下列四个命题中，真命题有
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果和是对顶角，那么．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果，那么．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．（2020秋?织金县期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
3．（2020秋?蚌埠期末）对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（2020秋?卢龙县期末）“对顶角相等”的逆命题是
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
5．（2020秋?铁力市期末）在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形：③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形：④三个外角都相等的三角形是等边三角形正确的命题有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题
6．（2020秋?长春期末）写出“对顶角相等”的逆命题
．
7．（2020秋?茌平区期末）命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是
，结论是
．
8．（2020秋?来宾期末）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果，那么”的形式为
．
9．（2020秋?金塔县期末）“等角的补角相等”的条件是
，结论是
．
三、解答题
10．命题：若，则．请判断这个命题的真假．若是真命题请证明；若是假命题，①请举一个反例；②请你适当修改命题的题设使其成为一个真命题．
11．（2019秋?阆中市期中）如图，点，在的边上，连接，．①；②；③以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：：①②③；
：①③②；
：②③①
请选择一个真命题
进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
12．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
13．如图，有三个论断①；②；③，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
5.3.2
命题、定理、证明
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?福田区期末）下列四个命题中，真命题有
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果和是对顶角，那么．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果，那么．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果和是对顶角，那么，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；
如果，那么，所以④错误．
故选：．
2．（2020秋?织金县期末）命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是
A．垂直
B．两条直线
C．同一条直线
D．两条直线垂直于同一条直线
【解析】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线．
故选：．
3．（2020秋?蚌埠期末）对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是
A．，
B．，
C．，
D．，
【解析】解：在中，，，且，满足“若，则”，故选项中、的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故选项中、的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时不但不满足，也不满足不成立，故选项中、的值不能说明命题为假命题；
在中，，，且，此时满足满足，但不能满足，即意味着命题“若，则”不能成立，故选项中、的值能说明命题为假命题；
故选：．
4．（2020秋?卢龙县期末）“对顶角相等”的逆命题是
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”
故选：．
5．（2020秋?铁力市期末）在下列命题中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形：③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形：④三个外角都相等的三角形是等边三角形正确的命题有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解析】解：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形，说法正确；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形，说法错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形，说法错误；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法正确，
正确的命题有2个，
故选：．
二、填空题
6．（2020秋?长春期末）写出“对顶角相等”的逆命题 相等的角是对顶角 ．
【解析】解：原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
7．（2020秋?茌平区期末）命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是 两条直线平行于同一条直线 ，结论是 ．
【解析】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行．
8．（2020秋?来宾期末）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果，那么”的形式为 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 ．
【解析】解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
9．（2020秋?金塔县期末）“等角的补角相等”的条件是 两个角分别是某两个相等角的补角 ，结论是 ．
【解析】解：等角的补角相等的条件是两个角分别是某两个相等角的补角，结论为这两个角相等．
故答案为两个角分别是某两个相等角的补角，这两个角相等．
三、解答题
10．命题：若，则．请判断这个命题的真假．若是真命题请证明；若是假命题，①请举一个反例；②请你适当修改命题的题设使其成为一个真命题．
【解析】解：这是个假命题，
反例：当，时，满足，但，，，
修改题设为：若，这时命题为真命题．
11．（2019秋?阆中市期中）如图，点，在的边上，连接，．①；②；③以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：：①②③；
：①③②；
：②③①
请选择一个真命题 ①③②
进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【解析】已知：，，
求证：．
证明：，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：①③②．
12．如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【解析】已知：，
求证：
证明：
又
又
13．如图，有三个论断①；②；③，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【解析】已知：，．
求证：．
证明：，
．
．
，
．
．
．
，，
．
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精品试卷·第
2
页
（共
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人教版
七年级数学下册
5.3.2
命题、定理、证明
1.理解命题，定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；
2.
会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了
解举反例的作用.
学习目标
观察与思考
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….
这个黑客是个小偷.
是个喜欢穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
两种不同颜色的语句有什么不同之处？
小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.
好！继续努力,争取破全市百米记录.
不要再抢啦！每个人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:
第一组：
1.
内错角相等，两直线平行．
2.
两直线平行，同位角相等．
3.
同角的补角相等.
试比较以下两组语句有什么不同点？
第二组：
1.
直线AB与CD垂直吗？
2.
过点B
画直线l的平行线．
3.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
像紫色字这样判断一件事情的语句，叫作命题
(proposition).
命题的定义与结构
一
一、命题的概念
1、是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……
2、这个黑客是个小偷.
3、是个喜欢穿黑衣服的贼.
4、内错角相等，两直线平行．
5、两直线平行，同位角相等．
6、同角的补角相等.
讲授新课
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：
（1）中华人民共和国的首都是北京；
（2）我们班的同学多么聪明；
（3）浪费是可耻的；
（4）春天万物更新；
在几何里，同样有这两类语言：
（1）
两条直线相交，只有一个交点；
（2）画线段AB=
3
厘米；
作出判断
作出判断
作出判断
进行描述
进行描述
进行描述
下列语句是命题吗？
①熊猫没有翅膀.
②大象是红色的
③同位角相等.
④连接A、B两点.
⑤你多大了？
句子
①
②
③
能判断一件事情.
是命题
句子
④
⑤
⑥
不能判断一件事情.
不是命题
⑥请你吃饭。
你能举一些不是命题的例子吗？
1、命题必须是一个完整的句子；
2、这个句子必须对某件事情做出肯定或否定的判断。
例1
判断下列四个语句中，哪个是命题，
哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
典例精析
（9）相等的角都是直角；
（10）同旁内角互补
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）正数大于负数；
（3）同角的余角相等；
（4）两直线平行，同旁内角相等；
（5）对顶角相等
（6）在直线AB上任取一点C；
（7）明天会下雨吗？
（8）画线段AB=CD；
小结：（1）陈述句、问句等都不是命题。（2）命题是一个判断，这个判断可能是正确的，也可以是错误的。
（是）
（是）
（不是）
（是）
（是）
（是）
（是）
（不是）
（不是）
（是）
请同学们观察一组命题，并思考命题是由几部分组成的？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，
同旁内角互补；
（3）如果两个角的和是90?，
那么这两个角互余；
（4）等式两边都加同一个数，
结果仍是等式．
（5）两点之间，线段最短．
二、命题的结构
观察思考
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行，
同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
下列命题中的题设是什么？结论是什么？
②
如果a＞b，b＞c，那么a=c
.
题设是：
①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补
结论是：
题设是：
结论是：
两个角是邻补角
这两个角互补
a＞b，b＞c
a=c
下列命题中的题设是什么？结论是什么？
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
题设是：
③对顶角相等．
结论是：
题设是：
结论是：
④同位角相等.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
两个角是对顶角
这两个角相等
两个角是同位角
这两个角相等
下列语句是命题吗？如果是，请将它们改
写成“如果……，那么……”的形式.
（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）同旁内角互补；
（5）同角的补角相等.
如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
如果等式两边都加同一个数，那么结果仍是等式；
如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得0；
如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
命题是由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
两直线平行，
同位角相等。
题设
结论
数学中的命题常可以写成“如果…，那么…”的形式．
“如果”后接的部分是题设，
“那么”后接的部分是结论．
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
总结归纳
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
真命题与假命题
二
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
问题 请同学们举例说出一些真命题和假命题．
（1）同旁内角互补（
）
（4）两点可以确定一条直线（
）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（
）
（2）一个角的补角大于这个角（
）
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×
表示.
（5）两点之间线段最短（
）
（3）相等的两个角是对顶角（
）
×
√
（6）同角的余角相等（
）
×
√
√
√
×
练一练
1
2
3
4
1.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出
来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做公理.
两点确定一条直线.
两点之间，线段最短.
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
直线公理：
线段公理：
平行公理：
三、公理的概念
证明与举反例
三
2.有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.
同角或等角的补角相等.
2.余角的性质：
同角或等角的余角相等.
4.垂线的性质：
①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
1.补角的性质：
3.对顶角的性质：
对顶角相等.
②垂线段最短.
学过的定理：
四、定理的概念
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
注意：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.
这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。
五、证明的概念
分析：要证明AB，CD平行，就需要找能证明平行的条件，图中∠1与∠3是同位角.同位角相等，两直线平行。
我们只要找到：能说明它俩相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例2
如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行？
证明：因为∠2与∠3是对顶角，
所以∠3=∠2
又因为∠1=∠2，
所以∠1=∠3，
且∠1与∠3是同位角，
所以AB与CD平行.
证明：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD
例2
如图，∠1=∠2，
试说明直线AB，CD平行？
例3
已知：直线b∥c，
a⊥b
．
求证：a⊥c．
证明：
∵
a
⊥b（已知）
∴
∠1=90°（垂直的定义）
又∵
b
∥
c（已知）
∴
∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴
a
⊥
c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析
确定一个命题是假命题的方法：
例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题
，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
）
）
1
2
A
O
C
B
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.
思考：如何判定一个命题是假命题呢？
六、举反例
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.
若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
当堂练习
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
其它的真命题
课堂小结
作业布置
教科书：
A层：
第24页习题5.3第12、13题，
B层：
第37页复习题5
第12题．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
